Resolución de Problemas Empleando el
Ordenador
Mercedes Charques Calderón y Bernabé Pablo Álvarez Ruiz
19 de febrero de 2008
Resumen
En la siguiente publicación se presenta el cuaderno de trabajo que emplearía un alumno para resolver problemas utilizando el ordenador. En posteriores publicaciones se realizará el cuaderno del profesor. El programa elegido es el Matlab. En el mercado hay más programas como puede ser Mathematica, el Derive, MathCad... Se ha elegido este por presentar una edición para estudiantes con un precio asequible.
La estructura del texto es la siguiente. Se comienza explicando las características básicas necesarias para empezar a utilizar el Matlab. A continuación, en las secciones 2 y 3, se propone una serie de ejer-cicios que usa el Matlab como si fuera una calculadora científica no programable. Más adelante, las funciones que se explican abarcarían las de una calculadora programable (sección 4 y 5). A partir de este punto, sección 6, las calculadoras normales no son capaces de resolver los problemas propuestos. Es necesario la utilización de un programa de ordenador para obtener la solución. En las secciones 7 y 8 se propo-nen una serie de ejercicios muy sencillos de análisis numérico, ajuste de curvas e interpolación. Cabe indicar que este último apartado se complica en gran medida sino se emplea un ordenador. La sección 9 trata la matemática simbólica. Es un apartado muy importante para aquellos alumnos que estén en Bachillerato. Normalmente en esta eta-pa el alumnado tiene gran cantidad de ejercicios que resolver. Con esta aplicación informática, los puede resolver él mismo y profundizando en sus dudas. La última sección trata de ahondar en los distintos concep-tos que se han desarrollado, aplicando a problemas más complejos y que el Matlab ayuda al alumnado a resolverlos de una manera rápida y sencilla. Como se ha explicado al principio, la misión de este doc-umento es la plantear ejercicios al alumnado para resolverlos con el ordenador. No es un manual de Matlab. En futuras publicaciones se realizará una explicación más profunda del mismo programa.
Índice
1. Introducción. 3
2. Características básicas. 3
3. Características científicas. 4
4. Operaciones con vectores y matrices. 5
5. Gráficas simples. 6
6. Polinomios 6
7. Análisis Numérico. 6
8. Ajuste de curvas e interpolación. 7
9. Matemática Simbólica 8
1.
Introducción.
Cada vez está más extendido el uso de los ordenadores para resolver problemas. En este documento se pretende enseñar el programa Matlab para obtener soluciones a problemas que se presentan tanto en la ESO, en el Bachillerato Tecnológico-Científico. El empleo del ordenador puede ayudar a entender más el problema en sí y comprender el hecho de que las Matemáticas son una herramienta, un lenguaje en el mundo de la Ciencia, la Técnica y la Tecnología. Además, se puede emplear el programa para resolver ecuaciones o sistemas de ecuaciones que, con el tiempo, se olvidan.
Por último, indicar que el programa Matlab está formado por un gran conjunto de cajas de herramientas que van desde el cálculo simbólico, que se verá en esta publicación, pasando por el tratamiento de señales y terminando por la lógica difusa y la programación avanzada. Un próximo curso tratará de los algoritmos y la programación utilizando el Matlab, que emplea sentencias muy parecidas al C y al C++, con muchas ventajas pero sin los grandes inconvenientes del C y C++.
2.
Características básicas.
Escriba las siguientes expresiones en el ordenador.
4+40+2
4*25+6*123-7*4
manzanas=4, platanos=6, melones=6
Cree una variable que sea la suma del número de piezas. ¿Es lo mismo 56/8que 8\56?
Evalúe la siguiente expresión: (16∗(7 + 3))2+ 6 ¿Qué hacen las siguientes expresiones?
• clc
• who
• whos
• clear manzana
Visualice el número π de distintas formas y escríbalas en la siguiente tabla. Formato Visualización long short e long e bank rat short hex
3.
Características científicas.
1. Expresa en forma binómica los siguientes números complejos.
a) 5 +√5i
b) 3−√−100 c) 2 +√−7
2. Calcula las siguientes potencias.
a) (1 +i)5 b) 2 + 2·i√32 c) i7−2ii−7 d) 3 √ 3 2 + 3i 2 2 3. Halla la potencia (−1 +i)501 4. Sea x= 10−i√3, calcula z5 y √4 z.
5. Halla todas las solucione reales e imaginarias de estas ecuaciones.
a) z8+ 1 = 0
b) z2−2z+ 2 = 0
c) z3+ 1 = 0 d) z4−5 + 5i= 0
e) z6−2i= 0
4.
Operaciones con vectores y matrices.
1. Cree un vector x que sea desde el0hasta el número π y que tenga diez valores.
2. Genere un vector y que sea desde ellnehasta el cero y que tenga quince valores. 3. Cree la matriz A y B A= −1 0 2 2 −1 1 1 −2 2 B = 1 0 0 1 1 1 1 1 −3
4. Dadas las matrices anteriores A y B calcular
a) A+B b) At+B−1 c) A·B d) (A+B)−1 e) B−1·A−1 f) At·B−1 ·A−1
5. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
8·x+ 16·y−7·z+w = 99
−10·x+ 4·y−13·z+ 17·w = −301
x+ 6·y+ 4·z−11·w = 167
5.
Gráficas simples.
1. Represente la función y= senxentre 0y 4·π. 2. Represente la función y= cosxentre 0y 4·π. 3. Represente ambas en un mismo gráfico
6.
Polinomios
1. Sea el polinomio f =x4−8·x2+ 6·x−10. Realice:
a) Su gráfica.
b) Obtenga sus raíces.
c) Calcule su valor en x= 1.
d) Calcule su derivada en x= 1.
2. Obtenga el desarrollo de Taylor de las siguientes funciones
a) f(x) = ex b) f(x) = senx c) f(x) = cosx d) f(x) = (1 +x)m e) f(x) = ln(1 +x) f) f(x) = √1 +x
7.
Análisis Numérico.
1. Represente la función f = 1 (x−3)2+0.01+ 1 (x−0.9)2+0.4 −6 y encuentre los máximos y mínimos.2. Dada la función y=x2ex−1, obtenga su gráfica, sus máximos y
míni-mos y la derivada en x= 1.
3. Encuentre los ceros de la función y=x2ex−1.
4. Integre la función f = 2·e−x·sen(x)entre −3.3 y 8.
8.
Ajuste de curvas e interpolación.
1. Dados los siguientes datos
x y 0 -0.447 0.1 1.978 0.2 3.28 0.3 6.16 0.4 7.08 0.5 7.34 0.6 7.66 0.7 9.56 0.8 9.48 0.9 9.30 1.0 11.2 Realice:
a) Ajuste los datos a un polinomio de grado 2.
b) Ajuste los datos a un polinomio de grado 10.
c) Realice la representación de los datos reales frente a los ajustados. ¿Qué conclusión saca?
2. Dada la tabla de datos
x y 0 -0.447 0.1 1.978 0.2 3.28 0.3 6.16 0.4 7.08 0.5 7.34 0.6 7.66 0.7 9.56 0.8 9.48 0.9 9.30 1.0 11.2
Calcule
a) Una interpolación parax= 0.55 empleando el comandointerp1.
b) Represente los datos originales, los datos que se obtienen con el mejor ajuste polinómico del ejercicio anterior y los datos interpo-lados de0 a1 en 0.01 unidades.
9.
Matemática Simbólica
1. Dada la función y = x2ex −1, obtenga su gráfica, sus máximos y
mí-nimos y la derivada en x = 1. Haga lo mismo empleando el comando
funtool.
2. Represente la siguiente función.
f(x) = (x−1)(x−2)(x−3) (x−4)(x−5)(x−6)
3. Simplifique la siguiente expresión
f(x) = (x−1)(x−2)(x−3) (x−4)(x−5)(x−6)
4. Obtenga las siguientes derivadas
a) f(x) = (x2 +x)3 b) f(x) = (ln (3x4+ 7))5 c) f(x) = tg2 x 2 d) f(x) = (1−cos(x))3·cotgx e) f(x) = ln x+ 1 +√x2 + 2x+ 1 f) f(x) = arctg √ 1+x2 x g) f(x) = eln(sen2x) h) f(x) = arcsenxcos2x 5. Halle la enésima derivada de:
a) f(x) = senx
c) f(x) = ex+e−x
d) f(x) = e2x
6. Obtenga las siguientes integrales
a) f(x) = R e2x+1dx b) f(x) = R x·ex2dx c) f(x) = R esenxcosxdx d) f(x) = R ex √ 1−e2xdx e) f(x) = R √ 1 x·√1−xdx f) f(x) = R 4+9exe2xdx g) f(x) = R e−x2 ·x3dx h) f(x) = R √4−x2dx i) f(x) = R π 3 π 6 1 sen(x)cos(x)dx j) f(x) = R32 x2x−1dx k) f(x) = R0π 1+1x2dx l) f(x) = R x3·exdx
7. Obtenga el área limitada por la curvay=x3−6·x2+ 8·xy el ejeOX. 8. Calcula el volumen engendrado al girar y = √x alrededor del eje x
entre x= 0 y x= 2.
9. Calcule la longitud de la circunferencia de radior y centro en el origen. Para el cálculo de la longitud emplee la siguiente expresión
L=
Z q
1 + [f0
(x)]2dx
10. Determinar el área de la región encerrada por la funciónf(x) =x4−2·x2 y la función g(x) = 2x2.
11. Resuelva la siguiente ecuación diferencial dy
dx = 1 +y 2
10.
Ejercicios propuestos.
1. Calcular las corrientes a través de las fuentes de tensión de corriente continua.
Figura 1: Problema de corriente continua.
2. Determinar las corrientes de línea del siguiente circuito, siendoZl = 2j,
ZRS = 20<0,ZRT = 20<−90o y ZT S = 20<90o.
3. Si se tiene los sistemas
A1 = 8 −5 4 10 b1 = 3 14 A2 = 0.66 3.34 1.99 10.01 b2 = 4 12 Determinar:
Figura 2: Problema de corriente alterna.
a) Determinar la solución de x siendo los sistemas [A1]·x = [b1] y
[A2]·x= [b2].
b) Súmele0.01a cada uno de los términos de [A1] y a [A2]y calcule de nuevo a la solución x. ¿Qué ocurre? ¿Qué diferencia hay entre las antiguas soluciones y las nuevas?
4. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
a) yex = 2 x2+y= 4 b) √ x+ 1 2cosz = ln 1 y y·ln 4x+ 1 = 2z+ez 4·x+ysenx= 1
5. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales
a)
d2y dx2 −2
dy
b) df dx = 3·f+ 4·g dg dx =−4·f+ 3·g 6. Sea la integral f(x) = Z π3 pi 6 1 sen(x)cos(x)dx Evalúe:
a) Realizando cálculo simbólico.
b) Mediante análisis numérico.
¿Hay alguna diferencia? ¿Influye el intervalo de integración en el análisis numérico?
7. De acuerdo con la tabla siguiente, indica cuál será la presión atmos-férica, en condiciones normales, en las siguientes ciudades: Alacant, Zamora, Soria, León, Badajoz y Pamplona1.
metros presión/mm Hg 0 760 100 750 500 714 1000 670 2000 591
Ciudad Altitud/m presión/mm Hg
Sant Joan d’Alacant 0
Zamora 650
Soria 1055
León 822
Badajoz 183
Pamplona 449
1Este ejercicio se ha obtenido del curso “El uso de la calculadora gráfica en el ámbito científico”.
8. Empleando la función funtool, compara2:
a) y=x2 con g =x3
b) y=x3 con g =x4
c) y=x con g =√7·x+ 10 d) y=x2 con g =√x2+ 5·x2−2
9. Represente las siguientes tablas de datos y obtenga en cada caso la función que mejor represente la relación existente3
a) Presión ejercida por un fluido vs profundidad:
metros presión/mm de agua
4.3 14
5.0 15
7.0 22
10.0 30
17.5 52
b) Presión que ejerce un gas, en función de la temperatura
presión/mm Hg Temperatura/oC
0.953 0
1.010 19.9
1.093 44.2
1.291 99.7
c) Volumen que ocupa un gas, en función de la presión:
V/ml presión/mm Hg 20.0 1.036 18.0 1.147 15.0 1.319 13.0 1.455 11.0 1.615
2Este ejercicio se ha obtenido del curso “El uso de la calculadora gráfica en el ámbito científico”.
3Este ejercicio se ha obtenido del curso “El uso de la calculadora gráfica en el ámbito científico”.