IV Unidad
Deducción natural
Objetivo principal: Conocer y aplicar las reglas de deducción natural.
Los tres principios lógicos clásicos
Así como las leyes de la física representan los principios que gobiernan el mundo físico y las leyes de la economía expresan principios que gobiernan los fenómenos económicos, las leyes lógicas representan principios que gobiernan la disciplina de la lógica.
Desde Aristóteles: Se suele hablar de las tres leyes o principios lógicos clásicos.
a) Principio de identidad = p ↔ p
b) Principio de no contradicción = ~(p Ʌ ~p)
c) Principio de tercio excluido = p v ~p
Leyes lógicas
Son tautologías que están en el universo lógico. Solamente son leyes un pequeño grupo con el propósito de resolver problemas lógicos.
Algunas formas validas de razonamiento
Las formas validas de razonamiento son aquellas inferencias validas que sirven de modelo para obtener una conclusión lógica a partir de un conjunto de premisas. Estas formas validas se denominan reglas lógicas o reglas de inferencias. Y se clasifican en leyes de implicancia y leyes
Implicación
1. Modus Ponendo Ponens (MPP)
Según el MPP, si se afirma el antecedente de una premisa condicional, se concluye en afirmación del consecuente.
Formalmente así:
p → q p
--- .·. q
[(p → q) Λ p] → q
Además se pueden
utilizar: 1. (p Λ ~q) → (r ↔ ~s) 2. (p Λ ~q)
--- .·. (r ↔ ~s)
{[(p Λ ~q) → (r ↔ ~s)] Ʌ (p Λ ~q)} → (r ↔ ~s)
2. Modus Tolendo Tollens (MTT)
Según el MTT, si se niega el consecuente de una premisa condicional, se concluye en la negación del antecedente.
Formalmente así:
p → q
~q
--- .·. ~p
[(p → q) Λ ~q] → ~p
3. Silogismo Disyuntivo (SD)
Según el SD, si negamos uno de los miembros de una premisa disyuntiva, se concluye en la afirmación del otro miembro. Formalmente así:
p v q
~p
--- .·. q
[(p v q) Ʌ ~p] → q
p v q
~q
--- .·. p
[(p v q) Ʌ ~q] → p
4. Silogismo Hipotético Puro (SHP)
Según el SHP, el condicional es transitivo, en la cual obviamos la variable que se repite. Formalmente así:
p → q q → r --- .·. p → r
[(p → q) Λ (q → r)] → (p → r)
5. Simplificación (Simp.)
Según la Simp, de una premisa conjuntiva se puede derivar cualquiera de sus componentes. Formalmente se tiene:
p Ʌ q --- .·. p
(p Ʌ q) → p
p Ʌ q --- .·. q
(p Ʌ q) → q
6. Conjunción (Conj.)
Según la Conj, a partir de un conjunto de premisas se puede concluir en la conjunción de las mismas. Formalmente se tiene:
p q
--- .·. p Ʌ q
(p) Ʌ (q) → (p Ʌ q)
7. Adición (Ad.)
Según Ad, a partir de una premisa se puede concluir adicionante cualquier otra proposición. Formalmente como sigue:
p
--- .·. p v q
p → (p v q)
q
--- .·. q v p
q → (q v p)
8. Transitividad Simétrica (TS)
Son dos proposiciones bicondicionales en las cuales concuerdan la misma variable en el ultimo de uno de ellas con el primero de la otra, así que se elimina la variable que se repite y se unen las que no se repiten con un bicondicional. Formalmente como sigue:
p ↔ q q ↔ r --- .·. p ↔ r
[(p ↔ q) Λ (q ↔ r)] → (p ↔ r)
9. Dilema constructivo (D.C.)
De dos premisas condicionales si hay una disyunción de sus antecedentes, se concluye en la disyunción de las consecuencias de dichas premisas. Formalmente, así:
p → q r → s p v r
--- .·. q v s
{[(p → q) Λ (r → s)] Λ (p v r)} → (q v s)
10. Dilema destructivo (D.D.)
De dos premisas condicionales si hay una disyunción negativa de sus consecuentes, se concluye con la disyunción negando las antecedentes. Formalmente, así:
p → q r → s
~q v ~s --- .·. ~p v ~r
{[(p → q) Λ (r → s)] Λ (~q v ~s)} → (~p v ~r)
Equivalencia
11. De Morgan (DM)
1. La negación de una proposición conjuntiva equivale a un proposición disyuntiva con sus componentes negados.
Formalmente, así:
~(p Ʌ q)
--- .·. ~p v ~q
~(p Ʌ q) ↔ (~p v ~q)
Las reglas DM se expresan en las siguientes dos versiones:
2. La negación de una proposición disyuntiva equivale a una proposición conjuntiva con sus componentes negados.
Formalmente, así:
~(p v q)
--- .·. ~p Ʌ ~q
~(p v q) ↔ (~p Ʌ ~q)
12. Regla de la implicación (Imp.)
Una proposición implicativa equivale a una disyunción con el primer componente negado. Formalmente, así:
p → q
--- .·. ~p v q
(p → q) ↔ (~p v q)
p → q
--- .·. ~(p Ʌ ~q)
(p → q) ↔ ~(p Ʌ ~q)
13. Regla de equivalencia (Eq.)
Una proposición equivalente equivale a una mutua implicación de sus componentes. Formalmente, así:
p ↔ q
---
.·. (p → q) Ʌ (q → p)
(p ↔ q) ↔ [(p → q) Ʌ (q → p)]
Un esquema equivalencia es igual a un esquema disyuntivo cuyo alcance de la izquierda se niega. Formalmente, así:
p ↔ q
---
.·. (p Λ q) v (~q Λ ~p)
(p ↔ q) ↔ [(p Λ q) v (~q Λ ~p)]
14. Leyes conmutativas (Conm)
Según esta ley, las formulas conjuntivas, disyuntivas y bicondicional se pueden permutar. Formalmente, así:
(p Ʌ q) ↔ (q Ʌ p) (p v q) ↔ (q v p) (p ↔ q) ↔ (q ↔ p)
15. Leyes asociativas (Asoc.)
Nos indica que dos o mas conjunciones con la misma jerarquía se pueden agrupar indistintamente. Esta afirmación vale también para las disyuntiva y las bicondicional.
Formalmente, así:
p Ʌ (q Ʌ r) ↔ (p Ʌ q) Ʌ r p v (q v r) ↔ (p v q) v r p ↔ (q ↔ r) ↔ (p ↔ q) ↔ r
16. Ley de idempotencia (Idem,)
Las formulas que se repiten en una cadena de conjunciones o disyunciones se eliminan. Formalmente, así:
(p Ʌ p) ↔ p (p v p) ↔ p
17. Leyes distributivas (Dist.)
Son las leyes en las cuales la variable que se encuentra fuera del paréntesis se distribuye con cada una de las variables que se encuentran dentro del paréntesis. Formalmente, así:
p Ʌ (q v r) ↔ (p Ʌ q) v (p Ʌ r) p v (q Ʌ r) ↔ (p v q) Ʌ (p v r) p → (q Ʌ r) ↔ (p → q) Ʌ (p → r)
p → (q v r) ↔ (p → q) v (p → r)
18. Ley de la doble negación (DN)
Cuando existe una doble negación es una afirmación, porque una negación con otra negación es una afirmación.
Formalmente, así:
~~p ↔ p
~~~p ↔ ~p
19. Leyes de la absorción (Abs.)
En un esquema conjuntivo o disyuntivo si una de las variables del esquema absorbente se repite se absorbe todo el esquema. Formalmente, así:
1. p Ʌ (q v p) ↔ p 2. p v (p Ʌ q) ↔ p
Las reglas Abs se expresan en las siguientes dos versiones:
En un esquema conjuntivo o disyuntivo si una de las variables del esquema absorbente se repite pero no en forma idéntica sino afirmada o negada, se absorbe solamente la variable que se repite. Formalmente, así:
1. p Ʌ (~p v q) ↔ p Ʌ q 2. ~p v (p Ʌ q) ↔ ~p v q
20. Ley de transposición (Trans.)
En los esquemas condicionales y bicondicionales sus elementos se permutan en forma negada. Formalmente, así:
p → q
--- .·. ~q → ~p
(p → q) ↔ (~q → ~p)
p ↔ q
--- .·. ~q ↔ ~p
(p ↔ q) ↔ (~q ↔ ~p)
21. Ley de la Exportación (Exp.)
El esquema condicional que tiene como antecedente una conjunción es equivalente a un esquema condicional asociado, cambiándose la conjunción por otra condicional de mayor jerarquía. Formalmente, así:
(p Λ q) → r --- .·. p → (q → r)
[(p Λ q) → r] ↔ [p → (q → r)]
Simbolizar las siguientes proposiciones y reconocer a que ley lógica corresponde.
Ejercicios
No es el caso que haga calor y llueva. Por lo tanto, no hace calor o no llueve.
La pizarra no es verde y la liza no es roja. Por lo tanto, no es el caso que la pizarra sea verde o la tiza sea roja.
No es verdad que Ricardo no sepa tocar la guitarra eléctrica. Luego Ricardo sabe tocar la guitarra eléctrica.
Si es primavera entonces el sol brilla. Luego no es primavera o el
Si es primavera entonces el sol brilla. Luego no es el caso que sea primavera y que el sol no brilla.
Un numero es positivo si y solo si es mayor que cero. Por lo tanto, si un numero es positivo entonces es mayor que cero, y si un numero es mayor que cero entonces es positivo.
Si la temperatura esta bajo cero entonces el agua se congela. La temperatura esta bajo cero. Luego, el agua se congela.
Si llueve entonces las pistas están mojadas. Las pistas no están mojadas. Por lo tanto, no llueve.
Hace frio o el festival se celebrara al aire libre. El festival no se
Si Newton dice la verdad entonces el movimiento es relativo. Si el movimiento es relativo entonces la física mecánica es exacta. Por lo tanto, si Newton dice la verdad entonces la física mecánica es exacta.
Eduardo es profesor de alemán y María Luisa es profesora de ingles. Luego , María Luisa es profesora de ingles.
Las rosas son aromáticas. Las rosas florecen en todas las estaciones. Luego, las rosas son aromáticas y florecen en todas las estaciones.
Los cactus tienen espinas. Por lo tanto, los cactus tienen espinas o son resistentes al calor.
Si el candidato Müller gano el debate electoral entonces podrá ganar las elecciones municipales. Si aplica su plan de gobierno entonces Lima será una mejor ciudad. Müller gano el debate o aplicara su plan de gobierno Por lo tanto ganara las elecciones o Lima será una mejor ciudad.
Voy a la procesión del Señor de los Milagros o paseo por el centro histórico de Lima. Luego, paseo por el centro histórico de Lima o voy a la procesión del Señor de los Milagros.
Si el candidato Müller gano el debate electoral entonces podrá ganar las elecciones municipales. Si aplica su plan de gobierno entonces Lima será una mejor ciudad. Müller no gano las elecciones municipales o Lima no será una mejor ciudad. Por lo tanto, Müller no gano el debate o no aplicara su plan de gobierno.
Visito las catacumbas, o paseo por el centro histórico de Lima o compro unos recuerdos para mi familia. Luego, visito las catacumbas o paseo por el centro histórico de Lima, o compro unos recuerdos para mi familia.
Carlos compra un automóvil o Carlos compra un carro. Luego Carlos compra un auto.
Voy al centro de idiomas de la UNFV, y me matriculare en ingles o en francés. Luego, voy al centro de idiomas de la UNFV y me matriculo en ingles, o voy al centro de idiomas de la UNFV y me matriculo en francés.
Si las lluvias aumentan entonces el caudal del rio se desbordara.
Luego , si el rio no se desborda entonces las lluvias no aumentan.
Podre conocer mas sobre el Blues si y solo si voy a Kansas City. Luego si conozco mas sobre el Blues entonces iré a Kansas City y si voy a Kansas City entonces conoceré mas sobre el Blues.
Si estudio y trabajo, entonces progresare. Luego si estudio entonces, progresare si trabajo.
Si el gobierno imparte una justicia con equidad entonces las personas son tratadas justamente. Luego, el gobierno no imparte una justicia con equidad o las personas son tratadas justamente.
No es el caso que haga calor y llueva. Por lo tanto, no hace calor o no llueve.
~(p Ʌ q)
--- .·. ~p v ~q
~(p Ʌ q) → (~p v ~q)
De Morgan (DM) Desarrollo
La pizarra no es verde y la liza no es roja. Por lo tanto, no es el caso que la pizarra sea verde o la tiza sea roja.
~p Λ ~q
--- .·. ~(p v q)
(~p Λ ~q) → ~(p v q)
De Morgan (DM)
No es verdad que Ricardo no sepa tocar la guitarra eléctrica.
Luego Ricardo sabe tocar la guitarra eléctrica.
~~ p ---
.˙. p
~~ p → p
Doble negación (DN)
Si es primavera entonces el sol brilla. Luego, no es primavera o el sol brilla.
p → q
--- .·. ~p v q
(p → q) → (~p v q)
Ley de Implicación (Imp.)
Si es primavera entonces el sol brilla. Luego, no es el caso que sea primavera y que el sol no brilla.
p → q
--- .·. ~(p Ʌ ~q)
(p → q) → ~(p Ʌ ~q)
Ley de Implicancia (Imp.)
Un numero es positivo si y solo si es mayor que cero. Por lo tanto, si un numero es positivo entonces es mayor que cero, y si un numero es mayor que cero entonces es positivo.
p ↔ q
---
.·. (p → q) Ʌ (q → p)
(p ↔ q) → [(p → q) Ʌ (q → p)]
Ley de equivalencia (Eq.)
Si la temperatura esta bajo cero entonces el agua se congela. La temperatura esta bajo cero. Luego, el agua se congela.
p → q p
--- .·. q
[(p → q) Λ p] → q
Modus Ponendo Ponens (MPP)
Si llueve entonces las pistas están mojadas. Las pistas no están mojadas. Por lo tanto, no llueve.
p → q
~q
--- .·. ~p
[(p → q) Λ ~q] → ~p
Modus Tollendo Tollens (MTT)
Hace frio o el festival se celebrara al aire libre. El festival no se celebra al aire libre. Luego, hace frio.
p v q
~p
--- .·. q
[(p v q) Ʌ ~p] → q
Silogismo Disyuntivo (SD)
Si Newton dice la verdad entonces el movimiento es relativo. Si el movimiento es relativo entonces la física mecánica es exacta. Por lo tanto, si Newton dice la verdad entonces la física mecánica es exacta.
Silogismo Hipotético Puro (SHP)
p → q q → r --- .·. p → r
[(p → q) Λ (q → r)] → (p → r)
Eduardo es profesor de alemán y María Luisa es profesora de ingles. Luego , María Luisa es profesora de ingles.
Simplificación (Simp.) p Ʌ q
--- .·. q
(p Ʌ q) → q
Las rosas son aromáticas. Las rosas florecen en todas las estaciones. Luego, las rosas son aromáticas y florecen en todas las estaciones.
Conjunción (Conj.) p
q
--- .·. p Ʌ q
(p) Ʌ (q) → (p Ʌ q)
Adición (Ad.) p
--- .·. p v q
p → (p v q)
Los cactus tienen espinas. Por lo tanto, los cactus tienen espinas o son resistentes al calor.
Si el candidato Müller gano el debate electoral entonces podrá ganar las elecciones municipales. Si aplica su plan de gobierno entonces Lima será una mejor ciudad. Müller gano el debate o aplicara su plan de gobierno. Por lo tanto, ganara las elecciones municipales o Lima será una mejor ciudad.
p → q r → s p v r
--- .·. q v s
{[(p → q) Λ (r → s)] Λ (p v r)} → (q v s)
Dilema Constructivo (D.C.)
Si el candidato Müller gano el debate electoral entonces podrá ganar las elecciones municipales. Si aplica su plan de gobierno entonces Lima será una mejor ciudad. Müller no gano las elecciones municipales o Lima no será una mejor ciudad. Por lo tanto, Müller no gano el debate o no aplicara su plan de gobierno.
p → q r → s
~q v ~s --- .·. ~p v ~r
{[(p → q) Λ (r → s)] Λ (~q v ~s)} → (~p v ~r)
Dilema Destructivo (D.D.)
Voy a la procesión del Señor de los Milagros o paseo por el centro histórico de Lima. Luego, paseo por el centro histórico de Lima o voy a la procesión del Señor de los Milagros.
p v q ---
.˙. q v p
(p v q) → (q v p)
Ley Conmutativa (Conm.)
Visito las catacumbas, o paseo por el centro histórico de Lima o compro unos recuerdos para mi familia. Luego, visito las catacumbas o paseo por el centro histórico de Lima, o compro unos recuerdos para mi familia.
p v (q v r) --- .˙. (p v q) v r
p v (q v r) → (p v q) v r
Ley Asociativa (Asoc.)
Carlos compra un automóvil o Carlos compra un carro. Luego Carlos compra un auto.
p v p ---
.˙. p
(p v p) → p
Ley Idempotencia (Idem.)
Voy al centro de idiomas de la UNFV, y me matriculare en ingles o en francés. Luego, voy al centro de idiomas de la UNFV y me matriculo en ingles, o voy al centro de idiomas de la UNFV y me matriculo en francés.
p Λ (q v r) ---
.˙. (p Λ q) v (p Λ r)
p Λ (q v r) → [(p Λ q) v (p Λ r)]
Ley Distributiva (Dist.)
p → q
--- .·. ~q → ~p
(p → q) → (~q → ~p)
Si las lluvias aumentan entonces el caudal del rio se desbordara.
Luego , si el rio no se desborda entonces las lluvias no aumentan.
Ley de Transposición (Trans.)
p ↔ q
---
.·. (p → q) Λ (q → p)
(p ↔ q) → [(p → q) Λ (q → p)]
Ley de Equivalencia (Eq.)
Podre conocer mas sobre el Blues si y solo si voy a Kansas City. Luego si conozco mas sobre el Blues entonces iré a Kansas City y si voy a Kansas City entonces conoceré mas sobre el Blues.
Ley de la Exportación (Exp.)
(p Λ q) → r --- .·. p → (q → r)
[(p Λ q) → r] → [p → (q → r)]
Si estudio y trabajo, entonces progresare. Luego si estudio entonces, progresare si trabajo.
p → q
--- .·. ~p v q
(p → q) → (~p v q)
Ley de implicancia (Imp.)
Si el gobierno imparte una justicia con equidad entonces las personas son tratadas justamente. Luego, el gobierno no imparte una justicia con equidad o las personas son tratadas justamente.
Métodos de
deducción
Método de Deducción
Consiste en llegar a una conclusión dada a partir de unas premisas iniciales aplicando las leyes de implicancia y equivalencia.
Es un proceso para demostrar inferencias validas. Este procedimiento consiste en demostrar la validez de la inferencia, a partir de un conjunto de premisas, en una secuencia finita de pasos, donde cada paso debe ser justificado por una regla lógica.
El procedimiento termina cuando se ha deducido la formula de la conclusión.
Procedimiento de la derivación
Existe tres pruebas:
Prueba directa
Consiste en derivar la conclusión indicada de las premisas dadas.
Dicha derivación o deducción se realiza introduciendo premisas derivadas de algunas de las premisas ya establecidas y que se ha obtenido mediante la aplicación de alguna regla de implicancia o equivalencia.
Ejemplos:
P1) p Λ p
P2) p → q // .˙. q v r
P3) p (P1) Idempotencia P4) q (P2, P3) M.P.P P5) q v r (P4) Por adición P1) p Λ p
P2) p → q // .˙. q v r
P1) ~p → (q v ~r) P2) ~(p v q) // .˙. ~r
P3) ~p Λ ~q (P2) DM.
P4) ~p (P3) Simplificación P5) q v ~r (P1, P4) M.P.P
P6) ~q (P3) Simplificación P7) ~r (P5,P6) SD.
P1) ~p → (q v ~r) P2) ~(p v q) // .˙. ~r
Ejercicios
1. (p Λ q) → r
2. ~ r Λ q // .˙. ~p ---
3. ~r ………
4. ~(p Λ q) ………
5. ~p v ~ q ………
6. q ………
7. ~p ……….
1. (p Λ q) → r
2. ~ r Λ q // .˙. ~p ---
3. ~r SIMP. 2
4. ~(p Λ q) MTT 1,3 5. ~p v ~ q DM 4
6. q SIMP. 2
7. ~p S.D. 5,6 Solución
1. (s → ~t) Λ (r v ~s)
2. (~t → ~r) Λ s // .˙. ~s ---
3. r v ~s ………
4. s ………
5. r ………
6. ~t → ~r ………
7. t ………
8. s → ~t ………
9. ~s ………
1. (s → ~t) Λ (r v ~s)
2. (~t → ~r) Λ s // .˙. ~s ---
3. r v ~s SIMP. 1
4. s SIMP. 2
5. r S.D. 3,4
6. ~t → ~r SIMP. 2
7. t MTT 6,7
8. s → ~t SIMP. 1 9. ~s MTT. 7,8
Solución
1. p
2. (~p v ~r) Λ (~q v ~r) // .˙. r → p ---
3. ~p v ~r ………..
4. ~q v ~r ………..
5. p → ~r ………..
6. q → ~r ………...
7. p v q ………
8. (p → ~r) Λ (q → ~r) ………
9. ~r v ~r ………
10. ~r ………
11. ~r v p ………
12. r → p ……….
1. p
2. (~p v ~r) Λ (~q v ~r) // .˙. r → p ---
3. ~p v ~r SIMP. 2
4. ~q v ~r SIMP. 2
5. p → ~r Imp. 3
6. q → ~r Imp. 4
7. p v q Ad. 1
8. (p → ~r) Λ (q → ~r) Conj. 5,6
9. ~r v ~r DCC. 7,8
10. ~r Idem. 9
11. ~r v p Ad. 10
12. r → p Imp. 11
Solución
Ejercicios empleando el
método directo
Ejercicios
1. [(w Λ x) → z] Λ q
2. ~ z Λ (~w → ~q) // .˙. ~x --- 3. ………..1 Simp.
4. ………..2 Simp.
5. ………..3,4 M.T.T, 6. ………..5 D.M.
7. ………..2 Simp.
8. ………..1 Simp.
9. ………..7, 8 M.T.T.
10. ………6,9 S.D.
Solución
1. [(w Λ x) → z] Λ q
2. ~ z Λ (~w → ~q) // .˙. ~x --- 3. (w Λ x) → z 1 Simp.
4. ~ z 2 Simp.
5. ~(w Λ x) 3,4 M.T.T, 6. ~ w v ~x 5 D.M.
7. ~w → ~q 2 Simp.
8. q 1 Simp.
9. w 7, 8 M.T.T.
10. ~x 6,9 S.D.
Ejercicios
1. (~r Λ ~s) v t
2. (~ m Λ n) v r // .˙. (~m v r) Λ (~r v t) ---
3. ………..1 Dist.
4. ………..2 Dist.
5. ………..4 Simp.
6. ………..3 Simp.
7. ………..5,6 Conj.
1. (~r Λ ~s) v t
2. (~ m Λ n) v r // .˙. (~m v r) Λ (~r v t) ---
3. (~r v t) Λ (~s v t) 1 Dist.
4. (~m v r) Λ (n v r) 2 Dist.
5. ~m v r 4 Simp.
6. ~r v t 3 Simp.
7. (~m v r) Λ (~r v t) 5,6 Conj.
Solución
1. r → t
2. (t → s) Λ ~s // .˙. ~(r v t)
--- 3. ………..2 Simp.
4. ………..2 Simp.
5. ………..4,3 MTT.
6. ………..1,5 MTT.
7. ………..5,6 Conj.
8. ………..7 D.M.
Ejercicios
1. r → t
2. (t → s) Λ ~s // .˙. ~(r v t)
---
3. ~s 2 Simp.
4. t → s 2 Simp.
5. ~t 4,3 MTT.
6. ~r 1,5 MTT.
7. ~r v ~t 5,6 Conj.
8. ~(r v t) 7 D.M.
Solución
1. (p → q) Λ s
2. (r v s) → p // .˙. q
--- 3. ………..1 Simp.
4. ………..1 Simp.
5. ………..4 Adic.
6. ………..5 Conm.
7. ………..2,6 MPP.
8. ………..7 MPP.
Ejercicios
1. (p → q) Λ s
2. (r v s) → p // .˙. q
---
3. p → q 1 Simp.
4. s 1 Simp.
5. s v r 4 Adic.
6. r v s 5 Conm.
7. p 2,6 MPP.
8. q 7 MPP.
Solución