MA2112 Práctica 04 – Derivadas parciales pdf
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(2) Problema 1 En los siguientes casos Halle las derivadas parciales: ∂f ∂f , ∂x ∂y. a). b). c). f (x, y) = (x2 − 1)(y + 2). (x + y) f (x, y) = (xy − 1). f (x, y) = ln(x + y). d). e). f (x, y) = sen2 (x − 3y). ∂f = ∂y. !. y. g(t)dt. x. Ejercicio 1. 2.
(3) a). f (x, y) = (x2 − 1)(y + 2). ∂f = 2x(y + 2) ∂x. ∂f = x2 − 1 ∂y. b). (x + y) f (x, y) = (xy − 1). ∂f −y 2 − 1 = ∂x (xy − 1)2 ∂f −x − 1 = ∂y (xy − 1)2 2. 3.
(4) c). f (x, y) = ln(x + y). 1 ∂f = ∂x (x + y) 1 ∂f = ∂y (x + y). d). f (x, y) = sen2 (x − 3y). ∂f = 2 sen(x − 3y) cos(x − 3y) ∂y ∂f = −6 sen(x − 3y) cos(x − 3y) ∂y. 4.
(5) Problema 2. Utilizar la definición de derivada parcial y calcular las derivadas en los puntos especificados: a). f (x, y) = 1 − x + y − 3x2 y ∂f ∂f , ∂x ∂y. en (1, 2) .. b). f (x, y) = 4 + 2x − 3y − xy 2 ∂f ∂f , ∂x ∂y. en (−2, 1) .. 5.
(6) a) i). f (x, y) = 1 − x + y − 3x2 y. ∂f (1, 2) f (1 + h, 2) − f (1, 2) = lim h→0 ∂x h [1 − (1 + h) + 2 − 6(1 + h) ] − (2 − 6) = lim h→0 h 2. −h − 6(1 + 2h + h2 + 6) = lim = −13 h→0 h. 6.
(7) ii). ∂f (1, 2) f (1, 2 + h) − f (1, 2) = lim h→0 ∂y h [1 − 1 + (2 + h) − 3(2 + h)] − (2 − 6) = lim h→0 h. (2 − 6 − 2h) − (2 − 6) = lim = −2 h→0 h. 7.
(8) b). f (x, y) = 4 + 2x − 3y − xy 2. ∂f (−2, 1) f (−2, 1 + h) − f (−2, 1) = lim =1 h→0 ∂y h. ∂f (−2, 1) f (−2 + h, 1) − f (−2, 1) = lim =1 h→0 ∂x h. 8.
(9) Ejercicio 2. Sea f(x,y,z) una función de tres variables. Escriba la ∂f (x, y, z) definición formal de derivada ∂z utilice esta definición para calcular dicha derivada para la función f (x, y, z) = x yz , en el punto (1, 2, 3) 2. 2. 9.
(10) Ejercicio 3. Demuestre que las siguientes funciones son solución de la ecuación de ondas en una dimensión: 2 ∂2φ ∂ φ 2 = c ∂t2 ∂x2. a) φ = sin(x + ct) b) φ = ln(2x + 2ct) c) φ = 5cos(3x + 3ct) + e. x+ct. 10.
(11) Problema 3. Sea la función: f (r, θ) =. !. sen(6r) 6r ,. 1,. si si. r= ! 0, r = 0.. Donde r y θ son coordenadas polares. Calcule: a) lim f (r, θ) r→0. b). ∂f (r, θ) , en (0, 0) ∂r. ∂f (r, θ) c) , r != 0 ∂θ. 11.
(12) 12.
(13) n(n " 1)t. n 2. Ê n(n " 1)t ` w f(x ß y)` œ ! Š ‹ Š ‹ ` w `u `v w `u t ` w `` vx # ` w f(xß y) œ x !x !y !y œx ! `u. Also from part (a),. ` w `x. `t. ` v` u ` t. ` `x. ˆ ``wx ‰ œ. !t. ` w `v `v `y. ` u` v ` t. ˆt. `w ‰ `u. œt. `v. `t. `u. ` w `u `u # `x. ! `t ``fv`wu. ` w ` y` x. ` `y. `v `x. œ t#. ` w `u. we have n(n " 1)f(x ß y) œ x ! 2xy Š ‹ lim f (r, θ) `x. ` ˆ `w ‰ a) œr→0 t œt `y. œ t#. `v. ` w ` v` u. œ. ` w `u ` u` v ` y. Ê ˆ t" ‰. ` w `x. œ. ` w `u. , ˆ t" ‰. ` `x. œ t# ` w `y. ` w `v. œ. , and. ` w `v. œ. , and ˆ t" ‰. ˆ ``wx ‰ œ. ` w ` y` x. œ. ` `y. ˆt. `w ‰ `u. ` w ` v` u. sin 6rx sin t 2xy y ` w ` w ˆ ‰ 6.Ê n(n (a)" 1)tlim œ lim œ 1, where t for œ t6r f(xß y) œ6rŠ t ‹ Š ` x ‹ ! t t Š ` y` x ‹ ! Š t ‹ Š `` yw ‹ Á0 rÄ0 tÄ0 n 2. ` f # ` f we have n(n " 1)f(xß y) œ x# Š `` xf ‹ ! 2xy ! y Š ‹ y ‹ as claimed. f(0 !` xh` yß 0) " f(0Šß`0). (b) fr (0ß 0) œ lim. sin 6r r Ä 0 6r. sin t tÄ0 t. hÄ0. (a) lim. œ lim. (b) fr (0ß 0) œ. lim f(0 ! hß 0)h " f(0ß 0) hÄ0 lim "3612sin 6h œ 0 hÄ0. (a). h. œ 1, where t œ 6r "36 sin 6h. œ lim. œ f (rß )) œ (c) (c) f (rß )) œ. œ lim. ˆ sin6h6h12 ‰ "1 h hÄ0. h œÄlim 0. ˆ si. hÄ0. œ0. (applyin. sin 6h " 6h 6h hÄ0. œ lim. œ lim. 6c. h Ĉ0 sin 6 6r. f(rß ) ! h) " f(rß )) rule œ twice)lim s lim(applying l'Hopital's h hÄ0 hÄ0. lim f(rß ) ! h)h " f(rß )) hÄ0. œ. ˆ sin6r6r ‰ " ˆ sin6r6r ‰ lim h hÄ0. 0 hÄ0 h. œ lim. œ0. È x x# ! y# # # # 7. (a) r œ x i ! y j ! z k Ê r œ k r k œ È r œ xi ! yj ! zk Ê r œ krk œ x ! y ! z and ™ r œ Èx ! y ! z i ! Èx ! œ. r r. œ. r n. 13.
(14) ∂f (r, θ) , en (0, 0) b) ∂r f (0 + h, 0) − f (0, 0) lim h→0 h. lim. h→0. !. sen(6h) 6h. h. ". −1. −36sen(6h) =0 = lim h→0 12. Completar, recuerde que es un limite en una dimensión. 14.
(15) ∂f (r, θ) c) , r != 0 ∂θ. f (r, θ + h) − f (r, θ) lim = lim h→0 h→0 h. !. sen(6r) 6r. ". − h. !. sen(6r) 6r. ". =0. 15.
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