Métodos Numéricos/Análisis Numérico/Calculo Numérico INTERPOLACIÓN NUMÉRICA

Métodos Numéricos/Análisis

Numérico/Calculo Numérico

INTERPOLACIÓN

NUMÉRICA

Bibliografía:

Métodos Numéricos – G. Pacce – Editorial EUDENE -1997.

Analisis Numerico – Burden and Faires- Editorial Sudamericana – 1996. Métodos Numéricos para ingenieros. Chapra y Canale. Ed. Mc Graw Hill. 5ta. Edición.

INTRODUCCION (I)

• Cuando en una tabla se busca el valor de

una función para un determinado valor de

la variable que no figura explícitamente en

ella, se realiza una tarea de interpolación

por medio de reglas simples y muy

INTRODUCCION(II)

• Por ejemplo, hay solo una línea recta que

une dos puntos ( polinomio de 1er grado).

• Únicamente una parábola une un conjunto

de tres puntos.( interpolación de 2do

grado o cuadrática).

• Una parábola cúbica une un conjunto de

cuatro puntos (polinomio de 3er. Grado)

Interpolación numérica

• Supóngase que se conocen los valores y

₀

; y

₁

;...; y

_n

de la función desconocida,

correspondientes a los n+1 valores distintos: x

₀

;

x

₁

; ... ; x

_n

de una variable independiente x.

• El problema, consiste, en determinar el valor

aproximado de y que cabe asignar como

correspondiente a otro valor de x, distinto de

todos los x

_i

conocidos y comprendidos en el

intervalo de trabajo [ x

₀

; x

_n

].

Interpolación numérica (III)

Interpolación numérica

Figura 7.1

-x0 x1 x2 Xn-1 Xn h h h A0 A1 A2 An-1 An y x Pn(x)

•Dados n+1 puntos, con abscisas distintas entre si, existe uno y solo un polinomio de grado a lo mas n que pasa por estos puntos.

Interpolación numérica

• Considerando que por los n+1 puntos A

₀

; A

₁

; ... ;

A

_n

, pasa a lo sumo una parábola que representa

un polinomio P

_n

(x) de grado n

• Por dos puntos pasa una sola recta;

• Por tres puntos no alineados, pasa una sola

parábola de segundo grado; etc.

• Entonces conocidos n+1 puntos, la parábola de

grado n que pasa por ellos permite asignar a cada

valor de x un valor de y, que será considerado

como el valor de interpolación buscado.

TABLAS CON VALORES

EQUIDISTANTES

El caso más frecuente: problemas de

interpolación cuyas tablas tienen

VALORES EQUIDISTANTES de la

variable x; se dará por presupuesto que:

x

₁

−

x

₀

=

x

₂

−

x

₁

= =

K

x

_n

−

x

_n

₋

₁

=

h

TABLAS CON VALORES

EQUIDISTANTES

• Los valores de las diferencias primeras

_∆

_yk

se

obtienen restando a cada valor y

_k+1

el valor y

_k

que le antecede en la tabla.

• Las diferencias segundas se obtienen de igual

modo, partiendo en este caso, de las diferencias

primeras.

• Las terceras se obtienen a partir de las

segundas, y así sucesivamente hasta completar

la tabla.

• Completar la tabla es llegar a diferencias cuyos

valores son poco significativos en valor absoluto

TABLAS de Diferencias

Avanzadas

x y y y y x y y y y x x h y y y y y y y y y y x x h y y y y y y y y y y x x h y y y y y y y x x h y yn yn yn ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 2 3 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 1 0 1 2 1 3 0 2 1 2 0 2 1 2 2 1 2 1 2 3 2 3 1 2 2 2 1 3 2 3 2 2 3 2 3 4 3 4 3 4 3 3 2 2 2 3 = − = + = − = − = − = + = − = − = − = + = − = − = + = − − − − M M M M M M M M M M M M M M M ∆ ∆ ∆ ∆ 2 2 1 2 1 1 1 y y y y y y x x h y n n n n n n n n n − − − − − − = − = − = +

TABLAS CON VALORES

EQUIDISTANTES

• Observar que:

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

0 1 0 2 0 1 0 2 1 0 3 0 2 1 2 0 3 2 1 0

2

3

3

=

−

=

−

=

−

−

=

−

=

−

+

−

(

)

n

i

n

i n

i













=

−

!

!

!

Recuérdese la expresión de los números combinatorios:

TABLAS CON VALORES

EQUIDISTANTES

• Resulta entonces:

Así es posible deducir que las diferencias n-ésimas de y

₀

se

forman a partir de la ordenada n-ésima y sus n ordenadas

antecedentes afectadas por los coeficientes del Triángulo de

TARTAGLIA.

Todas estas diferencias reciben el nombre de

DIFERENCIAS AVANZADAS.

( )

∆

n i n i i o n

y

n

i

y

0

=

−

1













₋ =

∑

Confeccionar la tabla de diferencias

avanzadas

16

9

4

1

0

y

4

3

2

1

0

x

0

1

4

9

16

0

1

2

3

4

∆

3

_y

∆

2

_y

∆

y

y

x

FÓRMULA DE

NEWTON-GREGORY ASCENDENTE

• Conocidos los valores y

0

; y

1

; ... ; y

n

de una función,

correspondientes a los n+1 valores equidistantes x

₀

; x

₁

;

... ; x

_n

de la variable, se trata de encontrar el polinomio

de grado n:

Los n+1 coeficientes a

₀

; a

₁

; ... ;a

_n

se determinan imponiendo

a la parábola (7.2) las n+1 condiciones de pasar por los

puntos A

₀

; A

₁

; ... ; A

_n

; es decir, estableciendo que para x=x

₀

; x=x

₁

; ... ; x=x

_n

, la expresión (7.2) debe ser igual a y

₀

; y

₁

; ...

; y

n

, respectivamente; es necesario hacer:

P

n

(x) = a

0

+ a

1

( x - x

0

) + a

2

( x - x

0

) ( x - x

1

) + ...

+ a

_n

( x - x

₀

) ( x - x

₁

) ... ( x - x

_n-1

)

FÓRMULA DE

NEWTON-GREGORY ASCENDENTE

• P_n( x₀ ) = y₀= a₀ • P_n( x₁) = y₁= a₀+ a₁( x₁ - x₀ ) • P_n( x₂) = y₂= a₀+ a₁( x₂ - x₀ ) + a₂( x₂- x₀) ( x₂- x₁) • . . . . • P_n( x_n) = y_n= a₀+ a₁( x_n- x₀) + ... + a_n ( x_n- x₀) ... ( x_n- x_n-1)

• de donde, despejando resultan:

a

₀

=

y

₀

a

y

y

x

x

y

h

1 1 0 1 0 0

=

−

−

=

∆

(

)

(

)(

)

a

y

a

x

x a

x

x

x

x

y

y

h

y

y

h

h

y

h

2 2 0 2 0 1 2 0 2 1 2 0 1 0 2 2 0 2

2

2 1

2

=

− −

−

−

−

=

−

−

−

=

.

!

∆

FÓRMULA DE

NEWTON-GREGORY ASCENDENTE

a

y

n h

n n n

=

∆

0

!

Sustituyendo los valores de los coeficientes, calculados a partir de la expresión (7.3 ), en la ecuación (7.2 ), se llega a la Fórmula de NEWTON-GREGORY

ASCENDENTE:

Haciendo x = x₀+ hu, y sustituyéndola en la expresión (7.4), se obtiene una

fórmula de uso más práctico. Bajo estas condiciones es:

( )

(

)

(

)(

)

P x

y

y

h

x

x

y

h

x

x

x

x

n

=

0

+

−

+

n

−

−

+ +

0 0 2 0 0 1

2

∆

∆

!

K

(

)(

) (

)

+ − − − − ∆n n n y n h x x x x x x 0 0 1 1 ! K 7.4 7.3

FÓRMULA DE

NEWTON-GREGORY ASCENDENTE

x-x₀= h u ; x-x₁ = x-(x₀+h) = h u-h = h (u-1)

etc.; vale decir, la formula de NEWTON-GREGORY toma la forma:

Considerando que, según la teoría y notación de los números combinatorios, se puede expresar:

( )

(

)

( )

P x

n

=

P x

n

+

hu

= +

y

u y

+

u u

y

−

+

0 0 0 2 0

1

2

∆

∆

!

(

)(

)

(

)(

) (

)

+

u u

−

u

−

y

+ +

u u

−

u

−

u

− +

n

n

y

n

1

2

3

1

2

1

3 0 0

!

∆

!

∆

K

K

(

u

u

)

u

u

!

!

!

1

−

1

=

1













=

7.5

FÓRMULA DE

NEWTON-GREGORY ASCENDENTE

y considerando a _∆0_y

0= y0, la expresión 7.5 se puede escribir:

(

u

u

)

(

)

u

u u

!

!

!

2

−

2

=

2

1













=

−

(

u

)

(

)(

) (

)

n u

n

u

n

u u

u

u

n

!

!

−

!

=













=

−

1

−

2

K

− +

1

( )

_

∆

=











+

+

∆













+

∆













+













=

0 0 2 0 0

2

1

0

n

y

u

y

u

y

u

y

u

x

P

n

K

n

=













=

∑

u

i

y

i i n

∆

0 0 (7.6) Ejemplo en Mathematica.

INTERPOLACIÓN LINEAL

Si en una tabla de valores, las diferencias son nulas, a

partir de la segunda en adelante, la formula de

NEWTON-GREGORY se reduce a la siguiente:

Es la expresión analítica de la recta que pasa por los puntos A

0

; A

₁

.

Puede utilizarse cuando, las diferencias tabulares de orden dos

y > son nulas;

o cuando las diferencias de orden superior

∆

2

_;

_∆

3

_{y siguientes,}

son despreciables.

En este caso, la curva representativa de la función es

reemplazada por la poligonal que se obtiene uniendo los

puntos A

₀

; A

₁

; ... ; A

_n

, con segmentos de recta.

( )

(

)

P x

y

y

h

x

x

1 0 0 0

=

+

∆

−

7.7

INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA

Si las diferencias tabulares de orden mayor al segundo son nulas; se puede utilizar la fórmula de NEWTON-GREGORY incluyendo los términos de segundo orden y menores:

( )

(

)

(

)(

)

P x

y

y

h

x

x

y

h

x

x

x

x

2 0 0 0 2 0 2 0 1

2

=

+

∆

−

+

∆

−

−

!

7.8

Esta es la ecuación de la parábola de segundo grado que pasa por A₀; A₁y A₂. No se pierde generalidad si se considera el valor x₁ coincidiendo con el origen de coordenadas (ver figura 7.2 ), en cuyo caso es:

x

₀

= - h ; x

₁

= 0 ; x

₂

= h

y la ecuación de la parábola que pasa por los puntos A₀; A₁y A₂es, en general:

y = a x2_{+ b x + c} 7.9

Figura 7.2 A₀ A₁ A₂ -h h 0 y x x_{0 X} 2

INTERPOLACIÓN LINEAL Y

CUADRÁTICA

Siendo x₀= - h ; x₁= 0 y x₂= h, la expresión (7.8) es válida para todos ellos,

entonces, según la (7.9) se puede escribir:

( )

( )

y

a x

b x

c

a

h

b

h

c

y

a x

b x

c

c

y

a x

b x

c

a h

b h

c

0 0 2 0 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2

=

+

+ = −

+ − +

=

+

+ =

=

+

+ =

+

+











de la segunda, se obtiene directamente que c = y₁; y reemplazando este valor en las otras dos ecuaciones, resulta:

a h

b h

y

y

a h

b h

y

y

2 1 0 2 1 2

−

+

=

+

+

=







de donde, sumando y restando ambas ecuaciones, se obtiene:

a

y

y

y

h

b

y

y

h

=

2

−

1

+

0

=

−

2 2 0

2

2

;

2

INTERPOLACIÓN

CUADRÁTICA

valores que reemplazados en la ecuación:

denominada FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA.

y

y

y

y

h

x

y

y

h

x

y

=

2

−

1

+

0

+

−

+

2 2 2 0 1

2

2

2

y = a x2_{+ b x + c}

dan como resultado:

INTERPOLACIÓN

CUADRÁTICA

Ejemplo del uso de la interpolación cuadrática para estimar ln 2. Para comparación se presenta también la interpolación lineal desde x= 1 a 4.

FÓRMULA DE

NEWTON-GREGORY DESCENDENTE

Cuando, la interpolación debe efectuarse para un valor de x próximo a xn o, en general, alejado de x0, ->

Aplicar fórmulas de interpolación en las que intervengan las diferencias sucesivas relacionadas con el último valor ynde la tabla.

Definiendo la diferencia de primer orden mediante la expresión:

(7.11) ∆y_n-1= y_n- y_n-1= νy_n

y, operando de igual modo al realizado para definir las diferencias avanzadas, en este caso podemos observar la tabla correspondiente:

FÓRMULA DE

NEWTON-GREGORY DESCENDENTE

n n n n n n n n n n n n y h x x y y y y y y y y y y h x x y y y y y y y h x x y y y y y y y y y y h x x y y y y y y y y y y h x x y y y y x y y y y x + = − = ∇ ∇ − ∇ = ∇ ∇ − ∇ = ∇ + = − = ∇ ∇ − ∇ = ∇ + = ∇ − ∇ = ∇ − = ∇ ∇ − ∇ = ∇ + = ∇ − ∇ = ∇ − = ∇ ∇ − ∇ = ∇ + = − = ∇ ∇ ∇ ∇ − − − − − − − − 1 1 2 1 1 2 3 2 2 2 2 3 4 3 4 3 4 4 2 3 3 2 3 2 3 1 2 2 2 2 3 2 3 3 1 2 2 2 2 1 2 0 2 1 2 1 3 1 2 2 0 1 1 2 1 0 1 0 1 1 0 0 3 2 M M M M M M M M M M M M M M M

Las diferencias calculadas arriba, reciben el nombre de DIFERENCIAS

FÓRMULA DE

NEWTON-GREGORY DESCENDENTE

Calculando sus coeficientes a0; a1; ...; anmediante las n+1 condiciones que impone el hecho que la parábola (7.12) tenga que pasar por los puntos A0; A1 ; ...; An y operando en forma similar a G.N.A. se obtienen los coeficientes aibuscados.

Para deducir la fórmula correspondiente, es necesario

escribirla en forma análoga a la ya utilizada para la

ascendente; la expresión de la ecuación del polinomio de

grado n es:

7.12

P

n

(x) = a

0

+ a

1

( x - x

n

) + a

2

( x - x

n

) ( x - x

n -1

) + ...

+ a

_n

( x - x

_n

) ( x - x

_{n -1}

) ... ( x - x

₁

)

FÓRMULA DE

NEWTON-GREGORY DESCENDENTE

( )

(

)

(

)(

)

P x

y

y

h

x

x

y

h

x

x

x

x

n n n n n n n

=

+

∇

−

+

∇

2 ₂

−

−

₋1

+ +

2!

K

(

)(

) (

)

+

∇

−

−

−

−

n n n n n

y

n h

!

x

x

x

x

1

x

x

1

K

a

y

n h

n n n n

=

∇

!

En general resulta que:

Sustituyendo los coeficientes calculados en la expresión 7.12

Realizando el cambio de variable de x por x_n+ h u, resulta una expresión mas

FÓRMULA DE LAGRANGE (I)

Si la interpolación debe realizarse por medio de tablas obtenidas

experimentalmente, -> en gral. estas poseen intervalos no equidistantes. Para estos problemas, se utiliza LAGRANGE que puede deducirse a partir del polinomio de grado n al cual se le impone pasar por los n+1 puntos A₀; A₁;…….; A_n, de la forma:

P_n(x) = a₀(x - x₁) (x - x₂) ... (x - x_n) + a₁(x - x₀) (x - x₂) ... (x - x_n) + ... ……. + a_n(x - x₀) (x - x₁) ... (x - x_n-1) ...;

donde c/u de los términos, es a su vez, un polinomio de grado n afectado de un coeficiente a_r, el cual debe ser hallado.

Los n+1 a _r se determinan imponiendo las n+1 condiciones:

para x x y y para x x y y para x xn y yn = ⇒ ₌ = ⇒ = = ⇒ ₌ 0 0 1 1 L L L L L L L

así, se obtienen las ecuaciones:

FÓRMULA DE LAGRANGE (II)

(

)(

) (

)

(

)(

) (

)

(

)(

) (

)

y

a x

x

x

x

x

x

y

a x

x

x

x

x

x

y

a x

x

x

x

x

x

n n n n n n n n 0 0 0 1 0 2 0 1 1 1 0 1 2 1 0 1 1

=

−

−

−

=

−

−

−

=

−

−

−

−

K

K

L

L

L

L

L

L

L

L

K

Despejando los valores de los a _r y sustituyéndolos en el polinomio original, resulta la denominada FORMULA DE LAGRANGE:

( )

₍

(

₎₍

)(

) (

_{) (}

)

₎

P x

y

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

n n n

= +

−

−

−

−

−

−

+

0 1 2 0 1 0 2 0

K

K

(

)(

) (

)

(

)(

) (

)

+

−

−

−

−

−

−

+ +

y

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

n n 1 0 2 1 0 1 2 1

K

K

K

(

)(

) (

)

(

)(

) (

)

+

−

−

−

−

−

−

− −

y

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

n n n n n n 0 1 1 0 1 1

K

K

(7.15)

FÓRMULA DE LAGRANGE

(III)

Es más cómodo operar con la expresión que se obtiene dividiendo ambos miembros de (7.15) por el producto (x - x₀)(x - x₁) ... (x - x_n), con lo cual resulta:

( )

(

x

x

P x

) (

x

x

) (

)(

)(

) (

)

y

x

x

x

x

x

x

x

x

n n n

−

0

−

=

−

−

−

−

+

0 0 0 1 0 2 0

K

K

(

)(

)(

) (

)

+

−

−

−

−

+ +

y

x

x

x

x

x

x

x

x

_n 1 1 1 0 1 2

K

1

K

(

)(

)(

) (

)

+

−

−

−

−

−

y

x

x

x

x

x

x

x

x

n n n 0 n 1

K

n n 1 (7.16)

Expresión utilizada en las aplicaciones prácticas para realizar la interpolación en tablas con valores no equidistantes.

FÓRMULA DE LAGRANGE

para Valores Equidistantes

Los coeficientes resultan independientes de los valores de las abscisas de la tabla dada y de su incremento tabular h;

Se calculan de una vez para siempre, recibiendo el nombre de COEFICIENTES

LAGRANGIANOS.

Para facilitar la tarea, se han confeccionado tablas de coeficientes que consideran los casos correspondientes a 3; 4;...; 11, etc. puntos.

Caso particular que corresponde a una tabla de cuatro puntos. Conocidos los valores f_-1 ; f₀; f₁ ; f₂correspondientes a x_-1 ; x₀; x₁; x₂, respectivamente, el polinomio de LAGRANGE será:

( )

₍

(

₎₍

)(

)(

₎₍

)

₎

f x x x x x x x x x x x x x f = − − − − − − + − − − − 0 1 2 1 0 1 1 1 2 1

(

)(

)(

)

(

)(

)(

)

+ − − − − − − + − − x x x x x x x x x x x x f 1 1 2 0 1 0 1 0 2 0

(

)(

)(

)

(

)(

)(

)

+ − − − − − − + − − x x x x x x x x x x x x f 1 0 2 1 1 1 0 1 2 1

(

)(

)(

)

(

−

)(

−

)(

−

)

+ − − − + − − 2 1 2 0 2 1 2 1 0 1 _f x x x x x x x x x x x x

FÓRMULA DE LAGRANGE

para Valores Equidistantes

donde x₀- X_-1=x₁ -x₀ =x₂ -x₁ = h. Si se considera ahora, el cambio de

variable x =x₀+hu, resulta:

( )

(

)

(

)(

)

f x

=

f x

0

+

h u

= −

u u

−

u

−

f

₋1

+

1

2

6

(

)(

)(

)

+ u+1 u−1 u−2 f − 2 0

(

) (

)

− u+1 u u+2 f + 2 1

(

) (

)

+

u

+

1

u u

−

1

f

6

2

Llamando Li a los coeficientes LAGRANGIANOS, estos pueden ser calculados. Entonces, tomando:

(

)(

)

L

₋1

= −

u u

−

u

−

1

2

6

(

)(

)(

)

L

0

u

u

u

1

1

2

2

=

+

−

−

L

₁

(

u

1

) (

u u

2

)

2

=

+

+

L

₂

(

u

1

) (

u u

1

)

6

=

+

−

FÓRMULA DE LAGRANGE

para Valores Equidistantes

Teniendo tabulados los coeficientes L i, la interpolación se reduce a calcular la expresión:

( )

FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN

PARABÓLICA PROGRESIVA

Ventaja: término a término, es posible obtener una cota del error que se ha cometido hasta ese momento.

Sea el polinomio (7.2) ya utilizado al deducir las fórmulas de

NEWTON-GREGORY:

(7.2) P_n(x) = a₀ + a₁( x - x₀ ) + a₂( x - x₀ ) ( x - x₁) + ... + a_n ( x - x₀) ( x - x₁) ... ( x - x_n-1)

Imponiéndole la condición que la curva representativa pase por los n+1 puntos A0; A1;...; An.

La condición de pasar por A0implica que y0= a0; se considera -> una primera aproximación de la fórmula; es decir, como el polinomio de interpolación de orden cero:

P₀ (x) = y ₀

7.19

En una 2da. aproximación, se exige que la representación gráfica pase por los puntos A₀y A₁, debe verificarse, además:

FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN

PARABÓLICA PROGRESIVA

donde el numerado de a1 es la magnitud del error que se comete al estimar x1 cuando se toma el polinomio de interpolación P0

(7.20) y ₁= a₀+ a₁(x₁- x₀)

de la cual puede calcularse el valor de a1, que resulta:

7.19

Reemplazando este valor de a1en la expresión 7.2 y tomando los términos desde el 3ro en adelante valen cero, puede obtenerse el polinomio de interpolación de orden uno, ver figura 7.4, el que resulta:

( )

a

y

a

x

x

y

P x

x

x

1 1 0 1 0 1 0 1 1 0

=

−

−

=

−

−

( )

( )( )

0 0 1 1 0 1 0 1

x

x

x

x

x

P

y

y

x

P

−

−

−

+

=

Figura 7.4

( )1 0 1 Px y− ( )2 1 2 Px y− A₀ A₁ A₂ y₀ y₁ x₀ x₁ x₂ x y 0 P₂(x) P₁(x) P₀(x)

esta expresión que es el numerador de a1 es el error que se cometería si se tomara como valor de y1 el valor que proporciona el polinomio de interpolación de orden cero.

( )1 0 1 Px y−

FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN

PARABÓLICA PROGRESIVA

La condición que la curva pase, además, por el punto A₂, impone para la deducción del polinomio de interpolación, la utilización de la expresión:

de la cual es posible deducir el valor del nuevo coeficiente a₂ que debe agregarse a la expresión general. Resulta entonces:

y₂ = a₀ + a₁ (x₂ - x₀) + a₂ (x₂- x₀) (x₂- x₁)

(

)

[

]

(

)(

)

(

)(

( )

)

a

y

a

a

x

x

x

x

x

x

y

P x

x

x

x

x

2 2 0 1 2 0 2 0 2 1 2 1 2 2 0 2 1

=

−

+

−

−

−

=

−

−

−

de donde:

( )

₍

( )

_{) (}

)

P x y y P x x x x x 2 0 1 0 1 1 0 0 = + − − − +

( )

(

)(

)(

0

)(

1

)

1 2 0 2 2 1 2 _{x x x x} x x x x x P y _{− −} − − −

FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN

PARABÓLICA PROGRESIVA

donde el numerador de cada coeficiente a_k mide precisamente el valor del error y _k-P _k-1(x _k) que se comete al considerar, en lugar del valor y_k, el valor dado por el polinomio de aproximación de orden (k-1) en el punto de abscisa x=x _k.

en la cual el numerador de a₂ es el error que se cometería si se tomara como valor de y₂ el valor que proporciona el polinomio de interpolación de orden uno.

Continuando este análisis y operando de idéntica manera a la estudiada, puede obtenerse el polinomio de interpolación de orden r:

( )

₍

( )

_{) (}

)

P x

y

y

P x

x

x

x

x

r

=

+

−

−

−

+ +

0 1 0 1 1 0 0

K

( )

(

) (

) (

) (

)

+

−

−

−

−

−

− − −

y

P

x

x

x

x

x

x

x

x

x

r r r r r r r 1 0 1 0 1

K

K

Calcule mediante interpolación parabólica progresiva, y con la tabla siguiente, el valor que le corresponde a x= 10

429

173

89

63

y

30

15

5

0

x

a₀ = y ₀ = 63 P₀(x) = 63 P ₁(x) = 63 + 5,2 x P ₂(x) = 63 + 5,2 x + 0,21 x (x – 5 ) P ₃(x) = 63 + 5,2 x + 0,21 x ( x – 5 ) + 0,0047 x ( X- 5) ( x- 15)

DIFERENCIAS ENTRE METODOS

LAGRANGE: todos los términos tienen el mismo grado; Parabólica progresiva: el grado de los distintos términos va en

aumento progresivamente.

LAGRANGE: solo es posible determinar una cota del error, y en caso de ser necesaria una aproximación mayor a la obtenida es necesario rehacer integralmente el cálculo.

Parabólica progresiva: los numeradores de los coeficientes indican,

sucesivamente, la magnitud de la precisión lograda en el paso anterior.

Fórmula de Gauss

(I)

Sea la expresión (7.2) del polinomio de interpolación dado: (7.2) P_n(x) = a₀+ a₁( x - x₀) + a₂( x - x₀) ( x - x₁) + ...

+ a_n( x - x₀) ( x - x₁) ... ( x - x_n-1) y considerando los puntos de abscisas equidistantes:

x ₀= x ₀; x ₁= x ₀ + h ; x ₂ = x ₀ - h ; x ₃= x ₀+ 2 h ; x ₄= x ₀- 2 h ; ...

Sustituyendo estos valores en las expresiones de a_rde la Fórmula de Interpolación Parabólica Progresiva, se obtiene:

( )

a

₀

=

y

₀

=

P x

_{0 0}

=

f

₀

( )

(

)

a y P x x x 1 1 0 1 1 0 = − − de donde:

₍

_{) ( )}

a f x h f x h 1 0 0 = + − de la misma manera:

( )

(

)(

)

a y P x x x x x 2 2 1 2 2 0 2 1 = − − −

( )

( )

(

2 0

)

2 0 1 0 2 1 x x x x P y y x P

_x

− − − + =

Fórmula de Gauss

( II )

finalmente: vale decir:

(

)

( ) (

)

a

f x

h

f x

f x

h

h

2 0 0 0 2

2

2

=

+

−

+

−

o sea:

( )

(

)(

)(

)

a

y

P x

x

x

x

x

x

x

3 3 2 3 3 0 3 1 3 2

=

−

−

−

−

(

)

(

)

( ) (

)

a

f x

h

f x

h

f x

f x

h

h

3 0 0 0 0 3

2

3

3

6

=

+

−

+ +

−

−

Y así sucesivamente. Reemplazando los coeficientes obtenidos en el polinomio de interpolación, resulta:

Fórmula de Gauss

(III)

( )

( )

(

) ( ) ( )

P x

f x

f x

h

f x

h

x

x

n

=

+

+

−

−

+

0 0 0 0

(

)

( ) (

_{) ( )( )}

+ f x +h − f x + f x −h − − + h x x x x 0 0 0 2 0 1 2 2!

(

)

(

)

( ) (

_{) ( )( )( )}

+

f x

+

h

−

f x

+

h

+

f x

−

f x

−

h

−

−

−

+

h

x

x

x

x

x

x

0 0 0 0 3 0 1 2

2

3

3

3!

K

Fórmula de Gauss

(IV)

( )

(

) ( )

( )

P x

n

=

P x

n 0

+

h u

=

f x

0

+

∆

f x

0

u

+

(

)

₍

₎

(

)

₍

_{) (}

₎

+∆ − − +∆ + + − + 2 0 3 0 2 1 3 1 1 f x h u u f x h u u u ! !

(

)

₍

_{) (}

₎₍

₎

+

∆

−

+

−

−

+

4 0

2

4

1

1

2

f x

h

u

u u

u

!

K

(7.24)

Observar que las diferencias que se utilizan están sobre la poligonal de eje horizontal. La fórmula de GAUSS es conveniente de utilizar en aquellos casos en que se trata de interpolar valores de la función que corresponden a valores de la variable cercanos al sector medio de la tabla.

Haciendo la sustitución x= X₀+ h u se obtiene finalmente la Formula de

Interpolación de Gauss.

FÓRMULA DE BESSEL

Es una de las más utilizadas debido a las múltiples ventajas que presenta, tanto en la interpolación directa, cuanto en la inversa.

Es posible deducir la FÓRMULA DE BESSEL a partir de la fórmula de interpolación de GAUSS.

( )

(

) ( )

( )

[

(

)

( )

]

f x

=

f x

₀

+

h u

=

f x

₀

+ ′

B

f x

₀

+ ′′

B

2

f x

−

h

+

f x

+

0 2 0

∆

∆

∆

(

)

[

(

)

(

)

]

+ ′′′

B

∆

3

f x

−

h

+

B

IV

∆

f x

−

h

+

∆

f x

−

h

+

0 4 0 2 0

2

K

siendo:

(

)

(

)

(

)

(

) (

)(

)

′ = ′′ = − ′′′ = − − = + − − B u B u u B u u u BIV u u u u ; . ! ; ! ; . ! 1 2 2 1 3 1 1 2 2 4 1 2

Estos coeficientes reciben el nombre de COEFICIENTES BESSELIANOS y se encuentran tabulados para valores de u comprendidos entre 0 y 1, lo que permite efectuar con rapidez la interpolación.

FÓRMULA DE STIRLING

Utiliza elementos de una sola fila horizontal de la tabla de diferencias avanzadas, como se aprecia en la figura 7.6,

Ofrece ventajas para el caso general de interpolación, ya que, es utilizable con

mucha mayor precisión en un sector más amplio de la tabla dada, que las fórmulas ya estudiadas.

( )

(

) ( )

( )

(

)

(

)

f x

=

f x

0

+

h u

=

f x

0

+

u

f x

+

f x

−

h

+

u

f x

−

h

+

0 0 2 2 0

2

2

∆

∆

∆

!

(

)

(

)

(

)

(

)

₍

₎

+u u − f x −h + f x − h +u u − f x − h + 2 3 0 3 0 2 2 4 0 1 3 2 2 1 4 2 ! ! ∆ ∆ ∆

(

)(

)

(

)

(

)

+u u − u − f x − h + f x − h + 2 2 2 2 5 0 5 0 1 2 5 2 3 2 ! ∆ ∆ K

FÓRMULA DE EVERETT

La FÓRMULA DE EVERETT es muy utilizada en algunos campos de las ciencias; y se caracteriza por utilizar en ella solamente las diferencias tabulares de orden par.

( )

(

)

(

)

( )

(

)

( )

f x

=

f x

+

h u

= −

u f x

+

u f x

+

h

+



u

+

f x











−

0 0 0 2 0

1

1

3

∆

(

)

(

)

(

)

−      − + +      − − +      − + u f x h u f x h u f x h 3 2 5 1 5 2 2 0 4 0 4 0 ∆ ∆ ∆ K

Esta expresión utiliza términos situados en dos horizontales sucesivas de las tablas de diferencias construida.

INTERPOLACIÓN INVERSA

La interpolación resuelve, mediante métodos aproximados y a través de una tabla empírica, el problema de encontrar el valor de y= f(x) cuando está dado el valor de x.

Pero, en principio, no resuelve el problema inverso; vale decir, el de determinar el valor de x cuando se conoce la magnitud de f(x).

Este problema puede resolverse, si se intercambia, en la tabla de valores, la variable con la función y viceversa; lo que, equivale a interpolar la función inversa:

(7.30)

x = f

(-1)

_(y)

en lugar de hacerlo sobre f.

Esto significa intercambiar los papeles de las x y las y . Como, incluso para valores de x equidistantes, los valores correspondientes de la función no lo son, es esencial utilizar fórmulas de interpolación que se adapten a esta particularidad, tales como LAGRANGE, Parabólica Progresiva, etc.