La estadística descriptiva proporciona métodos gráficos y métodos numéricos para el análisis de uno o varios conjuntos de datos.



La estadística descriptiva proporciona métodos

gráficos y métodos numéricos para el análisis

de uno o varios conjuntos de datos.

Cualitativa

Nominal

Ordinal

Cuantitativa

Discreta

Continua

Series Simples

Series de Frecuencias

Intervalos de Clases

Variables

Cualitativas

•Barras Simples •Barras Proporcionales •Barras Agrupadas •Diagramas Sectoriales

Variables

Cuantitativas

Discretas

•Bastones

Variables

Cuantitativas

Continuas

•Histograma •Polígono de Frecuencias Simples •Polígono de Frecuencias Acumuladas



En todo análisis y/o interpretación se pueden

utilizar diversas medidas descriptivas que

representan las propiedades de tendencia

central, dispersión y forma para extraer y

resumir las principales características de los



Centralización



Indican valores con respecto a los que los datos parecen agruparse.

 _{Media, mediana y moda}



Posición



Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma

cantidad de individuos.

 Cuartiles, deciles, percentiles



Dispersión



Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a

las medidas de centralización.

 _{Rango, Varianza, Desviación típica, Coeficiente de Variación.}



Forma



La mayor parte de los conjuntos de datos muestran

una tendencia a agruparse alrededor de un punto

“central”.



La media aritmética es la medida más común de

centralización de un grupo de datos.

Serie Simple:

Si las observaciones de una muestra de tamaño

n

son

x

₁

,x

₂

, …, x

_n

entonces la media muestral se define

como:

1 n i i

x

X

n







Serie de Frecuencias:

Si las observaciones de una muestra de

tamaño

n

son

x

₁

,x

₂

, …, x

_i

y

f

₁

, f

₂

, …, f

_i

son sus respectivas

frecuencias absolutas entonces la media muestral se define como:

1 n i i i

x f

X

n







_{Nº de hijos}

_f

i 0 5 1 8 2 10 3 12 4 15 5 13 6 10 7 7 n = 80 0 5 1 8 2 10 3 12 4 15 5 13 6 10 7 7 80 3, 725 X X                 

Ejemplo:

Intervalos de clase:

Sean

x

_m1

,x

_m2

, …, x

_mi

las marcas de

clases de los intervalos y

f

₁

, f

₂

, …, f

_i

sus respectivas

frecuencias absolutas entonces la media muestral se

define como:

1 k mi i i

x f

X

n







Intervalo _x mi [29.5 – 34.5) 32 [34.5 – 39.5) 37 [39.5 – 44.5) 42 [44.5 – 49.5) 47 [49.5 – 54.5) 52 32 8 37 14 42 20 47 12 52 4 58 41,14 X X            f _i 8 14 20 12 4

Ejemplo:

Es el punto donde la muestra se divide en dos

partes iguales.

Serie Simple:

Sean

x

₁

,x

₂

, …, x

_n

una muestra ordenada en forma

creciente, entonces la mediana se define como:









1 /2 /2 _{1 /2}

si es impar

si es par

2

n n _n

x

n

Me

_x

_x

n

 





 







MEDIANA

MEDIANA

Ejemplo 1:

1, 3, 4, 2, 7, 6

y

8

La media muestral es 4,4

1, 2, 3, 4, 6, 7, 8

Ejemplo 2:

1, 3, 4, 2, 7, 2450

y

8

La media muestral es 353,6

1, 2, 3, 4, 7, 8, 2450

Serie de Frecuencias:

Es aquel valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada

es inmediatamente mayor a la mitad de las observaciones

Nº de hijos f _i F 0 5 5 1 8 13 2 10 23 3 12 35 4 15 50 5 13 63 6 10 73 7 7 80 80

El número de hijos en 80 familias se distribuye de la siguiente forma:

40

2

80

2





n

Me = 4 hijos

Ejemplo:

Intervalos de clases:

Para calcular la mediana se usa la

siguiente fórmula:

inf

2

aa

_*

i

n

F

Me

L

a

f







donde:

L

_inf

= Límite inferior del primer intervalo cuya

F

_a

es mayor a n/2.

F

_aa

= Frecuencia acumulada del intervalo anterior al primer intervalo

cuya

Fa

es mayor a

n/2

.

f

_i

= Frecuencia absoluta del primer intervalo cuya

Fa

es mayor a

n/2.

Intervalo _f i [29.5 – 34.5) 8 [34.5 – 39.5) 14 [39.5 – 44.5) 20 [44.5 – 49.5) 12 [49.5 – 54.5) 4 F 8 22 42 54 58

a

f

F

n

L

Me

i aa

*

2

inf







*

5

41

.

25

20

22

2

58

5

.

39









Me

Ejemplo:

₂

n



58

₂



29

0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00 100,00 41 47 53 59 65 71 77 Putuaciones P o rc e n ta je s 25% 75%

Serie Simple:

Ejemplo 1:

3 , 6 , 9 , 3 , 5 , 8 , 3 , 10 , 4 , 6 , 3 , 1

La moda es 3.

Ejemplo 2:

3 , 6 , 9 , 3 , 5 , 8 , 3 , 10 , 4 , 6 , 3 , 1 , 6 , 2 , 5 , 6

Las modas son 3 y 6.

Ejemplo 3:

1, 3, 4, 7, 8, 9, 2, 19, 6

Serie de Frecuencias:

Nº de hijos f _i 0 5 1 8 2 10 3 12 4 15 5 13 6 10 7 7

Intervalos de clase:

Para calcular el valor puntual de la

moda se usa la siguiente fórmula:

a

d

d

d

L

Mo

*

2 1 1 inf



_



donde:

L

_inf

= Límite inferior del intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta

(intervalo modal).

d

₁

= Diferencia entre las frecuencias absolutas del intervalo modal y

el intervalo pre-modal.

d

₂

= Diferencia entre las frecuencias absolutas del intervalo modal y

el intervalo post-modal.

A Agrupando en 6 clases Intervalos Frecuencias [13.5 - 16.5) 2 [16.5 - 19.5) 9 [19.5 - 22.5) 13 [22.5 - 25.5) 9 [25.5 - 28.5) 9 [28.5 - 31.5) 1 TOTAL 43 B Agrupando en 5 clases Intervalos Frecuencias [12.5 - 16.5) 2 [16.5 - 20.5) 13 [20.5 - 24.5) 16 [24.5 - 28.5) 11 [28.5 - 32.5) 1 TOTAL 43

Clase Modal =

[

19.5-22.5)

Clase Modal =

[

20.5-24.5)

4

19,5

.3

21

4 4

Mo









3

20,5

.4

22

3 5

Mo









a

D1

D2

Mo L_i

Cuando se divide un conjunto ordenado de datos en

cuatro partes iguales, los puntos de división se conocen

como cuartiles.

Mínimo Cuartil 1 Máximo

Q

₁ Mediana Cuartil 2 Cuartil 3

Q

₃

Q

₂

25%

25%

25%

25%

25%

75%

25%

75%









1 /4 /4 1 /4

si es impar

si es par

2

n j j _{nj n j}

x

n

Q

_x

_x

n

 





 







Serie Simple:

Sean

x

₁

,x

₂

, …, x

_n

una muestra ordenada en forma

creciente, entonces la mediana se define como:

Serie de Frecuencias:

Nº de hijos f _i F 0 5 5 1 8 13 2 10 23 3 12 35 4 15 50 5 13 63 6 10 73 7 7 80 80

80

.

.

4

4

n

j



j

Q

₁

= 2 hijos

80

20

4

4

n





3.

3.

80

60

4

4

n





Q

₃

= 5 hijos

Intervalos de clases:

inf

.

4

aa

_*

j i

n

j

F

Q

L

a

f







donde:

L

_inf

= Límite inferior del primer intervalo cuya

F

_a

es mayor a j.n/4

F

_aa

= Frecuencia acumulada del intervalo anterior al primer intervalo

cuya

F

_a

es mayor a j.n/4.

f

_i

= Frecuencia absoluta del primer intervalo cuya

F

_a

es mayor a j.n/4

Cuando se divide un conjunto ordenado de datos

en diez partes iguales, los puntos de división se

conocen como deciles.

Mínimo _{Decil 2} Máximo

D

₂

Cuando se divide un conjunto ordenado de datos

en cien partes iguales, los puntos de división se

conocen como percentil.

Mínimo _{Percentil 18} Máximo

P

₁₈

0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00 100,00 41 47 53 59 65 71 77 Putuaciones P o rc e n ta je s Q₁ P₄₀ Q₃ 25% 75%

El rango

de la muestra es la medida de variabilidad

más sencilla entre todas las mencionadas; y se define

como la diferencia entre la observación más grande

y la más pequeña :

max

min

Para el conjunto de datos

x

₁

, x

_2,

….,x

_n

Las diferencias determinan las desviaciones de la media.

Dado que la suma de estas desviaciones es cero, se utiliza como medida

de variabilidad el promedio de los cuadrados de tales desviaciones.

2

2

₁

(

)

n

i

i

x

x

s

n









Sin embargo, como sólo hay n-1 desviaciones independientes conviene

dividir entre n-1, es decir…

2

2

₁

(

)

1

n

i

i

x

x

S

n











Esta medida de variabilidad se denomina

Varianza

.

Como S

2

_{no tiene las mismas unidades que los}

datos, se define la

Desviación Estándar

como la raíz

cuadrada (positiva) de la varianza a fin de tener una

medida en las mismas unidades de los datos. La

desviación estándar es útil para comparar dispersión

entre dos poblaciones, pero también lo es para

calcular el porcentaje de la población que pueden

localizarse a menos de una distancia específica de la

media.

Resumiendo…

Varianza para datos no agrupados

1

)

(

1 2 2











n

X

x

S

n i i

Varianza para datos agrupados (Serie de

Frecuencias)

1

)

(

1 2 2











n

f

X

x

S

n i i i

Varianza para datos agrupados (Intervalos de

clases)

2 2 1

(

)

1

k mi i i

x

X

f

S

n











Desvío Estándar para

datos no agrupados

Desvío Estándar para

datos agrupados (Serie de

Frecuencia)

Desvío Estándar para

datos agrupados

(Intervalos de clases)

2 1

)

(

1

1











n i i

X

x

n

S

i n i i

X

f

x

n

S

2 1

)

(

1

1











Representa la variabilidad existente en un conjunto de datos, así podemos

tener dos muestras que tienen la misma media, pero que tienen diferente

Desviación Estándar.

2 1

1

(

)

1

k mi i i

S

x

X

f

n

_









Nos permite la comparación entre distintas variables y

poblaciones.

Mide el grado de homogeneidad o heterogeneidad en una o mas

poblaciones.

Su principal característica es estar desprovisto de unidades.

El valor se puede expresar en términos porcentuales.

100%

S

CV

X



Ejemplo: Si tenemos el peso de 5 pacientes (70, 60, 56,

83 y 79 Kg) cuya media es de 69,6 kg. y su desviación

estándar (s) = 10,44 y la presión arterial de los mismos

(150, 170, 135, 180 y 195 mmHg) cuya media es de 166

mmHg y su desviación estándar de 21,3. La pregunta

sería: ¿qué distribución es más dispersa, el peso o la

presión arterial? Si comparamos las desviaciones

estándar observamos que la desviación estándar de la

presión arterial es mucho mayor; sin embargo, no

podemos comparar dos variables que tienen escalas de

medidas diferentes, por lo que calculamos los

coeficientes de variación:

CV de la variable peso =



Una tercera propiedad de un conjunto de datos

es su forma, la manera en que se distribuyen

los datos.

Una distribución de datos puede ser simétrica

o no. Si la distribución de datos no es simétrica,

se le denomina asimétrica o sesgada.

Todo lo que se requiere para describir la forma

es comparar la media, la mediana y la modo.

Moda=Mediana=Media

Insesgada

:

Moda

Mediana

Media

Sesgo Negativo (a la izquierda)

Moda

Mediana

Media

Sesgo Positivo (a la derecha)



Centralización



Indican valores con respecto a los que los datos parecen agruparse.

 _{Media, mediana y moda}



Posición



Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma

cantidad de individuos.

 Cuartiles, deciles, percentiles



Dispersión



Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a

las medidas de centralización.

 _{Rango, Varianza, Desviación típica, Coeficiente de Variación.}



Forma

Probabilidad Condicional.

Teorema de Bayes

Axiomática de la teoría de probabilidades Axiomática de la teoría de probabilidades Probabilidad Condicional.

Axiomática de la teoría de probabilidades

Probabilidad Condicional:

Con la incorporación de las nuevas carreras de informática la facultad de ingeniería ha incorporado 100 notebook, de las cuales 20 poseen software comercial y 80 software libre. Supongamos que escogemos en forma aleatoria dos notebook.

Axiomática de la teoría de probabilidades

Probabilidad Condicional:

Para introducir este nuevo concepto consideremos la siguiente situación:

Con la incorporación de las nuevas carreras de informática la facultad de ingeniería ha incorporado 100 notebook, de las cuales 20 poseen software comercial y 80 software libre. Supongamos que escogemos en forma aleatoria dos notebook.

Definimos lo siguientes sucesos:



la primer notebook tiene software comercial



A





la segunda notebook tiene software comercial



Axiomática de la teoría de probabilidades

Probabilidad Condicional:

Para introducir este nuevo concepto consideremos la siguiente situación:

Con la incorporación de las nuevas carreras de informática la facultad de ingeniería ha incorporado 100 notebook, de las cuales 20 poseen software comercial y 80 software libre. Supongamos que escogemos en forma aleatoria dos notebook.

Definimos lo siguientes sucesos:



la primer notebook tiene software comercial



A





la segunda notebook tiene software comercial



B



Axiomática de la teoría de probabilidades

Probabilidad Condicional:

Para introducir este nuevo concepto consideremos la siguiente situación:

Con la incorporación de las nuevas carreras de informática la facultad de ingeniería ha incorporado 100 notebook, de las cuales 20 poseen software comercial y 80 software libre. Supongamos que escogemos en forma aleatoria dos notebook.

Definimos lo siguientes sucesos:



la primer notebook tiene software comercial



A





la segunda notebook tiene software comercial



B



a) Supongamos que estamos haciendo la extracción CON SUSTITUCIÓN.

Cada vez que extraemos una notebook del lote, existen 20 notebook con software comercial de un total de 100.

Axiomática de la teoría de probabilidades

Probabilidad Condicional:

Para introducir este nuevo concepto consideremos la siguiente situación:

Con la incorporación de las nuevas carreras de informática la facultad de ingeniería ha incorporado 100 notebook, de las cuales 20 poseen software comercial y 80 software libre. Supongamos que escogemos en forma aleatoria dos notebook.

Definimos lo siguientes sucesos:



la primer notebook tiene software comercial



A





la segunda notebook tiene software comercial



B



a) Supongamos que estamos haciendo la extracción CON SUSTITUCIÓN.

Cada vez que extraemos una notebook del lote, existen 20 notebook con software comercial de un total de 100.

 

 

20

1

100

5

P B

Axiomática de la teoría de probabilidades



la primer notebook tiene software comercial



A





la segunda notebook tiene software comercial



B



b) Supongamos que estamos haciendo la extracción SIN SUSTITUCIÓN.

20 con software comercial 100 notebook

80 con software libre

Axiomática de la teoría de probabilidades



la primer notebook tiene software comercial



A





la segunda notebook tiene software comercial



B



b) Supongamos que estamos haciendo la extracción SIN SUSTITUCIÓN.

 

1

5

P A



20 con software comercial 100 notebook

80 con software libre

Axiomática de la teoría de probabilidades



la primer notebook tiene software comercial



A





la segunda notebook tiene software comercial



B



b) Supongamos que estamos haciendo la extracción SIN SUSTITUCIÓN.

 

1

5

P A



20 con software comercial 100 notebook

80 con software libre

 

?

P B



Axiomática de la teoría de probabilidades



la primer notebook tiene software comercial



A





la segunda notebook tiene software comercial



B



b) Supongamos que estamos haciendo la extracción SIN SUSTITUCIÓN.

 

1

5

P A



Debemos conocer la composición del lote al momento de _{extraer la segunda notebook.}

20 con software comercial 100 notebook

80 con software libre

 

?

P B



Axiomática de la teoría de probabilidades



la primer notebook tiene software comercial



A





la segunda notebook tiene software comercial



B



b) Supongamos que estamos haciendo la extracción SIN SUSTITUCIÓN.

 

1

5

P A



Debemos conocer la composición del lote al momento de _{extraer la segunda notebook.}

Debemos saber si A ocurre o no 20 con software comercial 100 notebook

80 con software libre

 

?

P B



 

20 si no ocurre A 99 19 si ocurre A 99 P B 

Probabilidad Condicional:

Axiomática de la teoría de probabilidades



la primer notebook tiene software comercial



A





la segunda notebook tiene software comercial



B



b) Supongamos que estamos haciendo la extracción SIN SUSTITUCIÓN.

 

1

5

P A



Debemos conocer la composición del lote al momento de _{extraer la segunda notebook.}

Debemos saber si A ocurre o no 20 con software comercial 100 notebook

80 con software libre

 

?

P B



 

20 si no ocurre A 99 19 si ocurre A 99 P B 

Probabilidad Condicional:



/



P B A

Axiomática de la teoría de probabilidades

Sean A y B dos sucesos asociados a un experimento tal que P(A)>0, se define la probabilidad de B condicionada al evento A como:



/



P A



_{ }

B



P B A

P A



Axiomática de la teoría de probabilidades

Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x₁, x₂), donde x_i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.







1

,

2

/

1 2

10



A



x x

x



x









1

,

2

/

1 2



B



x x

x



x

Probabilidad Condicional:

Axiomática de la teoría de probabilidades

Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x₁, x₂), donde x_i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)







1

,

2

/

1 2

10



A



x x

x



x









1

,

2

/

1 2



B



x x

x



x

S



Probabilidad Condicional:

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Axiomática de la teoría de probabilidades

Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x₁, x₂), donde x_i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.







1

,

2

/

1 2

10



A



x x

x



x









1

,

2

/

1 2



B



x x

x



x

S



Probabilidad Condicional:

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Axiomática de la teoría de probabilidades

Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x₁, x₂), donde x_i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.







1

,

2

/

1 2

10



A



x x

x



x









1

,

2

/

1 2



B



x x

x



x

S



 

3

36

P A



Probabilidad Condicional:

Axiomática de la teoría de probabilidades

Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x₁, x₂), donde x_i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)







1

,

2

/

1 2

10



A



x x

x



x









1

,

2

/

1 2



B



x x

x



x

S



 

3

36

P A



Probabilidad Condicional:

Axiomática de la teoría de probabilidades

Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x₁, x₂), donde x_i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)







1

,

2

/

1 2

10



A



x x

x



x









1

,

2

/

1 2



B



x x

x



x

S



 

3

36

P A



Probabilidad Condicional:

 

15

36

P B



Axiomática de la teoría de probabilidades

Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x₁, x₂), donde x_i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)







1

,

2

/

1 2

10



A



x x

x



x









1

,

2

/

1 2



B



x x

x



x

S



 

3

36

P A



 

15

36

P B



Probabilidad Condicional:

Axiomática de la teoría de probabilidades

Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x₁, x₂), donde x_i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.







1

,

2

/

1 2

10



A



x x

x



x









1

,

2

/

1 2



B



x x

x



x

 

3

36

P A



 

15

36

P B









_{ }



1

1

36

/

;

15

₁₅

36

P A

B

P A B

P B















 

1

1

36

/

;

3

₃

36

P A

B

P B A

P A







Probabilidad Condicional:

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S



Axiomática de la teoría de probabilidades

La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades:





 

_{ }

)

/

P B

a

B

A

P B A

P A







Probabilidad Condicional:

A B

Axiomática de la teoría de probabilidades

La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades:

A B



/



P B



_{ }

A



P B

 

_{ }

 

P B A

P B

P A

P A











 

_{ }

)

/

P B

a

B

A

P B A

P A







Probabilidad Condicional:

Axiomática de la teoría de probabilidades

La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades:





 

_{ }

)

/

P A

1

b

A

B

P B A

P A









Probabilidad Condicional:

B A

Axiomática de la teoría de probabilidades

La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades:

B A



/



P B



_{ }

A



P A

 

_{ }

1

P B A

P A

P A











 

_{ }

)

/

P A

1

b

A

B

P B A

P A









Probabilidad Condicional:

Axiomática de la teoría de probabilidades

La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades:





)

/

0

c

A

B

  

P B A



Probabilidad Condicional:

A B

Axiomática de la teoría de probabilidades

La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades:



/



P B



_{ }

A



P

 

_{ }

0

 

P B A

P B

P A

P A







 





)

/

0

c

A

B

  

P B A



A B

Probabilidad Condicional:

Axiomática de la teoría de probabilidades

La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades:







_{ }



)

/

P A

B

d

A

B

P B A

P A

  



Probabilidad Condicional:

A B

Axiomática de la teoría de probabilidades

La probabilidad condicional cumple con las siguientes propiedades:



/



P B



_{ }

A



P B A

P A









_{ }



)

/

P A

B

d

A

B

P B A

P A

  



A B

Probabilidad Condicional:

Axiomática de la teoría de probabilidades

De la definición de probabilidad condicional tenemos que:

 







_{ }







  



 







_{ }







  



0, / / o su equivalente 0, / / P A B P A P B A P A B P A P B A P A P A B P B P A B P A B P B P A B P B        

Axiomática de la teoría de probabilidades

De la definición de probabilidad condicional tenesmos que: :



la primer notebook tiene software comercial



A





la segunda notebook tiene software comercial



B



20 con software comercial 100 notebook

80 con software libre

Teorema del producto de probabilidades

Retomemos el ejemplo de las Notebook. Extracción SIN SUSTITUCIÓN.

 







_{ }







  



 







_{ }







  



0, / / o su equivalente 0, / / P A B P A P B A P A B P A P B A P A P A B P B P A B P A B P B P A B P B        

Axiomática de la teoría de probabilidades

De la definición de probabilidad condicional tenesmos que: :



la primer notebook tiene software comercial



A





la segunda notebook tiene software comercial



B



Retomemos el ejemplo de las Notebook. Extracción SIN SUSTITUCIÓN. 20 con software comercial

100 notebook

80 con software libre





  

/



20

19

100

99

P A

B



P A P B A





Teorema del producto de probabilidades

 







_{ }







  



 







_{ }







  



0, / / o su equivalente 0, / / P A B P A P B A P A B P A P B A P A P A B P B P A B P A B P B P A B P B        

Axiomática de la teoría de probabilidades

Podemos generalizar el resultado para una secuencia de sucesos



1 2 n



  

1 2

/

1

 

3

/

1 2





n

/

1 2 n 1



P A

A

A



P A P A

A P A

A

A

P A

A

A

A

_

1

,

2

,

,

n

A A

A

Axiomática de la teoría de probabilidades



1 2 n



  

1 2

/

1

 

3

/

1 2





n

/

1 2 n 1



P A

A

A



P A P A

A P A

A

A

P A

A

A

A

_



la primer notebook tiene software comercial



A





la segunda notebook tiene software comercial



B



Retomemos el ejemplo de las Notebook. Extracción SIN SUSTITUCIÓN. 20 con software comercial

100 notebook

80 con software libre



la tercera notebook tiene software comercial



C



Teorema del producto de probabilidades

Axiomática de la teoría de probabilidades



1 2 n



  

1 2

/

1

 

3

/

1 2





n

/

1 2 n 1



P A

A

A



P A P A

A P A

A

A

P A

A

A

A

_



la primer notebook tiene software comercial



A





la segunda notebook tiene software comercial



B



20 con software comercial 100 notebook

80 con software libre





  

/

 

/



P A

B

C



P A P B A P C A

B



la tercera notebook tiene software comercial



C



Teorema del producto de probabilidades

Retomemos el ejemplo de las Notebook. Extracción SIN SUSTITUCIÓN.

Axiomática de la teoría de probabilidades



1 2 n



  

1 2

/

1

 

3

/

1 2





n

/

1 2 n 1



P A

A

A



P A P A

A P A

A

A

P A

A

A

A

_



la primer notebook tiene software comercial



A





la segunda notebook tiene software comercial



B



20 con software comercial 100 notebook

80 con software libre





  

/

 

/



20

19

18

100

99

98

P A

B

C



P A P B A P C A

B









la tercera notebook tiene software comercial



C



Teorema del producto de probabilidades

Retomemos el ejemplo de las Notebook. Extracción SIN SUSTITUCIÓN.

Axiomática de la teoría de probabilidades

De las propiedades b) y c) de la probabilidad condicional:





)

/

0

c

A

B

  

P A B







 

_{ }

)

/

P B

1

b

B

A

P A B

P B









_{La ocurrencia del suceso B,}

nos da información precisa sobre la ocurrencia del

suceso A.

Axiomática de la teoría de probabilidades

De las propiedades b) y c) de la probabilidad condicional:





)

/

0

c

A

B

  

P A B







 

_{ }

)

/

P B

1

b

B

A

P A B

P B









Existen muchos casos en los cuales la ocurrencia de un suceso B no tiene influencia alguna en la ocurrencia o no ocurrencia de otro suceso A.

Sucesos Independientes

La ocurrencia del suceso B, nos da información precisa

sobre la ocurrencia del suceso A.

Axiomática de la teoría de probabilidades

Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x₁, x₂), donde x_i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.

Eventos Independientes







1

,

2

/

1

es par



A



x x

x







1

,

2

/

2

es impar,

2

1



B



x x

x

x



Axiomática de la teoría de probabilidades (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S



Eventos Independientes

Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x₁, x₂), donde x_i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.







1

,

2

/

1

es par



A



x x

x







1

,

2

/

2

es impar,

2

1



B



x x

x

x



Axiomática de la teoría de probabilidades (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S



Eventos Independientes

Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x₁, x₂), donde x_i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.







1

,

2

/

1

es par



A



x x

x







1

,

2

/

2

es impar,

2

1



B



x x

x

x



Axiomática de la teoría de probabilidades

 

18

1

36

2

P A





Eventos Independientes

Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x₁, x₂), donde x_i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S









1

,

2

/

1

es par



A



x x

x







1

,

2

/

2

es impar,

2

1



B



x x

x

x



Axiomática de la teoría de probabilidades

 

18

1

36

2

P A





Eventos Independientes

Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x₁, x₂), donde x_i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S









1

,

2

/

1

es par



A



x x

x







1

,

2

/

2

es impar,

2

1



B



x x

x

x



Axiomática de la teoría de probabilidades







1

,

2

/

1

es par



A



x x

x







1

,

2

/

2

es impar,

2

1



B



x x

x

x



 

18

1

36

2

P A





 

12

1

36

3

P B





Eventos Independientes

Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x₁, x₂), donde x_i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S



Axiomática de la teoría de probabilidades







1

,

2

/

1

es par



A



x x

x







1

,

2

/

2

es impar,

2

1



B



x x

x

x



 

18

1

36

2

P A





 

12

1

36

3

P B





Eventos Independientes

Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x₁, x₂), donde x_i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S



Axiomática de la teoría de probabilidades







1

,

2

/

1

es par



A



x x

x







1

,

2

/

2

es impar,

2

1



B



x x

x

x



 

18

1

36

2

P A





 

12

1

36

3

P B









6

1

;

36

6

P A

B





Eventos Independientes

Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x₁, x₂), donde x_i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S



Axiomática de la teoría de probabilidades







1

,

2

/

1

es par



A



x x

x







1

,

2

/

2

es impar,

2

1



B



x x

x

x



 

18

1

36

2

P A





 

12

1

36

3

P B











_{ }



6

1

36

/

;

12

₂

36

P A

B

P A B

P B















 

6

1

36

/

;

18

₃

36

P A

B

P B A

P A







Podríamos inclinarnos a decir que dos sucesos A y B son independientes sí:



/



 



/



 

P A B



P A

y

P B A



P B





6

1

;

36

6

P A

B





Eventos Independientes

Ejemplo: Dos dados equilibrados son lanzados, registrándose el resultado como (x₁, x₂), donde x_i es el resultado del i-ésimo dado con i=1,2.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S



Axiomática de la teoría de probabilidades





  



   





  



   

/ / P A B P A P B A P A P B P A B P B P A B P B P A    

De la definición de probabilidad conjunta tenemos que:

Axiomática de la teoría de probabilidades





  



   





  



   

/ / P A B P A P B A P A P B P A B P B P A B P B P A    

De la definición de probabilidad conjunta tenemos que:

Por lo tanto diremos que dos sucesos A y B son independientes si y sólo sí:





   

P A B  P A P B

Axiomática de la teoría de probabilidades





  



   





  



   

/ / P A B P A P B A P A P B P A B P B P A B P B P A    

De la definición de probabilidad conjunta tenemos que:

Por lo tanto diremos que dos sucesos A y B son independientes si y sólo sí:





   

P A B  P A P B







1

,

2

/

1

es par



A



x x

x







1

,

2

/

2

es impar,

2

1



B



x x

x

x



 

18

1

36

2

P A





 

12

1

36

3

P B









1

   

6 P A B   P A P B Eventos Independientes (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S



Axiomática de la teoría de probabilidades

Ejemplo: Para una señalización de emergencia se han instalado dos indicadores que funcionan en forma independiente. Las probabilidades de falla, durante una eventual emergencia, son de 0.05 para el primer indicador y 0,1 para el segundo. a) Determinar la probabilidad de que el sistema de indicadores no funcione

durante la avería.

b) Determinar la probabilidad de que durante la avería funcione sólo un indicador.

Axiomática de la teoría de probabilidades

Ejemplo: Para una señalización de emergencia se han instalado dos indicadores que funcionan en forma independiente. Las probabilidades de falla, durante una eventual emergencia, son de 0.05 para el primer indicador y 0,1 para el segundo. a) Determinar la probabilidad de que el sistema de indicadores no funcione

durante la avería.

b) Determinar la probabilidad de que durante la avería funcione sólo un indicador.

Axiomática de la teoría de probabilidades

Ejemplo: Para una señalización de emergencia se han instalado dos indicadores que funcionan en forma independiente. Las probabilidades de falla, durante una eventual emergencia, son de 0.05 para el primer indicador y 0,1 para el segundo. a) Determinar la probabilidad de que el sistema de indicadores no funcione

durante la avería.

b) Determinar la probabilidad de que durante la avería funcione sólo un indicador.

Generalización:

son sucesos independientes si y solo sí para k=2,…,n



i1 i2 ik



   

i1 i2

 

ik

P A

A

A



P A P A P A

1

,

2

,

,

n

A A

A

Axiomática de la teoría de probabilidades

Definición: Diremos que los sucesos representan una partición del espacio muestral S si:

 

1

)

)

)

0

i j n i i i

a

B

B

i

j

b

S

B

c

P B

i



   







1

,

2

,

,

n

B B

B

En palabras: cuando se efectúa el experimento, ocurre uno y sólo uno de los sucesos B_i

Axiomática de la teoría de probabilidades

Ejemplo: En el lanzamiento de un dado:

 





 

1

1, 2

2

3, 4,5

3

6

representa una partición del espacio muestral.

B



B



B











1

1, 2,3, 4

2

4,5,6

representa una partición del espacio muestral.

C



C



NO

Teorema de la probabilidad total

Definición: Diremos que los sucesos representan una partición del espacio muestral S si:

 

1

)

)

)

0

i j n i i i

a

B

B

i

j

b

S

B

c

P B

i



   







1

,

2

,

,

n

B B

B

Axiomática de la teoría de probabilidades

B

₃

B

₄

B

₁

B

₂

A

S

Teorema de la probabilidad total

Sea A algún suceso respecto a

S y

B

₁

B

₂

B

₃

B

₄

una partición de

S.