Comunicaciones por Satélite Curso Mecánica orbital

(1)

CSAT 1

Comunicaciones por Sat

é

lite

Curso 2008

-

09

09 Mec

Mec

á

nica orbital

Ramón Martínez Rodríguez-Osorio

Miguel Calvo Ramón

(2)

Objetivos

• Comprender los principales parámetros orbitales de las

órbitas empleadas en satélites de comunicaciones

• Determinar los ángulos de apuntamiento hacia un

satélite, el tiempo de visibilidad y la cobertura

• Relacionar los diferentes tipos de órbitas con los

servicios de comunicaciones por satélite

• Comprender el efecto de las perturbaciones que afectan

a la órbita del satélite

• Introducir los principios que rigen el lanzamiento y

(3)

CSAT 3

• Introducción histórica

• Parámetros de la órbita geoestacionaria

• Mecánica orbital

– Leyes de Kepler

– Ecuaciones de la órbita genérica

• Posición del satélite en su órbita. Anomalías

• Posición de un satélite respecto de un punto en la superficie

terrestre. Calendario

• Parámetros orbitales. Efemérides

• El punto subsatélite y su traza

• Procedimiento para determinar la posición de un satélite

• Determinación de los ángulos de visión. Elevación y acimut

• Órbitas empleadas en comunicaciones

Í

(4)

Introducci

ó

n hist

ó

rica

• Ptolomeo: sistema geocéntrico (s. II d.C.)

– La Tierra es el centro del Universo

– El Sol gira alrededor de la Tierra

• Copérnico (1473-1543): sistema heliocéntrico

– De revolutionibus orbium caelestium (1543): “Los planetas giran en

órbitas circulares alrededor del Sol”

• Tycho Brahe (1546-1601)

– Cuestionó la teoría heliocéntrica de Copérnico

– Gran observador astronómico: descubrió nuevas estrellas, dedujo las

órbitas elípticas de los cometas

– Sus observaciones son la base de los trabajos de Kepler

• Galileo (1564-1642)

– Reforzó la concepción copernicana del sistema solar (primeras

observaciones telescópicas)

(5)

CSAT 5

Introducci

ó

n hist

ó

rica

• Kepler (1571-1630): descubre por observación tres leyes

que determinan el movimiento de los planetas alrededor

del Sol

1) Los planetas se mueven en un plano y las órbitas describen

elipses con el Sol en uno de sus focos (1602)

2) Ley de las áreas (1605)

3) La magnitud T

2 _/a

3 _{es igual para todos los planetas (1618)}

• Newton: enuncia la Ley de la Gravitación Universal

(1667) y demuestra las leyes de Kepler

– m

_s

<<M

_T

, y la Tierra es esférica y homogénea

– Espacio libre

¾ Extiende el trabajo de Kepler para incluir perturbaciones en la

órbita

(6)

Definici

ó

n

• La Mecánica Orbital se encarga de estudiar, conocer y

determinar el movimiento de los cuerpos celestes en

torno al Sol

…

• … y en particular el movimiento de los satélites

artificiales alrededor de la Tierra

.

• Utilidad:

– Diseño orbital: optimización de los requisitos del sistema (mejor

órbita, ventana de lanzamiento, etc.)

– Determinación orbital: conocimiento de la posición del satélite

en todo momento y correcciones orbitales

(7)

CSAT 7

¡ Al incrementar la velocidad inicial aumenta el alcance !

V=0

V= 10 km./h

V= 100 km./h

Puesta en

(8)

¡ Con una velocidad inicial suficiente el objeto entra en órbita !

1000 Km/h

10000 Km/h

30000 Km/h

Puesta en

(9)

CSAT 9

(

)

(

)

v

h

r

T

h

r

Gm

v

G

h

r

m

h

r

v

m

F

e

s

e

s

g

c

+

=

+

=

+

=

+

=

π

2

2 r

r

(

)

seg

Km

v

Km

h

Km

h

r

seg

T

Gm

h

r

T

e

s

m

h

e

074 .

3 35779

42157

86164

4

56

23

2

3 =

=

+

=

+

=

π

Ecuaciones

Ó

rbita Geoestacionaria

km

6377

:

terrestre

Radio

s

km

10 98601352

.

3 :

Kepler

de

Constante

s

kg

m

10

6.67 :

l

n Universa

Gravitació

de

Constante

kg

10

98 .

5 :

Tierra

la

de

Masa

2

3

5

2

3

11 -24

=

×

=

⋅

×

=

×

=

e

T

e

T

r

Gm

k

G

m

r

_e

_h

r

_e

_h

(10)

s

m

h

₅₆

₄

23

25 .

366

25 .

365

24 sidéreo

día

1 días

25 .

365 solar

o

n~

a

1 horas

24 solar

día

1 =

=

Verano

Invierno

Ángulo de la eclíptica

23g 27m

Primavera

Otoño

SOL

Radio medio

250x10

6 _km

Movimiento de la Tierra entorno al Sol

D

(11)

CSAT 11

Aproximaciones:

– Tierra y satélite son masas puntuales

– Sólo acción fuerzas gravitacionales Tierra-satélite

– Sólo órbitas terrestres

( )

r

_r

r

F

G

Mm

r

F

ma

m

d r

dt

g

c

=

−

=

2

2 $

0 ˆ

2

2 =

+

⇒

=

r

k

r

dt

r

d

F

_g

_c

r

sg

k

GM

14 m

3

2 3 99 10

=

≅

.

×

Constante de Kepler

Z

Y

X

M

m

g

F

r

c

F

r

C

(12)

Resulta

d

dt

r

dr

dt

r

_×

r

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= 0

y por tanto

r

r r

r

dr

dt

r

v

h

×

= × =

(cte)

r r r r r

r r r

r h

⋅ = ⋅ × = ⋅ × ≡

r r

(

v

)

v r

(

r

) 0

→

r h

r r

⊥

Por tanto, la órbita está en un plano perpendicular a h y

que pasa por el centro de masas de la Tierra.

Por tanto, la órbita está en un plano perpendicular a h y

que pasa por el centro de masas de la Tierra.

Teniendo en cuenta que:

d

dt

r

dr

dt

dr

dt

dr

dt

r

d r

dt

r

_×

r

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

×

+ ×

2

0

La

ó

rbita es plana

Haciendo el producto vectorial ( x ):

r

d r

r

dt

×

2 ₂

=

0

(13)

CSAT 13

Se elige un sistema de coordenadas

orbitales (x

_o

, y

_o

, z

_o

).

El vector velocidad es tangente a la

trayectoria y conviene usar polares (r,

φ) para describir la posición.

r

v

dr

dt

d

dt

rr

r

dr

dt

r

dr

dt

=

(

$)

=

$

+

$

Pero

dr

dt

r

dr

dt

r d

dt

r d

dt

$

₌

∂

$

₊

$

₌

$

∂

∂φ

φ

∂

∂φ

φ

0 Además

r

$

=

x

$ cos

φ

+

ysin

$

φ

=>

∂

∂φ

φ

φ φ

$

$ cos

$

r

xsin

y

= −

+

=

Por tanto:

v

r

dr

dt

r

d

dt

=

$

+

φ

$

x

_o

y

_o

r

φ

z

_o

$r

v

r

φ

ˆ

Sistema de Coordenadas Orbitales (Sistema

(14)

El vector aceleración será:

a

r

d r

r

dt

dv

dt

=

2 ₂

=

y teniendo en cuenta que

d

dt

d

dt

r

d

dt

$

φ

∂φ

φ

=

= −

resulta:

a

r

d r

dt

r

d

dt

r

d

dt

r

d

dt

=

− ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

$

2

1 φ

φ

Con ello la ecuación vectorial del movimiento del satélite

resulta en el sistema de ecuaciones escalares:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

0

1

2

2 r

k

dt

d

r

dt

r

d

dt

d

r

dt

d

r

φ

θˆ

en

angular

Componente

rˆ

en

radial

Componente

Ecuaciones Escalares

(15)

CSAT 15

La primera ecuación indica que:

r

d

dt

cte

2 φ

₌

y teniendo en cuenta que

h

r

=

r

×

v

r

=

r

2 d

_dt

φ

resulta:

h

r

d

dt

cte

=

2 φ

=

Como además:

dA

=

1 r d

2

2 _φ

=>

dA

dt

=

h

=

cte

1

2 Que es la expresión matemática de la 2ª ley de Kepler:

“Áreas barridas en tiempos iguales son iguales”

Que es la expresión matemática de la 2ª ley de Kepler:

“Áreas barridas en tiempos iguales son iguales”

x

_o

y

_o

r

dA

d

φ

rd

φ

·

Segunda Ley de

(16)

“Áreas barridas en tiempos iguales son iguales”

_{“Áreas barridas en tiempos iguales son iguales”}

Segunda Ley de

(17)

CSAT 17

Eliminamos t :

dr

dt

dr

d

dt

dr

d

h

r

h

du

d

=

= −

φ

2 φ

d r

dt

d

dt

h

du

d

h u

d u

d

2

2 =

⎛

−

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟ = −

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

φ

Del resultado anterior obtenemos:

r

d

dt

cte

r

d

dt

h

r

2

2 ₂

3 φ

₌

_{⇒ ⎛}

φ

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

y de la 2ª ecuación del sistema:

d r

dt

h

r

k

r

2

3

2

0 −

+

=

u

r

du

dr

r

=

1 ⇒

= −

₂

con el cambio

Resulta por tanto:

d u

d

u

k

h

2

2 φ

+ =

Primera Ley de

(18)

La solución de la ecuación diferencial

d u

d

u

k

h

2

2 φ

+ =

es:

u

k

h

C

o

=

₂

+

cos(

φ φ

−

)

Deshaciendo el cambio de variable y eligiendo el eje x

_o

de

manera que

φ

_o

= 0 resulta:

r

p

e

=

+

1 cos

φ

siendo

p

h

k

e

pC

=

2 ,,

=

Para e < 1 la ecuación anterior es la de una elipse, y

es la expresión matemática de la 1ª ley de Kepler.

Para e < 1 la ecuación anterior es la de una elipse, y

es la expresión matemática de la 1ª ley de Kepler.

Primera Ley de

(19)

CSAT 19

Secciones c

ó

nicas

Ecuación de la

trayectoria:

e=0: circunferencia

e<1: elipse

e>1: hipérbola

e=1: parábola

Sólo para e<1 se tienen trayectorias cerradas, de interés para satélites de

comunicaciones. Para e≥1, la trayectoria del satélite escapa a la atracción terrestre

(sondas espaciales, cometas).

(20)

Para el caso de órbita elíptica:

dA

=

1 hdt

⇒

ab

=

hT

2

1

2 π

siendo T el período de rotación.

T

a

k

= 2

3

2

1

2 π

Sustituyendo h resulta:

que es la expresión matemática de la 3ª ley de Kepler.

Tercera Ley de

(21)

CSAT 21

Leyes de Kepler:

1º Las órbitas son planas y el satélite describe una elipse con un

foco en el centro de masas de la Tierra.

2º El radio vector describe áreas iguales en tiempos iguales.

3º Los cuadrados de los periodos orbitales de dos satélites tienen la

misma relación que los cubos de sus distancias medias al centro

de la Tierra.

Apogeo

Perigeo

a

b

C

ae

a(1+e)

a(1-e)

M

r

φ

m

X

₀

Y

₀

r

a

e

=

−

+

(

)

cos

1

2 ϕ

v

k

r

a

=

⎛

−

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

1 Sistema perifocal de coordenadas

Resumen

(22)

Ejemplos

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0

200

400

600

800 1000

1200

1400

1600

P

e

ri

odo [

m

inut

os

]

Tercera Ley de Kepler

ISS

400 km, 92 min

Metop-A

821 km, 101 min

GPS

20220 km, 718 min

Intelsat

35779 km, 1440 min

(23)

CSAT 23

Ejemplo: la ISS

h

_perigeo

=348km

h

_apogeo

=351km

(24)

Variaci

(25)

CSAT 25

Sistema perifocal de coordenadas

Resumen

Apogeo

Perigeo

a

b

C

ae

a(1+e)

a(1-e)

M

r

φ

m

X

₀

Y

₀

( )

(

)

ϕ

cos

e

a

r

+

−

=

1

2

(26)

Y

₀

X

₀

b

ae

a(1-e)

a

r

M

E

θ

Y

₀

X

₀

b

ae

a(1-e)

a

r

M

E

φ

θ

P

P’

B

Posici

ó

n del Sat

é

lite en la

Ó

rbita. Anomal

í

as

Órbita

Circunferencia de radio

_{el semieje mayor a}

(inscribe a la órbita)

M: anomalía media

E: anomalía excéntrica

φ: anomalía verdadera

O

B

P

P’

r

E

θ

F

O

B

P

P’

r

E

θ

F

φ

(27)

CSAT 27

Objetivo: determinar la posición del satélite en función del tiempo

→ r(t)

2

0

2

0

2 _r

pk

r

v

r

h

r

h

dt

d

φ

₌

re

r

p

cos

e

p

r

⇒

=

−

+

=

φ

1 dt

dr

er

p

dt

d

sen

⋅

=

−

⋅

−

2 φ

φ

[

₂

₍

₎

2 ]

2 a

e

a

r

ar

k

dt

dr

₌

_⋅

₋

Posici

ó

n del Sat

é

lite en la

Ó

rbita (1)

Y

₀

X

₀

b

ae

a(1-e)

a

r

M

E

θ

Y

₀

X

₀

b

ae

a(1-e)

a

r

M

E

θ

φ

c

r

cos

r

ae

E

cos

a

=

+

=

+

(

e

cos

E

)

a

r

E

cos

e

E

cos

r

ae

E

cos

a

⇒

=

−

+

=

1

1 E

cos

e

esenE

a

k

dt

dE

senE

ae

dt

dr

−

±

⋅

=

⋅

=

1 (

t

p

)

a

k

esenE

E

−

=

⋅

−

3 φ

φ

cos

e

cos

e

E

cos

+

=

1 cos

E

e

E

cos

−

=

1 φ

Por geometría:

(28)

Anomalía media M es el ángulo que formaría el semieje del perigeo de un satélite

que se moviera a velocidad constante

η

₀

por la circunferencia de radio a que

inscribe la órbita elíptica:

(

t

p

)

a

k

esenE

E

−

=

⋅

−

3 (

p

)

(

t

p

)

a

k

t

M

=

⋅

−

=

⋅

−

3

0 η

esenE

E

M

=

−

O

B

P

P’

r

E

θ

F

O

B

P

P’

r

E

θ

F

'

OP

B

'

OP

B

'

FP

Área

=

−

E se calcula con métodos iterativos, p.e.,

Newton-Raphson (E

_ini

=M,

π):

( )

f

'

( )

E

...

E

f

E

cos

e

E

'

f

M

esenE

E

f

=

−

=

⇒

⎭

⎬

⎫

−

=

−

=

1

Posici

(29)

CSAT 29

1a) El periodo de rotación

del satélite es:

_T

a

k

=2

π

3 2

₁₂

1b) La velocidad angular media

es:

η

=

2 π

=

1 T

a

k

a

2) Conocido t y el tiempo de paso por el

perigeo

t

_p

podemos calcular la anomalía

media

M o la anomalía excéntrica

E:

M

=

η(

t

−

t

_p

)

=

E

−

esinE

3) A partir de E se obtienen r y

ϕ (polares):

r

a

e

E

e

a

e

r

=

−

=

−

(

cos )

cos [ (

(

)

)]

1

2 ϕ

4) Y también:

_x

_r

_y

_{rs in}

o

=

cos

ϕ

, ,

o

=

ϕ

Procedimiento para determinar

la posici

ó

n del sat

é

lite en la

ó

rbita

Y

₀

X

₀

b

ae

a(1-e)

a

r

M

E

φ

(30)

- Punto vernal o primer punto de Aries (

γ

): une el centro de la Tierra con el del Sol

en el equinoccio de Primavera (21 de Marzo).

COORDENADAS INERCIALES

Ω : ascensión recta nodo ascendente

i : inclinación de la órbita

ω : argumento del perigeo

Sistema de Coordenadas Inerciales

γ

Ω

ω

Plano Ecuatorial

Plano

Orbital

Perigeo

X

₀

Nodo

Ascendente

Nodo

Descendente

i

Inclinación

(31)

CSAT 31

• Objetivo: determinar la posición del satélite

respecto

de la superficie terrestre

– Longitud y latitud

– Estimación de los ángulos de visión del satélite

– Estaciones terrestres

• Procedimiento: transformación de coordenadas

orbitales a rotatorias

– Hay que deshacer los giros de coordenadas para, a partir

de (Xo,Yo,Zo=0),

obtener las coordenadas inerciales

(Xi,Yi,Zi)

– Matrices de giro

Determinaci

ó

n de la posici

ó

n del sat

é

lite

respecto de un punto de la superficie terrestre

(32)

Paso 1: Giro alrededor de Zo (perpendicular a la órbita) para situar el eje

Xo en el plano ecuatorial (-

ω)

X

Y

Z

s i n

X

Y

Z

1

0

1 ⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

=

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

c o s

ω

Transformaci

ó

n

C.O

.

-

C.I

. (1)

Y

_i

Ω

ω

i

Z

_i

Z

₀

Y

₀

X

₀

Satélite

Perigeo

(33)

CSAT 33

Paso 2: Giro alrededor de X1 para situar el plano X1’-Y1’ sobre el plano

ecuatorial (i). El eje Z se convierte en el eje polar

X

Y

Z

i

s i n i

i

X

Y

Z

1

0

0 '

'

c o s

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

=

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

Transformaci

ó

n

C.O

.

-

C.I

. (2)

X

_i

Y

_i

Ω

ω

i

Z

_i

Z

₀

Y

₀

X

₀

Nodo Ascendente

Satélite

Perigeo

(34)

Paso 3: Giro alrededor del eje polar Z1’ para alinear el eje Xi en la

dirección del punto vernal (

Ω)

X

Y

Z

s i n

X

Y

Z

i

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

=

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

c o s

'

Ω

0

1

Transformaci

ó

n

C.O

.

-

C.I

. (3)

Y

_i

Ω

ω

i

Z

_i

Z

₀

Y

₀

X

₀

Satélite

Perigeo

(35)

CSAT 35

1) Giro de (-

ω) respecto a Z

_o

:

X

Y

Z

s i n

X

Y

Z

1

0

1 ⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

=

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

c o s

ω

2) Giro de (i) respecto a X

₁

:

X

Y

Z

i

s i n i

i

X

Y

Z

1

0

0 '

'

c o s

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

=

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

3) Giro de (

Ω) respecto a Z’

₁

=Z

_i

:

X

Y

Z

s i n

X

Y

Z

i

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

=

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

c o s

'

Ω

0

1

Transformaci

(36)

Finalmente, haciendo los productos sucesivos, resulta:

(

) (

)

(

) (

)

X

Y

Z

i

X

Y

Z

i

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

=

−

+

−

+

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

cos

sen

cos sen

cos

sen

cos cos

sen

cos

cos sen

sen

cos

cos cos

cos

sen

sen sen

sen cos

cos

Ω

ω

0

0 Matriz de transformación de coordenadas orbitales a inerciales

Transformaci

(37)

CSAT 37

A partir de las coordenadas inerciales (Xi,Yi) se obtienen

las

coordenadas rotacionales

(Xr,Yr)

.

Velocidad de rotación de la Tierra

Ω

_e

:

36525

2415020

10 8708

3 7689

36000

6909833

99 25068447

0

2

4 )

JD

(

T

.

T

.

)

TU

o

GMT

(min

t

.

T

c

o

,

g

o

,

g

e

−

=

⋅

+

⋅

+

=

⋅

+

=

Ω

−

α

JD: día Juliano

T

_c

: tiempo en siglos Julianos

α

_g,o

: ascensión recta del meridiano cero

Tiempo transcurrido desde que Xr

≡Xi

Τ

_e

:

Coordenadas Rotacionales

Xi

Ω

_e

T

_e

Yi

Xr

Yr

Zi

≡Zr

Meridiano de

Greenwich

Ω

_e

(38)

• JD: Día juliano

• 2415020: JD del 31/12/1899 a las 12 h del mediodía

• A: Año cuyo JD se desea calcular

• DTA: Días transcurridos del año A

• NAB1900: número de años bisiestos transcurridos desde 1900

• TU: Fracción del día en tiempo universal en horas

(

)

0

5

24 1900

1900

365 2415020

A

DTA

NAB

TU

.

JD

=

+

×

−

+

−

• Ejemplo: Calcular el JD del 1 de enero de 2000 a las 12 a.m.

– A=2000

– DTA=1

– NAB1900=24

– TU=12

(

)

0

5 2451545

24

12

24

1 1900

2000

365 2415020

+

×

−

+

−

=

.

JD

C

(39)

CSAT 39

Calendario

• Sol Medio (movimiento ficticio uniforme)

• Año tropical (tiempo de una órbita Tierra al Sol)

• Día solar medio, referido al Sol medio, 24 h

• Día sidéreo (1 rotación Tierra): 23h 56m 4.09s

• Año tropical: 365.2422 días medios

• Año civil: 365 días

• Julio Cesar introdujo el

año bisiesto

(1 día más cada 4

años y se compensan 0.25)

• Para compensar los 0.0088 el calendario Gregoriano

elimina como bisiestos los que terminan en 00 salvo los

divisibles por 400.

• TU o GMT tiempo referido al meridiano de Greenwich

• Día Juliano cero: 12 mediodía del 1 Enero del 4713 AC

(40)

Para pasar de las coordenadas geocéntricas inerciales

al sistema rotatorio hay que girar (Xi,Yi,Zi) un ángulo

Ω

_e

T

_e

respecto al eje Zi:

X

Y

Z

T

X

Y

Z

r

e

i

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

= −

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

cos

sen

cos

Ω

0

1

Transformaci

ó

n

C.I

.

-

C.R

.

Xi

Ω

_e

T

_e

Yi

Xr

Yr

Zi

≡Zr

Meridiano de

Greenwich

Ω

_e

(41)

CSAT 41

Para especificar las coordenadas

inerciales de un satélite en el instante

t, se suele emplear el siguiente

conjunto de seis parámetros:

1) Excentricidad (e)

2) Semieje mayor (a)

3) Ascensión recta del nodo

ascendente (

Ω)

4) Inclinación del plano orbital (i)

5) Argumento del perigeo (

ω)

6) Tiempo de paso por el perigeo (t

_p

)

Par

á

metros orbitales. Efem

é

rides

γ

Ω

Plano Ecuatorial

Plano

Orbital

Perigeo

(t

_p

)

X

₀

Nodo

Ascendente

Nodo

Descendente

i

Inclinación

ω