Técnicas no lineales de ordenamiento estadístico en el dominio wavelet para el filtrado de imágenes de fase

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(1)U Univers sidad Central “Martaa Abreu u” de Las L Villlas Facu ultad dee Ingenieería Eléctrica Depa artamentto de Telecomunicacioness y Electrrónica. TRA ABAJO O DE DIPL D OMA A T Técnicas s no lin neales de d orden namien nto estaadístico en e domin el nio wavvelet paara el filtrado fi de imáágenes de d fase. Au utor: Rubéén Leal Caaballero.. utores: M Sc. S Héctorr Cruz En nríquez. Tu Dr.. Juan Lorrenzo Ginoori.. Santa Clarra 2007 "Año 49 4 de la Revvolución".

(2) U Univers sidad Central “Martaa Abreu u” de Las L Villlas Facu ultad dee Ingenieería Eléctrica Departamento de Tellecomuniicacioness y Electrrónica. TRA ABAJO O DE DIPL D OMA A T Técnicas s no lin neales de d orden namien nto estaadístico en e domin el nio wavvelet paara el filtrado fi de imáágenes de d fase.. Au utor: Rubéén Leal Caaballero. leal_cubaa@yahoo.coom. Tu utores: M Sc. S Héctorr Cruz En nríquez. hcruz@uuclv.edu.cu. Dr. Juan Loorenzo Gin nori juanl@uclv.edu.cu Santa Clarra 2007 "Año 49 4 de la Revvolución".

(3) Haggo constar que q el presente trabajo de diploma fue realizaddo en la Universidad Ceentral “M Marta Abreu”” de Las Villlas como paarte de la cuulminación de d estudios de d la especiaalidad de Ingeniería en Telecom municacioness y Electrónnica, autorizando a quue el mismoo sea fi que esttime convenniente, tanto de forma parcial utillizado por laa Instituciónn, para los fines com mo total y qu ue además no n podrá ser presentado en eventos, ni publicadoo sin autorizzación de la l Universid dad.. F Firma del Auutor Loss abajo firmaantes certificcamos que el e presente trrabajo ha siddo realizado según acuerdo de la dirección d dee nuestro ceentro y el mismo m cumple con los requisitos r quue debe tenner un trabbajo de esta envergaduraa referido a la l temática señalada.. Firma del Autor. ma del Jefe de d Departam mento Firm doonde se defieende el trabaajo. Firmaa del Responnsable de Informacción Científico-Técnica.

(4) i. PENSAMIENTO. Lo que puedes hacer, o has soñado que podrías hacer, debes comenzarlo. La osadía lleva en sí, genio, poder y magia. Goethe..

(5) ii. DEDICATORIA. A mis padres..

(6) iii. AGRADECIMIENTOS. Quiero agradecer a mis padres por el apoyo y la confianza brindada a lo largo de mi carrera. A mi novia, por su amor, paciencia y comprensión. A Héctor C. Conejero por ser como un padre para mi. A mis amigos, en especial a Halder Galdo por toda la ayuda que me han dado en estos cinco años de carrera. A mis tutores por su excelente ayuda. A todos gracias, por hacer mi sueño realidad..

(7) iv. TAREA TÉCNICA. 1. Búsqueda bibliográfica sobre las características, aplicaciones y métodos de reducción de ruido de las imágenes de fase. 2. Análisis de los algoritmos existentes para la reducción de ruido en imágenes complejas, detectando deficiencias y posibles soluciones. 3. Análisis y desarrollo de técnicas de filtrado vectorial y filtros fuzzy de ordenamiento estadístico en el dominio wavelet 4. Comprobación de la mejoras en la calidad de la imagen de fase que introducen los algoritmos propuestos en términos del incremento de la relación señal a ruido, la disminución del error cuadrático medio normalizado y el número de residuos de fase. Firma del Autor. Firma del Tutor.

(8) v. RESUMEN. Entre la gran variedad de imágenes existentes, se encuentran las llamadas imágenes complejas, las cuales tienen una gran importancia pues son utilizadas en diversas aplicaciones. Dichas imágenes pueden ser caracterizadas por su magnitud y fase. La magnitud y la fase de las imágenes complejas tienen amplio uso tanto en la medicina como en otros campos de la ciencia. Dada la creciente importancia del tema, sobre todo por su aplicación en amplias zonas del desarrollo de la salud humana, y lo reciente de su estudio, se ha decidido centrar esta tesis en la reducción de ruido de las imágenes de fase con el fin de permitir la obtención de una información más precisa. Los avances en el filtrado de la imagen de fase aún son insuficientes para lograr la calidad que exigen las aplicaciones donde se emplean.. En este trabajo se presentan varios algoritmos de filtrado para la. reducción de ruido en imágenes de fase en el dominio Wavelet con la utilización de filtros no lineales de orden estadístico. Todos los algoritmos desarrollados aquí. reducen el. número de residuos de fase y mejoran la percepción visual de la imagen de fase filtrada..

(9) vi. TABLA DE CONTENIDOS. PENSAMIENTO .....................................................................................................................i DEDICATORIA .................................................................................................................... ii AGRADECIMIENTOS ........................................................................................................ iii TAREA TÉCNICA ................................................................................................................iv RESUMEN ............................................................................................................................. v INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 1 Organización del informe ................................................................................................... 3 CAPÍTULO 1. 1.1. Reducción de ruido en imágenes de fase .................................................... 4. Las imágenes........................................................................................................... 4. 1.1.1. Las imágenes complejas. ................................................................................ 5. 1.1.1.1 Imágenes Interferométricas de Radar de Apertura Sintética .......................... 5 1.1.1.2 Las imágenes de resonancia magnética. ......................................................... 6 1.1.1.3 Las imágenes de densidad de corriente........................................................... 6 1.1.2 1.2. Las imágenes de fase. ..................................................................................... 6. El problema del ruido y su supresión...................................................................... 7. 1.2.1. Modelos de ruido que afectan a la RM de imágenes. .................................... 8. 1.2.2. Efectos del ruido sobre las imágenes complejas. Los residuos de fase. ....... 10. 1.3. Algoritmos para la reducción de ruido en imágenes de fase. ............................... 11.

(10) vii 1.3.1. Filtrado no lineal en imágenes complejas. .................................................... 12. 1.3.1.1 Filtros basados en ordenamiento estadístico. ................................................ 13 1.3.1.2 Filtros basados en ordenamiento vectorial.................................................... 15 1.3.1.3 Filtros basados en la dirección vectorial. ...................................................... 17 1.3.2. Filtrado adaptativo en imágenes complejas. ................................................. 18. 1.3.2.1 Sistemas fuzzy adaptativo. ............................................................................ 19 1.3.3. Filtrado en el dominio wavelet en imágenes complejas. .............................. 21. 1.3.3.1 Las Transformada Wavelet. ........................................................................ 21 1.3.3.2 Técnicas de umbral aplicadas en el dominio Wavelet.. .............................. 25 1.3.3.3 Técnicas de filtrado complejo en el dominio Wavelet. .............................. 25 1.3.3.4 CAPÍTULO 2. 2.1. Empleo de filtros Wiener en el dominio Wavelet......................................... 26 MATERIALES Y MÉTODOS ................................................................. 28. Algoritmos de filtrado no lineal de ordenamiento estadístico en el dominio. wavelet. ............................................................................................................................. 28 2.2. Descripción del experimento. ............................................................................... 36. 2.3. Imagen compleja simulada. .................................................................................. 40. 2.4. Modelos de ruido empleados. ............................................................................... 41. 2.5. Medición de parámetros de calidad. ..................................................................... 43. 2.5.1. Relación señal a ruido y error cuadrático medio normalizado. .................... 43. 2.5.2. Residuos de fase............................................................................................ 44. CAPÍTULO 3.. RESULTADOS Y DISCUSIÓN .............................................................. 46. 3.1. Filtros en el dominio wavelet. ............................................................................... 46. 3.2. Consideraciones generales .................................................................................... 52. 3.2.1. Desempeño ante condiciones críticas de ruido ............................................. 53. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................................................... 55.

(11) viii Conclusiones ..................................................................................................................... 55 Recomendaciones ............................................................................................................. 55 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 56.

(12) INTRODUCCIÓN. 1. INTRODUCCIÓN. Las imágenes de fase aparecen en procesos de resonancia magnética (RM), y en imágenes de densidad de corriente (IDC), de gran importancia en la medicina y también en imágenes interferométricas de radar de apertura sintética (InSAR, del inglés Interferometric Synthetic Aperture Radar), fundamentalmente. Las imágenes clínicas tienen importancia tradicional en campos de la medicina tales como: dermatología, gastroenterología, cirugía, y radiología. Estas aseguran que el procesamiento digital de imágenes esté destinado a jugar un papel fundamental en la medicina actual y futura. La imaginología por RM constituye una de las tecnologías de diagnóstico más avanzadas que se están empleando en la actualidad, donde se pueden lograr fotografías de órganos y estructuras internas del ser humano, sin necesidad de exponerlo a las radiaciones exigidas en otros procedimientos de imágenes, tales como los Rayos X y la observación por Tomografía Computarizada; en su lugar, con el empleo de un fuerte campo magnético, una estructura de gradientes de campo magnético y la emisión de ondas de radio a las que se somete el organismo estudiado, se posibilita la obtención de imágenes tridimensionales de su interior. Esta técnica permite al especialista observar dentro del cuerpo del paciente desde cualquier ángulo, con gran claridad, por lo que le ofrece a éste una riqueza de información en forma rápida y en muchos casos menos costosa que otros estudios realizados con este mismo fin. Son muchos los beneficios de la proyección de las MRI. Se emplean para diagnosticar enfermedades tales como: los trastornos del sistema nervioso y del cerebro, los desórdenes de los huesos, tejidos y músculos, los tumores, enfermedades del corazón y de los vasos sanguíneos y diferentes tipos de cáncer..

(13) INTRODUCCIÓN. 2. En el proceso de obtención de las imágenes de resonancia magnética aparece la influencia del ruido que afecta la calidad perceptual de la imagen, disminuyendo no solo la apreciación de la misma, sino también el desempeño de tareas para las cuales fue concebida. Por lo tanto, el filtrado es una parte esencial de cualquier sistema de procesamiento de imágenes, sobre todo, si el producto final es utilizado para la inspección humana, o para un análisis automático. Debido a esto se hace necesaria la reducción del ruido para poder realizar un análisis detallado y acertado. Se han realizado estudios referentes a este tema, pero han estado fundamentalmente orientados a las imágenes de magnitud, y aunque el tema de las imágenes de fase ha sido abordado, existe un conjunto de facilidades para el tratamiento de las mismas que pueden ser desarrolladas en aras de potenciar el avance de diversas aplicaciones. En el presente trabajo se presenta un conjunto de algoritmos para la reducción del ruido en las imágenes de fase con el empleo de filtros no lineales de orden estadístico en el dominio Wavelet, haciendo énfasis fundamentalmente en el diseño de filtros fuzzy y la selección de la función de membresía apropiada. De esta forma, se podrá elevar el grado de utilidad de este tipo de imágenes. Con la obtención de mayores relaciones señal a ruido, así como la correspondiente disminución de los residuos de fase, el empleo de imágenes de fase en cualquier tipo de aplicación que las requiera, brindará mejores prestaciones. Para lograr estos resultados se han trazado los siguientes objetivos: El objetivo general de este trabajo es: •. Desarrollar un conjunto de algoritmos para la reducción de ruido en imágenes de fase, que incrementen la relación señal a ruido y disminuyan el número de residuos de fase.. Para lograr el objetivo general se plantean los siguientes objetivos específicos: •. Análisis de los algoritmos existentes para la reducción de ruido en imágenes complejas, detectando deficiencias y posibles soluciones..

(14) INTRODUCCIÓN. •. 3. Desarrollar algoritmos de filtrado vectorial de ordenamiento estadístico en el dominio wavelet.. Organización del informe El informe ha sido organizado en tres capítulos: “Reducción de ruido en imágenes de fase”, “Materiales y métodos” y “Resultados y discusión”. En el capitulo 1 se presenta los principales conceptos que se tratan en este trabajo. Se aborda el tema de la reducción del ruido en imágenes de fase, se analiza las deficiencias de los algoritmos y las técnicas empleadas en la literatura. Se plantea la panorámica general existente en torno al problema que se aborda y que motiva este trabajo. En el capitulo 2 se describen los algoritmos propuestos para la reducción de ruido en imágenes de fase. También se describen los parámetros de calidad utilizados para la validación de los métodos, y los experimentos realizados, evaluando distintas configuraciones y variantes de ruido. En el capitulo 3 se muestran los resultados obtenidos en los experimentos y se efectúa su análisis, planteando las implicaciones de los mismos en cada caso. Por último se presentan las conclusiones finales de la tesis y las recomendaciones para trabajos futuros..

(15) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 4. CAPÍTULO 1. Reducción de ruido en imágenes de fase. Existen diversos sistemas de imaginología que centran sus aplicaciones en la información de fase obtenida de sus datos. La mayoría de estas aplicaciones necesitan emplear técnicas de desenrollado de la fase para su implementación final. Sin embargo, la presencia de ruido afecta tanto la percepción de la imagen de fase como el proceso de desenrollado de la misma. En este capítulo se abordan consideraciones teóricas relacionadas con el tema. El capítulo se ha organizado en tres epígrafes que tratan las imágenes complejas, el ruido y su influencia en este tipo de imágenes y los algoritmos para la reducción del ruido en las mismas. 1.1. Las imágenes.. Las imágenes siempre han jugado un importante papel en la vida humana. Su principal función es el registro visual y la transferencia de información. La naturaleza de esa información puede ser muy diversa: recreativa (fotos de la familia y vacaciones), informativa (para aplicaciones comerciales), médica (imágenes de Resonancia Magnética y Escáneres de Tomografía Computarizada), científica (imágenes de microscopios electrónicos) o militares (imágenes satelitales de la superficie de la tierra). En la actualidad han alcanzado gran desarrollo las tecnologías para la obtención de imágenes digitales, y el Procesamiento Digital de Imágenes constituye un importante campo de investigación científica, con un amplio rango de aplicaciones. Las nuevas tecnologías de la información y el conocimiento se apoyan cada vez más en las imágenes, no sólo como soporte de esa información, sino también como una nueva forma de conocer el mundo..

(16) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 1.1.1. 5. Las imágenes complejas.. Entre la gran variedad de imágenes existentes, se encuentran las llamadas imágenes complejas. En una imagen digital compleja, cada píxel es un número complejo, por lo que dichas imágenes pueden ser caracterizadas por su magnitud y su fase. Tanto la magnitud como la fase de las imágenes complejas tienen amplias aplicaciones en la medicina, así como en otros campos de la investigación científica. Las imágenes complejas se presentan fundamentalmente en procesos de Resonancia Magnética (RM), y en imágenes de densidad de corriente (IDC), de gran importancia en el campo de la medicina. Las imágenes interferométricas de radar de apertura sintética (SAR, del inglés Synthetic Aperture Radar), constituyen otro ejemplo de este tipo de imágenes.. 1.1.1.1 Imágenes Interferométricas de Radar de Apertura Sintética El radar de apertura sintética basa su operación en la medición de la respuesta de la superficie de la tierra a la radiación electromagnética. El valor de esta respuesta en cada punto de una zona determinada puede utilizarse para construir una imagen de dicha área. En los sistemas SAR, se emite una onda electromagnética en forma de pulsos y el retorno de los mismos es detectado y almacenado para su posterior procesamiento. El sistema emite señales de microondas a intervalos regulares sobre una región y recibe una parte de esta energía retro-dispersada. Posteriormente, se almacena la información de intensidad y distancia proveniente de las señales de retorno, es decir, el retardo en el tiempo. Cuando dos imágenes de radares de apertura sintética son obtenidas de trayectorias de vuelo cercanas, y se correlacionan, la fase de la imagen resultante es conocida como interferograma SAR. La utilidad de esta imagen de fase es que la misma contiene la información sobre la altura del terreno. La realización de un procesamiento adecuado producirá el Modelo de Elevación Digital (MED) el cual contendrá información sobre la topografía del terreno [1][2]..

(17) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 6. 1.1.1.2 Las imágenes de resonancia magnética. La Resonancia Magnética es, en estos momentos, una técnica. muy utilizada en. investigaciones no invasivas, en campos como la medicina y la biología [3]. La máquina de resonancia magnética crea un fuerte campo magnético alrededor del paciente. El campo magnético, junto a los pulsos de radiofrecuencia enviados desde un escáner, alteran el alineamiento natural de los átomos de hidrógeno en el organismo. Luego, se utiliza una computadora para formar una imagen bidimensional (2D) de una estructura u órgano del cuerpo, en función de la actividad de los átomos de hidrógeno. Para detectar más detalles, se pueden obtener vistas transversales. La resonancia magnética no utiliza radiación, a diferencia de las radiografías o la tomografía computarizada [4].. 1.1.1.3 Las imágenes de densidad de corriente. Las imágenes de densidad de corriente son una técnica que se basa en la medición de vectores de densidad de corriente eléctrica, en un volumen de material o tejido. La medición es realizada por la aplicación de una corriente externa al material o tejido en cuestión, durante la adquisición de una imagen de RM. El campo magnético producido por dicha corriente es “mapeado” en la imagen de fase producida por RM. Esta imagen de fase es procesada para obtener los vectores de densidad de corriente [5] [6].. 1.1.2. Las imágenes de fase.. Partiendo de una imagen compleja C( x , y ) , expresada en términos de sus componentes real e imaginario R( x , y ) e I ( x , y ) , podemos plantear una representación cartesiana de la misma, según la ecuación:. C( x , y ) = R( x , y ) + jI ( x , y ). (1.1). La representación fasorial de la imagen está dada por la siguiente ecuación:. C ( x , y ) = η ( x , y ) exp( jθ ( x , y ) ). (1.2).

(18) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 7. donde η ( x , y ) es la imagen de magnitud y θ ( x , y ) es la imagen de fase obtenida por medio de la arco tangente del cociente entre las imágenes imaginaria y real. La mayor parte de la inteligibilidad de las imágenes está asociada a detalles como líneas, puntos, etc. Es razonable pensar que la fase refleja mejor la posición de estos detalles que el módulo. Por ejemplo, una traslación en la posición de una señal no tiene efecto en el módulo de la transformada de Fourier, y afecta a la fase al añadirle un término lineal. La fase de la transformada de Fourier de una imagen especifica la posición en el espacio de cada una de las sinusoides, y es la composición de estas sinusoides la que conforma los detalles de la imagen [7]. Dada la creciente importancia del tema, sobre todo, por su aplicación en amplias zonas del desarrollo de la salud humana, y lo reciente de su estudio, se ha decidido centrar este trabajo en la reducción de ruido en imágenes de fase, con el fin de permitir la obtención de una información más precisa de las mismas. 1.2. El problema del ruido y su supresión.. La obtención de imágenes implica la medida y procesamiento de señales obtenidas de un objeto. Cualquier medida realizada en la práctica siempre contendrá componentes no deseadas, los cuales no se correlacionan con la señal original. Estos componentes son conocidos como ruido o señales aleatorias. El ruido, a menudo, aparece en sistemas de imaginología, debido a fluctuaciones espontáneas como el movimiento térmico. de. electrones libres dentro de los componentes eléctricos. Un aspecto importante en el procesamiento de imágenes es conocer los tipos de ruido que se generan en el sistema de imaginología, y cómo son manejados en el proceso de obtención de la imagen, es decir, si los reduce o los amplifica [8]. El ruido introduce variaciones aleatorias en la lectura de los sensores, y provoca errores y efectos indeseables en los futuros estados del procesamiento de la imagen. El ruido puede ser un resultado del mal funcionamiento de los sensores, imperfecciones ópticas, interferencia electrónica, o defectos en el procedimiento de transmisión de los datos. La degradación de la calidad de la imagen también puede ser un resultado de técnicas de.

(19) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 8. procesamiento, tales como la corrección de apertura, las cuales amplifican tanto las señales de alta frecuencia, como el ruido. El ruido presente en aplicaciones de procesamiento de imágenes digitales no puede siempre ser descrito en términos del modelo Gaussiano comúnmente asumido. Sin embargo este puede ser representado en términos de secuencias impulsivas, caracterizadas por picos cortos de altas energías, grandes amplitudes y una mayor probabilidad de ocurrencia que la predicha por un modelo Gaussiano. Teniendo en cuenta estos argumentos, resultará deseable que los filtros aplicados a imágenes posean un comportamiento robusto ante la presencia de ruido impulsivo [9]. La función de un filtro es transformar una señal en otra más adecuada, para determinado propósito. Los filtros son utilizados, generalmente, en diversas aplicaciones de procesamiento de señales e imágenes, la visión artificial, las telecomunicaciones, el procesamiento de señales biofísicas y en la biomedicina. Sin embargo, la mayoría de estas aplicaciones tan populares que hacen uso del filtrado consisten en el proceso de detección y eliminación del ruido no deseado sobre una señal o imagen de interés. El ruido afecta la calidad perceptual de la imagen, al disminuir no solo la apreciación de la misma, sino también el desempeño de tareas para las cuales la imagen fue concebida. Por lo tanto, el filtrado es una parte esencial de cualquier sistema de procesamiento de imágenes, sobre todo, si el producto final es utilizado para la inspección humana, o para un análisis automático. Cuando se procesan imágenes complejas para la reducción de ruido, debe tenerse especial cuidado en la conservación de la información angular o de fase. Los diferentes filtros aplicados a imágenes complejas deben preservar la fase, bordes y detalles finos de la imagen. La preservación y posible mejora de esas características constituyen el objetivo y la atención principal de un algoritmo de filtrado durante el procesamiento de la imagen.. 1.2.1. Modelos de ruido que afectan a la RM de imágenes.. La mayoría del ruido en la RM de imágenes es el resultado de energías aleatorias de RF no deseadas, extraídas del cuerpo del paciente. La cantidad de ruido puede generalmente ser.

(20) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 9. controlada mediante la combinación de varios factores, sin embargo, la mayoría de estos factores conlleva a compromisos con otras características [10]. Dado que la magnitud de la imagen de RM es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de dos variables Gaussianas independientes, la misma está caracterizada por una distribución Riciana. En regiones de baja intensidad (oscuras) de la imagen de magnitud, la distribución Riciana tiende a una distribución de Rayleigh, y en regiones de alta intensidad (brillantes) tiende a una distribución Gaussiana [11]. El ruido, asociado a los procesos de transmisión de las señales para la obtención de la imagen de RM, también está presente, y existen varias fuentes que pueden generar este tipo de ruido. Entre otros, están los fenómenos provocados por el hombre, tales como los sistemas de ignición de los autos, las máquinas industriales y el proceso transitorio de los conmutadores en líneas de potencia. El ruido de transmisión también es conocido en el caso de imágenes en escala de gris como ruido de “sal y pimienta”. Este puede ser modelado por una distribución impulsiva. Un problema para el estudio del ruido en el procesamiento de imágenes complejas lo constituye precisamente la carencia de un modelo de ruido impulsivo multivariable. En este trabajo se utilizará la extensión de un modelo impulsivo tri-variable aplicado a imágenes a color y desarrollado en [12] para el caso de imágenes complejas. El ruido asociado a los sensores escalares (escala de gris), para propósitos de análisis, se ha asumido blanco Gaussiano (ocasionado fundamentalmente por el ruido térmico), y tiene la siguiente función de distribución de probabilidad:. p( xn ) = N (0,σ ) =. ⎛ − x2 ⎞ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ exp 1 ⎝ 2σ ⎠ (2πσ ) 2 1. (1.3). En imágenes complejas se puede asumir que los sensores asociados a los canales real e imaginario tienen la misma densidad probabilística con una media de cero y una varianza de ruido constante e igual a σ 2 , sobre todo el plano de la imagen. Este análisis resulta más simplificado aún, por el hecho de asumir que en la señal contaminada por el ruido, los canales real e imaginario no se encuentran correlacionados..

(21) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 10. En varias situaciones prácticas la imagen compleja puede estar contaminada por ambos tipos de ruido, ruido blanco Gaussiano aditivo, asociado a las perturbaciones en los sensores, y ruido impulsivo, inducido en los procesos de transmisión de las señales que conforman la imagen y la interferencia ambiental. En este caso, la imagen puede ser modelada como una imagen contaminada por una mezcla de ruido que responde al siguiente modelo: ⎧ s ( x ) + n( x ) y ( x) = ⎨ nI ⎩. p = 1 − pI ∀. (1.4). donde s (x) es la señal compleja con ruido aditivo n(x) , modelado como ruido blanco. Gaussiano con media cero, y n I (x) es el ruido de transmisión, modelado como ruido impulsivo bi-variable con grado de contaminación p I . De la discusión anterior se puede concluir que el modelo más simple en el procesamiento de imágenes complejas, y el más utilizado comúnmente, es el modelo de ruido blanco Gaussiano aditivo. De acuerdo con este modelo, se asume que las variaciones en los canales de la imagen son graduales. Así, los píxeles que posean una diferencia significativa con sus vecinos, podrán ser atribuidos al ruido. Por lo tanto, la mayoría de las técnicas de filtrado de imágenes intentan remplazar esas lecturas atípicas, usualmente llamadas “outliers”, con valores derivados de los píxeles más cercanos. Basado en este principio, varias técnicas de filtrado podrán ser propuestas para el caso de las imágenes complejas.. 1.2.2. Efectos del ruido sobre las imágenes complejas. Los residuos de fase.. En las imágenes de fase provenientes de imágenes complejas, la presencia de ruido se traduce directamente como un incremento en el número de residuos de fase. La presencia de estos residuos afecta de modo significativo el proceso de desenrollado de la imagen. Este proceso es indispensable para la mayoría de las aplicaciones relacionadas con las imágenes de fase..

(22) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 11. La teoría de las funciones de variable compleja establece que la evaluación de las integrales de línea alrededor de una trayectoria cerrada es equivalente al problema algebraico de evaluar los residuos encerrados en dicha trayectoria. El teorema de los residuos para una función de variable compleja F(z), establece que:. ∫ F ( z )dz = 2πjR. (1.5). donde R es la suma de los residuos de fase encerrados en el lazo que forma la trayectoria cerrada. Si asociamos a F(z) con el gradiente de fase ∇ϕ , el teorema anterior se puede expresar como:. ∫ ∇ϕ (r ) * dr = 2πC. (1.6). donde C es la suma de las cargas de los residuos encerrados en el lazo que forma la trayectoria cerrada. La ecuación 1.6 se conoce como el “Teorema de los residuos” para el desenrollado de fase bidimensional. Es importante aclarar que la carga de un residuo siempre será uno y el signo puede ser positivo o negativo. Esta es la principal diferencia del teorema propiamente dicho, aplicado a funciones complejas, donde la integral de contorno no está restringida a la suma de los múltiplos de 2π.. 1.3. Algoritmos para la reducción de ruido en imágenes de fase.. El problema del ruido asociado a las imágenes de fase parte del grado de contaminación presente en la imagen compleja de donde la información de fase es extraída. Las imágenes complejas utilizadas en aplicaciones médicas han sido caracterizadas tradicionalmente por una distribución de ruido blanco Gaussiano aditivo complejo. El procesamiento de las imágenes para la reducción de ruido en su forma compleja, permitirá abordar con mayor.

(23) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 12. facilidad el diseño de los algoritmos para el filtrado de la imagen. 1.3.1. Filtrado no lineal en imágenes complejas.. Existen diferentes técnicas de filtrado para el procesamiento de imágenes. Entre ellas se encuentran las técnicas de procesamiento lineal, cuya relativa simplicidad matemática y la existencia de una teoría unificada, facilitan su diseño e implementación, además brindan un desempeño satisfactorio en variedad de aplicaciones prácticas, esto ha conducido a una amplia utilización de estas técnicas. Sin embargo, en la mayoría de los casos se asume un modelo estacionario para representar las señales. Existe una serie de problemas para el procesamiento de señales que no pueden ser resueltos de forma eficiente mediante el uso de estas técnicas. Desafortunadamente, las técnicas de procesamiento lineal fallan en el procesamiento de imágenes, pues no pueden hacer frente a las no linealidades del proceso de formación de la imagen, ni pueden tomar en cuenta la naturaleza no lineal del sistema visual humano [13]. Las imágenes poseen regiones planas (flat) y áreas de cambios abruptos, tales como bordes, las cuales son portadoras de importantes informaciones para la percepción visual. Además, la mayoría de las técnicas de procesamiento lineal de señales tiende a difuminar (blur) los bordes y a degradar líneas y otros detalles finos de la imagen. Las técnicas no lineales, al menos teóricamente, tienen la habilidad de suprimir el ruido no Gaussiano, preservar elementos importantes de la señal, como son los bordes y detalles finos, y eliminar la degradación ocurrida durante el proceso de formación de la imagen. A pesar de los resultados teóricos obtenidos, las técnicas de filtrado no lineal aún carecen de una teoría unificada que pueda abarcar las técnicas de procesamiento no lineal existentes. Una familia de filtros no lineales muy utilizada es la denominada, filtros de ordenamiento estadísticos. Estos filtros se basan en una teoría de estadística robusta [14] [15]. Dentro de los miembros de esta clase de filtros, son los filtros de mediana y mediana vectorial (VMF, del inglés Vector Median Filter) los más conocidos [16] [17]. El amplio uso de estos filtros en el análisis de señales multivariables, conducen a la introducción de técnicas similares para el análisis de señales complejas. A continuación se muestran algunos esquemas de ordenamiento que pueden ser utilizados para el diseño de filtros no lineales y filtros digitales multicanales, adecuados para imágenes complejas:.

(24) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 13. 1. Ordenamiento Marginal. M-ordering. 2. Ordenamiento Condicional. C-ordering. 3. Ordenamiento Parcial. P-ordering. 4. Ordenamiento Reducido (agregado). R-ordering. Estos esquemas de ordenamiento pueden ser utilizados en cualquier tipo de datos multivariables. Sin embargo, para definir un esquema de ordenamiento que sea atractivo para el procesamiento de imágenes complejas, este debe ser adaptado hacia el ordenamiento de vectores de dichas imágenes. Este ordenamiento se realiza sobre los píxeles de una ventana local que se desplaza a lo largo de la imagen. 1.3.1.1 Filtros basados en ordenamiento estadístico. Ordenamiento marginal. El uso del ordenamiento marginal (M-ordering) puede ser la aproximación multivariable más directa para el filtrado de imágenes complejas, basado en el ordenamiento de los datos. Los dos canales de la imagen compleja son ordenados de forma independiente. Varios filtros no lineales multicanales basados en el ordenamiento marginal pueden ser propuestos. Uno de los más utilizados ha sido el filtro de mediana marginal (MAMF, del inglés Marginal Median Filter). Análisis teóricos y resultados experimentales han permitido llegar a la conclusión de que el filtro de mediana marginal es robusto en la supresión del ruido impulsivo mientras preserva importantes características de la imagen, como son los bordes. Sin embargo, su desempeño en la supresión del ruido blanco Gaussiano aditivo, el cual aparece con frecuencia en el procesamiento de imágenes, es inferior al de media u otros filtros lineales. Por lo tanto, se hace necesario encontrar una solución de compromiso entre la mediana vectorial y el filtro de media. El filtro de media–reducida, clasificado como un miembro de la familia de los filtros estadísticos de ordenamiento marginal llamado filtros L (L-filter) [18], podría operar de forma adecuada ante ambas clases de ruido. Este filtro rechaza un por ciento determinado de las muestras multivariables, las más distantes según el ordenamiento de los datos, y utiliza el resto de los píxeles para determinar el promedio..

(25) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 14. Ordenamiento Reducido. El ordenamiento reducido (R-ordering) ha sido otra técnica utilizada extensivamente en el desarrollo de filtros para imágenes multivariables. Esta técnica ordena las muestras multivariables comprendidas en una ventana local, en función de la distancia de cada vector con respecto a un vector de referencia. De esta forma, el ordenamiento multivariable se reduce a un ordenamiento escalar, haciendo más fácil su implementación. En dependencia del vector de referencia, pueden ser utilizados diferentes esquemas para el ordenamiento. Los vectores de referencia más utilizados son la mediana, la media, la mediana marginal y el valor central en la ventana de procesamiento. El comportamiento de estos filtros para el caso de señales multivariables con áreas de la imagen ricas en detalles no ha sido muy adecuado. Los filtros de media y de mediana marginal tienden a allanar las líneas y pequeñas estructuras. Sin embargo, la idea de un filtro que se adapte a los cambios locales de la imagen ruidosa, y sea capaz de intercambiar el vector de referencia entre la media, la mediana marginal o la muestra central, puede ser muy atractiva Mediciones de distancia.. Una de las mediciones más utilizadas para cuantificar la distancia entre dos señales, es la métrica de Minkowski generalizada (norma Lp). Esta métrica se define por dos vectores xi y xj como se muestra a continuación: ⎛ p d M (i, j ) = ⎜ ∑ xik − x kj ⎜ 1 ⎝. (. 1. ). p. ⎞p ⎟ ⎟ ⎠. (1.7). donde p es la dimensión del vector xi y xik es el k-ésimo elemento de xi. Tres casos especiales de esta métrica son de particular interés: 1. La distancia City-Block (norma L1) correspondiendo a M=1. En este caso la distancia entre los dos vectores es considerada como la suma de los valores absolutos entre sus componentes: p. d1 (i, j ) = ∑ xik − x kj 1. 2. La distancia Euclidiana (norma L2) correspondiendo a M=2. En este modelo, la. (1.8).

(26) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 15. distancia entre los dos vectores es la raíz cuadrada de la suma de las distancias cuadráticas entre sus componentes: ⎛ d 2 (i, j ) = ⎜⎜ ∑ xik − x kj ⎝ k =1 p. (. ) ⎞⎟⎟ 2. 1 2. (1.9). ⎠. 3. La distancia tablero de ajedrez (norma L∞ ) correspondiendo a M = ∞ . En este caso la distancia entre los dos vectores es considerada como la distancia máxima entre sus componentes:. d ∞ (i, j ) = max xik − x kj k. (1.10). La distancia Euclidiana tiene un costo computacional relativamente alto, ya que evalúa las distancias de los componentes y requiere el cálculo de la raíz cuadrada. Para acomodar tales operaciones, se requiere aritmética de punto flotante. Por otro lado, las normas L1 y Loo pueden ser evaluadas utilizando aritmética entera, para de esta manera lograr un algoritmo de evaluación de distancia más eficiente desde el punto de vista computacional La distancia angular, es otro tipo de métrica que puede ser utilizada para comparar cuán orientadas pueden estar dos señales multicanales xi y xj. Una función muy utilizada para este propósito es el producto interno normalizado, definido como:. s1 ( xi , x j ) =. xi x tj xi x j. (1.11). la cual se corresponde con el coseno del ángulo entre los dos vectores xi y xj. Por lo tanto, la magnitud (amplitud) angular o el coseno del ángulo entre dos vectores puede ser considerado como una medición de distancia angular [13].. 1.3.1.2 Filtros basados en ordenamiento vectorial.. Los filtros multivariables pueden estar definidos por el empleo de esquemas de ordenamiento vectorial. Si la distancia agregada de la muestra yi, para el conjunto de vectores W(n)=[y1,y2,…,yn], es utilizada como una función de ordenamiento, entonces: n. d i = ∑ d ( yi , y j ) j =1. (1.12).

(27) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 16. donde d ( yi , y j ) representa la medición de distancia apropiada. Las mediciones de. distancia di se disponen en orden ascendente, asociando el mismo orden para las muestras multivariables. Así, un ordenamiento: d (1) ≤ d ( 2) ≤ ... ≤ d ( n ). implica el mismo ordenamiento para los vectores yi y (1) ; y ( 2) ;...; y ( n ). (1.13). El filtro de mediana vectorial puede ser definido como el vector de mediana yVM contenido en un conjunto dado, cuya distancia, con relación a todos los otros vectores, sea mínima: n. n. j =1. j =1. ∑ d ( yVM , y j ) ≤ ∑ d ( yi , y j ). ∀i ∈ [1,2,..., n]. (1.14). En la secuencia ordenada de (1.13), yVM = y(1). La distancia entre los vectores en (1.12) puede ser calculada por varias vías diferentes como se describió anteriormente en. (1.3.1.1) Como en todos los filtros multivariables discutidos anteriormente, el filtro de mediana vectorial puede ser utilizado como un filtro para el procesamiento de imágenes complejas, utilizando una ventana W(n) que se desplaza sobre el plano de la imagen. Para cada posición de la ventana, el vector yk, ubicado en el centro de misma, será sustituido por la mediana vectorial de las muestras en W(n). Algunas propiedades derivadas de la mediana vectorial se describen en [16]. En particular es interesante destacar que la salida del VMF es siempre uno de los vectores de entrada. Esto constituye un elemento importante a la hora de utilizar estas técnicas en el filtrado de imágenes complejas, donde la información de fase constituye el principal interés de la aplicación. La operación de mediana vectorial puede ser combinada con técnicas de filtrado lineal, para casos donde la mediana no sea adecuada para filtrar el ruido, como ocurre con la presencia del ruido Gaussiano aditivo [13]..

(28) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 17. 1.3.1.3 Filtros basados en la dirección vectorial.. Los esquemas de ordenamiento multivariable y los filtros asociados discutidos hasta ahora, están basados en una representación cartesiana de la señal compleja. Sin embargo, en varios casos, como en aplicaciones de las imágenes de fase, la representación polar de los datos multivariables es de especial interés. Los filtros de vectoriales direccionales (VDF, del inglés Vector Directional Filter) son una clase de filtros multivariables que se basan en principios de ordenamiento vectorial y coordenadas polares. La novedad de esta clase de filtros con respecto a los anteriores, es que el criterio de ordenamiento está basado en el ángulo entre los vectores de la imagen compleja o multivariable. Como su nombre lo indica, el VDF opera sobre la dirección de los vectores de la imagen en el espacio complejo, y elimina los vectores con direcciones atípicas en el espacio vectorial. La familia de filtros VDF utiliza la distancia angular para ordenar los vectores de entrada que se encuentran dentro de la ventana de procesamiento. De forma análoga al VMF pero para el caso de la medición de distancia angular, se obtiene el filtro vectorial direccional básico (BVDF, del inglés Basic Vector Direccional Filter). La diferencia radica en el criterio de distancia utilizado. El filtro vectorial direccional básico utiliza el ángulo entre los vectores de la imagen compleja, mientras que el VMF emplea un tipo de distancia de Minkowski entre los vectores complejos. El BVDF opera adecuadamente cuando la magnitud del vector no es importante y la dirección de los vectores es el factor dominante, ya que este filtro es indiferente a la magnitud de los vectores complejos y los trata como datos puramente direccionales. Sin embargo en la práctica los datos de imágenes complejas no son puramente datos de fase ya que la magnitud de los vectores de la imagen puede variar en diferentes localizaciones. Para mejorar el desempeño del BVDF se propuso una estructura de filtro generalizado. La nueva estructura dio lugar al filtro vectorial direccional generalizado (GVDF, del inglés Generalized Vector Direccional Filter). En lugar de una única salida, el GVDF obtiene a la salida un conjunto de vectores con pequeños ángulos en relación con sus vecinos. El número de vectores de salida será un parámetro de diseño. El GVDF necesita ser combinado con un filtro de escala de gris (procesamiento de magnitudes) con el objetivo de producir un único vector de salida en cada píxel. Aquí.

(29) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 18. aparecen muchas variantes conocidas de filtrado que pueden ser utilizadas y van a depender de las condiciones impuestas por el diseño. Si se contara previamente con las características del ruido contaminante, el diseñador podría seleccionar el algoritmo de procesamiento de magnitud más apropiado para maximizar el desempeño del GVDF. Sin embargo, en aplicaciones prácticas esto no suele ocurrir. En estos casos la robustez del GVDF es cuestionable. Para solventar las deficiencias del GVDF, se propuso un filtro direccional conocido como filtro de dirección-distancia (DDF, del inglés Distance-Direction Filter) [13]. El DDF retiene la estructura del BVDF, pero utiliza un criterio de distancia diferente para ordenar los vectores dentro de la ventana de procesamiento. El objetivo de este nuevo esquema es obtener un filtro que combine ambas propiedades. Para el DDF la medición de distancia dentro de la ventana de procesamiento W, se define como: n. n. j =1. j =1. β i = ∑ A( yi , y j )∑ yi , y j. (1.15). donde A( yi , y j ) es la distancia direccional (angular) y el segundo término toma en consideración las diferencias en términos de magnitud. Aunque la concepción de este filtro es atractiva ante diferentes clases de ruidos, y la estructura de procesamiento del vector resultante es simple, rápida y sin módulos adicionales al GVDF, presenta varios inconvenientes. La medición de distancia definida en (1.15) es heurística, dependiente de la ventana, y no vincula las características de los vectores complejos individuales. Además, no tiene en cuenta la relativa importancia de los dos componentes en la medición de distancia sugerida. De esta forma, aunque el DDF puede proporcionar, en algunos casos, mejores resultados que los obtenidos por el BVDF o el GVDF, no debe ser considerado como un filtro no lineal efectivo de propósito general.. 1.3.2. Filtrado adaptativo en imágenes complejas.. Los filtros no lineales descritos anteriormente suelen ser optimizados para un tipo de ruido específico. Sin embargo, las estadísticas de ruido varían de aplicación en aplicación, o en la.

(30) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 19. misma aplicación de imagen a imagen. El filtrado adaptativo intenta solventar las dificultades asociadas a la incertidumbre de los datos de la imagen, utilizando procedimientos de estimación, basados en la estadística local. Los parámetros del filtro adaptativo se determinan de forma dependiente de los datos. El principal problema del diseño adaptativo radica en la dificultad para realizar un análisis estadístico exacto y en el tiempo que ocupa este procedimiento. Existen un grupo de técnicas adaptativas basadas en principios de lógica difusa (fuzzy) utilizadas para la eliminación de ruido no Gaussiano entre otras aplicaciones [19]. Generalmente, para el diseño se pueden tener en cuenta un gran número de reglas. La estrategia del diseñador consiste en establecer un compromiso entre la calidad del filtro bajo estudio y el número de reglas a utilizar [20]. Para resolver esta limitante se pueden combinar conceptos fuzzy, tales como funciones de membresía, reglas fuzzy, y agregados fuzzy con filtros no lineales, con el objetivo de eliminar el ruido Gaussiano y no Gaussiano mientras se preservan detalles de la imagen. De forma similar a lo que ocurre con las técnicas no lineales en general, las técnicas fuzzy actuales para el procesamiento de señales también carecen de una teoría única.. 1.3.2.1 Sistemas fuzzy adaptativo.. Un procedimiento comúnmente empleado para disminuir el nivel de ruido aleatorio presente en una señal, consiste en utilizar alguna operación de promediado fuzzy con el objetivo de sustituir el vector ruidoso ubicado en el centro de la ventana por un vector adecuado. Una forma general para representar el sistema fuzzy adaptativo se puede expresar a través de un promedio fuzzy en función de los pesos de los vectores de entrada en el interior de la ventana de operación W. n. n. j =1. j =1. yˆ = ∑ w j y j =∑. μ λj. ∑. n. μλ j =1 j. yj. (1.16). donde ŷ es las salida del filtro fuzzy adaptativo, y j son los vectores de entrada que se encuentran dentro de la ventana de operación W, w j ≥ 0 es la j-ésima función de.

(31) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. membresía normalizada tal que. ∑. n j =1. 20. w j = 1 , μ j es una función de membresía definida por. criterios de distancia, y λ es un parámetro tal que λ ∈ [0, ∞) En este diseño adaptativo, los pesos denotan el grado de contribución de cada vector de entrada sobre la salida del filtro. Los pesos del filtro se obtienen mediante un proceso adaptativo utilizando transformaciones de un criterio de distancia entre los vectores de entrada. Estas transformaciones pueden ser consideradas una función de membresía relacionada con componentes específicos de la ventana. El algoritmo adaptativo evalúa la función de membresía y entonces utiliza los valores obtenidos para calcular la salida final filtrada. La operación que minimiza la diferencia entre la señal prototipo (señal que sustituirá a la muestra ruidosa central) y todos sus vecinos dentro de la ventana, se conoce como procedimiento de defuzzyficación. En dependencia de la medición de distancia específica que se aplique a los datos de entrada, se podrá diseñar una función de membresía fuzzy diferente. A continuación se muestra una forma genérica para la función de membresía:. μi =. 1 1 + f (d i ). (1.17). Donde f ( d i ) es una función de la distancia entre el vector multivariable yi y el vector prototipo ideal yτ. Se debe mencionar que el valor de la función de membresía y el desempeño del filtro fuzzy adaptativo van a depender de la medición de distancia seleccionada y la selección del vector de referencia apropiado (prototipo ideal). La selección de un vector de referencia adecuado va a depender de las características de la señal. Generalmente la mediana es la selección preferida ya que esta reduce el ruido impulsivo y preserva los bordes y detalles de la imagen. Los filtros VMF, BVDF y MAMF pueden ser utilizados con el objetivo de proporcionar un punto de referencia confiable. De esta forma, el filtro va a depender directamente del punto de referencia seleccionado. Para alcanzar un procedimiento realmente robusto, se debe prescindir de la necesidad de obtener un punto de referencia. Para esto se evalúa la función de membresía, utilizada para obtener los pesos de cada vector de entrada yi, sobre la distancia agregada entre el vector yi.

(32) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 21. bajo análisis y el resto de los vectores dentro de la ventana de procesamiento. De esta forma, al vector que posea la menor distancia acumulativa, le será asignado el valor de membresía máximo (tendrá el mayor peso sobre la salida del filtro).. Si bien este diseño no depende de un punto de referencia, y así es más robusto ante los posibles outliers, aumenta considerablemente la carga computacional.. 1.3.3. Filtrado en el dominio wavelet en imágenes complejas.. La transformada Wavelet (WT, del inglés Wavelet Transform) en sus diferentes extensiones constituye una herramienta potente para varias aplicaciones del procesamiento de señales [21], entre las que se encuentra el filtrado de imágenes para la reducción de ruido. La WT en su versión discreta, a pesar de presentar algunas limitaciones como: la sensibilidad al desplazamiento, pobre direccionalidad y ausencia de información de fase, ha tenido una aplicación sostenida y amplio desarrollo a través de sus extensiones. Entre ellas se destacan la transformada wavelet estacionaria, la transformada wavelet packets (WPT, del inglés Wavelet Packets Transform) y la transformada wavelet compleja, las que logran mitigar las limitaciones anteriores y adicionan la posibilidad de aprovechar tanto la información de magnitud como de fase . Las propiedades inherentes a esta transformada, relacionadas con la descomposición no redundante de señales e imágenes, la hacen una herramienta atractiva para el diseño de algoritmos para la reducción de ruido en el dominio wavelet.. 1.3.3.1 Las Transformada Wavelet.. La Transformada Wavelet es una herramienta matemática que posibilita el análisis de series temporales no estacionarias, brindando simultáneamente la. información temporal y. espectral de las mismas. La WT descompone una señal sobre un conjunto de funciones básicas wavelets, obtenidas mediante dilataciones y traslaciones de la wavelet generadora, y produce una representación de la señal en tiempo (espacio)-frecuencia..

(33) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 22. Transformada Wavelet Continua. Para un prototipo de función wavelet generadora ψ (t ) ∈ L2 (ℜ) , la familia de funciones obtenidas mediante desplazamientos y dilataciones de ψ (t ) queda definida como:. ψ a ,b (t ) =. 1 ⎛t −b⎞ ψ⎜ ⎟ a ⎝ a ⎠. (1.18). donde a, b ∈ ℜ y a > 0.El parámetro a es el factor de dilatación o escala y b el de traslación. La transformada wavelet continua (CWT, del inglés Continuous Wavelet Transform) de una función f (t ) ∈ ℜ es entonces definida como: ∞. CWT f (a, b) = ∫ψ a*,b (t ) f (t )dt = ψ a ,b (t ), f (t ). (1.19). −∞. A las funciones base ψ a ,b (t ) , están asociadas las respuestas al impulso de un banco de filtros. La operación de análisis de la CWT, permite obtener un conjunto de coeficientes wavelet. {CWT. f. (a, b)} . Esos coeficientes indican cuán parecida es una señal con respecto a una. función base particular. La CWT presenta una descomposición básica ortonormal, y preserva la energía. Por lo tanto, la función f (t ) puede ser recuperada de su transformada mediante la expresión de reconstrucción que se muestra a continuación: f (t ) =. 1 Cψ. ∞ ∞. ∫ ∫ CWT. − ∞− ∞. f. (a, b)ψ a ,b (t ). dadb a2. (1.20). Transformada Wavelet Discreta (TWD). La CWT tiene el inconveniente de ser redundante e impráctica con el empleo de las computadoras digitales. Como los parámetros (a, b) toman valores continuos, la CWT resultante será una representación muy redundante. Por lo tanto, los parámetros de.

(34) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 23. dilatación y traslación serán evaluados de forma discreta en el plano tiempo-escala para obtener un conjunto discreto de funciones básicas continuas. Los siguientes parámetros establecen el carácter discreto de la transformada: a = a0j y b = k ⋅ a0j ⋅ b0 para j , k ∈ Z .. (1.21). Donde, a0 > 1 es la dilatación y b0 ≠ 0 la traslación. La familia de wavelets queda definida de la siguiente manera: Ψ j ,k (t ) = a0− j / 2ψ (a0− j t − kb0 ). (1.22). Y la función de descomposición Wavelet para una función f(t) será:. f (t ) = ∑∑ D f ( j , k )ψ j ,k (t ) j. (1.23). k. Donde el conjunto bidimensional de coeficientes. D f ( j, k ). es nombrado como. Transformada Wavelet Discreta (DWT, del inglés Discrete Wavelet Transform) de la función f (t ) . La selección de ψ (t ) se hace de forma tal que los conjuntos de funciones bases {ψ j,k } constituyen bases ortonormales de L2 (ℜ) y por tanto: ∞. D f ( j , k ) = ∫ψ *j ,k (t ) f (t )dt = ψ j ,k (t ), f (t ). (1.24). −∞. La Transformada Wavelet Discreta Bidimensional (DWT-2D) aplicada a imágenes, proporciona una matriz que contiene cuatro tipos de coeficientes wavelets: aproximaciones, detalles horizontales, detalles verticales y detalles diagonales. Los coeficientes de aproximación contienen la mayor parte de la energía de la imagen, mientras que los de detalle presentan valores próximos a cero. Una imagen en escala de grises se representa como una matriz bidimensional de números distribuidos en el espacio donde cada número representa el nivel de intensidad de un píxel. Un análisis sencillo de multirresolución, descompone la imagen calculando el promedio de cada par de píxeles adyacentes, para obtener una imagen de menor resolución. La reconstrucción aproximada, a partir de la imagen de baja resolución, se logra repitiendo.

(35) CA APÍTULO 1. REVISIÓN BIB BLIOGRÁFICA A. 24. cadda uno de loss píxeles de la misma. Sin S embargo,, para lograrr una reconsttrucción perrfecta, es necesario guardar ciertta informaciión adicionaal, que sumaada con la imagen dee baja mita recuperrar la imagenn original. resoolución, perm. Figgura 1.1 Bancco de filtros para un niveel de análisis de la DWT T-2D Cadda nivel de análisis muultirresolucióón implemennta un bancco de filtross como el quue se muuestra en laa Figura 1.3. Esta esttructura prooduce tres sub-imágenees de detallles ( WψH ( j , m, n) ,W WψV ( j , m, n) ,W WψD ( j , m, n) ) corresponndientes a tres t diferenttes orientacciones. direeccionales (H Horizontal, Vertical V y Diagonal) D paara los coeficcientes de deetalle, y unaa subimaagen de baja b resolucción ( Wϕ ( j , m, n) ) coorrespondiennte a los coeficientes de aprroximación. La estructurra del bancoo de filtros puede ser iterrada de mannera similar sobre el canal c Wϕ ( j , m, n) para prroporcionar la descompoosición multtinivel. Parra el caso dee las imágennes digitales, donde los píxeles p son muy m pareciddos a sus veccinos, el promedio p en ntre dos píxeles adyacenttes es prácticcamente iguual a los píxeeles promediiados, porr lo que un gran númeero de detallles se aproxxima a ceroo. Esta caraacterística quue se presenta con el e empleo dee la Transfoormada Wavvelet ha sidoo muy utilizzada por divversas apliicaciones en n el procesam miento de im mágenes, enntre las que se encuentraa la reduccióón de ruiddo..

(36) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 25. 1.3.3.2 Técnicas de umbral aplicadas en el dominio Wavelet... Existen dos técnicas de umbral clásicas (umbral blando y umbral duro) para la reducción de coeficientes ruidosos en el dominio wavelet. Al aplicar la técnica de umbral blando sobre los coeficientes c j ,k = f ,ψ j ,k se obtiene el siguiente resultado: ⎧c j ,k − thr ) ⎪ c j ,k = ⎨ 0 ⎪c + thr ⎩ j ,k. c j ,k ≥ thr c j ,k ≤ thr c j ,k ≤ −thr. (1.25). donde thr es un umbral que depende del nivel de ruido en la i-ésima escala y cˆa ,b son los coeficientes reducidos que se utilizarán para reconstruir la imagen por medio de la Trasformada Wavelet Inversa. En el caso de aplicar un umbral duro (método más simple), los coeficientes de salida ) conservarán el mismo valor que los de entrada c j ,k = c j ,k si c > thr , y cero si c ≤ thr .. 1.3.3.3 Técnicas de filtrado complejo en el dominio Wavelet.. La mayoría de los algoritmos existentes para la reducción de ruido en imágenes complejas abordan, fundamentalmente, el caso de las imágenes de magnitud. Las imágenes de RM es un ejemplo típico de esta práctica común. La transformada Wavelet ha sido una herramienta muy utilizada para el filtrado de este tipo de imágenes. Muchos algoritmos basaban sus métodos en la aplicación de una técnica de umbral (blando o duro) a los coeficientes. Wavelet de detalle de la imagen de magnitud. Si bien estos algoritmos lograban, en alguna medida, incrementar la relación señal a ruido de la imagen de magnitud, solo era para áreas de la imagen caracterizadas por una alta relación señal a ruido (SNR, del inglés Signal to Noise Ratio) inicial. Además, estos algoritmos no tienen incidencia alguna sobre la imagen de fase correspondiente a la señal original. El comportamiento errático de estos algoritmos en áreas de la imagen, caracterizadas por una baja SNR, se debe, fundamentalmente, a que no abordaban de forma adecuada la presencia del ruido en las imágenes complejas. Como se describió anteriormente en el epígrafe 1.2.1, la imagen de magnitud obtenida por RM presenta una distribución Riciana que se comporta indistintamente como una distribución Gaussiana o Rayleigh en.

(37) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 26. dependencia del nivel de ruido presente en la imagen compleja original. La distribución Rician no tiene media cero, y la misma es dependiente de la intensidad local en la imagen. Algoritmos como los propuestos en [22] y [23] tienen en cuenta el problema de la distribución Riciana, y aplican las técnicas de umbral directamente sobre los coeficientes wavelet de los canales real e imaginario de la imagen compleja ruidosa. Estos algoritmos logran un aumento en la SNR y el contraste de la imagen con respecto a los métodos anteriores. Sin embargo, estos algoritmos se concentran solo en la imagen de magnitud y no consideran los efectos que puede provocar la técnica de umbral aplicada sobre la imagen de fase, así como la base wavelet y el número de niveles de descomposición escogidos. En [2] se propone un algoritmo para el filtrado en imágenes de fase provenientes de interferogramas SAR. El objetivo fundamental de este algoritmo es reducir el número de residuos de fase para facilitar el desenrollado de la imagen obtenida por el radar de apertura sintética. Al ser este un caso particular de una imagen de fase, aunque fuera de las aplicaciones médicas, el algoritmo es aplicado directamente sobre una imagen compleja de magnitud arbitraria. Aquí la información de fase es quien reclama todo el interés. El algoritmo es sencillo, pero solo aplica un umbral blando sobre la imagen compleja en su conjunto, y no se advierte la posibilidad de utilizar otras técnicas de umbral. Este algoritmo no valora los efectos sobre la imagen de fase al aplicar esta técnica de filtrado sobre los canales real e imaginario de forma independiente.. 1.3.3.4 Empleo de filtros Wiener en el dominio Wavelet.. El algoritmo presentado en [24] para la reducción de ruido en imágenes de magnitud en el dominio wavelet, logra evadir el efecto indeseable de la distribución Riciana con el empleo de un filtro Wiener sobre los coeficientes wavelet de la imagen de magnitud cuadrática. Los datos de magnitud cuadráticos obedecen a una distribución Chi-Cuadrado no central que ofrece ciertas ventajas en el proceso de filtrado. El filtro propuesto es un clásico filtro Wiener y responde a la siguiente ecuación:. dˆ I = α I ⋅ d I. (1.26).

(38) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 27. donde d I son los coeficientes wavelet de detalles de la señal de magnitud cuadrática, d̂ I son los coeficientes wavelet filtrados de dicha señal, y α I es el filtro Wiener cuya ecuación se muestra a continuación:. ⎛ d I2 − 3σ I2 ⎞ ⎟⎟ 2 ⎝ dI ⎠†. α I = ⎜⎜. (1.27). El valor de σ I2 representa la varianza estimada de ruido. Como se observa en la ecuación (1.26) correspondiente a este filtro, los coeficientes con valores pequeños son reducidos a cero, prácticamente, y los que tienen altos valores apreciables quedan prácticamente inalterados. Este algoritmo presenta buenos resultados para la imagen de magnitud pero no tiene ningún efecto sobre la de fase. El algoritmo propuesto por [25] y utilizado en [26] hace una generalización del filtro Wiener exhibido en [24], y se aplica directamente sobre los coeficientes wavelet de detalle de la señal compleja. El filtro presenta un carácter adaptativo y logra una mejora tanto en la calidad de la imagen de magnitud como en la imagen de fase. Este algoritmo se preocupa fundamentalmente por los efectos provocados por el proceso de filtrado sobre la imagen de magnitud, y no valora la posibilidad de ser aplicado de forma independiente sobre los canales real e imaginario, para evitar introducir distorsiones de fase en los coeficientes wavelet que afectan fundamentalmente la reconstrucción de la imagen de magnitud..

(39) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS. 28. CAPÍTULO 2. MATERIALES Y MÉTODOS. En este capítulo se describen los algoritmos propuestos para la reducción de ruido en imágenes de fase, así como las métricas de calidad objetiva utilizadas (NMSE, SNR, NRES). Estos algoritmos constituyen el núcleo de las contribuciones que se defienden en este trabajo. Se describen además las imágenes empleadas y los experimentos concebidos para la validación de dichos algoritmos.. 2.1. Algoritmos de filtrado no lineal de ordenamiento estadístico en el dominio wavelet.. A continuación se presenta un conjunto de algoritmos para la reducción del ruido en imágenes de fase con el empleo de filtros no lineales de orden estadístico en el dominio Wavelet. Se enfatiza, además, en el diseño de filtros fuzzy y la selección de la función de membresía apropiada. Lo atractivo de los filtros propuestos en esta sección, es que utilizan el excelente desempeño de los filtros vectoriales de ordenamiento estadístico aplicados, en este caso, sobre los coeficientes wavelet de aproximación y/o detalles de la imagen compleja ruidosa, en combinación con los métodos de umbral aplicados en el dominio Wavelet propuestos en [27]. Los filtros diseñados emplean criterios de distancia definidos en términos de vectores n-dimensionales. Estas medidas pueden ser expresadas en términos de fasores, como vectores bidimensionales, cuando se procesa una imagen compleja [28]. El primer conjunto de algoritmos de filtrado comienza con la aplicación del filtro AB_HARD definido en [27]. Una vez concluida esta primera etapa de filtrado, se extraen.

(40) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS. 29. del dominio de la transformada wavelet los coeficientes de aproximación del primer nivel de descomposición, expresados como una matriz de fasores complejos: IM c1, Aprox = c1RE , Aprox + j ⋅ c1, Aprox. (2.1). Se tiene que W es la ventana de procesamiento de tamaño n y { c1, Aprox i }, i=1, 2,…, n son los coeficientes de aproximación complejos del primer nivel de descomposición, que se encuentran dentro de dicha ventana. Se define a D(i ) como la distancia acumulativa correspondiente al conjunto de vectores de entrada { c1, Aprox i } con la siguiente expresión: n. D(i ) = ∑ c1, Aprox i − c1, Aprox j , i= 1, 2, . . . , n. (2.2). j =1. donde: −. || . || es la norma del vector asociado.. El fasor c1, Aprox i para el cual se cumpla que: D(i ) ≤ D( j ) ∀ j = 1, 2, ..., n. (2.3). Será la salida correspondiente al filtro de mediana vectorial de dichos coeficientes. Este algoritmo define el primer esquema de filtrado conocido como AHM1A. Los criterios de distancia más utilizados en este tipo de filtro son la norma L1 (City Block) y la norma L2 (Euclidiana). Estas pueden ser expresadas en términos de fasores como: n. D1 (i) = ∑ Re(c1, Aproxi − c1, Aprox j ) + Im(c1, Aproxi − c1, Aprox j ). (2.4). j =1. n. D2 (i ) = ∑ c1, Aprox i − c1, Aprox j. (2.5). j =1. Este concepto de vector de distancia se utiliza con el objetivo de establecer una forma de ordenamiento para los fasores { c1, Aprox i }. Si las distancias obtenidas se ordenan como:. D (1) ≤ D ( 2) ≤ . . . ≤ D ( n ) queda definido el orden de los fasores { c1, Aprox i }:. (2.6).

(41) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS ) ) ) ) { c1(,iAprox } = c1(,1Aprox , c1(,2Aprox , . . . , c1(,nAprox. 30 (2.7). ) representa la salida del FMV (resultado Como ya se había definido anteriormente, c1(,1Aprox ) del algoritmo AHM1A. Los primeros r fasores en el grupo de vectores { c1(,iAprox } pueden ser. seleccionados utilizando una función de membresía apropiada para obtener la salida del filtro por medio de alguna operación matemática [29]. De esta forma, se obtiene la segunda alternativa de filtrado, definida como AHFM1A, la cual implementa un filtro fuzzy de mediana vectorial sobre los coeficientes tratados. Las características asociadas a la función de membresía serán discutidas posteriormente. Una vez recorrida toda la imagen bajo la incidencia del operador de filtrado AHM1A, esta puede ser reconstruida. La aplicación posterior de una descomposición wavelet sobre los fasores de magnitud unitaria de la imagen definidos en [27], y el empleo de una técnica de umbral blando sobre los coeficientes obtenidos, culminan una estrategia de filtrado nombrada aquí AHSUM1A. De forma similar, un filtro direccional vectorial puede ser definido si se utilizan medidas de la distancia angular. La distancia angular acumulativa para los coeficientes se define en términos de sus fasores como: n. α (i ) = ∑ A(c1, Aprox i , c1, Aprox j ). i = 1, 2, . . . , n. (2.8). j =1. En este caso la medición de distancia queda definida por un valor escalar: A(c1, Aprox i , c1, Aprox j ) = arg(c1, Aprox i c1, Aprox j ) , 0 ≤ A(c1, Aprox i , c1, Aprox j ) ≤ π ,. (2.9). Donde c1, Aprox j es la conjugada de c1, Aprox j . La forma de ordenamiento para los fasores tiene en cuenta las distancias acumulativas ordenadas de acuerdo con:. α (1) ≤ α ( 2) . . . ≤ α ( n ). (2.10). El filtro direccional vectorial básico (FDVB) será aquel que tendrá como salida el fasor ) c1(,1Aprox , y el filtro direccional vectorial generalizado (FDVG) define su salida como el. conjunto correspondiente a los primeros r fasores del conjunto ordenado:.