Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 25
Unidad 2
Representación Algebráica
Gráficas no dirigidas
Matriz de Incidencia
La matriz de incidencia de una gráfica G se denota como
A ( G )
y se define como:⎩
⎨
⎧
=
valor
otro
cualquier
Para
e
línea
la
en
incide
v
vértice
el
Si
0
1
i j,
j
i
a
Observaciones
•En cada columna hay exactamente dos 1’s excepto si se trata de un bucle, en este caso aparece uno solo.
•La suma por renglón es igual al grado del vértice correspondiente.
•Dos o más columnas iguales indican líneas paralelas.
•Un renglón de ceros corresponde a un vértice aislado.
•Si se intercambian renglones y/o columnas y se reetiquetan los vértices y líneas se obtiene la misma gráfica.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 26
•Una matriz correspondiente a una gráfica desconectada, con k componentes, diferentes de un vértice aislado, puede particionarse en k2 submatrices. De modo que las k submatrices de
la diagonal principal contienen 1´s y 0´s y las demás no.
Matriz de adyacencia
La matriz de adyacencia de una gráfica G se denota como
X ( G )
y se denota:⎩
⎨
⎧
=
valor
otro
cualquier
Para
v
vértice
al
adyacente
es
v
vértice
el
Si
0
1
i j,
j
i
x
Observaciones
•X(G) es cuadrada. •X(G) es simétrica.•Las líneas paralelas no se pueden representar.
•Un “uno” en la diagonal principal corresponde a un bucle.
•Si la gráfica es simple, la suma por renglón o columna es el grado del vértice correspondiente.
•Si G es simple el número de líneas es igual a la suma de los unos de la matriz dividida entre dos.
•Un vértice aislado produce un renglón y una columna de ceros
•Si G es una gráfica completa, entonces X(G) sólo tiene ceros en la diagonal.
•Una matriz correspondiente a una gráfica desconectada, con k componentes, puede particionarse en k2 submatrices. De modo que las k submatrices de la diagonal principal
contienen 1´s y 0´s y las demás no.
•Las potencias sucesivas de X(G) tiene elementos n =
j i x
,
Es el número de caminos de longitud n que hay del vértice i al vértice j
Matriz de accesibilidad
La matriz de accesibilidad se denota como
M ( G )
y se define:⎩
⎨
⎧+
=
valor
otro
cualquier
Para
v
vértice
al
v
vértice
del
paseo
un
existe
Si
0
j i,
j
i
m
Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 27
Observaciones
•La matriz M(G) puede obtenerse elevando la matriz X(G) a potencias sucesivas y por cada elemento de la potencia que sea distinto de cero se coloca un más en la matriz M(G). El número de potencias necesario es
2
2
n
n
+
•Si la matriz cuenta con puros “+” entonces la gráfica esta conectada
Ejemplo:
Sea la siguiente gráfica obtener la matriz de incidencia, adyacencia y accesibilidad:La matriz de incidencia es la siguiente:
Observaciones:
•Como las columnas 1 y 2 son iguales índica que son líneas paralelas
•El renglón de ceros de la fila F indica un vértice aislado
•Un uno en la columna 4 indica que la línea es bucle en el vértice C
•Los grados de los vértices son la suma de unos
•El vértice E y F son colgantes
Observaciones:
•El uno en la diagonal principal indica un bucle en el vértice C
•La columna y el renglón de F en ceros indica que es un vértice aislado
0
1
1
2
2
3
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
5
4
3
2
1
)
(
∑
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
F
E
D
C
B
A
G
A
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 ) ( F E D C B A F E D C B A G XElaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 28
Observaciones:
• Cómo la matriz tiene al menos un cero la gráfica esta desconectada
Gráficas dirigidas
Matriz de Adyacencia
Se denota como
A ( G )
y se define:⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
valor
otro
cualquier
Para
v
vértice
al
llega
e
línea
la
Si
v
vértice
del
sale
e
línea
la
Si
0
1
1
i j i j,
j
i
a
Observaciones
•En cada columna existe un 1 y -1
•Un renglón de ceros corresponde a un vértice aislado
•Líneas paralelas producen columnas iguales
•La suma de positivos por renglón es el grado externo
•La suma de los negativos es el grado interno
•Un elemento ±1 representa un bucle
•Si se intercambian renglones y columnas con sus respectivas etiquetas sigue representando la misma gráfica
•La suma por columnas es cero
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
(
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
G
M
Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 29
•Una digráfica con k componentes tiene una matriz de incidencia que puede particionarse en k2 submatrices de modo que las de la diagonal principal tienen cero y unos y las restantes
no.
Matriz de Adyacencia
Se denota como
X ( G )
y se define:⎩
⎨
⎧
=
valor
otro
cualquier
Para
v
vértice
al
v
vértice
del
sale
que
línea
una
existe
Si
0
1
i j,
j
i
x
Observaciones
•X(G) es cuadrada•Las líneas paralelas no se pueden representar
•Un renglón de ceros corresponden a un vértice final
•Una columna de cero es un vértice inicial
•Si el mismo renglón y columna son ceros es un vértice aislado
•Si x(G) es simétrica entonces G es una gráfica simétrica
•Un “uno” en la diagonal principal corresponde a un bucle
•Si no hay líneas paralelas el número de 1’s es igual al número de líneas
•Si G es simple la suma por renglón representa el grado interno
•Si G es simple la suma por columna representa el grado externo
•Una matriz correspondiente a una digráfica desconectada, con k componentes, puede particionarse en k2 submatrices. De modo que las k submatrices de la diagonal principal
contienen 1´s y 0´s y las demás no.
•Las potencias sucesivas de X(G) tiene elementos n =
j i x
,
Es el número de caminos de longitud n que hay del vértice i al vértice j
Matriz de accesibilidad
Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 30
⎩
⎨
⎧+
=
valor
otro
cualquier
Para
v
vértice
al
v
vértice
del
dirigido
paseo
un
existe
Si
0
j i,
j
i
m
Ob
servaciones
•La matriz M(G) puede obtenerse elevando la matriz X(G) a potencias sucesivas y por cada elemento de la potencia que sea distinto de cero se coloca un más en la matriz M(G). El número de potencias necesario es
2
2
n
n
+
•Si la matriz cuenta con puros “+” entonces la gráfica esta conectada
Ejemplo:
Sea la siguiente gráfica, sacar la matriz de incidencia, adyacencia y accesibilidad:La matriz de incidencia es la siguiente:
0
1
1
1
0
2
1
0
0
0
2
2
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
5
4
3
2
1
)
(
−
∑
∑
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
±
−
−
F
E
D
C
B
A
G
A
Observaciones:
•Como las columnas 1 y 2 son iguales índica que son líneas paralelas
•El renglón de ceros de la fila F indica un vértice aislado
Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 31
•El grado interno de cada vértice es la suma de los -1 cómo se muestra en la matriz
•El grado externo de cada vértice es la suma de los 1 cómo se muestra en la matriz
•El vértice D y E son vértices finales
•El vértice B es inicial
Observaciones:
• El uno en la diagonal principal indica un bucle en el vértice C
• La columna y el renglón de F en ceros indica que es un vértice aislado
Observaciones:
•Cómo la matriz tiene ceros la gráfica esta desconectada
Matrices para gráficas y Digráficas
Matriz Circuito
Sea q el número de circuitos diferentes en una gráfica G, y e el número de líneas, entonces la matriz circuito B(X) se define como:
⎩
⎨
⎧
=
caso
otro
en
0
línea
ésima
-j
la
contiene
circuito
ésimo
-i
el
si
1
,j ib
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
)
(
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
G
X
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
+
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
(
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
G
M
Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 32
Nota: esta matriz es tanto para gráficas cómo digráficas
Observaciones:
•Una columna de ceros corresponde a una línea que no pertenece a los circuitos
•Jamás habrá un renglón de ceros
•Si en un renglón hay un solo 1 entonces es un circuito
•La suma de renglones es la longitud de un circuito
•La matriz no contiene líneas iguales ya que esto implica dos circuitos iguales. Dos o más circuitos son iguales si contiene las mismas líneas.
Ejemplo:
Sea la siguiente gráfica sacar la matriz circuitoLo circuitos encontrados en esta gráfica son los siguientes: • D,8,D • A,3,B,1,A • C,5,B,4,C • C,7,D,6,C • B,4,C,2,A,3,B •
La matriz queda de la siguiente manera
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
8
7
6
5
4
3
2
1
V
IV
III
II
I
Matriz trayectoria
Se define para un par específico de vértices (Vi,Vj). Los renglones son las diferentes
Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar Página 33
⎩
⎨
⎧
=
caso
otro
en
0
línea
ésima
-j
la
contiene
ia
trayector
ésima
-i
la
si
1
,j ip
Nota: esta matriz es tanto para gráficas cómo digráficas
Observaciones:
•Una columna de ceros indica una línea que no está incluida en alguna trayectoria
•La suma por renglón es la longitud de la trayectoria
•Hay
2
)
1
(
n
−
n
diferentes matrices trayectorias
Ejemplo: Realizar la matriz trayectorias P(D,A)de la siguiente Gráfica Las diferentes trayectorias son:
I. D,7,C,2,A II. D,7, C,5,B,1,A L La matriz es la siguiente: