Efecto del sesgo y la varianza en la elección de una matríz (diseño) de tratamientos en dos variables

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(1)--I'iO\:'r'. ESCUELA NACIONAL DE A RICULTURA COLEGIO DE POSTGRA UADOS C.t.QplftIO, N.b'''.. i. "EFECTO DEL SESGO Y LA VARIANZA EN LA ELECOION DE UNA MATRIZ (DISEÑO) DE TRATAMIENTOS EN DOS VARIABLES",. por. Orlando Martínez Wilches. Tesis presentada como requisito parCial para obtener el grado de. MABSTRO EN. CIENCIAS. ESPECIALIDAD ESTADISTICA. 1974.

(2) -~. Esta tesis fué realizada bajo la dirección del Consejo Particular indicado, ha sido apro*ada por el m~smo. y aceptada como requisito parcial para la obten--. ción del grado de:. MAESTRO EN CIENCIAS ESPECIALISTA EN ESTADISTICA. Chapingo, Méx., 10 de enero: de 1974. CONSEJO. PARTICULAR //. CONSEJERO ASESOR. t.

(3) AGRA DE. e. o. I MI E N T. i. Agradezco al Dr. Alberto. Castil~o. M. por. su acertada dirección en el presente estudio y por sus valiosas sugerenclas durante mi permanencia en este Centro.. Al Dr. Ignacio Méndez R. por su decidida colaboración en ciertas fases de este trabajo y por las enseñanzas recibidas como Maestro..

(4) --. A ml querida esposa Sonia. Dedico.

(5) TABLA DE CONTENIDO Pág. LISTA DE TABLAS................................ 1. LISTA DE FIGURAS....... . . • . . . • . . . . . • . • . . . . . . . .. 11. 1.INTRODUCCION................................... 1. 2.. 4. REVISION DE LA LITERATURA.. . . . . . . • . . . . . . . . . . . . 2.1.. Antecedentes y definición de conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. 2.1.2. 2.1.3. 2.1.4. 2.1.5. 2.1.6.. 2. 2.. 4.. •. •. •. 4 4. Modelo .................. 6. 4. ............ .. Concepto de sesgo .....•......... Varianza del error ...•.......... Sesgo y varianza como un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Criterios en la comparación de diseños . . . . . . . . . . . . . , ....... .. !....... .. 8. 11 13 14 20. Consideraciones sobre el modelo ........ " " . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2O. Consideraciones sobre la matriz experimental.............. 23. MATERIALES Y METO DOS .................•......... 26. 3.1. 3.2. 3.3.. Criterio de comparación .....•..•........ Metodología ................•... ~ ....... . Diseños experimentales selecciotados ... .. 26 28 31. RESULTADOS y DISCUSION .............•........... 33. 2.2.2. 3.. •. "Matriz experimental ...........•.. Planteamiento del problema ..... 2.2.1.. I. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.. Indice de sesgo y componentes V y B proporcionados por el modelo cu~drá-. i~~~~~·d~·~~~~~·~·~~~~;~~~t~~·Vt~·B····· proporcionados por el modelo rafz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indice de sesgo y componentes V y B proporcionados por el modelo raíz cuadrada-cuadrático ..•.......••......... Indice de sesgo y componentes V y B proporcionados por el modelo cuadrático-raí z cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indices de sesgo proporcionados por todas las combinaciones de modelos y estimadores considerados .......•......... 33 38. 42 46 50.

(6) pág. 5.. CONCLUSIONES. • • • • • • • • • • • • . • • . • • • • • • • • • • . . . • • . •. 54. 6.. RESUMEN........................................ 57. 7.. BIBLIOGRAFIA. • • • • • • • . . • • • • • • • • • • • . • . • • • • • . • • • •. 61. 8.. APENDICE ". • • • • . . • • • • • . • • • • . . • . • • . • • . • • . . • • • . • •. 63.

(7) 1. LISTA DE TABLAS pág. No. Tabla. 1 2. Modelos '.'verdaderos" l1Cx) adoptados en el estudl.O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. Indice de sesgo para las matrices experimentqles en estudio, bajo el modelo "ver1 25 o pO.5+ 0 N1 . 5 d a d ero " nCN,p): o~O +"~1 N . +~2 ~ii +B22PO.75+B12Ni.25pO.5 y como estimador A. 3 ~. YCN,P) el modelo cuadrático. ....•...•..... 35. Valores de los componentes V y B para cada matriz experimental ..............•..... 38. Indice de sesgo para las matrices experimentales en estudio, bajo el modelo "ver1 25 +" pO.5+ 0 Ni . 5 d a d ero "n CN,P)-- !3 +0~1 N . ~2 ~11. °. +S22PO.75+S12Nl.25pO.5 y como estimador A. 5. 6. YCN,P) el modelo raíz cuadrada •........... 39. Valores de los componentes V y B para cada matriz experimental ......... ......... .. ~2. Indice de sesgo para las matrices experimentales en estudio, bajo el modelo "ver1 25 Q p O. 5 S N1 . 5 da d ero " l1CN,P)= o~O +0~1 N . +~2 + 11 +S22 PO ' 75+ B12N 1. 25 p O. 5 y corno estima¡dor A. 7 8. •. YCN,P) el modelo raíz cuadrada,cuadrático. ~3. Valores de los componentes V y B para cada matriz experimentaL ...••...•.... , ...... ~6. •. •. i I. •. Indlces de sesgo para las matrlces experl mentales en estudio, bajo el modelo "ver=" o + o N1. 25 o pO. 5 + o Ni . 5 da d ero l1CN,P)= ~O ~1 +~2 ~11 +S22Po.75+B12N1.25pO.5 y corno estimador A. •. YCN,P) el modelo cuadrático-raíz cu~drada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . .. 47.

(8) II. Pág. No. Tabla 9. Valores de los componentes V y B para cada matriz experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. LISTA DE FIGURAS 1. • •. Distribución de lasmatr1:ces de tratamien • • tos en el espaclo factorlal R2 ....•......-. 32.

(9) 1.. INTRODUCCION. Una de las metodologías que se han utilizado en las úl timas décadas en el campo de la investigación agronómica, para describir el comportamiento de los cultivos, consiste en establecer relaciones matemáticas (modelos estadísticos) que expresen con el mayor grado de precisión posible, la. re~. puesta de los cultivos al ser sometidos a estímulos (tratamientos).. Myers (1971), Box y colaboradores (1951, 1957,. 1959) indican que además del modelo estadístico, es necesario una adecuada elección de tratamientos; ésto implica una búsqueda en conjunto de combinaciones de tratamientos y mode lo estadístico. Debido a que los costos de establecimiento y desarrollo de un experimento está estrechamente relacionado con el núme ro de tratamientos y repeticiones, se desea entonces. proye~. tar investigaciones con un número mínimo de tratamientos que proporcionen información económica y confiable. Box y Draper (1959) señalan que si la estructura matemá tica de un fenómeno biológico es desconocida, es razonable suponer la existencia de una variable n que depende de una serie de factores relacionados, ésta se purde denotar así. •.

(10) 2.. Puesto que el investigador desconoce la estructura matemáti ca del fen6meno 6 ley natural, tratará de acercarse a él a •. través de un modelo aproximativo del tipo. A la función F se le conoce en la literatura bajo el nombre de "Superficie de Respuesta" y el residuo. mide el error. e;. 1. experimental asociado a la i-ésima observación. El prop6sito de este estudio es la comparación de. alg~. nos diseños de segundo orden en dos variables, de uso común en la investigación agrícola: los propuesto$ por Berardo y Hernández (1972), el cuadrado doble modificado, el compuesto central de Box modificado y el diseño San Cristóbal. Se tomará como medida de evaluación J, el criterio. pr~. puesto por Box y Draper (1959) que representa el error medio cuadrático, ponderado en una región de interés R y normali-zado respecto al número de observaciones N y la varianza a 2. J. donde. " J.. (~~). n(x) •. N R E r¡-1. = = = = = = =. A. Nrl. +. f R{E(Y(x)-n(x))2 dx}. a2. Estimador de n (x) ,1. ~. Modelo real o verdadero Número de observaciones Espacio de exploración Operador esperanza matemática f d;. R.

(11) 3•. Este criterio posee la ventaja de que no es afectado por el tipo de codificaci6n usada en las variables independientes, toma en cuenta la varianza, el sesgo y es u. concepto de in. tegraci6n no limitado a cierto punto especí ico i, e, x 1 ,x 2 , x3""'~' sino que considera toda la regi6n de exploración. R.. •.

(12) 2. 2.1.. REVISION DE LA LITERATURA. ANTECEDENTES Y DEFINICION DE CONCEPTOS.. Puesto qúe el propósito general es la evaluación de un conjunto de tratamientos, utilizando un criterio estadístico, es necesario introducir los conceptos matriz experlmental, modelo, varianza de error, sesgo y error medio cuadrático. 2.1.1.. MATRIZ EXPERIMENTAL:. Por este concepto se en. tenderá, en este trabajo "La combinación, número y distribu cian de tratamientos seleccionados". Los diseños de tratamientos o matriz experimental, uti lizados en el cálculo de funciones de producción o superficies de respuesta, se pueden considerar agrupados bajo cuatro denominaciones: factoriales complietos, factoriales parciales, diseños compuestos y rotables!. !. Los factoriales fueron introducidos por Yates (1937) y consisten de todas las combinaciones ¡de los niveles de los factores.. Comunmente, los niveles d~ los factores son igual. mente espaciados y los tratamientos cubren uniformemente una •. área en estudio permitiendo evaluar las interacciones, además de los efectos lineales y cuadráticos.. Tienen la desven. taja de que cuando el número de tratamientos es grande, por ejemplo con cinco niveles y dos. fact~res. I. (S2),Ó tres niveles.

(13) 5.. con tres factores (3 3 ) el número de trata~ientos para un blo que es grande, llegándose a situaciones indeseables desde el punto de vista práctico.. En ciertos factoriales comple-. tos esta deficiencia puede mejorarse por medio de la técnica conocida como confusión. Como factoriales parciales de uso común en la agricultura (con dos variables), se encuentran: cuadrado doble, cuadrado triple, diamante doble y diamante triple. (1957), desarrolló las matrices experimentales. Trame 1. correspondie~. tes al cuadrado doble y diamante doble para estudiar los fac tores en cinco niveles cada uno.. El cuadrado doble está for. mado por 13 tratamientos combinados en la forma 3x3+2x2, en donde el factorial 2x2 está dentro del faictorial 3x3.. El. diamante doble consta de 13 tratamientos con una distribución en forma de diamante. El diamante triple y cuadrado triple constan ambos de 17 tratamientos; sus nombres se originan de la forma de dis tribución de los tratamientos.. El último en mención corre~. ponde a una estructura de 2x2+2x2+3x3. ron discutidos por Escobar (1967), cación al cuadrado doble.. qu~en. Rojas (1963). San Cristóbal para experimentación agríc. Bstos diseños fuepropone una modifi el diseño número de. combinaciones de este diseño depende del número de factores. •. en estudio, para dos factores se necesitan 7 tratamientos y para tres doce. Los diseños compuestos, que sirven tara ajustar super-.

(14) 6.. ficies de respuesta por medio de polinomios de segundo grado fueron desarrollados por Box y Wilson (1951) y por Box y Hunter (1957).. En este tipo de diseño el número total de. combinaciones de tratamientos está dado por 2~+2k+1.. Cuan-. do se consideran dos variables (k=2), se tien~ un total de 9 tratamientos.. I. El número de los puntos estrella, que sor adicionales , para formar un diseño compuesto central está dado por el tér mlno 2k, los puntos están a una distancia (a), el valor. CI. es. elegido por el experimentador. Box y Hunter (1957) definen que un diseño experimental "-. es rotable si la varianza de Y(x) en un punto i.e. (x 1 ,x 2 , ... ,x ) depende de la distancia del punto al centro y nó de k la dirección; igualmente desarrollan los. dis~ños. compuestos. I. rotacionales para 2, 3, 4, 5 factores. 2.1.2.. MODELO:. En el sentido físico, un modelo es la. réplica en miniatura de un objeto real i.e ut edificio, un. avión.. Méndez (1971) puntualiza sobre el mopelo matemático I. y el estadístico:. "para las ciencias, los! modelos más im ,. portantes son los modelos matemáticos, que corresponden a representaciones abstractas donde se emplean s'ímbolos para representar un fenómeno determinado". <. En un modelo se hacen. intervenir variables, números coeficientes y constantes ligadas al fenómeno bajo estudio.. En los. mod~los. matemáticos. i.e. A= b.h/2 donde A es el área de un triángulo, b es la base, y h. es la altura; las relaciones entre variables se.

(15) 7.. determinan exactamente, así en el ejemplo, se puede en contrar el área conociendo la base y la altura del triángulo. En la práctica no siempre es posible aplicar los modelos matemáticos a un fenómeno ó ley natural y ello ocurre cuando el fenómeno presenta un carácter aleatorio.. En éste. último caso, el modelo que se postula se denomina modelo tadístico.. Así, el modelo Y.= l. ~+E. l. e~. puede expresar el estu-. dio de una variable observable, con variación aleatoria en sus valores;. ~. es una constante de la variable en cuestión. y E. se considera la parte aleatoria. l. Méndez anota las diferencias esenciales entre el modelo estadístico y el matemático como sigue: a.. Se puede considerar el modelo estadístico como un modelo matemático donde interviene un elemento aleatorio al cual se le expresa como. E .• l. ,. b.. El modelo estadístico, en contrastb con el modelo rnatemático, no se aplica a un solo. slno a un nú. mero de ellos. c.. En el modelo estadístico, a causa del elemento ale ato rio que en él interviene, no se pueden determinar con exactitud el valor de una variaole¡ en función de otras. En el modelo matemático sí es posi!ble, razón por la cual también se le conoce corno mo~elo determinístico. Los primeros intentos para definir ¡la naturaleza algeI.

(16) 8.. bráica dentro de las ciencias biológicas, utilizando un modelo estadístico, fueron hechos por. Mitsc~erlich. en 1909,. al usar una forma exponencial para descri~ir la relaci6n existente entre la aplicación de nutrientes y el rendimiento (Heady y Dillon, 1969). Los modelos usados en experimentaci6p agrícola, se pue i. den agrupar en tres tipos que son: exponenciales, potenciales y polinomiales.. Los modelos o funciones exponenciales. que fueron los primeros en ser utilizados, fueron los propuestos por Mitscherlich (1909) y más tarde Spillman (1924) ambos citados por (Heady y Dillon, 1969).. La funci6n poten. cial comunmente conocida como Cobb-Douglas, tiene como exb b b presión matemática Y= aX 1 X2 2 ... xnn y ha sido amplia1 mente utilizada por los Economistas (Heady y Dillon, 1969). Por su manejo fácil, los modelos polinomiales han sido bastante. usados.. El modelo pOlinomial de segundo grado. p~. ra un factor es A. Yi. = b o +b i X1i. + b 2X1i. donde: Y i es un valor estimado de respuesta; b o es el estimador de la ordenada al origen; b 1 es coeficiente de es-. 11. timaci6n lineal; b 2 es el coeficiente· e estimación cuadrática y los Xli son los niveles del estfmulo 6 tratamiento. 2.1.3.. CONCEPTO DE SESGO:. Mood y Graybill (1963) de. A. finen que un estimador. e. es insesgado para 6 si el valor es.

(17) 9. A. A. =e. para todos los. valores de e en w (el espacio del parámetro).. Si un estima-. perado de. e,. es igual a. e,. es decir, ELe). dar no cumple con la definición anterior es sesgado y entonces el sesgo es la discrepancia entre ~l valor del parámetro y la esperanza del estimador así:. =. Sesgo. A. e - Ece). Box y Draper (1959) desarrollan el sesgo en función de la matriz alias, al ajustar un modelo como sigue:. n Cx ) =. A. -. Sesgo (x) = n Cx ). (1). E(Y ex )) ~. Modelo real o verdadero. A. Y Cx ) =. Estimador de n. Cx. ). Las deducciones algebráicas para evaluar este error se expresan a continuación bajo los siguientes supuestos. A. Y Cx ) =. ->-,. ->-. Xl b 1. ->-. donde Xl es un vector pxl, p es el númtro de parámetros a estimar;. ..... f\. es un vector pxl de. su estimador es el vector. t1. coefic~entes. de pxl.. de regresión y. Las variables no incluí ,. ..... 2 de entonces B 2. das en el modelo corresponden al vector x. kxl y el vec-. tor de parámetros desconocidos es. de orden kxl.. Sl se estima siguiendo el procedimientp de mínimos cuadra•. -+. dos, su estlmador b. 1. es:.

(18) I. 10.. I !. donde Xl es una matriz Nxp cuyas hileras son los vectores Por lo tanto A. Eey ex ». ::: ::: :: ::. -+, Xl. Eeb 1 ). ...x' ex' ... 1 (Xl1 x' 1. .... ,. x. )-1. X'1 E(Y). 1. B. X )-1 Xl(X S +X ) 1 1 2 2 1. Xl Sl + xl AS 2. donde A ::: (XlXl)-lXlX2 se llama matriz alias, X2 es una matriz Nxk cuyas hileras son los vectores ~2'. Sustituyendo. el valor del sesgo en (1) se tiene. Sesgo (x) ::: xlS 1 + Sesgo (x) :::. x2B2. -. (X 2 - XlA)B 2. La expresión (2) nos define el sesgo. para un x fijo varía al variar la. (X1B 1 +xlAB 2 ). Nótese que su valor. mat~iz. diseño Xl'. Box y colaboradores (1951,1959) presentan la formulación del sesgo en términos de los parámetros estimados del modelo,. Para ellos consideran que si SO+SlX es el modelo. verdadero en una situación experimental cualquiera, se espera que b O y b 1 sean los estimadores de vamente esto es. ~O y. S1 respecti-.

(19) 11.. Si SO+B X no representa el modelo verdadero, entonces la ex1 presi6n anterior no es cierta. Se desea conocer los términos que afectan la ecuaci6n anterior en el caso de que SO+SlX no exprese el modelo correcto, para tal propósito y conside rando las deducciones anteriores plantearon el problema como slgue:. ..... b1. E. =. (X I X )-lXIY 1 1 1. Cb 1 ) = S'1 ..... b. 1 +. t'1. +. AS 22. +. AS 22. donde la notación de la flecha indica que la expresi6n del lado izquierdo es un estimador insesgado de la expresi6n del lado derecho.. La relación define p ecuaciones del tipo:. b. l. .... 13·l +. p ¡: a· .13. j =1 lJ J. donde a .. es elemento de la i-ésima hilera y la j-ésima col] lumna de A.. Así el sesgo dependerá de la magnitud de los. elementos a .. y ellos rolsmos dependerán del arreglo de punJ.]. tos seleccionados. 2.1.4.. VARIANZA DEL ERROR:. neral los resultados de. Es reconocido que en ge!. experiment~s. repetidos no concuer-. dan perfectamente, esta variabilid~d entre experimentos (falta de reproducibilidad) es conpcida en estadística como el error experimental y se debe al hecho de que en observa-.

(20) 12. i ciones repetidas bajo condiciones similarer' los resultados. no sean idénticos, por tratarse de fenómenrs aleatorios. !. La estimación del error experimental nos provee de un medio para juzgar la confianza de las inferencias acerca de la población, por esta razón es tan importante el control del error experimental en trabajos estadísticos porque en él se basa la interpretación de los datos. El error experimental puede descomponerse en varios componentes: 1.. Errores pequeños asociados al hacer mediciones.. 2.. Errores asociados con la falta de lepresentabilidad de las muestras con respecto a las ¡poblaciones en con sideración.. 3.. Errores resultantes de la falta de igualdad de condiciones ambientales de un experimento a otro.. Si consideramos K componentes aditivos. t~nemos:. Cady y Laird (1970) consideran la. ~arianza I. del error. como resultante de dos componentes, el primero de ellos es la varianza del error experimental cr 2 y se debe al hecho de que a una misma combinación de tratamientos no correspondan valores similares de producción en diferentes repeticiones, este componente está asociado con las variaciones en las di ferentes unidades experimentales. por:. Su. e~timador. está dado.

(21) 13. n. ¿: (Y.. i=1. 1. El segundo componente es función de la distribución de los tratamientos en un espacio factorial,. ~sí. que está in-. fluenciado por la selección de la matriz de tratamientos. Este componente se visualiza en el análisis de regresión con los elementos de la matriz (X'X)-l.. El tamaño de los. elementos del inverso de la matriz X'X dependen del número de combinaciones de tratamientos en un espacio definido, y del número de veces que una combinación de tratamientos esté repetida, Box y Wilson (1951) definen ¡j.(X 'X) como la "ma triz de precisión". 2.1.5.. SESGO Y VARIANZA COMO UN CONJUNTO:. Box y Dra-. per (1959), introducen la necesidad de considerar al sesgo y la varianza.. Exponen que muchos trabajos teóricos sobre. diseño experimental conciernen solamente con errores debidos a la variación del muestreo.. Se asume agemás que una fun-. ción o modelo de respuesta provee de unalrepresentación. pe~. fecta de una ley natural, y en consecuencia, la esperanza A. matemática del estimador Y(x) se supone igual a nex)' el v~ lor verdadero ó real.. En la práctica, este supuesto no es. adecuado, porque el estimador (en este caso un polinomio), no siempre representa el valor real n ex )" En realidad, lo que ocurre es la existencia de otro ti po de error, ey no solo el de muestreo) entre el estimador A. Yex ) y la función real n(x)'. En consecuencia el primer.

(22) 14.. error se denomina error de varlanza y al segundo (debido a una función de ajuste inadecuada) se denomina error de sesgo.. Modd y Graybill (1963) definen al error medio cuadráti. co CE.M.C.) como la esperanza matemática del cuadrado de la. " diferencia entre un estimador (en este caso Y(x)) y un par~ metro (en este caso n(x))'. ". E.M.C. :: E[CY(x)-n. Cx. ))2]. Puede demostrarse que el E.M.C. contiene dOS¡ componentes: uno asociado al error de varianza y otro asopiado al error de sesgo así:. E.M.C.. "" = E[Y(x)-ECY(x)))2. E.M.C. :: Varianza Y. Cx. ". +[n(x)-ECY(x))}2. ). Como veremos en la siguiente sección el E.M.C. se utiliza como criterio para la selección de una matriz diseño.. 2.1.6.. CRITERIOS EN LA COMPARACION DE. DISE~OS:. Como. el propósito fundamental del presente estudio es el de evaluar algunos diseños de uso común en la invfstigación agrícola, es interesante tratar a los criterios que se han utilizado en la comparación y elección de una matriz experlme!!. tal. Box y Wilson (1951) consideran que dos diseños son com parables, cuando tienen igual número de factores K y el gra.

(23) 15. do de dispersión, para cada uno de los K factores sea el mismo.. Definen dispersión S~ de la t-ésima variable como:. t= 1, ... ,K. donde N es el número de hileras de la matriz diseño. Folks (1958) (citado por Escobar, 1967) considera el. espacio exploración de las variables experimentales y señala que una vez definida por el investigador la región R de exploración, dos ó más diseños son comparables si están cante nidos en R. Box y Draper (1959) plantean que el problema es la se-. lección de una matriz experimental D de N hileras y K colum nas tal que: a.. " El polinomio Y. ex. ) de orden p en k variables indepen-. dientes ajustado por el método de mínimos cuadrados puede representar a la función v~rdadera n(x) solamen te en alguna zona del espacio deiexploración. b.. Suponiendo que Y. ex. ) represente a la función verdadera. en alguna zona del espacio de eX~loración, existe una " gran oportunidad para que Y ) r~presente inadecuadacx ,. mente a n(x) en todo el espacio. Resolvieron el caso específico donde la matriz debe permi-. tir la existencia de un polinomio de grado di para la. repr~. sentación de la función verdadera, pero un polinomio de. gr~.

(24) 16.. do mayor d. > d provee la expresión 1 2 solución en los siguientes términos:. exalt~.. Plantearon la. Se. Ycx ) la respuesta estimada por el método de mínimos cuadrados la cual represe~ ta el polinomio de grado d 1 . Sea nCx) la verdadera respuesta exacta en el punto x dada por el polinomio de mayor grado d. 2. y. sea a 2 la varianza del error experimental.. Proponen seleccionar al diseño que haga mínimo a J donde:. J =. N¡J. ~. A. f RE[Yex)-nex)] 2dx. a2. ¡J-1 = f dx R. ~. J es el error medio cuadrático ponderado en la región R y. normalizado respecto al número de observaciones N y la varianza a 2 • J puede ser descompuesto de manera análoga a la descomposi-. ción del error medio cuadrático en la varianza V y el sesgo B donde:. J. =. V =. N¡J. a2 N¡J. a2. B = Nn. a. J. 2. A. .... f RVar(Y ex) )dx+. A. N¡J a2. A. .... fRVar(YCx»dX A. dx fR[nCx) - Eey ex» F~. = V + B. 2. .... fR[n(x) E(Y(x»J dx.

(25) 17. El criterio posee la ventaja de que no es afectado por el ti po de codificación, tiene en cuenta varianza, sesgo y es. ad~. más un concepto de integración no limitado a cierto punto es pecífico i.e.x 1 ,x 2 , ••• ,x k , sino que considera toda la región de exploración R. Escobar (1967) usó el criterio de selección propuesto por Box y Draper (1959) al comparar los diseños factorial 5x5, cuadrado triple, cuadrado doble, diamante doble, rial 3x3, compuesto de Box y compuesto rotacional.. fact~. Observó. que existe una relación inversa entre los componentes V y B, ésto es, los diseños que minimizan B como son el compuesto rotacional y el compuesto de Box,producen la mayor varianza. V. Trabajando en diseños para experimentos con fertilizan tes, Cady y Laird (1969) dicen. tI • • •. se asume que la. natural~. za de la relación entre el rendimiento y las variables inde pendientes es una función creciente con una proporción lenta, la cual permita definir un máximo, entonces, un modelo verdadero, para un factor, puede seleccionarse de la ecuación expresada por:. donde 0.5. ~. c. ~. 1, los dos extremos serán los modelos raíz. cuadrada y cuadrático respectivamente •... tI. Cady y Laird (1969) conceptualitan el sésgo como la di.

(26) 18.. ferencia de valores absolutos integrada en un espaclo factorial S: Sesgo. =. " J S IECY (x) )-n Cx ) I dx. ->. Los autores en menci6n señalan como ventajas de este crite-. rio: a.. Conceptualmente es fácil de entender e intuitivamente atrayente.. b.. No es limitado en el sentido de que el verdadero mode lo de grado d. c.. 2. sea mayor a d . 1. Espacios rectangulares pueden ser fqcilmente considera. i. dos. d.. Los cálculos pueden ejecutarse facilmente con un proce sador,al dividir el espacio factorial en partes pequeñas y sumar las diferencias de los valores absolutos. Berardo (1972) compar6 matrices de tratamientos con di. ferente número de combinaciones, us6 como criterio de comp~ raci6n el índice de sesgo S definido por:. S. donde. =. nCX 1i ,X 2i ) ". N í:. i=l. Inex1i ,X 2i ). " - yeX 1i ,X 2i. )!. son los valores del modelo supuesto como. verdadero, Y(X 1i ,X 2i ) corresponde a los polinomios raíz. cu~. drada 6 cuadrático y N el número de hileras de la matriz di seño.. Entre las matrices experimentales que presentaron. menor índice de sesgo se encontraron las de g a 13 trata--.

(27) 19. mientos, sobresaliendo la matriz de Box y la' de éste modifi cada por Myers de un total de 40 matrices que fueron estudiadas. Hernández (1972) propuso como sesgo la siguiente. expr~. .,.. s~on:. .... ~(X1i,X2i)'. Y(X 1i ,X 2i ), N los llamó al igual que Berardo.. y para encontrar A desarrolló una cuadrícula de 441 puntos y define a A como el área basal unitaria de la cuadrícula. en mención.. Comparó once matrices experimrntales.. Cady y Laird (1972) realizaron un. est~dio. empírico com. parando 9 matrices experimentales y utilizaron cinco criterios para compararlas: ..... 1.. Residuo I~ - YI. 2.. Indice de sesgo integrado.. 3.. " • Indice de varianza de Y, VarCY). 4.. Indice de la derivada de la respuesta de N:. 5.. Indice de la varianza de los coeficientes de regresión. ..... Var(~*). estimados. La eficiencia de las matrices utilizado.. • " ¡' " var~o:segun. el criterio. El trabajo muestra como resultados, que los di-. señas buenos para minimizar varianza no son los mejores para minimizar sesgo..

(28) 20. En términos de sesgo integrado, las ¡mejores matrices ,. fueron el compuesto de Box, el cuadrado qoble modificado por Escobar y el compuesto central mOdificadr por Thompson. pecto a la varianza de. YCx ). sObresaliero~:. Res. el factorial Sx5,. el cuadrado doble y el factorial 3x3. 2.2.. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. 2.2.1.. CONSIDERACIONES SOBRE EL MODELO:. Un modelo. cuadrático polinomial en dos variables tiene la siguiente ex .;. preSlon: A. Yi. = bo+b1Xli+b2Xii+b3X2i. + b4X~i + bSX1iX2i. donde los b. corresponden a los estimadores de los coeficien l. tes de regresión para los efectos lineales cuadráticos y de interacción y Xli Y X2i representan los niveles de los facto res en estudio. De una forma similar se expresa el modelo polinomial raíz cuadrada. Como se anotó anteriormente, estos modelos han sido de amplio uso en la investigación agrícola, en parte este hecho tiene su explicación de las siguientes consideraciones: Box y colaboradores (1951,. 1957, 1959) al desarrollar sus diseños. compuestos, supusieron que los modelos polinomiales cuadráticos pueden usarse para representar exactamente una. respue~. ta en una área de interés determinado y sus diseños fueron derivados específicamente del uso de una función polinomial cuadrática.. Esto no significa que no se pueda usar una fun. ción raíz cuadrada ó cualquier otro polinomio de grado dife.

(29) 21.. I. rente, pero quien use los diseños compue tos,automáticamente está. seleccionando una función cuadráti a para la represen-. tación de una superficie de respuesta (e dy y Laird 1972). Cady y Laird (1972) dan las siguientes opiniones sobre el modelo cuadrático: a.. La evidencia teórica y empírica indica que el modelo cuadrático da una razonable y adecuada representación de una función de respuesta en una región de interés.. b.. Es importante incluir diseños compuestos centrales en cualquier comparación de matrices experimentales aceR tanda el modelo cuadrático como Una función de estima ., Clan.. c.. El proceso de análisis y cómputo se simplifica con el uso del modelo cuadrático. El desarrollo de la computación electrónica en los úl-. timos años y su aplicación directa en la estadística, ha pe!:, mitido a los investigadores hacer uso de ésta herramienta y es así como se ha tratado de lograr un mayor conocimiento, mediante la simulación de las relacion1s factor-rendimiento y encontrar funciones algebráicas más oomplejas de las común. mente aplicadas.. El uso de ésta tecnología, en el campo ,. I. agronómico se manifiesta en los trabajqs que a continuación ,. se mencionan. Berardo (1972) y Hernández (1972) realizaron estudios empíricos sobre el efecto del modelo. a~roximativo y. la ma-.

(30) 22.. triz experimental en los cultivos de trigo y maíz y señalan, dentro de sus hipótesis de trabajo, la existencia de modelos polinomiales con exponentes enteros ó fraccionarios diferentes al raíz cuadrada y cuadrático.. Agregan que tales mode-. los describen con menor sesgo la respuesta a los factores e indican que una vez seleccionado el modelo, el sesgo varla-. rá relativamente poco entre matrices experimentales. Berardo suglere la conveniencia de dar más atención a la selección del modelo cuando se presentan respuestas marcadas a cada factor bajo estudio; por otra,parte concluye que los mejores modelos polinomiales. obten~dos. diferentes. al cuadrático, fueron diferentes para cada¡ ambiente. Hernández, indica que los modelos simulativos (polinomios diferentes al cuadrático) describen la respuesta del maíz con mayor seguridad que el cuadrático y raíz cuadrada. Por lo anterior se observa que existe más de una rela-. ción matemática para expresar las relaciones. rendimiento-fa~. tor y bien podemos decir que ellas dependerán de los objetivos de la investigación específica.. Tendrá gran peso el co-. nocimiento del investigador y la lógica del fenómeno para no llegar a resultados falsos ó contradictorios. ,. Finalmente, cabe señalar que el "pr6pósito fundamental de estas funciones, relaciones algebráicas ó modelos estadís ticos es el de proveer una base científipa de conocimiento en la descripción de un fenómeno.. Mediante las funciones. es posible aplicar un criterio económico y también permite.

(31) 23.. hacer uso más eficiente de los recursos necesarios para la producci6n". 2.2.2.. CHeady y Di llon 1969). CONSIDERACIONES SOBRE LA MATRIZ EXPERIMENTAL:. El sesgo ocurre cuando el estimador Y verdadera relación funcional nCx)'. ex. ) no es igual a la. La magnitud del sesgo. como lo señalan Box y colaboradores (1951, 1957, 1959) Y Myers (1971), dependen no solamente del modelo utilizado sino también del diseño de tratamientos. Parte de la estadística aplicada en la experimentación agrícola consiste entonces en la elección de una matriz experimental ó de tratamientos y de un modelo al cual posterio~ mente se ajustan los resultados.. La bondad de la predicción. de la respuesta estimada depende del modelo ajustado y del diseño de tratamientos utilizados. Algunas consideraciones sobre los tipos de modelos usa dos para aproximar superficies de respuesta se expresaron en la sección precedente.. A continuación se caracterizan. algunas de las propiedades que se han dado a las matrices de tratamientos de uso común en la investigación agrícola. Escobar (1967) señala que los diseños compuestos y los rotacionales de segundo orden desarrollados por Box y colaba radares (1951-1957) que sirven para ajustar superficies de respuesta por medio de polinomios de segundo grado, fueron diseñados para ser utilizados en la industria, en la cual, a diferencia de lo que ocurre en la experimentación agrícola, se suele trabajar con un error experimental bajo y por.

(32) 24.. otra parte es factible una experimentación secuencial en lapsos de tiempos reducidos. Respecto a los factoriales parciales tales como el. y. drado doble, cuadrado triple, diamante doble. cu~. triple se ca. i. racterizan por efectuar una búsqueda de la re~puesta con la misma intensidad en todas las direcciones a partir del punto central.. Berardo (1972) indica que éste crtterio puede. ser válido para la industria, que está interesada en la bús queda de un máximo y de un mínimo; anota además,que en la investigación agrícola generalmente se tiene cierto conocimiento sobre la orientación de la respuesta y'puede por lo tanto no ser necesario el efectuar una búsquela equiradial con el mismo grado de intensidad. Berardo (1972) y Hernández (1972) han prppuesto, en es tudios simulativos, matrices experimentales y,modelos de res !. I. puestas diferentes a las anteriormente caracterizados.. I. Sus hipótesis de trabajo han sido' a.. Una matriz que tenga los puntos. ~rientaros. en la di-. ., d e 1 as lSOC . l lnas' 1/ y d entro d . reCClon e ·rna f ranJa de .. !. I. tamaño aribrario del espacio f actorlal'l produce menor sesgo dentro de ese espacio que otra. ma~riz del mismo. número de tratamientos que no muestre ninguna direc-. .,. ... Clan .. b.. En un espaclo de exploración definido, si se trata de. 1/ Matemáticamente se denominan isoclinas unen puntos de igual pendiente.. I. aq~ellas. curvas que.

(33) 25. estimar la respuesta a dos factores (nutrientes) que varían en forma conjunta, existen funciones de dos ex ponentes fraccionarios para cada variable y sus respectivos términos de interacci6n, que se aproximan en mayor grado al fen6meno 6 ley natural que los modelos convencionales cuadráticos y raíz cuadrada. Cady y Laird (1969) realizaron simulaciones para obtener el efecto del sesgo en matrices experimentales con diver sos tipos de modelos concluyendo: a.. Una mayor concentraci6n de tratamientos en el área de interés econ6mico reducía considerablemente el sesgo de esa secci6n, pero se lo increment~ba en la parte restante.. b.. Cuando el interés del investigador es igual para toda una área factorial, los tratamientos se deben distribuir uniformemente en dicha área.. c.. Puesto que la distribución de los tratamientos es un factor que el investigador puede controlar antes de iniciar un estudio, ésta presenta menor influencia so bre el sesgo que el originado por inadecuado y cuya elecci6n. e~. uso de un modelo. generalm~nte. bajo el control del investigador.. no suele estar.

(34) 3.. 3.1.. MATERIALES Y METODO. CRITERIO DE COMPARACION.. Utilizamos como criterio de comparación el propuesto por Box y Draper (1959) ósea. :=. .... f dx R. Las ventajas del criterio ya han sido meJcionadas, igualmente se obtuvo que podía descomponerse en dos componentes V y B así:. J. :=. V + B. V. :=. NO. a B. :=. 2. NO. a2. A. fRVarCY eX » f. R. [CYCX». .... dx. • n Cx)] 2. :=. -r f N~. al. .... Csesgo)2 dx. R. Box y Draper (1959) dieron solución al ploblema en base a ¡. la existencia de un polinomio de grado d. 2 >d 1. presentabilidad exacta del modelo o sea n lo ilustran así:. ex. que dá la re-. ); los autores.

(35) 27. A. Y (X) = bO+blxl+b2x2+···+bk~. xfb = "','" 1 donde: xl = Cl, xl'. ... ,. ... ,. x ) k. ...b ,. ... ,. b ) k. Cb ,b , 1 = O 1. y. n Cx ) = SO+Slxl+···+Skxk+Sllxi+···+Skkx~. ....... "','" + x:zS nCx) = x 1 S1 2 donde. S'1. = (13 0 ,13 1 "" ,13 k ). ... ,. xl = 0, x 1 ,· .. ,xk ). S'2. = CS 11 ,S22"" ,Skk;S12 i3 13"",SCk_l)k; 13. 111 ' .... ). y. ...X ,. 2 = Cxi,x~, ... ,x~;xlx2,x~x3'··· ,x Ck - 1 )k;. xl, ... ). En este trabajo se seguirá el criterio de minimizar J, pero no se usará el postulado de Box y Draper en el sentido de mo.

(36) 28.. delos. propuestos por Cady y Laird (1969), Berardo (1972) y. Hernández (1972) ó sea la existencia de polinomios con exponentes enteros y fraccionarios diferentes )al raíz cuadrada y cuadrático.. 3.2.. i. METODOLOGIA. Bajo las anteriores consideraciones y concretándonos a. los objetivos de este estudio en. particul~r,. en el cual los. diseños se restringen a dos factores, definimos. 0.5 <. e.l. < 1.0, i= 1,2, .... 6. y llamaremos a. n(x). modelo verdadero.. En notación matricial se tiene. donde. y. Se usará como estimador A. y(x). = bo+b1X1+b2X2+b11X~+b221~+b12X1X2.

(37) 29.. que en notación matricial será. donde. y. A. En este caso particular Yex ) es un modelo cuadrático en x ,x y hay tres expresiones básicas 1 2. nex). ::. A. donde. Ye~). Yex ). ::. E(Y(~)). ::. -+ -+. x2i32. -+ -+. xjb 1. -+'S x 2 2. .,. -+. es una observaclon en x.. A partir de estas expresiones, se harán las correspondientes deducciones algebráicas para lograr una expresión más compac ta que defina a J.. Para ello, consideraremos las N observa-. clones del diseño así:. donde ->. x'2n.

(38) 30. -+,. I. xll. y. Xl. 82. se. ~. -+,. ti~ne ,. x ln. A. E(Y (x». E (-+,-+ x b ) 1 1. ~. -+,. x E (.... b ) 1 1. ~. .... , (X' X )-1 XjEeY) xl l l. ~. ..... , -1 x (X X ) X1X2 B2 1 1 1. =. +,. B2. xl A. ~. Se ha definido sesgo como: A. Sesgo(x). ~. E(Y(x». n(x). =. (+,->-. =. (+ ,. x 2B. x2. 2. +. ~1AS2). x'A) 1. S2 ./. teníamos que: J. =. V. =. NQ. a2 NQ 0. B. ~. 2. NQ 0. 2. dx fRE[Y(X) - n(x) f +. =. V + B. + f .... Xl, eX'1 X1 ) -1.... x 1 a 2 dx R. (. J R. +, -x . . . , A) S2)dx--T (~2-~lA)S2 )( (x 2 1.

(39) 31.. La expresión B que define al sesgo, es función del vector. S2. de parámetros poblacionales y cr 2 , por lo tanto, los resul. tados sedarán en función del índice de Stsgo asociado a dicho vector.. 82. Además se utilizarán los vectores de parámetros. propuest()s por Hernández (1972) para. efinir una expresión. compacta de B. En el Apéndice 1 se expresa en deta1lle la forma como se logran los valores numéricos de las 3.3.. DISE~OS. exp~esiones. V y B.. EXPERIMENTALES SELECCIONADOS.. A continuación se presentan los diseños elegidos para el estudio. DISEÑOS EXPERIMENTALES. No. TRATAMIENTOS. 1.. Compuesto central de Box ........... .. 2.. Compuesto central de Box modificado por Myers .......•......... 3.. 9. 9. Compuesto central de Box modificado por Berardo .......•... .•.. 9. 4.. Matriz Berardo-Hernández Uno ......•.. 9. 5.. Matriz Berardo-Hernández Dos ....... .. 9. 6.. Cuadrado doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 7.. Cuadrado doble modificado por Es cobar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8.. 13. Matriz San Cristóbal .......... , .... .. 7. Los dos factores corresponden a aplicaciones de N:0-40-80120-160 Kg/Ha y P: 0-25-50-75-100 Kg/Ha¡ tratamientos se presentan en la Figura. t.. Los diseños de.

(40) F / GURA.· /.. DISTRIBUCION. DE LAS COMBINACIONES DE TRATAMIENTOS EN EL ESPACIO FACTORIAL. --9. tI. 0. 0. \. 0. \. R. 2. O. ('). 0. ('). \. \. (;). 0. O. p. t. 0. 0 -1. 0. 1. \. O. -1. /.- COMPUES TO. +1 CENTRAL. DE. ('). 0 1. I. 0. 0 0. BOX. +1. I 0. ··-B. J1. 0 0. -/1. 0. "". 0. \. -1. +1. 0. 0. -1. BERARDO. UNO. 5.-MATRlZ BERAROO HERNANDEZ DOS. [0 G---. 6.- CUADRADO. DOBLE. 0. 0. i i. 0. -1. II 0 + I. rWADRAOO DOBLE MODIFICADO POR. ---u---. 0. 0. 0. +1. -1. -e. - -0 J. O. 0 +1. +1. 4.-MATRIZ BERARDO HERNAIVOEZ. 0. 0. -1. .rCOIIIPI/ESTO MODIFICADO POR. 0. 0. <l>. O. 0. -. 0. O. 0. MYERS. O. 0. 0. .. 0. II. MODIFICADO POR. I I0. 0. 0 0. +1. -1 2.- COMPUES TO. 0. 01. 0. ESCOBAR. dl-1 8.- SAN. O. ct> O. CRIS TOBA L. +1.

(41) 33.. De los resultados obtenidos por Hernández (1972) se to maron los modelos correspondientes a D(x)' los cuales se dan en la Tabla 1, y corresponden a los exper1mentos números 1, 2, 6, 11, 12, Y 13.. Se eligieron éstos d,bido a que fueron. los que presentaron respuesta a la aplicación de los nutrien tes.. Para mayor claridad remitimos al lector a Hernández. (1972).. TABLA 1.. 1.. 2.. 3.. 4.. 5.. 6.. D(N,P)=. MODELOS VERDADEROS D(x} ADOPTADOS EN EL ESTUDIO..

(42) 4.. RESULTADOS Y DISCUSION.. Los resultados se referirán a cadá combinación de los seis modelos "verdaderos" eTabla 1) y cuatro ecuaciones de estimación.. Los modelos de estimación. p~ovienen. de las po-. sibles combinaciones de los modelos cuadráticos y raíz cuadrada en dos factores. A. a.. yeN,p). b.. yeN,p). c.. yeN,p). d.. yeN,p). A. 2. = a O+a 1 N+a 2 P+a 11 N. 2 +a 22 P +a 12 NP O. 5 p O. 5. = a O+a 1 N+a 2 P+a 11 No.5+ a 22 pO .. 5+ a 12 N !. A. O. 5 +a. = a O+a 1 N+a 2 P +a 11 N. A. 2. = a O+a 1 N+a 2 P +a 11 N. +a. 22. 22. p 2 +a. p O. 5+a. 12 12. NO• 5 p Np O. 5. En cada caso se presentará la Tabla de índice de sesgo, ésto es, los coeficientes S· obtenidos al efectuar la intel. gración del componente B.. Nótese que se dan índices de ses. go para los cuadrados de los coeficientes y para sus. produ~. tos cruzados, ésto se debe a que se integra el cuadrado del sesgo.. También se ilustrará el criteriQ de Box y Draper,. es decir, los componentes V y B, para é~to se usarán los vec. •. tares parametrales 4.1.. S2. propuestos por Hernández (1972) .. INDICE DE SESGO Y COMPONENTES V Y B PROPORCIONADOS POR EL MODELO CUADRATICO. La Tabla 2 expresa los valores de índice de sesgo para. las matrices experimentales en estudio, cuando se consideró.

(43) TABLA 2.. INDICE DE SESGO PARA LAS MATRICES EXPERIMENTALES EN ESTUDIO BAJO EL MODELO "VERDADERO" ~ S +S N1 • 25 +S p O. 5 +S N1 • 5 +S pO.75+ S N1.25pO.50 y COMO ESTIMADOR ~ . EL MOn (N,P) O 1 2 11 22 12 (N,P) DELO CUADRATICO.. M A. T. R. I. Z. E. X. P. E. R. 1-. M. E. N. T. A. L. PARAMETROS Compuesto de Box. 6 12. Box Mod. Myers. Box Mod. Berardo. Ber. -H.ern. Ber. - Hern. Cuadrado Uno Dos Doble. Cuadrado Doble Mo dificado. San Cristóbal. 73.H. 47.73. 77.63. 59.66. 50.22. H6.53. 69.70. 124.84. 0.85. -0.02. -0.77. .1. 03. -0.09. -4.28. -0.04. 672.85. 480.39. 615.95. 587.88. 504.89. 700.31. 0.60. -0.03. -1.26. 1.63. 0.10. 1817.55 -2.80. -12.47 1047.78. 0.54. -12.72. 380.60. 684.74. 2235.74. -1276.70. -323.71. 12482.83. 1125.63. -2267.78. S~. 1. 30. 0.42. 0.62. 0.43. 0.40. 4.83. 0.59. 2.53. S2 BU S2 13 22. 2.86. -0.55. -15.24. 4.39. -0.48. -11.71. -0.51. -49.00. 2.62. 1.03. 1.57. 1.03. 1.04. 9.26. 1. 39. S2 S 12. 531.14. 238.14. 350.6J.. 150.05. 2886.65. 261.52. 1366.39 3.05. 997.99. 3317.07. 1226.06 7.58. 163.48 1053.46. 5.08 1506.07. 3635.94. 2069.63. 0.86. -6.18. 1463.06 2.95. 1929.31 1. 37. 3132.94. /31/3 2 13 1 13 11 S1 B22 6 2 6 12. Sil. S11 8 22 Sl1 13 12. sÍz 13 22 6 12. sÍz. -0.05. ~.13·. ----. -49.89. -5184.78. 1028.52. 51143.76. 5531.57. -9998.57. 0.65. 5931. 45 1.00. 0.69. 0.68. 4.57. 0.95. 2.58. 554.91. 280.94. 437.01. 132.70. 166.12. 2826.72. 389.69. 1533.05. 130611.44. 116513.25. 164397.25. 176972.50. 182428.37. 916607.68. 142262.00. 497029.06. w. U1.

(44) 36 •. ., como modelo verdadero a la expreslon:. Tl. D+DN1.25+DpO.5+D N1 . 5+o pO.75+1:l N1.25 p O.50 (NP) , = "O "1 "2 "'11 "22 r12. y como estimador a. YeN,p) En general para todas las matrices experimentales, los mayores índices de sesgo, estuvieron asociados a las combinaciones de parámetros 1311312,1311,13111312 y 13 12 , Y entre ellos el mayor siempre correspondía al parámetro f12' Se observa también que la magnitud del índice para 13 12 fué siempre superior al orden de 116 OOO unfdades y para el caso del cuadrado doble era de 916000. unidades, el mayor. índice registrado; le sigui6 en magnitud el correspondiente a el San Cristóbal con 500000. unidades, para el resto de. matrices los valores asociados a 13 12 fueron bastante inferio res a los dos mencionados, fluctuándo entre 116000 y 182000 unidades de índice de sesgo. Los menores índices de sesgo correspondieron a las com binaciones 131S2,1311311,131S22,S~,132S11,S2S22,S111322 YS~2,entre ellos las variaciones fueron relativamentelbajas, no obstante en este grupo las combinaciones 13 1 13 y S~2 se caracteri2 zaron por presentar menores índices. Al comparar las diferentes matrices exberimentales se observa que el rango de variación fué bastante alto.. Tam-. bién se nota que para un gran número de parámetros, el índi.

(45) 37.. ce asociado fué consistentemente menor en el compuesto de Box modificado por Myers, el cuadrado doble modificado por Escobar y las matrices Berardo-Hernández Uno y Dos. Los datos muestran que la mayor proporción de índice de sesgo siempre correspondió al cuadrado doble y al San Cris tóbal, mientras que el compuesto central de Box y el compuesto central modificado por Berardo se encontraba en una situación intermedia en relación a los dos grupos mencionados. Al comparar cada uno de los valores de índice de sesgo ¡. del cuadrado modificado por Myers y los de. l~s. matrices de. Berardo-Hernández con los valores del cuadrado doble se nota que en éste último, es aproximadamente nueve veces mayor. En la Tabla 3 se expresan los componentes V y B para cada matriz experimental.. Los resultados. in~ican. que los va. i. lores de V menores corresponden al cuadrado ~oble, la matriz San Cristóbal y el cuadrado doble modificado, igualmente se observa que los valores mayores se producenJcon las matrices de Berardo-Hernández; el compuesiDmodificado un valor intermedio.. or Myers origina. En relación al componente B, los valo-. res menores fueron para el compuesto modificado por Myers, las dos matrices de Berardo-Hernández y el cuadrado doble modificado; por el contrario el cuadrado doble y la matriz San Crist6bal produjeron los valores más altos. Se observa que los valores de la componente V para todas las matrices es muy pequeño en relación a B.. •.

(46) 38. TABLA .3.. VALORES DE LOS COMPONENTES V Y B PARA CADA MATRIZ EXPERIMENTAL.. MATRIZ EXPERIMENTAL. N. Compuesto de Box. 9. 6.24. 5821.53. Compuesto modo por Myers. 9. 8.49. 2551. 34. Compuesto modo por Berardo. 9. 16.61. 23515.93. 9. 49.17. 3411. 80. 9. 20.91. 3411.55. Cuadrado Doble. 13. 3.84. 38646.72. Cuadrado Doble Modificado. 13. 5.20. 3500.00. 7. 5.66. 19839.79. Matriz Uno. B. Berardo-Hern~ndez. Matriz Berardo-Hernández Dos. San Cristóbal. 4.2.. V. INDICE DE SESGO Y COMPONENTES V Y B PROPORCIONADOS POR EL MODELO RAIZ CUADRADA. En la Tabla 4 se presentan los índices de sesgo, para. las matrices experimentales en estudio, al considerar como modelo "verdadero" la expresi6n. y como estimador. AC N, P) Y. = a O+al N+ a 2 P+ a 11 NO. s +a 22 p O• S+a 12 NO.SpO.S. Se observa que los mayores índices de sesgo para todas las matrices se encontraron asociadas al parámetro S~2' con un rango de variaci6n entre 150000. y 517000. unidades, los.

(47) •. TABLA 4.. INDICE DE SESGO PARA LAS MATRICES EXPERIMENTALES EN ESTUDIO BAJO EL MODELO "VERDADERO" = S +S Nl . 25 +S p O• 5+e Nl • 5 +S p O• 75 +e Nl.25pO.50 y COMO ESTIMADOR ~ EL MOr] (N,P) O 1 2 11 22 12 (xl DELO RAIZ CUADRADA.. M. A. T. R. I. Z. E. X. r. E. R. 1. M. E. N. T. A. L. PARAMETROS Compuesto de Box. si. Box Mod. Myers. Box Mod. Berardo. Ber.-Hern. Ber.-Hern. Cuadrado Uno Dos Doble. Cuadrado Doble Mo di.ficado. San Crist6bal. 401.18. 136.11. 3n.58. 162.47. 130.48. 828.41. 265.60. 409.76. BlB 2 B1 6 11. 0.02. 0.02. 0.02. 0.02. 0.01. 0.02. 0.04. 0.02. 6240.30. 2333.20. 5395.44. 2814.23. 2238.57. 12511.58. 4426.97. 6299.54. 13 1 13 22. -6.47. 0.98. 1. 47. -0.31. -0.39. -3.07. -0.61. -2.83. 13 1 13 12. 1846.37. 2085.55. 7431. 50. 6085.44. 2168.49. 6359.48. 3513.52. 1714.49. 2. 62. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 13 2 6 11. 0.01. 0.01. 0.01. 0.01. 0.09. 0.0. -0.10. 0.0. 13 2 13 22. 0.01. 0.01. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 13 2 6 12. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. eh. 61l B22 SllB12. 6~2 6 22 6 12. 6~2. 23770.57. 9436.16. 21808.81. 11606.94. 8993.76. 47041.28. 1774I~28. 23874.59. -49.32. 7.03. 12.06. -3.95. -4.07. -13.71. 2.43. -20.38. 15361.63. 16684.70. 60124.03. 55892.73. 21135.17. 51656.17. 28904.09. 12379.36. 0.39. 1.09. 0.20. 0.10. 0.09. 0.76. 0.17. 0.40. 156.67. -35.83. -168.71. -33.96. -15.90. -682.54. 42.95. 23.59. 151363.56. 205996.00. 270544.88. 338558.94. 273641.44. 517464.06. 181948.37. 327658.19. W \O.

(48) 40. cuales correspondieron al compuesto de Box y al cuadrado do ble respectivamente. Las combinaciones SlBll,B1S12,B~1 yB 11 B12 , siguieron en magnitud de índice al S~2 y sus valores fueron relativamente altos y bastante bajos al compararlos con los proporcionados por S~2.. Entre ellos los menores índices de sesgo. slempre correspondieron a SlBll y SlS12,por el contrario los mayores se obtuvieron con Sil y B11 B12 . Se visualiza otro conjunto de parámetros con índices inferiores al grupo anterior, el cual está conformado por S~, 8 11 8 22 , S22S12 entre ellos los menores índices siempre. correspondían al 8 11 S 22 en tanto que los ~ayores se detecta ron en 8~. Un último grupo el cual tend!a a proporclonar el índice de sesgo menor, estuvo conformado por 8 1 8 2 , 8 B22 , B~, 1 en ellos es de interés señalar la con dición de insesgamento presentado por S~. y B2 8 , puesto 12 que el índice de sesgo en ellos fué de cero unidades; en los restantes de este grupo, el sesgo en términos absolutos no sobrepasó a las 7 unidades. Al comparar las matrices entre. Fe observa un grupo. conformado por el compuesto modificado piar Myers y las matrices de Berardo-Hernández, las cuales proporcionan índice menor para la casi totalidad de combinaciones de parámetros, las diferencias entre ellas fueron relativamente pequeñas;.

(49) 41. la matriz Berardo-Hernández Dos y el compuesto modificado por Myers conducen a los valores menores de índice de sesgo. Contrariamente sucede con el cuadrado dobJe y el San Cristóbal ya que tuvieron índices consistentemente mayores al resto de matrices, entre los dos el mayor índice se encuentra con el cuadrado doble. El grupo conformado por el compuesto de Box, el. compue~. to modificado por Berardo y el cuadrado doble modificado, presentan valores intermedios, si bien no presentan valores tan bajos como el compuesto modificado por Myers tampoco sus valores son tan altos como los encontrados en el cuadrado do ble, en este conjunto cabe mencionar al icuadrado doble madi ficado el cual conduce a los valores menores. En la Tabla 5 se presentan los componentes V y B para cada matriz experimental, se observa que los valores menores de V fueron para el cuadrado doble, el compuesto de Box y el cuadrado doble modificado.. El mayor valor de 70.05 se. obtuvo con la matriz Berardo-Hernández Uno, en magnitud de V siguieron la matriz Berardo-Hernández Dos y el compuesto modificado por Berardo.. El compuesto modificado por Myers. originó un valor de V igual a 9.73, el cual es relativamente bajo. En referencia al componente B los 'valores mas bajos fueron proporcionados por las dos matrices de Berardo-Her-. . nández y el compuesto modificado por Mfers; contrariamente a estos valores mayores de B se produj~ron con el cuadrado.

(50) 42.. doble, y el San Cristóbal. , ,. Nuevamente los valores de V fueron iastante inferiores en relación a los de B.. TABLA 5.. VALORES DE LOS COMPONENTES V Y EXPERIMENTAL. B PARA. CADA MATRIZ. MATRIZ EXPERIMENTAL. N. V. B. Compuesto de Box. 9. 5.27. 32180.42. Compuesto modo por Myers. 9. 9.73. 16027.91. Compuesto modo por Berardo. 9. 27.14. 31309.56. Matriz Berardo-Hernández Uno. 9. 70.05. 14359.56. Matriz Berardo-Hernández Dos. 9. 29.02. 14427.19. Cuadrado Doble. 13. 2.96. 68383.50. Cuadrado Doble Modificado. 13. 6.36. 25870.43. 7. 8.37. 37618.33. San Crist6bal. 4.3.. INDICE DE SESGO Y COMPONENTES V Y B PROPORCIONADOS POR EL MODELO RAIZ CUADRADA-CUADRATIqO.. i. La Tabla 6 expresa los valores de índi\ce de sesgo para cada matriz experimental en estudio, al considerar como modelo "verdadero" la expresión. y como estimador.

(51) TABLA 6.. INDICE DE SESGO PARA LAS MATRICES EXPERIMENTALES EN ESTUDIO, BAJO EL MODELO "VERDADERO" = SO+S ~N1 • 25 +S 2 p O• 5 +S 11N1 • 5 +S 22 p O. 75 +S 12 Nl.25pO.5 y COMO ESTIMADOR (x) EL MODELO n(N,p) RAIZ CUADRADA-CUADRATICO.. Y. M. A. TRI. Z. E. X. P. E. R. 1. M. E. N. TAL. PARAMETROS Compuesto de Box. Box Mod. Myers. Box Mod. Berardo. Ber.-ffern. Ber.-ffern. Cuadrado Uno Dos Doble. Cuadrado Doble Mo dificado. San Crist6bal. 400.04. 132.92. 330.85. 2U.05. 134.74. 797.77. 263.88. 445.50. 7.56. -0.07. 3.40. -8.03. -1.90. -3.91. -0.38. 10.90. 6213.58. 2254.96. 5420.98. 3794.93. 2348.43. 12397.67. 4424.40. 6873.22. 4.81. 0.05. 2.89. -lL48. -2.81. -0.11. -0.32. 12.61. 9619.05. 1177.05. 1191. 00. 8837.71. 3153.74. -6866.79. 4047.08. 7541. 40. 1. 50. 0.6l. 0.80. 0.63. 0.59. 6.61. 0.61. 2.65. S2 S 11 S2 S 22. 57.79. -0.87. 22.47. -76.53. -23.74. -31. 79. -4.41. 84.41. 2.54. 1.59. 1. 83. 1.68. L58. 11.90. 1.52. 5.02. S2 S 12. 573.42. 135.72. 318.83. -274.82. -112.85. 5299.97. 292.90. 1613.64. 9123.14. 21773.85. 16:H1. 9:3. 9687.22. 47378.15. 17722.46. 26178.86. 34.87. -0.18. 16.35. -109.37. -36.15. -4.40. -6.30. 96.93. 74115.06. 10561.10. 10709.85. 81381. 87. 31769.85. -55245.21. 32947.08. 58383.58. 1.30. 1.04. 1.11. 1.14. L08. 5.50. 0.98. 2.43. 539.03. 160.76. 510.91. -435.53. -212.07. 4852.33. 388.30. 1549.53. 275337.19. 240463.81. 306376.69. 537735.12. 483471.31 1524117.00. 299200.50. 433979.37. si Sl S 2 Sl S 11 Sl S 22 Sl S 12. S~. sh-Sl1 S 22 Sl1 S 12. B22 S22 S12. sh. 2372B-d4-. ~. w.

(52) 44.. Al igual que cuando se usó, como estimado~es.la los modelos cuadráticos y raíz cuadrada, los mayores 2nd1ces de sesgo se presentan con el parámetro 8 12 con la desven1aja que sus v~ lores fueron mayores, es así como el rango de variación estuvo comprendida entre 24000 y 1'524000 unidades; en orden de magnitud siguió el índice proporcionado por la combina-ci6n 8 22 8 12 con fluctuaciones entre -55000 y 74000 unidades. El conjunto compuesto por 81811,81812 y B11 siguió en orden a los anteriores y sus fluctuaciones fperon relativamente menores al presentado por 8. 12. y 8. 8 ,. 11 12. El grupo formado por 8 1 8 2 , B~, 8 2 B22 y 8~2 condujo S2em pre a los menores índices de sesgo, sus valores absolutos no fueron superiores a 13 unidades, en general 'para este grupo las diferencias entre ellos fueron mínimas. 8~. Sobresalió el. por presentar el menor entre todos. Un último grupo conformado por 81'8282l,S2B12. produjeron valores de índice de sesgo comprendidos entre 4 y 5000 unidades; como se observa hubo valores bajos en este grupo, a pesar de ello no fueron tan. óptimo~. como los del. conjunto anterior y la diferencia es notoria al observar los valores de la Tabla 4. En cuanto a las matrices experimentales el conjunto formado por las matrices Berardo-Hernández Uno y Dos, el compuesto modificado por Myers y el cuadraqo doble modifi-. I.

(53) 45. cado producían los índices de sesgo menores; entre ellos s~ bresale el compuesto modificado por Myers por presentar el menor índice.. Las dos matrices de Berardo-Hernández en Cler. tas combinaciones de parámetros fueron ligeramente superiores al cuadrado modificado mientras que en otras ocasiones ocurría lo contrario, raz6n por la cual es un tanto difícil decidir entre las tres matrices cual es la meJor en términos de índice de sesgo. Nuevamente, en alta proporción de combinaciones de parámetros el mayor índice se producía con el ¡cuadrado doble y el San Cristóbal, siendo mayor el índice Jroporcionado por el cuadrado doble. Finalmente el compuesto de Myers y el compuesto modifi cado por Berardo se encontraron en una situaci6n intermedia y entre los dos el sesgo fué menor con el compuesto modificado por éste. La Tabla 7 expresa los valores de V y B para cada matriz experimental.. Se aprecia que los valores menores de V. corresponden al cuadrado doble, el compuesio de Box y el cuadrado doble modificado, mientras que lo~ valores mayores de V se presentan con la matriz Berardo-Hernández Uno; en esta ocasión la matriz Berardo-Hernández Dos presentó un va lar de V relativamente bajo 7.81, bastante similar al del compuesto modificado por Myers (7.38) y al del San Cristóbal (7.57).. En referencia al componente B los valores menores. se produjeron con el compuesto modificado. Myers y la ma-.

(54) 46.. triz Berardo-Hernández Dos; los valores mas a~tos fueron. i. nuevamente para el cuadrado doble y el San Cr~stóbal.. I TABLA 7.. VALORES DE LOS COMPONENTES V Y B EXPERIMENTAL.. P~. CADA MATRIZ. '. MATRIZ EXPERIMENTAL. N. Compuesto de Box. 9. 2.37. 28883.90. Compuesto modo por Myers. 9. 7.38. 18321. 95. Compuesto modo por Berardo. 9. 22.76. 39923.36. Matriz Berardo-Hernández Uno. 9. 78.03. 26456.60. Matriz Berardo-Hernández Dos. 9. 7.81. 19761. 08. Cuadrado Doble. 13. 2.02. 148197.87. Cuadrado Doble Modificado. 13. 3.15. 29495.58. 7. 7.57. 44536.31. San Crist6bal. V. V. INDICE DE SESGO Y COMPONENTES V y B PRfPORCIONADOS POR EL MODELO CUADRATICO-RAIZ CUADRADA.. 4.4.. En la Tabla 8 se presentan los índices de sesgo para cada matriz experimental al considerar como modelo "verdade ro" la expresión. nCN,p) y como estimador.

(55) TABLA 8.. INDICE DE SESGO PARA LAS MATRICES EXPERIMENTALES EN ESTUDIO, BAJO EL MODELO "VERDADERO" 1 25 +B pO.5+ 1 5 O 75 1 25 = S +13 N • B11N . +S·22 p • +B 12 N • pO.5 y COMO ESTIMADOR ~ (x) EL MODELO 11 (N,P) 01 2 CUADRATICO-RAIZ CUADRADA.. M A. TRI. Z. E. X. P. E. R. 1. M E. N. TAL. PARAMETROS. Compuesto de Box. Bi. Box Mod. Myers. Box Mod. Berardo. Ber.-Hern. Ber.-Hern. Cuadrado Uno Dos Doble. Cuadrado Doble Mo dificado. San Crist6bal. 86.89. 49.11. 80.46. 106 • .18. 73.14. 200.58. 73.72. 109.65. Sl S 2 B1 S 11. 0.03. 0.03. 0.02. 0.03. 0.03. 0.04. 0.04. 0.02. 740.06. 487.44. 745.95. 722.38. 1755.40. 8.10. 0.37. -0.19. 0.53. 2.77. 719.94 0.10. 945.39. 13 1 13 22. 959.59 0.44. 131S12. 1287.46. 595.06. 869.61. 416.59. 632.59. 2734.98. 951. 64. 2128.78. 5.84. si. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 13 2 13 11. 0.001. 0.001. 0.0. 0.002. 0.001. 0.002. 0.001. 0.004. S2(322 S2 S 12. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0 1 (} 15 .9-5--. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 0.0. 1994.90. --3555.32. 3649.8-'t. 1465.96. 1915.94. -0.16. 1.56. 1. 98. 10.65. 0.69. 15.64. 2904.19. 4080.53. n94.J.3. 2946.39. 11704.72. 4576.52. 9258.37. 1.13. 0.16. o.n. 0.12. 0.09. 0.73. 0.17. 0.43. 123.26. -17.28. -56.45. -11. 41. -4.03. -145.60. 13.93. 97.82. 18026.49. 16662.53. 18579.45. 17362.94. 16404.48. 38019.07. 17252.35. 42950.65. B11. 1421. 85. Sl1 S 22 13 11 13 12. 22.58. 0.58. 51.13.15. S2z. S22 B12 Siz. O. O .15 4-5-;-e-T-. +'. '-'.

(56) 48. Se observa en la Tabla 5 que los mayores índices de sesgo ocurrían con los asociados al parámetro. S12'. el mayor valor. fué de 43000 unidades el cual corresponde al San Cristóbal, mientras que el menor de los S~2 fué de 16000 unidades y correspondió a la matriz Berardo-Hernáhdez Dos. Las combinaciones SlSll,S1612,6~1 y 6 11 S12 siguieron en magnitud de sesgo al. S12'. entre ellos los menores valores. se lograron con S1611' mientras que los mayores fueron en Se visualiza otro conjunto de com binaciones de parámetros que presentan sesgo bastante bajo y es formado por 6162,62611 y 6~2 las variaciones entre ellos fueron mínimas ,aún así entre ellos sobresale el 6 6 ; en 2 11 este conjunto el sesgo nunca fué superior a las 8 unidades. Un último grupo, conformado por 6~,S2622 y 6 2 S 12 se c~ racterizó por ser insesgados, es decir, el índice de sesgo por ellos proporcionado es de cero unidades. En relación a las matrices experimentales el grupo fo~ mado por el compuesto modificado por Myers, las dos matrices de Berardo-Hernández y el cuadrado doble, presentaron los menores índices de sesgo para las tres primeras en mención y en la. casi. totalidad de combinaciones de parámetros los ,. i. índices de sesgo fueron bastante similar~s.. •. En general las. tres primeras fueron en términos de sesgo, mejores al cua-drado doble modificado pero las diferencias fueron menores a las encontradas con los modelos anteriores..

(57) li9.. Las matrices correspondientes al compUiesto de Box y el compuesto modificado por Berardo siguieron en magnitud de índice de sesgo, en algunas ocasiones sus. alares fueron tan. bajos como los del primer grupo, pero en ot as fueron exceSlI. vamente altos.. En general el compuesto mod:¡'ficado se presen-. ! tó mejor en relación al compuesto de Box. Análogamente a los casos anteriores el cuadrado doble yla matriz San Cristóbal condujeron a los mayores valores de índice de sesgo y entre ellos el cuadrado doble fué mejor al San Cristóbal. En la Tabla 9 expresa los componentes V y B para cada matriz experimental, los resultados indican que los valores menores de V se producen con el compuesto de Box, el cuadrado doble y el San Cristóbal, a su vez los más altos fueron para las dos matrices de Berardo-Hernández; en cuanto al compuesto de Box y el compuesto modificado por Myers, originaron valores intermedios. Para el componente B el valor menor se obtuvo con el compuesto modificado por Myers, le siguió en magnitud la. m~. triz Berardo-Hernández Uno, análogamente a los casos ante-riores los mayores valores de B fueron para el cuadrado doble y el San Cristóbal..

(58) 50.. TABLA 9.. VALORES DE LOS COMPONENTES V Y EXPERIMENTAL.. t. PARA CADA MATRIZ. I ¡. MATRIZ EXPERIMENTAL. N. Compuesto de Box. 9. 1. 26. Compuesto modo por Myers. 9. 11. 09. 20753.80. Compuesto modo por Berardo. 9. 11.38. 32359.56. Matriz Berardo-Hernandez Uno. 9. 49.97. 36774.28. Matriz Berardo-Hernandez Dos. 9. 40.09. 28200.67. Cuadrado Doble. 13. 4.05. 100031.19. Cuadrado Doble MOdificado. 13. 5.10. 29992.43. 7. 4.50. 53207.04. San Crist6bal. 4.5.. V. B. I. 37093.71. INDICES DE SESGO PROPORCIONADOS POR TODAS LAS COMBINACIONES DE MODELOS Y ESTIMADORES CONSIDERADOS. En las Tablas 1 a 20 del Apéndice 2, se presentan los. índices de sesgo asociados a cada combinación de parámetros, al tomar como modelos "verdaderos" los expresados en la páglna. 33, que no fueron discutidos en las Secciones 4.1,. 4.2, 4.3 Y 4.4 Y usando como estimadores los modelos cuadrá tico, raíz cuadrada, cuadrático-raíz cuadrada y raíz cuadra da-cuadrático.. 'Debido a que la discusión es similar en ca-. da caso, no se hará tan exhaustiva como la dada con el primer modelo verdadero.. Sin embargo, las. ~ablas. del Apéndice. 2 se analizaron y los resultados fueron fundamentales para las conclusiones y consideraciones. final~s. del estudio..

(59) 51. En general, los resultados indican que la magnitud del sesgo, no solo está supeditada a la distribución de los tra tamientos en un espacio de exploración sino también a la forma del modelo verdadero n ex) y al estimador Y (x). como para algunas matrices experimentales. r. Es así. con algunos mo-. modelo cuadráti delos verdaderos, al usar como estimador ell I ca el índice de sesgo fué menor que cuando se tomó como estimador el modelo raíz cuadrada e.i. cuadrado doble modificado por Escobar. Los datos reflejan que para un estimador y un.modelo "verdadero". dados, hay poca variación en sesgo entre las ma. trices compuesto modificado por Myers, las dos matrices de Berardo-Hernández y el cuadrado doble modificado.. Se pre--. sentó mayor variación, en sesgo, al pasar de un estimador a otro ó de un modelo "verdadero" a otro.. Esto parece indicar. que para las matrices compuesto modificado por Myers, las matrices de Berardo-Hernández y el cuadrado doble modificado, si se trata de buscar reducciones en el sesgo, la elección del modelo Y(x) es prioritario al tipo de matriz experimental. El conjunto de matrices conformado por el compuesto. m~. dificado por Myers, las matrices de Berafdo-Hernández y el cuadrado doble modificado, tuvieron en la casi totalidad de los casos, menor sesgo que el cuadrado doble, el San Crist~ bal y el compuesto modificado por Myers.. A su vez las ma-. trices de Berardo-Hernández y el compuesto de Myers tendían a producir menor sesgo que el cuadrado doble modificado,.

(60) 52. pero las diferencias no fueron tan grandes, por el contrario ,. fueron relativamente bajas si se comparan con el cuadrado do ble y el San Cristóbal. Si bien las matrices de Berardo-Hernández se presentaron en varias oportunidades tan buenas o mejores (con respecto al sesgo) que el compuesto de Myers, en otras ocasiones fueron superadas ampliamente por éste;. quizá la mayor. ventaja de ellas radica tal como lo propone Berardo (1972), en la elección de las combinaciones de tratamientos, puesto que se efectuó de tal forma que permite visualizar con bastante claridad la forma de respuesta de cad. r factor,. por. m~. dio de la representación gráfica, la cual permite hasta Cler A. to punto la elección del modelo Y. ex. )'. En la totalidad de los casos el cuadrado doble y el San Cristóbal condujeron a los mayores valores de sesgo, por lo que no son recomendables para investigaciones donde uno de los propósitos principales sea el de buscar funciones que provean índices de sesgo bajo. De los resultados, se deduce que las matrices. experime~. tales con valores bajos de V, no conducen necesariamente a i. valores mínimos de B (condición óptima para luna matriz), sino por el contrario parece existir una relación inversa entre los componentes V y B, este hecho ratifica lo. postul~. do por Cady y Laird (1972) en el sentido de que la eficiencia de las matrices varía según el criterio de evaluación..

(61) 53.. Los valores de la componente B, que hace parte del cri i. terio J= V+B fueron, para todas las matrices, mayores a los originados por V.. En consecuencia, se sugiere al sesgo como. el factor de mayor importancia en la elección de la matriz experimental y del modelo..

(62) 5.. CONCLUSIONES. De los resultados obtenidos en el presente estudio, se obtienen las siguientes conclusiones: 5.1.. La magnitud de índice de sesgo manifest6 variaciones según el tipo de matriz experimental, modelo verdade ro y estimador.. Las variaciones fueron mayores en. la relaci6n modelo-estimador que entre matrices. exp~. rimentales. 5.2.. Entre las matrices correspondientes al compuesto de Myers, las dos matrices de Berardo-Hernández y el cuadrado modificado por Escobar, las variaciones de índice de sesgo fueron relativamente bajos, por lo tanto en estos casos la elecci6n del modelo, toma ma yor importancia.. 5. 3.. Las matrices de Berardo-Hernández en ocasiones fueron tan buenas 6 mejores que el compuesto de Myers, en cuanto a reducci6n de sesgo.. 5.4.. El cuadrado doble y el San Cristóbal condujeron en la mayor parte de los casos a producir los mayores índices de sesgo.. Por esta raz6n, no se recomiendan. en estudios cuyos prop6sitos seanilos de mantener el !. sesgo bajo..

(63) 55. 5. 5.. Los valores menores del componente I V se produ'ieron con el cuadrado doble, el compuesto de Box, el cuadrado modificado y el San Crist6bal; contrariamente los mayores en la totalidad de los casos,correspondieron a las matrices de Berardo-Hernández.. 5. 6.. Los menores valores del componente B se apreclaron con el compuesto modificado por Myers y las dos matrices de Berardo-Hernández, mientras las mayores fue ron para el cuadrado doble y el San Cristóbal.. 5.7.. Las matrices de Berardo-Hernández por originar bajos índices de sesgo y por que la combinación de sus pun ,. ~. ~. ... .... i. tos perml ten representaClon graflca! de la respuesta a cada factor, tendrían su mayor aplicación en las etapas iniciales de la investigación; entre ellas la segunda parece mejor por 5.8.. presentar¡. varianza menor.. El compuesto modificado por Myers, el cual se caracterizó por índices de sesgo bajos y varianza. interm~. dia, sería de mayor utilidad, en aquellas etapas de la investigación de donde se proporcionará la información al agricultor. 5.9.. Consistentemente se encontró que el.error medio cuadrático ponderado en R y normalizado, está compuesto principalmente por el sesgo y muy secundariamente por la varianza.. 5. 10 .. Se sugiere al sesgo como el criterio fundamental pa-.

(64) 56.. ra decidir qué diseño y modelp son los más adecuados. 5.11.. Se corrobora el postulado porl Cady y Laird (1972) Y Escobar (1957) en el sentido. ~eqUeJabondad. de las ma-. trices varía según el criterio de evaluación..

(65) 6.. RESUMEN. El uso de relaciones matemáticas (modelos estadísticos) para establecer con el mayor grado de precisión la respuesta de los cultivos al ser sometidos a estímulos (tratamientos) ha sido una de las metodologías de mayor uso en las úl timas decadas. Myers (1971), Box y colaboradores (1951, 1957, 1959) señalan que además del modelo es necesario una adecuada selección de tratamientos, lo que implica una búsqueda del con junto: modelo y combinación de tratamientos. Se establece la comparación de algunos diseños de. segu~. do orden en dos variables y de uso común en la investigación agrícola.. Los propuestos por Berardo-Hernández, el cuadrado. doble, el cuadrado doble modificado, el compuesto central de Box, el compuesto central modificado por Myers y el diseño San Cristóbal. Se usó como medida. de evaluación el criterio propuesto. por Box y Draper (1959), que representa el error medio cuaI. drático ponderado en una región de interlés R y normalizado respecto al número de observaciones N y la var~anza J ~-1. = =. A. N~. a2. R. ~. f dx. R. ~. f E[(Y(x)-n(x))]2 dx. a2 •.