Análisis de imágenes digitales

(1)

Análisis de

imágenes

digitales

FUNDAMENTOS DE LA IMAGEN DIGITAL

(2)

• Las transformaciones geométricas son funciones que mapean un punto del

espacio a uno nuevo y se pueden clasiﬁcar en:

DEFINICIONES

Rígidas ⊂ Similaridad ⊂ Afines Rígidas: preservan la distancia !

traslación+rotación.

Similaridad: preservan el ángulo ! traslación+rotación+escalamiento Afines: preservan el paralelismo ! traslación+rotación+escalamiento +sesgo

Transformaciones geométricas lineales

(3)

•

Las transformaciones rígidas (transformaciones Euclidianas) preservan

la distancia entre cualquier par de puntos p y q de la imagen

(isometría).

•

Los objetos tienen la misma forma y tamaño antes y después de la

transformación.

DEFINICIONES

D(p,q ) p q D( p’,q’ ) p’ q’ D (p’ ,q’ ) p’ q’

(4)

•

Las transformaciones similares (homotecia), a partir de un punto ﬁjo,

multiplican todas las distancias por un mismo factor, de manera que se

preservan los ángulos de los objetos en la imagen.

DEFINICIONES

D(p,q ) p q θ λD (p’ ,q’ ) λp’ λq’ θ Imagen original

(5)

•

Las transformaciones aﬁnes preservan la colinearidad y las razones de

las distancias entre dos puntos cualquiera de la imagen, preservando

así el paralelismo entre segmentos de rectas.

DEFINICIONES

p q ½D(p ,q) p’ q’ ½D (p,q₎ Imagen original Imagen sesgada

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• Las transformaciones geométricas lineales pueden representarse por medio de

matrices no singulares (invertibles).

• Sea v el vector columna que contiene las coordenadas de un punto de la

imagen (x,y):

DEFINICIONES

v = x y⎡_⎣ ⎤_⎦T

• Sea T una matriz de transformación 2×2:

T = a b⎡ _{c d}

⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥

• El vector columna con las coordenadas transformadas está dado por:

ˆv = Tv = a b⎡ _{c d} ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎡ x_y ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = ax +by cx +dy ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = ˆx ˆy ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥

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MATRICES DE TRANSFORMACIÓN

Rθ(x,y) = ₋cosθ sinθ sinθ cosθ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎡ x_y ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥= x_{cosθ +}y_sinθ y_{cosθ −}x_sinθ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ Rθ−1(ˆx,ˆy) = R−θ(ˆx,ˆy) Forma simple: Inversa: • Rotación: • Escalamiento uniforme: Es(x,y) = s 0_{0 s} ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎡ _yx ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥= sx sy ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ Es−1(ˆx,ˆy) = E_s−1(ˆx,ˆy) Forma simple: Inversa: • Escalamiento no uniforme: Esxy(x,y) = sx 0 0 sy ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ x y ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = sxx syy ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ Esxy −1₍_ˆx_,_ˆy_{) = E} s−1(ˆx,ˆy) Forma simple: Inversa: x y x y

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x y Rxy(x,y) = −1 0 0 −1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎡ x_y ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥= −x −y ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ Forma simple: • Sesgo:

• Reﬂexión: equivalente a la rotación con cos(π)

S_s_xy(x,y) = sx 1 1 sy ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ x y ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥= x +_sxx syy+y ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ Forma simple:

• Traslación: no se puede representar mediante una matriz de

transformación de tamaño 2×2 T (x,y) = a b ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ +⎡ _yx ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥= a+ x b+y ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ T−1₍_ˆx_,_ˆy_{) =} ˆx ˆy ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥− ab ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ˆx_ˆy−₋a_b ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ Forma simple: Inversa:

MATRICES DE TRANSFORMACIÓN

x y y

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• Rotación con

MATRICES DE TRANSFORMACIÓN

θ = −π 4 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 v1=[6,2]T v2 =[7,3]T v₃ =[8,2]T ˆv1= Tv1 =[3,6]T ˆv2 = Tv2 =[3,7]T ˆv3 =Tv3 =[4,7]T T = 22₂ − 22 2 22 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ • Escalamiento con s = 2 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 v1=[1,1]T v2 =[0,1]T v3 =[0,2]T v4 =[0,2]T v5 =[0,2]T ˆv1 =Tv1=[2,2]T ˆv2 =Tv2 =[0,2]T ˆv3=Tv3 =[2,0]T ˆv4 =Tv4 =[0,4]T ˆv5 =Tv5 =[4,0]T T = 2 0⎡ _{0 2} ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥

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COORDENADAS HOMOGÉNEAS

• Una forma de expresar todas las transformaciones geométricas de una manera

consistente utilizando representación matricial es a través de coordenadas homogéneas.

• Se agrega una dimensión extra, el eje w, y una coordenada extra, la

componente w.

• De esta manera, todas las transformaciones, y combinaciones de ellas, se

mapean de Rd_→Rd+1: x y w (x,y,w) ˆv = Tv = a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ x y w ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = ˆxˆy ˆw ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

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COORDENADAS HOMOGÉNEAS

• Se pueden representar combinaciones de

transformaciones geométricas.

• Esta deﬁnición se le conoce como

transformación aﬁn de 6 grados de libertad. ˆv = Tv = a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ x y 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = ˆxˆy 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ Escalamiento y rotación Traslación

• La transformación inversa se utiliza para encontrar correspondencias entre

cambios geométricos realizados sobre imágenes:

ˆv = T−1_{v =} a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ −1 x y 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = ˆxˆy 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ T−1 ₌ 1 a11a22 −a12a21 a22 −a12 a12a23 −a13a22 −_a₂₁ _a₁₁ _a₁₂_a₂₁− _a₁₁_a₂₃ 0 0 a11a22 −a12a21 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ donde

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COORDENADAS HOMOGÉNEAS

Identidad 1 0 00 1 0 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ x= v y= w Escalamiento sx 0 0 0 sy 0 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ x= sxv y= syw

Rotación −cosθ sinθ 0_{sinθ cosθ 0}

0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ x = v cosθ +wsinθ y = w cosθ −v sinθ Traslación 1 0 tx 0 1 ty 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ x= v +tx y= w +ty Sesgo vertical s1 0 0v 1 0 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 1 sh 0 0 1 0 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ Sesgo horizontal x= v +svw y= w x= v y=shv + w

Transformación Matriz aﬁn Ecuaciones de

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COORDENADAS HOMOGÉNEAS

• A través de las transformaciones aﬁnes, es posible realizar transformaciones

más complejas utilizando una matriz única que combine las tres transformaciones básicas.

• Por ejemplo, TRSv, escalar el vértice, luego rotarlo, y ﬁnalmente trasladarlo

(derecha a izquierda): 1 0 t_x 0 1 t_y 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ cosθ _sinθ ₀ −_sinθ cosθ 0 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ s_x 0 0 0 sy 0 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ x y 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ equivale a: s_x cosθ s_y sinθ t_x −s_x sinθ s_y cosθ t_y 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ x y 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

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COORDENADAS HOMOGÉNEAS

• Es importante considerar el orden de las transformaciones, ya que la

multiplicación de matrices no es conmutativa.

• Por ejemplo, RT ≠ TR:

cosθ _sinθ t_x _cosθ +t_y _sinθ

−_sinθ _cosθ t_y cosθ −t_x sinθ

0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ≠ cosθ _sinθ t_x −_sinθ _cosθ t_y 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ RTv TRv 1 2 1 2

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COORDENADAS HOMOGÉNEAS

• Rotación de objetos en la imagen.

x θ x y a) θ x y b) x y c) a) Desplazamiento del centroide al origen. b) Rotación. c) Regresar el centroide a su posición inicial.

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COORDENADAS HOMOGÉNEAS EN 3D

• Se agrega una coordenada/eje: v = [x y z 1]T.

Transformación Matriz Afin Comentario

Escalamiento

Similar a la versión 2D, sólo se agregó el término

S_z.

Rotación Ver siguiente diapositiva

En 2D sólo existe un eje de rotación. En 3D se deben tomar en cuenta todos los posibles ejes.

Traslación

Similar a la versión 2D, sólo se agregó el término

t_z. 1 0 0 tx 0 1 0 ty 0 0 1 tz 0 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Sx 0 0 0 0 Sy 0 0 0 0 Sz 0 0 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

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COORDENADAS HOMOGÉNEAS EN 3D

• Cada rotación puede representarse como la

composición de 3 diferentes ángulos rotando en el sentido horario alrededor de 3 ejes como:

Eje-x en el plano yx por ψ. Eje-y en el plano xz por θ. Eje-z en el plano xy por ϕ.

x y z Rxy(φ) Ryz(ψ ) Rxz(θ) R_xy(φ) Ryz(ψ) Rxz(θ) cosφ −sinφ 0 0 sinφ cosφ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1 0 0 0 0 cosψ −sinψ 0 0 sinψ cosψ 0 0 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ cosθ 0 sinθ 0 0 1 0 0 −sinθ 0 cosθ 0 0 0 0 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

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TRANSFORMACIONES PROYECTIVAS

• Las transformaciones proyectivas

establecen 8 grados de libertad y se

deﬁnen como: ˆv = Tv = a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ x y w ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = ˆxˆy ˆw ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

• Esta operación corresponde a la siguiente transformación no lineal de las

coordenadas de la imagen de original:

ˆx = a11x + a12y + a13

a31x + a32y +1

ˆy = a21x + a22y + a23

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TRANSFORMACIONES PROYECTIVAS

• La inversión de la transformación proyectiva se puede calcular mediante la

relación: T−1 ₌ 1 det(T)Tadj T = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ con donde: det(T) = a₁₁a₂₂a₃₃ + _a₁₂_a₂₃_a₃₁+ _a₁₃_a₂₁_a₃₂ −_a₁₁_a₂₃_a₃₂ −_a₁₂_a₂₁_a₃₃ −_a₁₃_a₂₂_a₃₁ y Tadj = a22a33 − a23a32 a13a32 −a12a33 a12a23 − a13a22 a23a31− a21a33 a11a33 −a13a31 a13a21− a11a23 a21a32 − a22a31 a12a31 −a11a32 a11a22 − a12a21 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

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OTRAS TRANSFORMACIONES NO LINEALES

• La transformación Twirl produce una rotación α de la imagen sobre el punto

de rotación xc=(xc,yc), la cual decrece conforme la distacia del píxel de la

imagen al punto de rotación aumenta (rmax):

Tx : ˆx = x_c +r ⋅_cos(β_{) si r ≤ r}_max x otro caso ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ Ty : ˆy = y_c +r ⋅_sin(β) si r ≤ rmax y otro caso ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ donde: dx =x −x_c, dy =y −y_c, r = dx2 +dy2 β = _tan−1 _d y dx

(

)

+α rmax −r r_max ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ Original Twirl

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OTRAS TRANSFORMACIONES NO LINEALES

• La transformación Ripple produce una distorsión local en forma de onda en la

dirección x ó y: Tx : ˆx = x + ax ⋅sin 2 π_y τx ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ Ty : ˆy =y +ay ⋅sin 2 πx τy ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟

donde τx y τy son los periodos

de la longitud de onda, y ax y ay

son las amplitudes de los desplazamientos.

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OTRAS TRANSFORMACIONES NO LINEALES

• La distorsión esférica produce el efecto parecido al de una lente en forma de

esfera, cuyos parámetros son el centro de la lente, xc=(xc,yc), el radio

máximo de distorsión, rmax, y el índice de la lente, ρ:

Tx : ˆx =x − z ⋅_tan(βx) si r ≤r_max 0 otro caso ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ Ty : ˆy =y − z ⋅_tan(β_y_{) si}r ≤r_max 0 otro caso ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ dx = x −xc, dy =y −yc r = _dx2 +d_y2, z = r_max2 −r2 βx = 1− 1_ρ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⋅sin−1 d x dx2 +z2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ β = ⎛_{1− 1}⎞ ⋅_sin−1⎛ dy ⎜ ⎞⎟ donde:

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INTERPOLACIÓN

• La transformación geométrica de una imagen

puede generar valores no enteros de las coordenadas mapeadas.

• Por tanto, al redondear las nuevas coordenadas se

generan píxeles que no tienen deﬁnidos sus niveles gris.

Original Rotación

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INTERPOLACIÓN

• Es necesario deducir qué valores de gris debería haber en estos píxeles faltantes

a partir de píxeles conocidos. La técnica utilizada para hacer esta tarea se llama interpolación del nivel de gris.

Interpolación de imágenes

Adaptativo: el método cambia

dependiendo de lo que se esté interpolando.

No adaptativo: trata a todos los

píxeles por igual.

Implementados en programas licenciados como Qimage, PhotoZoom Pro, Genuine Fractals, etc. Vecino más cercano Bilineal Bicúbico Splines Sinc Lanczos

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INTERPOLACIÓN

• Métodos de interpolación más comunes:

1.Vecino más cercano: considera el valor del píxel en la imagen original que está más cercano a la nueva localización del píxel.

2.Bilineal: considera el promedio de los 4 píxeles en la imagen original más cercanos a la nueva localización del píxel.

3.Bicúbico: considera el promedio de los 16 píxeles en la imagen original que rodean a la nueva localización del píxel.

Imagen original

Imagen transformada

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INTERPOLACIÓN

Imagen escalada Vecino más cercano

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INTERPOLACIÓN

Imagen rotada Vecino más cercano