Tema 1: Fundamentos de lógica, teoría de conjuntos y
es-tructuras algebraicas. Números complejos
En este tema vamos a analizar diversos conceptos que no están propiamente incluidos en el temario, así como algunas cuestiones sobre terminología y notación. Comenzamos con algunos sím-bolos:
El símbolo∀se lee ”para todo”. El símbolo∃se lee ”existe” (y@se lee ”no existe”). El símbolo |se lee ”tal que”. La expresión⇒se lee ”implica” o también ”sientonces ” (y significa que si la condición de la izquierda se cumple entonces se cumple la de la derecha). En esta situación se dice quees condición suficiente para, o quees condición necesaria para. La expresión⇔
se lee ” si y sólo si ” (y significa que las dos condiciones son equivalentes, es decir, que ambas se cumplen o no simultáneamente). En esta situación se dice que cualquiera de las condiciones es condición necesaria y suficiente para la otra. El símbolo∨significa ”o” (llamado también disyunción) y el símbolo∧se traduce como ”y” (llamado también conjunción). Parafinalizar, algunas notaciones que vamos a utilizar son:
Dados elementos1 2 , para designar la suma de ellos 1+2++ en matemáticas es frecuente utilizar la notación
P =1 . De forma análoga, Q =1
designa el producto de dichos elementos.
1.
Conjuntos
Un conjunto es la reunión en un todo de determinados objetos diferenciables unos de otros. A los objetos que forman un conjunto se les llamaelementos del conjunto.
Ejemplo: Algunos conjuntos son
{123}{ }{528125}
el conjunto de los números pares, el conjunto de las personas de esta ciudad, etc. Así, en el primer conjunto de los anteriores, diremos que1es un elemento del conjunto y escribiremos 1∈{123} (se lee ”1 pertenece al conjunto{123}”). Análogamente 23∈{123}. (Si queremos decir que algo no pertenece al conjunto basta usar el símbolo∈; por ejemplo 4∈ {123}.)
Un conjunto puede describirse enumerando sus elementos (éstos suelen ponerse entre llaves separa-dos por comas, como ocurre con los tres primeros casos anteriores) o definiéndolo por las propiedades que verifican sus elementos (como ocurre con los últimos 2 casos anteriores).
Si un conjunto consta de un número finito de elementos se dice que es un conjunto finito y si no se dice que es infinito. Se llamaconjunto vacíoal que no tiene ningún elemento, y se designará por
∅.
Sean y conjuntos. Diremos que es unsubconjunto de cuando todos los elementos de
están en . Esto lo denotaremos del siguiente modo ⊆(se lee ” está contenido en”). Si queremos decir que el conjunto no es un subconjunto de escribiremos *. (A veces se utiliza ⊂ en vez de ⊆para designar la inclusión.)
Dados conjuntos y, para comprobar que son iguales (=) hay que ver que ambos tienen exactamente los mismos elementos. Para demostrar esto, en la práctica, lo que se hará en la mayoría de las ocasiones será observar que se verifican las dos inclusiones ⊆ y⊆.
Ejemplo: {12} es un subconjunto de {123}; {3} es un subconjunto de todos los números impares, etc.
Sean y conjuntos. Se denominauniónde y al conjunto cuyos elementos cumplen, cada uno de ellos, la propiedad de estar o bien en o bien en . Este nuevo conjunto se denotará∪
(se lee ” unión ”). De modo matemático podríamos expresarlo así
∪ ={|∈ o bien ∈}
Se denomina intersección de y al conjunto cuyos elementos cumplen, cada uno de ellos, la propiedad de estar tanto en como en . Este nuevo conjunto se denotará ∩ (se lee ”
intersección”). De modo matemático podríamos expresarlo así
∩ ={|∈ y∈}
Se llamadiferenciadepor al conjunto formado por los elementos que están enpero no en. Se denota por− (también se denota\; incluso algunos docentes lo llamancomplementario de en y lo denotan por). De modo matemático podríamos expresarlo así
− ={|∈ y ∈}
Ejemplo: a)
={123} ={624} ∪ ={12346} ∩ ={2} − ={13} − ={64} Observemos que los elementos repetidos se consideran una sola vez en la unión.
b)
={193} ={624} ∪ ={123469}
∩ =∅ − ={193} −={624}
El producto cartesiano de dos conjuntos y se denota por × y es el conjunto de los ”pares” de elementos de y de, es decir
× ={( )|∈ y∈}
La definición se extiende de forma natural para cualquier número de conjuntos. En el caso de que hagamos el producto cartesiano de un conjuntoconsigo mismoveces utilizaremos la notación para denotar
veces
z }| {
××× (como ocurrirá por ejemplo con R2
R3 y en general con
R. En estos casos sus elementos los denominamos vectores).
Los conjuntos numéricos más destacablesson los siguientes: i) El conjunto de los números naturales
N={0123 }
A veces nos interesa tomar el conjunto
N∗ ={123 }
ii) El conjunto de los números enteros
Z={01−12−2 }
Es claro que todo número natural es un número entero. iii) El conjunto de los números racionaleso fraccionarios
Q={
tales que ∈Z y es no nulo}
Este conjunto puede también verse comolos números decimales que son periódicos (in-cluyendo el caso de números sin decimal [los enteros] y números con una expresión decimal
finita). Así por ejemplo serían números racionales 23 = 0b6 = 0666, −72 =−35 y 42 = 2. De este modo se ve claramente que todo número entero es un número racional, pues = 1. iv) El conjunto de los números reales R, algo más difícil de dar explícitamente, podríamos verlo
como el conjunto de los números decimales, tanto los periódicos como los no periódicos. Serían ejemplos de números reales, aparte de todos los números racionales, algunos que no lo son, como √2 = 141421, log25 = 232192, y otros tantos números que tienen infinitos
decimales, pero no pueden darse con una expresión que se repita periódicamente. También tenemos los conjuntos
R+ ={∈R| 0} yR−={∈R| 0}
A los números reales que no son racionales se les llama números irracionales. El conjunto de los númerosirracionaleses R−Q.
v) El conjunto de los númeroscomplejos
C={+| ∈R}
donde se consideracomo la raíz cuadrada de−1,=√−1. Algunos números complejos serían los siguientes: 2−3√3 +−4−04, etc. Es claro que todo número real es un número complejo pues=+ 0.
De la definición de los conjuntos numéricos anteriores se deduce que N⊆Z⊆Q⊆R⊆C
2.
Aplicaciones
Unaaplicación(ofunción) dehacia(o deen) es una forma de asignar a cada elemento de un elemento de . Escribiremos : → ó → . Al conjunto se le llamará dominio (o conjunto inicial) y al conjunto codominio (o conjunto final) de la aplicación. Si ∈
entonces el elemento de que le asignamos al elementose llamaráimagendepor y se denotará
(). Esto también se expresa con las siguientes notaciones
→ Ã()
→ →() Se llama imagen de la aplicación al conjunto
Im ={()| ∈}, o de otro modo Im ={∈|∃∈ cumpliendo() =}
Ejemplo:
a) Sea : {1264}→ {24689} definida del modo siguiente: al 1 le asignamos el 4, al 2 el 9, al6el 8, y al4 el9. Entonces está dada por
(1) = 4
(2) = 9
(6) = 8
(4) = 9
(es decir, la imagen del1es el 4, la imagen del 2es el 9, la imagen del 6 es el8, y la imagen del 4es el9).
b) Sea un conjunto. Se llamaaplicación identidad en a la aplicación :→ definida por () = ∀ ∈ (otras formas de denotar la aplicación identidad es , , 1, , , 1 ó ). Por ejemplo la aplicación identidad en el conjunto ={250} cumple que
(2) = 2
(5) = 5
(0) = 0
c) La aplicación constante es la que lleva todos los elementos hacia . Por ejemplo : {651}→{2879} sería la aplicación constante 7:
(6) = 7
(5) = 7
(1) = 7
Notación: Dada una aplicación :× → entonces (( ))podrá denotarse también por
( ).
2.1.
Algunos tipos de aplicaciones
i) Inyectivasi se cumple la siguiente propiedad:
Si tenemos ∈ tales que () = (), entonces = ; o, dicho de otro modo, cada par de elementos distintos del conjunto inicial tienen distintas imagénes.
ii) Suprayectiva o sobreyectiva si Im = . (Como siempre se tiene Im ⊆ , que sea suprayectiva equivale a que∀∈ ∃∈ tal que() =, es decir, quetodo elemento del conjunto final sea imagen de algún elemento del conjunto inicial ).
iii) Biyectivasi es tanto inyectivacomo suprayectiva. Ejemplo: a) Sea :{123}→{ 0} dada por (1) = (2) = (3) = 0
Entonces es inyectiva (porque no hay elementos que tengan imágenes iguales), pero no es suprayec-tiva (Im ={ 0}, y ∈Im). Por ello no es biyectiva.
b) Sea
:{123}→{ }
definida del siguiente modo:
(1) = (2) = (3) =
Entonces no es inyectiva (porque hay elementos distintos que tienen imágenes iguales; en concreto se tiene que(1) =(3)), pero sí es suprayectiva (porque Im ={ }). Luego no es biyectiva.
c) Sea
:{123}→{ ∗}
la aplicación definida por
(1) = (2) = ∗
(3) =
Entonces es inyectiva y suprayectiva, con lo que es biyectiva. d) Consideremos
la aplicación dada por
(1) = (2) = ∗
(3) =
Entonces no es inyectiva ((1) =(3)) ni suprayectiva ( ∈Im). Por tanto no es biyectiva. e) Sea
:R→R definida, para cada ∈R, por
() = 2+ 1
Veamos que es biyectiva. Empecemos por la inyectividad. Supongamos que para ∈ R se tiene que () = () es decir, 2+ 1 = 2+ 1. Entonces restando 1 y dividiendo después entre 2 se tiene que = . Para probar que es suprayectiva tomemos un elemento arbitrario ∈ R. Debemos encontrar alguna antiimagen, es decir, un elemento ∈ R tal que () = , es decir, tal que 2+ 1 = . Procediendo como antes, es decir, restando 1 y dividendo entre 2, se tiene que el elemento buscado es= −21, es decir, (−21) =.
f ) La aplicación
:R→R definida, para cada ∈R, por
() =2
no es inyectiva, pues (2) = (−2) = 4 (de hecho para cada se tiene que () = (−)). Tampoco es suprayectiva (pues @ ∈ R tal que () = −2; de hecho, lo mismo que sucede para el número −2, sucede para cualquier número negativo).
2.2.
Operaciones con funciones
Las funcionessumay resta de dos funciones y son las funciones definidas por (±)() =()±()
y elproducto por el escalar
(·)() =·() Producto (·)() =()·() ycociente () = () ()
Composición ( ◦)() =(()) Ejemplo: Sean () =+ 1 y() = 1. Entonces ( +)() =+ 1 + 1 = 2 ++ 1 (−)() =+ 1− 1 = 2+ −1 ( ·)() = (+ 1)· 1 = + 1
y en los puntos para los que tenga sentido
() = (+ 1) : 1 = (+ 1)·= 2+ () = 1 : (+ 1) = 1 (+ 1) ( ◦)() = (1 ) = 1 + 1 (◦)() = (+ 1) = 1 + 1 2.2.1. Composición de aplicaciones
Este tipo de operación con funciones requiere un tratamiento especial. Sean
−→
−→
aplicaciones. Entonces es posible definir la aplicación compuesta de y , la cual está dada del siguiente modo:
A cada elemento ∈, primero le aplicamos y nos resulta un elemento =()∈. A este elemento obtenido le aplicamos y resulta() =(()). A la aplicación así definida se la denotará por◦ y se le llama lacomposición de y (se lee ” compuesto con”). Con esta notación tendremos ◦() =(()) Ejemplo: 1) Sean :{1234}→{2379} :{2379}→{23} definidas por: (1) = 7 (2) = 7 (3) = 9 (4) = 2
(2) = 3 (3) = 3 (7) = 3 (9) = 2 Entonces ◦ :{123}→{23} está definida por
◦(1) = ((1)) =(7) = 3 ◦(2) = ((2)) =(7) = 3 ◦(3) = ((3)) =(9) = 2 ◦(4) = ((4)) =(2) = 3 2) Sean :R→R :R→R dadas por () = 32 () = 2 −1 para cada ∈R. Entonces es posible calcular las aplicaciones
◦ :R→R ◦ :R→R
y están dadas, para cada, por
◦() =(()) =(32) = 2(32)−1 = 62 −1
◦() =(()) =(2−1) = 3(2−1)2 = 3(42−4+ 1) = 122−12+ 3 3) Sea
:→
una aplicación de un conjunto en sí mismo. Entonces a la composición
◦ :→
la denotaremos por 2. En general, a la composición de consigo misma veces, la denotaremos
por.
Como puede deducirse del penúltimo ejemplo, en los casos en los que puede hacerse la composición en ambos sentidos (cosa que no ocurre siempre) no tienen por qué coincidir◦ y ◦.
2.3.
Inversa
Sea : →
una aplicación biyectiva. Entonces dado∈ existe un único elemento∈ tal que
() =
Éste es precisamente el que cumple que
−1() =
Así puede definirse otra aplicación
: →
definida por
() =−1()
De hecho se dice que esta aplicación es la inversa de y se denota simplemente por
−1 : →
En esta situación se tiene que
−1 ◦ = ◦−1 =
Nota:No confundamos esta notación con la que se da en la situación general en la que tenemos una aplicación cualquiera , no necesariamente biyectiva, y −1 se utiliza para hallar antiimágenes de
subconjuntos del espaciofinal. En este caso la peculiaridad que se da al ser biyectiva es que todo elemento tiene antiimagen y además ésta es única.
Ejemplo: Consideremos la aplicación
:R→R definida anteriormente, para cada ∈R, por
() = 2+ 1
Ya vimos que era es biyectiva. Para determinar la inversa −1 :
R→ R hacemos igual que en la demostración de la suprayectividad. El cálculo de ésta se hace igual que la demostración de la suprayectividad: para cada∈R tenemos que hallar−1() =, con() =. Con anterioridad ya
habíamos deducido que = −21 (basta con comprobar que(−21) =), es decir,
−1() = −1 2
Nota: Lo que ocurre en el ejemplo anterior no es lo más habitual. Más frecuentemente lo que ocurre para construir la inversa es lo siguiente:
A partir de una función, se toma un conjunto ⊆ en el que sea inyectiva. Restringiendo de este modo el dominio se tiene ahora que la nueva función es inyectiva y tomando como codominio
la imagen de se tiene pues que : →() es biyectiva, luego tiene sentido tomar la inversa
−1 :()
→ restringiendo el dominio y el codominiode este modo. Ejemplo: La aplicación exponencial () = es inyectiva ( :
R → R) pero no suprayectiva. Ahora bien si restringimos el codominio aR+(que es la imagen de) resulta que ahora sí es biyectiva
:R→R+. Su inversa−1 :
R+
→Res el logaritmo neperiano () = log. Ejemplo: La aplicación del ejemplo f) visto con anterioridad
:R→R definida, para cada ∈R, por
() =2
no era ni inyectiva ni suprayectiva (por tanto ni biyectiva), con lo que no tiene inversa. Notemos qué pasa ahora si restringimos el codominio primero. ConcretamenteIm =R+
∪{0}. Tomemos
1 :R→R+∪{0}
definida, para cada ∈R, por
1() =2
Esta aplicación ahora sí es suprayectiva, pues aunque está definida del mismo modo anterior, ahora tomamos como espaciofinalR+
∪{0}, precisamente la imagen de la aplicación, y así nos aseguramos de que todo elemento de este espacio es imagen de alguno del espacio inicial.
Y si ahora además restringimos el dominio del siguiente modo
1 :R+∪{0}→R+∪{0}
la aplicación además de ser inyectiva también es suprayectiva, y por tanto biyectiva. Paralelamente se puede definir otra función biyectiva
2 :R−∪{0}→R+∪{0}
exactamente igual solo que quedándonos con el dominio de los negativos (y el 0), en vez de los positivos. Notemos que 1 y 2 están definidas exactamente igual que (llevan cada número a su
cuadrado), lo único que las diferencia entre ellas y a su vez de es el dominio y/o el codominio. Al ser ambas funciones biyectivas tienen inversas respectivas
1−1 :R+∪{0}→R+∪{0}
2−1 :R+∪{0}→R−∪{0} definidas del siguiente modo:
1−1() =
√
2−1() = −√
3.
Estructuras algebraicas
Este apartado está dedicado a ver las estructuras algebraicas que usaremos más adelante y que, por tanto, deben ser conocidas. Comenzamos con la estructura de grupo abeliano.
Definición: Un grupo abeliano es un par (∗) donde es un conjunto y ”∗” es una ley de composición interna (LCI) en (una LCI es una aplicación ∗ : × → ; lo cual se traduce en que cada par de elementos ∈ se pueden ”operar” mediante ”∗” para dar otro elemento de
al que denotaremos por∗) que verifica:
1. ”∗” es asociativa: ∀ ∈se tiene que
(∗)∗=∗(∗) (en lo sucesivo pondremos∗∗sin paréntesis).
2. ”∗” es conmutativa:∀ ∈ se tiene que
∗=∗
3. Existencia de elementoneutro para ”∗”: es decir, ∃∈tal que
∗==∗
∀∈. El neutro lo llamaremos en este caso.
4. Todo elemento ∈ posee elementosimétricopara ”∗” que cumple que
∗=∗=
Nota: Si no se cumple la propiedad conmutativa se dice que es un grupo no abeliano.
Observación: Todos los conjuntos numéricos anteriormente mencionados, excepto N, con la operación interna ”suma habitual de números” constituyen grupos abelianos. En esta situación el elemento neutro es el número0, y el simétrico de un elementoes el opuesto=−. El problema de Nes que no todo elemento tiene opuesto; por ejemplo el 1 no tiene opuesto en N, es decir, no existe ningún elemento∈N que cumpla que 1 += 0. Sin embargo con la operación interna ”producto habitual de números” ningún conjunto numérico constituye un grupo abeliano; por ejemplo el0 no tiene simétrico. Precisamente esto lo que da lugar a la estructura de cuerpo, que es la que vemos a continuación.
Definición: Un cuerpoes una terna (+·) donde es un conjunto y ”+” y ”·” son LCI en
que verifican:
I) (+) es un grupo abeliano (denotaremos por 0al neutro de (+)). II) ”·” es asociativa.
IV) (Propiedadesdistributivas) ∀ ∈ se tiene que
·(+) =·+· y (+)·=·+·
V) Existe un elementoneutro para ”·” (al que denotaremos por 1). Esto se traduce en que
·1 = 1· =
para cualquier.
VI) Todo elemento ∈ −{0} posee elemento simétrico para ”·”, al que denotaremos por −1 y
que será denominado elinverso de en. Se verifica entonces que 1 =·−1 =−1·
Observación:
1. A las LCI ”+” y ”·” se les llamará respectivamentesuma yproducto.
2. Puede omitirse el signo del producto. Así en expresiones como·pondremos simplemente . 3. Pueden eliminarse los paréntesis en expresiones de la forma(+)+=+(+)ó()=() poniendo simplemente ++ ó , respectivamente, gracias a la asociatividad de la suma y el producto.
4. Las propiedades asociativas, conmutativas o distributivas pueden extenderse a cualquier número
finito de elementos. Por ejemplo esta última sería así:
(1+2 ++) =1 +2++
Ejemplo: De los conjuntos numéricos anteriormente mencionados, con la suma y el producto habituales, son cuerpos Q, R yC. En éstos todo elemento no nulo tiene inverso, cosa que no ocurre en Z (ni en N, que ni siquiera era un grupo abeliano para la suma), pues por ejemplo 2 no tiene inverso, ya que @∈Z tal que 2·= 1.
Propiedad: Dado un cuerpo se cumple que:
Para ∈ se tiene ·= 0 si y sólo si = 0 ó= 0.
Nota: De todos los cuerpos existentes usaremos especialmente Ry ocasionalmenteC.
4.
Números complejos
El conjunto de los números complejos es C = { +| ∈ R}, donde = √−1 (es decir,
2 =
−1). Este conjunto tiene estructura de cuerpo (como ya hemos dicho anteriormente) con la suma y el producto definidos de forma usual:
Dados 1 =1+1 y2 =2+2, lasuma se realiza coordenada a coordenada, es decir,
Elproducto se realiza utilizando la propiedad distributiva del siguiente modo:
1·2 =12+12+12+122 =12+12+12−12 = (12−12) + (12+12)
Si = + es un número complejo (ésta se llama forma binómica de ), se llama parte realde yse llamaparte imaginariade. Si la parte imaginaria es0entonces es realmente un número real; si la parte real es0 se dice que es un número imaginario puro. Se llamaconjugado de al número complejo =−.
Se llamamódulo de al número real =||=√2+2, el cual es siempre positivo, salvo para
= 0 (en cuyo caso el módulo da 0).
Todo número complejo no nulo =+ tiene inverso(para el producto), y éste es −1 =
||2.
De este modo se define la división de un número complejo entre otro número complejo 6= 0 como
=·−
1.
Se llama argumento de 6= 0 a cualquier ángulo que cumple la relación || = cos+, o equivalentemente
=||(cos+) =||cos+||
De hecho de estos ángulos hay solamente uno, , que verifica además que − ≤. A éste se le llamaargumento principal de .
Ésta se llama laforma trigonométrica del número complejo . También se dice que la forma polar de es . Estas formas permiten hacer cálculos de multiplicación, división y potencia más fácilmente porque:
Producto
||=|| ||
arg() = arg+ arg ·00 =0+0 Cociente ¯ ¯ ¯ ¯= |||| arg = arg−arg
0 0 = ( 0)−0 Potencia ||=|| arg() =·arg ()= ()·
Se puede definir la función exponencial también para números complejos. Ésta función satisface muchas de las propiedades algebraicas de la exponencial real:
+ =
− =
= cos+ para cada número real (=√ −1).
Precisamente esta última propiedad es nueva y es la que nos va a dar laforma exponencial de los números complejos:
Para cada número complejo se tiene que =||arg
Multiplicar y dividir en forma exponencial es sencillo por las propiedades enunciadas anterior-mente: ·=||arg ·||arg = || ||(arg+arg) = ||arg ||arg = || || (arg−arg)
Raíces n-ésimas: Si 6= 0, dado un número natural ≥ 2, se tiene que posee raíces
-ésimas distintas (es decir, números complejos1 2 tales que()= para = 12 ). Estos números tienen todos módulo √ y sus argumentos son (reducidos al intervalo ]- ])
1 = 2 = 1+ 2 3 = 2+ 2 4 = 3+ 2 = −1+ 2
Veamos algunos ejemplos de operaciones con complejos:
1. (2 +) + (5−4) = 7−3 (2−6)−(−3 + 2) = 5−8 2. (3 + 2)·(2−) = 6−3+ 4−22 = 6 ++ 2 = 8 + 3. (6−4) = 6 + 4 (2 + 6)−1 = 2−406 = 201 −203 4. = 3−3 ||=p32 + (−3)2 =√18 = 3√2 Si = arg
entonces se tiene que
3√2(cos+ ) = 3−3
de donde se deduce que
3√2 cos= 3 3√2 =−3 o lo que es lo mismo cos = √1 2 =−√1 2
y por tanto este ángulo vale
315 = 7
4 , lo que nos da =−
4 para que el ángulo esté comprendido en]- ]
5. =−4 + 4 ||= 4√2 arg= 135 = 3 4 Tomando=8 ||=||8 = (4√2)8 = 220 arg= 83 4 = 6 = 1080
, que resulta ser0 = 0 6. Hallemos las 3raíces cúbicas del número complejo
=−27
Como ||=p(−27)2 = 27 arg = 270 = 3
2
se tiene que las3 raíces cúbicas buscadas 1, 2 y3 verifican que
|1|=|2|=|3|=
3
√ 27 = 3 En cuanto al argumento se cumple
arg1 = 270 3 = 90 = 2 arg2 = arg1+ 360 3 = 90 + 120 = 210 =7 6 =− 5 6 arg3 = arg2+ 360 3 = 210 + 120 = 330 =11 6 =− 6 En definitiva
1 = |1|(cos arg1+arg1) = 3(0 + 1·) = 3
2 = |2|(cos arg2+arg2) = 3(−
√ 3 2 − 1 2) =− 3√3 2 − 3 2
3 = |3|(cos arg3+arg3) = 3(
√ 3 2 − 1 2) = 3√3 2 − 3 2
