CUARTILES, DECILE Y PERCETILES
Los cuartiles, deciles y percentiles, llamados medidas de posición son utilizadas para distribuir una muestra en intervalos de igual longitud y determinar qué porcentaje de valores están por debajo de ese valor en la muestra, permitiendo conocer otros resultados de interés para la toma de decisiones en una muestra
Los cuartiles corresponden a los valores que puede tomar una variable y que cumplen con la función de dividir los datos ordenados en cuartos o cuatro partes con igual valor porcentual.
Se distinguen en principio tres cuartiles, que se denotan regularmente con la letra Q: Q1, Q2 y Q3. Sin embargo, hay que prestar atención también a las definiciones que la teoría estadística da a cada uno de estos cuartiles. Como son: El cuartil inferior significa que el 25% está por debajo de ese valor en la muestra. El cuartil mediano significa que el 50% está por debajo de ese valor. Y además coincide con la mediana de la muestra. El cuartil superior significa que el 75% está por debajo de ese valor en la muestra.
Los deciles corresponden a los valores que tiene una variable y que cumplen con la función de dividir los datos ordenados en decimos odiez partes con igual valor porcentual.
El decil inferior significa que el 10% está por debajo de ese valor en la muestra. El quinto decil significa que el 50% está por debajo de ese valor en la muestra, y además coincide con la mediana de la muestra. El octavo decil significa que el 80% está por debajo de ese valor en la muestra. Y además coincide con la mediana de la muestra. Etc.
Los percentiles corresponden a los valores que puede tomar una variable y que cumplen con la función de dividir los datos ordenados en centésimos o cien partes con igual valor porcentual.
El primer percentil o percentil inferior significa que el 1% está por debajo de ese valor en la muestra. El cuarto percentil significa que el 4% está por debajo de ese valor en la muestra. El veinteavo decil significa que el 20% está por debajo de ese valor en la muestra. El cincuentavo percentil indica que el 50% está por debajo de ese valor en la muestra, además coincide con la mediana de la muestra. El noventavo percentil indica que el 90% está por debajo de ese valor en la muestra. Etc.
Es de anotar que todas las medidas de posición operan para datos agrupados y no agrupados. Datos no agrupados son aquellos que no tienen ningún tratamiento de clasificación cuantitativa ni cualitativa; es decir, son datos que se observan de forma aislada. Los datos agrupados son aquellos que han tenido un tratamiento ya sea cuantitativo o cualitativo para ordenarlos en una tabla de frecuencias. Pero tanto los datos agrupados como no agrupados deben estar ordenados de menor a mayor para un tratamiento de medidas de posición. Además, para efectuar un tratamiento de medidas de posición, se debe tener en cuenta si la muestra es par o impar.
MUESTRAS NO AGRUPADAS I. Muestras con datos impar. Ejemplo1
Suponiendo que se tienen de una muestra estadística los siguientes datos:
2 3 3 5 7 4 5 6 8 6 8 7 3 5 8 Hallar el 𝑄1.
Solución.
1) Organizar los datos. 2 3 3 3 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 8
2) Calcular la posición. Para esto se utiliza la formula 𝑘(𝑛+1)
4 .
a. Con 𝑘 = 1,2,3 dependiendo del cuartil que se desee encontrar. En este caso k=1. b. 𝑛: número de datos de la
muestra.
Como en este caso se requiere el primer cuartil, entonces la expresión es
El valor que está en la cuarta posición es
𝑄
1=
3
, por consiguiente, el primer cuartil vale tres.Hallar el 𝑄2.
1. Ya se tienen la muestra ordenada, por consiguiente
2 3 3 3 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 8
2. Calcular la posición. Para esto se utiliza la formula 𝑘(𝑛+1)
4 .
a. Con 𝑘 = 1,2,3 dependiendo del cuartil que se desee encontrar. En este caso k=2. b. 𝑛: número de datos de la
muestra.
Como en este caso se requiere el primer cuartil, entonces la expresión es
El valor que está en la cuarta posición es
𝑄
1=
5
, por consiguiente, el primer cuartil vale tres.1. Ya se tienen la muestra ordenada, por consiguiente
2 3 3 3 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 8
2. Calcular la posición. Para esto se utiliza la formula 𝑘(𝑛+1)
4 .
a. Con 𝑘 = 1,2,3 dependiendo del cuartil que se desee encontrar. En este caso k=3. b. 𝑛: número de datos de la
muestra.
Como en este caso se requiere el primer cuartil, entonces la expresión es
El valor que está en la cuarta posición es
𝑄
1=
7
, por consiguiente, el primer cuartil vale tres.Actividad #1
Sumarle el código a cada uno de los datos de la muestra anterior, obtener una nueva muestra y hallar los cuartiles 1, 2, y 3, aplicando los procesos en cada caso:
𝑄
1𝑄
2MUESTRAS NO AGRUPADAS
II. Muestras con datos par.
Retomando la muestra de Asociación de ahorro del grado 10°, realizada en la actividad anterior, se pide hallar Cuartil 1, 2 y 3
Solución 1. Organizar lo datos 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 6 6 7 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 11 11 12 13 13 13 13 13 14 14 14 15 15 16 16 17 17 17 17 18 19 20 20
2. Calcular la posición. Para esto se utiliza la formula 𝑘(𝑛+1) 4 . 1(50+1) 4
=
51 4= 12.75
, como
se puede observar esta posición no coincide con ninguno de la muestra. En este caso lo que se tiene que hacer es interpolar
𝑄1 = 5 + (5 − 5) ∙ 0.75
𝑄1 = 5 + (0) ∙ 0.75 𝑄1 = 5
3. Calcular la posición. Para esto se utiliza la formula 𝑘(𝑛+1) 4 . 2(50+1) 4
=
102 4= 25.5
, comose puede observar esta posición no coincide con ninguno de la muestra. En este caso lo que se tiene que hacer es interpolar
𝑄2 = 11 + (11 − 1) ∙ 0.5 𝑄2 = 11 + (0) ∙ 0.5 𝑄2 = 11
4. Calcular la posición. Para esto se utiliza la formula 𝑘(𝑛+1) 4 . 3(50+1) 4
=
102 4= 38.25
,como se puede observar esta posición no coincide con ninguno de la muestra. En este caso lo que se tiene que hacer es interpolar
𝑄3 = 14 + (15 − 14) ∙ 0.5
𝑄3 = 14 + (1) ∙ 0.25 𝑄3 = 14.25
Actividad 2
Sumarle el código a cada uno de los datos de la muestra anterior, obtener una nueva muestra y hallar los cuartiles 1, 2, y 3, aplicando los procesos en cada caso: