1 Conjuntos numéricos

(1)

4 Unidad 1 | Conjuntos numéricos

1 Conjuntos numéricos

REFLEXIONA Y SACA CONCLUSIONES

¿Qué es Udyat? ¿Por qué es mágico? Calcula la suma de todas las fracciones de las partes del ojo. ¿Qué fracción falta para completar la unidad?

Udyat es el ojo de Horus, hijo del dios Osiris, que le fue arrancado por el dios Seth.

Udyat es mágico porque tenía propiedades mágicas y con él Horus pudo devolver la vida a Osiris.

Las fracciones suman 1 1 1 1 1 1 32 16 8 4 2 1 63

2 4 8 16 32 64 64 64

+ + + + +

+ + + + + = = . Falta 1

64para completar la unidad.

ANALIZA Y CALCULA

Observa que, puestas en orden, cada fracción es mitad de la anterior. ¿Qué ocurriría si añadimos a la suma de estas fracciones una nueva fracción que fuese la mitad de la última? ¿Cuánto sumarían?

La fracción que se añadiría sería 1 128

Las fracciones sumarían 1 1 1 1 1 1 1 64 32 16 8 4 2 1 127

2 4 8 16 32 64 128 128 128

+ + + + + +

+ + + + + + = = .

Los egipcios solo utilizaban fracciones cuyo numerador era la unidad. Para escribir 56, sumaban 1 1 52 3 6+ = .

¿Cómo escribirías las fracciones 5 8 y 4

5? 5 1 1

8 2 8= + y 4 1 1 1 5 2 5 10= + +

Actividades propuestas

1. Calcula los 12

5 de un total de 225 unidades. ¿Por qué resulta una cantidad mayor?

12 de 225 12 225 540

5 = 5 ⋅ =

La cantidad resultante es superior debido a que el numerador de la fracción es mayor que el denominador.

2. Actividad resuelta.

3. Los 7

3 de una cantidad son 147. ¿Cuál es esa cantidad?

Llamando x a la cantidad buscada: 7 147 147 3 63 3⋅ =x ⇒ =x ⋅ =7

4. Los 513 de una cantidad son 85. ¿Cuánto valen los 417 de esa cantidad?

Llamamos x a la cantidad buscada: 5 85 85 13 221 13⋅ =x ⇒ =x ⋅ 5 = Por tanto, 4 de 221 221 4 52

17 = ⋅17 =

(2)

Conjuntos numéricos | Unidad 1 5 5. Un embalse está a dos tercios de su capacidad total. Si contiene 816 hm³, ¿cuál es esa capacidad?

Llamamos x la capacidad total del embalse:

2 816 816 3 1224

3⋅ =x ⇒ =x ⋅ =2

El embalse tiene una capacidad de 1224 hm³.

7. De los usuarios de un polideportivo, 29practican fútbol, y los 133 restantes, otros deportes. ¿Cuántas personas practican fútbol?

Si x es el total de usuarios del polideportivo y 1 – 2 9 = 7

9 practican otros deportes:

7 133 133 9 171

9⋅ =x ⇒ =x ⋅ =7

Por tanto, 171 – 133 = 38 usuarios practican fútbol.

8. Los 7

11 de la población de aves en unas islas son gaviotas argénteas y se estima que el total de aves es de 1331. ¿Cuántas de ellas pertenecen a la mencionada especie?

El número de gaviotas argénteas será 7 1331 1331 7 847.

11 11

⋅ = ⋅ =

9. Calcula el valor de a para que se verifique:

a) 18

15 270a = b) 126 463 = a

a) 18

15 270a = ⇒ 270a = 270 ⇒ a = 1 b) 126 463 = a ⇒ 126a = 252 ⇒ a = 2

10. Calcula los valores de a, b y c para que se cumpla: 2 10 11 33a c22

= = b =

− 2

11 33

= a ⇒ 11a = 66 ⇒ a = 6 2 10

11= b ⇒ 2b = 110 ⇒ b = 55 2 11 22

= c

− ⇒ 11c = –44 ⇒ c = –4

12. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones: 3

4, 58, 1316 y 2532. 3 24

4 32= , 5 20

8 32= , 13 26 16 32= y 25

32 ⇒ 20 32 < 24

32 < 25 32 < 26

32 ⇒ 5 8 < 3

4 < 25 32 < 13

16

13. Ordena de mayor a menor estos números racionales: 3 4, 11

12, 7 8 y 15

16. 3 36

4= 48, 11 44

12 48= , 7 42

8= 48 y 15 45 16 48= ⇒ 45

48 > 44 48 > 42

48 > 36 48 ⇒ 15

16 > 11 12 > 7

8 > 3 4

(3)

14. Estudia si son correctas las afirmaciones:

a) 8 6

5 5> c) 7 4

16> −9 e) 9 4 20 6>

b) 7 4

16 9> d) 3 3

11 10< f) 9 2

20< −6

a) Verdadero c) Verdadero e) 9 27 4; 40

20 60 6= =60⇒Falso b) 7 63 4; 64

16 144 9 144= = ⇒Falso d) Verdadero f) 9 27; 2 20

20 60= − = −6 60⇒Falso

15. Una memoria externa se ha dividido en ocho áreas de igual capacidad. Después de grabar unos archivos quedan 13

16 libres. ¿Cuántas áreas ocupan los archivos?

La parte de la memoria que ha sido ocupada es 1 – 13 16 = 3

16. Como cada área ocupa 1 2

8 16= del total de la memoria, entonces el número de áreas ocupadas por los archivos grabados es 1,5.

16. Calcula y simplifica el resultado.

a) 15 2 4

11 6 9

 

− − 

  c) 1 8: : 14

7 3 24

− − 

  e) 3 5 3 ²

25 4

 

− − 

b) 4 9 30

5 6 18

− ⋅ − ⋅

  d) 7: 35 ¹ 5

2 9 3

− − ⋅

 

  f) 4 ² 2 5 1

5 3 9 10

  − − + 

   

   

a) 15 2 4 15 6 8 15 2 15 1 135 11 146

11 6 9 11 18 11 18 11 9 99 99

− − +

     

− − = − = − = + = =

     

b) 4 9 30 1080 2

5 6 18 540

− ⋅ − ⋅ = =

c) 1 8: : 14 3: 7 36 9

7 3 24 56 12 392 98

− − =− − = =

d)

7: 35 1 5 7: 9 5 245 5 1225

2 9 3 2 35 3 18 3 54

− − −

−  ⋅ = − ⋅ = ⋅ =

   

   

e)

2 2 2

3 5 3 3 20 3 3 17 3 289 48 7225 7177

25 4 25 4 25 4 25 16 400 400

− − −

     

− −  = −  = −  = − = =

f) 4 ² 2 5 1 16 2 50 9 16 2 59 288 300 295 307

5 3 9 10 25 3 90 25 3 90 450 450

+ − − −

  − − + = − − = − − = =

     

     

(4)

Conjuntos numéricos | Unidad 1 7 17. Opera y simplifica las siguientes expresiones.

a) 5 ¹ ^{6 2} ¹

( )

6

5 20 3 3

 

−  − ⋅ + ⋅ − c) 2 3 2 6 : 9 3

5 3 12 5 10

− − + ⋅   − 

     

 

b) 2 12 1 : 4 3 14

3 4 5 7 6

 ⋅ −   − ⋅ 

   

    d) 2 1 : 2 1: 2² 1 ¹

3 3

 −

 +   +  +  

   

     

a) 5 ¹ ^{6 2} ¹

( )

6 5 ^{1 12} ⁶ 5 ^{1 1} 2 5 0 2 0 2 2

5 20 3 3 5 60 3 5 5

     

−  − ⋅ + ⋅ − = −  − − = −  − − = − ⋅ − = − = −

b) ^{2 12} 1 : ^{4 3 14} ²⁴ 1 : ^{4 42}

(

2 1 :

)

⁴ 1 1: ^{4 5} 1: ¹ 5

3 4 5 7 6 12 5 42 5 5 5

 ⋅ −   − ⋅  = −   − = −  − =  − = − = −

             

             

c) 2 3 2 6 : 9 3 6 12 : 90 15 6 1 :75 18 5 :3 23 3: 46

5 3 12 5 10 5 36 50 50 5 3 50 15 2 15 2 45

+

− − + ⋅   −   = +    −   = +  =  = =

             

 

d)

1 1

1 2 1 7 6 1 7 3 7 7 7 12 7 7 19 7

2 : 2 1: 2 : 4 1: : 4 1: : 4 : :

3 3 3 3 3 7 3 3 3 3 3 3 19

− −

   +  +

 +   +  +  =  +   =  + =  + =  = =

           

               

19. Un equipo de cuatro alumnos ha preparado un trabajo en tres días. El primer día escriben las tres séptimas partes del trabajo, el segundo día solo hacen la cuarta parte de lo que les quedaba y el tercer día escriben las tres últimas páginas. ¿Cuántas páginas escribieron cada día?

Día Fracción hecha Fracción pendiente

Primero 3

7 1 – 3

7 = 4 7

Segundo 1 4 1

4 7 7⋅ = 4 1 3

7 7 7− =

Tercero 3

7 0

Por tanto, 3

7 equivalen a 3 páginas y 1

7 equivale a una página. El trabajo constaba de 7 páginas.

El primer día escribieron 3

7 de 7 = 3 páginas, el segundo 1

7 de 7 = 1 página y, el tercero, 3 páginas.

21. En una clase, un tercio de los alumnos practican fútbol, 35 de los que quedan, atletismo, y los 8 restantes, baloncesto. Halla el total de alumnos y cuántos eligen cada deporte.

Deporte Fracción deporte Fracción pendiente

Fútbol 1

3 1 – 1

3 = 2 3 Atletismo 3 2 2⋅ =

5 3 5 2 2− = 4

3 5 15

Baloncesto 4

15 0

Luego 4

15 equivale a 8 alumnos y, por tanto, 1

15 equivale a 2 alumnos.

En la clase hay 15 · 2 = 30 alumnos en total.

1

3 de 30 = 10 practican fútbol, 3

5 de 20 = 12 atletismo y, 8 alumnos, baloncesto.

(5)

22. Clasifica las expresiones decimales siguientes en exactas, periódicas puras y periódicas mixtas. En su caso, indica el período y el anteperíodo.

a) 2,4545 c) 0,123123123…

b) 3,454545… d) 43,43535353…

a) Decimal exacto c) Decimal periódico puro. Período: 123

b) Decimal periódico puro. Período: 45. d) Decimal periódico mixto. Anteperíodo: 4, período: 35 23. Halla la expresión decimal de las siguientes fracciones.

a) 1350 c) 3527 e) 8125 g) 9742

b) 48

9 d) 25

36 f) 50

64 h) 70

9

Indica, en cada caso, si el decimal es exacto, periódico puro o periódico mixto y completa el diagrama en tu cuaderno.

a) 13

50 = 0,26 ⇒ Decimal exacto e) 8

125 = 0,064 ⇒ Decimal exacto b) 48 5,3

9 = 

⇒ Decimal periódico puro f) 50

64 = 0,78125 ⇒ Decimal exacto c) 35 1,296

27 = ⇒ Decimal periódico puro g) 97 2,30952380

42= ⇒ Decimal periódico mixto d) 25 0,694

36 = 

⇒ Decimal periódico mixto h) 70 7,7 9 = 

⇒ Decimal periódico puro

24. Halla la fracción generatriz de estos números decimales.

a) 0,85 c) 0,850850850… e) 8,5858585…

b) 0,85858585... d) 0,085858585... f) 8,55858585...

a) 0,85 = 85 17

100 20= d) 0,085858585…= 85 17 990 198= b) 0,85858585... = 85

99 e) 8,5858585... = 858 8 850

99 99

− =

c) 0,850850850…= 850

999 f) 8,55858585... = 8558 85 8473

990 990

− =

(6)

Conjuntos numéricos | Unidad 1 9 25. Escribe los siguientes números racionales en forma de fracción irreducible.

a) 1,7

c) 8,49

e) 12,160  g) 6,058 b) 30,805 d) 0,012 f) 17,189  h) 21,4 a) 1,7 17 1 16

9 9

= − =

 e) 12,160 12 160 12 12 148

999 999

= − =

b) 30,805 = 30 805 6161

1000 = 200 f) 17,189 17 189 171 17 018 8509

990 990 495

= − = =

c) 8,49 849 84 765 17

90 90 2

= − = =

 g) 6,058 = 6058 3029

1000 = 500 d) 0,012 = 12 3

1000 250= h) 21,4 214 21 193

9 9

= − =



27. Calcula, en forma de fracción, el valor de estas operaciones.

a) N = 0,25 + 0,25

+ 0,25 b) N = 0,33 + 0,33

+ 0,33 a) Se obtienen las fracciones generatrices de los tres números decimales:

0,25 = 25 1

100 4= 0,25 25 2 23

90 90

= − =

 0,25 25

=99 N = 0,25 + 0,25

+ 0,25 = 1 4 + 23

90 + 25

99 = 495 506 500 1980

+ +

= 1501 1980 b) Se obtienen las fracciones generatrices de los tres números decimales:

0,33 = 33

100 0,33 33 3 30 1

90 90 3

= − = =

 0,33 33 1

= 99 3= N = 0,25 + 0,33

+ 0,33 = 33 100 + 1

3 + 1

3 = 99 100 100 300

+ + = 299 300

28. Expresa los números decimales en forma fraccionaria y después realiza las operaciones indicadas.

a) 0,45 1,2 6

− + −5 c) 7 0,3 1,299− +  b) 18,4− +41 2,58

d) 3,18 1,15− −29

a) 0,45 = 45 9

100 20= y 1,2 = 12 6

10 5= ⇒ 0,45 1,2 6 9 6 6 9

5 20 5 5 20

− + − = − + − = −

b) 18,4 = 184 9210 = 5 y 2,58 258 25 233

90 90

= − =

 ⇒ 18,4 1 2,58 92 1 233 3312 45 466 3733

4 5 4 90 180 180

− +

− + = − + = =

c) 0,3 3 1

=9 3=

 y  129 1 1281,29

99 99

= − = ⇒ 7 0,3 1,29 7 1 128 77 33 128 172

9 9 3 99 99 99

− +

− + = − + = =

d) 3,18 318 3 35

99 11

= − = y 1,15 115 11 104 52

90 90 45

= − = =

 ⇒ 3,18 1,15 2 35 52 2 1575 572 110 893

9 11 45 9 495 495

− −

− − = − − = =

29. Actividad interactiva.

(7)

30. Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justificando la respuesta.

a) Todos los números naturales son enteros.

b) Todos los números racionales son enteros.

c) Todos los números racionales son reales.

d) Todos los números enteros son naturales.

e) No existe ningún número irracional que sea entero.

a) Verdadera. El conjunto de los números naturales está incluido en el de los enteros.

b) Falsa. Por ejemplo, 2

3es racional pero no entero.

c) Verdadera. El conjunto de los números racionales está incluido en el de los reales.

d) Falsa. Por ejemplo, –2 es entero pero no natural.

e) Verdadero. El conjunto de los números enteros está incluido en el de los racionales, no en el de los irracionales.

32. Clasifica los siguientes números en naturales, enteros, racionales o reales.

a) 4,323232… c) π e) 81− 121 g) 5,566666…

b) 7,122133144155… d) 3

−4 f) 1+ 9 h) 9

16 a) 4,323232… = 4,32 es decimal periódico puro y, por tanto, racional y real.

b) 7,122133144155… tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Por tanto, es un número irracional y real.

c) π tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Por tanto, es un número irracional y real.

d) 3

−4 = –0,75 es decimal exacto y, por tanto, racional y real.

e) 81− 121 = 9 – 11 = –2 es entero y, por tanto, racional y real.

f) 1+ 9 = 1 + 3 = 4 es natural y, por tanto, entero, racional y real.

g) 5,566666…es decimal periódico mixto y, por tanto, racional y real.

h) 9 3

16 =4=0,75 es decimal exacto y, por tanto, racional y real.

34. Calcula todos los números reales x tales que:

a) x² – 25 = 0 c) x² + 81 = 0 b) 2x² – 98 = 0 d) x² + 2

3 = 0

a) x² – 25 = 0 ⇒ x² = 25 ⇒ 25 5 25 5 x

x

 = =

 = − = −

 c) x² + 81 = 0 ⇒ x² = –81 ⇒ No existe ningún número real.

b) 2x² – 98 = 0 ⇒ x² = 49 ⇒ 49 7 49 7 x

x

 = =

 = − = −

 d) x² + 2

3 = 0 ⇒ x² = – 2

3 ⇒ No existe ningún número real.

(8)

Conjuntos numéricos | Unidad 1 11 36. Calcula el valor de las siguientes expresiones para x = –3.

a) A = |(x + 1)(x – 1)| y B = |x + 1| · |x – 1|

b) A = |x²+ 2x| y B = |x²| + |2x|

a) A = |(–3 + 1)(–3 – 1)| = |(–2)(–4)| = |+8| = 8 B = |–3 + 1| · |–3 – 1| = |–2| · |–4| = 2 · 4 = 8 b) A = |(–3)²+ 2(–3)| = |9 – 6| = |+3| = 3

B = |(–3)²| + |2(–3)| = |+9| + |–6| = 9 + 6 = 15

37. Calcula el valor de la siguiente expresión para x = –2: 3 2

4 3

x x x

A x

− ⋅ −

= +

( )

− ⋅ − − − ⋅ − ⋅ − − + ⋅ − + ⋅ +

= = = = = = =

+ − + + ⋅

3 2 2 3 2 2 2 2 6 4 2 6 4 2 24 26 13

4 3 4 2 3 4 1 4 1 4 4 2

x x x

A x

39. Halla el área y el perímetro de un rectángulo de lados:

a) 2 cm y 2 cm b) 2 cm y 3 cm a) P = 2 2 + 4 cm b) P = 2 2 + 2 3 cm

A = 2 2 cm² A = 2 · 3 = 6 cm²

41. Halla el volumen de un cubo de lado 12 cm.

V =

( )

¹² ³= ¹²³ =12 12 12 2 3 24 3= ⋅ = cm³

42. Calcula el perímetro y el área de un rectángulo cuyas dimensiones son una el doble de la otra si la menor es de 7 cm.

Las dimensiones del rectángulo son 7 y 2 7 cm P = 2 7 + 2 · 2 7 = 6 7 cm y A = 7 · 2 7 = 14 cm².

43. Calcula el volumen de un ortoedro de base un cuadrado de lado 11 cm y de altura el doble que el lado de la base.

Las dimensiones del ortoedro son 11 , 11 y 2 11 cm ⇒ V = 11 · 11 · 2 11 = 2 · 11 11 = 22 11 cm³.

44. Da la expresión aproximada que se indica en cada caso.

a) 2,43003 con dos cifras por exceso c) –2,43003 con dos cifras por exceso b) 2,43003 con tres cifras por defecto d) –2,43003 con tres cifras por defecto

a) 2,44 b) 2,430 c) –2,43 d) –2,431

45. Redondea a la milésima los siguientes números.

a) 2,689123… b) 5,5555556 c) 0,35

d) –1,23456…

a) 2,689 b) 5,556 c) 0,356 d) –1,235

(9)

46. ¿Qué errores, absoluto y relativo, se cometen cuando aproximas π por 3,1416?

El error absoluto es Ea = |π - 3,1416| = 7,346… · 10^–6 y, el error relativo, Er = 7,346 10⋅ ⁻⁶

π =2,338… · 10^–6.

47. ¿Qué aproximación está más cerca del valor de la hipotenusa del triángulo de la figura, 5,385 o 5,386 cm?

¿Qué errores absoluto y relativo se comenten en cada aproximación?

h² = 2² + 5² = 29 ⇒ h = 29 = 5,385 164… ⇒ La aproximación 5,385 se encuentra más cerca del valor de h.

5,385: Ea = |5,385 – 5,385 164…| = 1,64… · 10^–4 y, el error relativo, Er = 1,64 10⁴ 3,045... 10⁵ 29

− −

⋅ = ⋅ .

5,385: Ea = |5,386 – 5,385 164…| = 8,35… · 10^–4 y, el error relativo, Er = 8,35 10⁴ 1,55... 10⁴ 29

− −

⋅ = ⋅ .

48. ¿Cuáles son los números racionales señalados?

A = –3, B = 2 7

− y C = 2 1 7 +3 3=

49. Dibuja en una misma recta real los siguientes números racionales e indica cuál es el mayor.

a) 45 y 4−5 b) 53 y 94

a) 4 4

5 > −5 b) 9 54 3>

50. Representa en la recta real estos números irracionales.

a) 2 b) 10 c) 14 d) 20

a) c)

b) d)

(10)

Conjuntos numéricos | Unidad 1 13 51. Indica, utilizando intervalos, cuáles son los conjuntos A, B y C de la figura.

A = [–10, –4) B = [1, 9] C = (16, +∞)

52. Escribe y representa en la recta real las semirrectas o intervalos siguientes.

a) x ≥ 3 c) 0 < x < 5

b) –2 < x ≤ 5 d) –4 ≤ x ≤ –2

a) [3, +∞) c) (0, 5)

b) (–2, 5] d) [–4, –2]

53. ¿Qué intervalo abierto corresponde al entorno abierto de centro 3 y radio 2?

E(3, 2) = (1 , 5)

54. Escribe el intervalo formado por los números x que verifican simultáneamente estas dos condiciones.

1. x está en el entorno de centro 4 y radio 2.

2. x está en el intervalo abierto (1, 4).

Por la primera condición, x debe estar comprendido entre 2 y 6.

Por la segunda condición, x debe estar comprendido entre 1 y 4.

El intervalo formado por los números x que verifican simultáneamente estas dos condiciones es (2, 4).

55. Actividad interactiva.

56. Escribe la fracción que corresponde a cada enunciado.

a) En un examen de respuestas cerradas, Javier ha respondido bien 15 preguntas de un total de 18.

b) El 23 % de los habitantes de una localidad hablan dos lenguas.

c) En una clase, 27 de 30 alumnos han aprobado inglés.

d) En una clase hay 13 chicas y 12 chicos.

a) 15 5

18 6= b) 23

100 c) 27 9

30 10= d) Chicas 13

25; chicos 12 25

57. Escribe, si existe:

a) Un número racional que no sea entero. c) Un número entero que no sea racional.

b) Un número racional que sea entero. d) Un número decimal que no sea racional.

a) Respuesta modelo: 8

7. c) No hay ninguno porque todos los enteros son racionales.

b) Respuesta modelo: 36

4 d) Respuesta modelo: 1,320332033320…

(11)

58. Halla cuatro fracciones equivalentes a cada caso.

a) 19

8 b) 12

13 c) 16

11 d) 8

15 a) 19 38 57 190 95

8 =16 24= = 80 =40 c) 16 32 48 80 16011 22= = 33= 55 110= b) 12 24 36 120 60

13 =26 =39 130= =65 d) 8 16 24 40 80 15 =30= 45= 75 150=

59. ¿Cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes a 3 4?

a) 90120 b) 7296 c) 69 d) 912

a) 90 3

120 4= porque 3 · 120 = 90 · 4 c) 6 3

9 4≠ porque 6 · 4 ≠ 3 · 9 b) 72 3

96 =4 porque 4 · 72 = 96 · 3 d) 9 3

12 4= porque 9 · 4 = 12 · 3

60. Simplifica las siguientes fracciones.

a) 30

45 b) 28

35 c) 22

121 d) 360

300 a) 30 245 3= b) 28 435 5= c) 22 2

121 11= d) 360 6300 5=

62. Calcula el valor de x para que sean equivalentes las fracciones siguientes.

a) 26x y 9

13 b) 42

54 y 7

x c) 7

50 y 2 x

a) 9

26 13x = ⇒ 13x = 234 ⇒ x = 18 b) 42 7

54= x ⇒ 42x = 378 ⇒ x = 9 c) 7 2

50= x ⇒ 7x = 100 ⇒ 100 x = 7

64. Compara los siguientes números racionales.

a) 8 9y 9

4 c) 9

−12 y 4

29 e) 16

27 y 9 27 b) 3

40

− y 1

36 d) 6

−25 y 12

−15 f) 13

21 y 16 49 a) 8 32 9 81; 8 9

9 36 4 36= = ⇒9 4< d) 6 18 12; 60 6 12

25 75 15 75 25 15

− = − − = − ⇒ − > −

b) 3 1

40 36

− < e) 16 9>

27 27

c) 9 4

12 29

− <

f) 13 91 16; 48 13 16

21 147 49 147= = ⇒ 21 49>

(12)

Conjuntos numéricos | Unidad 1 15 65. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones.

a) 19 36, 32

36, 9 36, 24

36, 7

36 b) 12 3 , 12

7 , 12 5 , 12

6 , 12

4 c) 15 9 , 2

9, 1 5, 4

15, 6 10

a) 7 9 19 24 32

36 36 36 36 36< < < <

b) 12 12 12 12 12 7 < 6 < 5 < 4 < 3

c) 1 18 2 20 4; ; 24 6; 54 15 150; 1 2 4 6 15 5 90 9 90 15 90 10 90 9= = = = = 90 ⇒5 9 15 10< < < < 9

66. Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

a) Todos los números racionales son enteros.

b) Todos los números enteros son racionales.

c) Algunos números enteros son racionales.

d) No todos los racionales son enteros.

e) No todos los enteros son racionales.

f) No todos los enteros son racionales.

a) Falso. Por ejemplo 1,25 es racional y no es entero.

b) Verdadero. El conjunto de los números enteros está contenido dentro de los números racionales.

c) Verdadero. Todos los números enteros son racionales.

d) Verdadero. El conjunto de los números enteros está contenido dentro de los números racionales.

e) Verdadero. Por ejemplo, 1,25 es un número racional no entero.

f) Falso. El conjunto de los números enteros está contenido dentro de los números racionales.

67. Las fracciones 9, y 25 36

x

x y representan el mismo número racional. Calcula x e y, y la fracción irreducible que lo representa.

Como las fracciones representan el mismo número racional, entonces son equivalentes.

9 36

x

x= ⇒ x² = 9 · 36 ⇒ x² = 324 ⇒ x = ±18 Si x = 18 ⇒ 9 25

18= y ⇒ 9y = 450 ⇒ y = 50 y la fracción irreducible es 9 18 25 1 18 36 50 2= = = . Si x = –18 ⇒ 9 25

18= y

− ⇒ 9y = –450 ⇒ y = –50 y la fracción irreducible es 9 18 25 1

18 36 50 2

=− = = −

− − .

(13)

68. Realiza estas sumas y restas, simplificando el resultado.

a) 5 3 10 11

4 8 6 12+ − − d) 730 45 45+ 2 + 8 4−

b) 19 1 4 8

16 3 9 3

 

− − − e) 5 2 1 3

24 4 9

 

− − + 

c) 7 1 3 5

12 18 4 9

 

− − −  f) 10 8 9 13

3 9 6 4

 − − −

 

 

a) 5 3 10 11 30 9 40 22 23

4 8 6 12 24 24

+ − −

+ − − = = −

b) 19 1 4 8 19 3 4 8 19 1 8 19 1 8 171 16 384 197

16 3 9 3 16 9 3 16 9 3 16 9 3 144 144

− − + −

     

− − − = − − = − − = + − = = −

     

c) 7 1 3 5 7 1 27 20 7 1 7 21 2 7 12 1

12 18 4 9 12 18 36 12 18 36 36 36 3

− − −

   

− − − = − − = − − = = =

d) 7 2 8 4 21 4 144 360 191

30 45 5 90 90

+ + −

+ + − = = −

e) 5 2 1 3 5 72 9 12 5 75 5 25 5 50 45 15

24 4 9 24 36 24 36 24 12 24 24 8

− + −

   

− − + = − = − = − = = − = −

f) 10 8 9 13 30 8 9 13 22 9 13 88 54 117 83

3 9 6 4 9 9 6 4 9 6 4 36 36

− −

 − − − = − − − = − − = = −

   

   

69. Halla el resultado de estas multiplicaciones y divisiones.

a) 9 5 14

6 4 25

 

⋅ ⋅ −  d) 2: 21 :4

7 6 9

− 

 

 

b) 3 12 10

8 15 9

− ⋅ −    ⋅ −  e) 7 58 6: 154

 

⋅ − 

c) 6 4: : 8

9 3 12

− −  f) 10 7: 4

3 12 5

− ⋅ − 

a) 9 5 14 630 21

6 4 25 600 20

− −

 

⋅ ⋅ − = = d) 2: 21 4 108: 9

7 6 9 588 49

−  = =

 

 

b) 3 12 10 360 1

8 15 9 1080 3

− ⋅ −   ⋅ − = − = −

    e) 7 5: 4 525 175

8 6 15 192 64

− −

 

⋅ − = =

 

c) 6 4: : 8 216 3

9 3 12 288 4

− − = =

  f) 10 7: 4 480 32

3 12 5 105 7

− ⋅ − = =

 

(14)

Conjuntos numéricos | Unidad 1 17 70. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado como fracción irreducible.

a) 18 1 3 6

5 4 25

 

− − − ⋅  d) 1 5: 2 7

6 9

 

−  − 

b) 11 6 9 1

10 15 5 4

  

− − −  e) 7 4 1 5:

2 6 3 9

 

− − 

 

c) 7 1 3 5 8 8 2 3+ ⋅ −

f) 8 5: 1 1

3 3 4

− 

−  − 

a) 18 1 3 6 18 1 18 18 100 18 18 82 360 82 442 221

5 4 25 5 100 5 100 5 100 100 100 50

− − −

       

− − − ⋅ = − − − = − − = − − = = − = −

b) 11 6 9 1 11 6 27 1 11 21 1 11 84 15 11 99

10 15 5 4 10 15 4 10 15 4 10 60 10 60

− − − −

          

− − − = − − = − − = − = + =

66 99 165 11

60 60 4

= + = =

c) 7 1 3 5 7 3 5 42 9 80 29

8 8 2 3 8 16 3 48 48

+ ⋅ − = + − = + − = −

d) 1 5: 2 7 1 5: 18 7 1 5 11: 1 45 66 45 21 7

6 9 6 9 6 9 66 66 66 22

− −

   

−  − = −  = − = − = = =

e) 7 4 1 5: 7 4 9 7 60 54 7 6 315 6 309 103

2 6 3 9 2 6 15 2 90 2 90 90 90 30

− −

     

− − = − − = − = − = = =

f) 8 5: 1 1 8 5: 1 4 8 5: 5 8 20 8 4 12 4

3 3 4 3 3 4 3 3 4 3 15 3 3 3

− − − −

     

−  − = −  = −  = + = + = =

71. Halla el resultado de las siguientes operaciones.

a) ^{4 6 8 5}: ³ 7 7 3 4 2

− 

− ⋅ −   c) ^{1 2} ⁴ ² ^{3 1}

6 6 5 5 2 + ⋅    − ⋅

b) 2 3 :^{5 11} ⁷ ³ 6 4 2

− 

− + ⋅   d) ^{2 1}: ^{8 9}: 5( )

3 2 12 3− ⋅ −

a) 4 6 8 5: 3 4 48 10 24 96 35 37

7 7 3 4 2 7 21 12 42 42

− − + −

 

− ⋅ −  = − + = =

 

b) 2 3 :5 11 7 ³ 2 18 11 343 2 18 3773 320 576 18 865 19 121

6 4 2 5 4 8 5 32 160 160

− − − −

   

− + ⋅  = − + ⋅ = − − = = −

   

c) 1 2 4 ² 3 1 1 2 16 3 1 32 3 25 32 45 12 2

6 6 5 5 2 6 6 25 10 6 150 10 150 150 25

+ −

+ ⋅   − ⋅ = + ⋅ − = + − = = =

 

d) ^{2 1}: ^{8 9}: 5

( )

^{4 72}: 5

( )

⁴ 2 : 5

( )

^{4 2} ^{20 6} ²⁶

3 2 12 3 3 36 3 3 5 15 15

− ⋅ − = − − = − − = + = + =

(15)

18 Unidad 1 | Conjuntos numéricos 73. Opera y simplifica.

a) 2 1 3 62 91

−

⋅ b) 1

1 1121 +

−

c)

1 1121

1 1112 +

+

− +

a)

2 1 4 1

3 2 27 9 3 62 1 62 6 9 12: 4

9 9

− −

= = = =

⋅

c)

1 1

1 1 1 1 3 1 2 5

3 3

2 2 5

1 1 2 1

1 1 1 1 3 1 3 3

2 2

+ +

+

+ = = = =

− − −

+

b) 1 1 1 1

1 1 1 2 3

1 1 1 1 1

2 2

= = =

+ + +

−

74. Justifica si los siguientes números decimales se pueden expresar en forma de fracción.

a) 4,08939393… c) 3,14 e) −6

b) 8,0100100001… d) 82,7777… f) 2,1919…

Todos los números, excepto el del apartado b), se pueden expresar en forma de fracción porque son números racionales. 8,0100100001… no se puede expresar en forma de fracción por ser un número irracional.

75. Calcula las expresiones decimales e indica su tipo.

a) 1325 b) 67 c) 49 d) 548

a) 13

25 = 0,52 b) 6 0,857142

7= c) 4 0,4

9= 

d) 5 0,10416

48 = 

Decimal exacto Periódico puro Periódico puro Periódico mixto

76. Calcula la fracción irreducible equivalente a los siguientes números decimales.

a) 0,36  d) 18,41 g) 1,2

b) 2,983  e) 8,0359  h) 5,34  c) 3,985 f) 10,5

i) −8,1730

a) 0,36 36 4 99 11

= = d) 18,41 1841

= 100 g) 1,2 12 6

=10 5= b) 2,983 2983 29 1477

990 495

= − = e) 8,0359 80359 803 19889

9900 2475

= − = h) 5,34 534 5 529

99 99

= − =

c) 3,985 3985 797 1000 200

= = f) 10,5 105 10 95

9 9

= − =

 i) 8,1730 81730 817 26971

9900 3300

− = − − = −

77. Calcula y simplifica.

a) 2 0,33+ 

b) 5 1,5 0,836+ − 

a) 0,3 3 1 2 0,3 2 1 3 1

9 3 3 3 3 3

= = ⇒ + = + = =

 

b) 1,5 15 3 y 0,83 83 8 75 5 5 1,5 0,83 5 3 5 3

10 2 90 90 6 6 6 2 6 2

= = = − = = ⇒ + − = + − =

(16)

Conjuntos numéricos | Unidad 1 19 78. Calcula y simplifica.

a) 0,42 3,1 10,8 1,52⋅ − + 

c) 19,85 13,2 4,5 8,16− ⋅ +  b) ^7,16−

(

1,7 3,8 7,2+ ⋅ 

)

d) 2,8 5,1 0,503 4,96⋅ −

(

− 

)

a) 0,42 3,1 10,8 1,52 651 98 151 64 449 539 000 75 500 399 051 44 339

500 9 99 49 500 49 500 5500

− + − −

⋅ − + = − + = = =

b) 7,16 1,7 3,8 7,2

( )

¹⁷⁹ ^{16 19 65} ¹⁷⁹ ^{16 1235} 179 263 1611 6575 4964

25 9 5 9 25 9 45 25 9 225 225

− −

   

− + ⋅ = − + ⋅ = − + = − = =

 

c) 19,85 13,2 4,5 8,16 1787 66 9 808 1787 594 808 19 657 58 806 8080 31069

90 5 2 99 90 10 99 990 990

− + −

− ⋅ + = − ⋅ + = − + = =



d) 2,8 5,1 0,503 4,96

(

 

)

^{14 46} ^{503 164} ⁶⁴⁴ 5533 54 612 644 49 079 1031719

5 9 999 33 45 10 989 45 10 989 54 945

 − 

 

⋅ − − = ⋅ − − = − = + =



79. Di si son verdaderas o falsas estas afirmaciones.

a) La raíz cuadrada de un número negativo no es real.

b) Todo número decimal es racional.

c) Todos los números irracionales son reales.

d) El número 123 pertenece a , y por tanto, a ,  y .

a) Verdadera. No existe ningún número real que elevado al cuadrado resulte un número negativo.

b) Falsa. La expresión decimal de un número irracional tiene infinitas cifras que no forman ningún período.

c) Verdadera. El conjunto de los números irracionales está contenido dentro del conjunto de los números reales.

d) Verdadera. 12 4 2

3 = = es un número natural y, por tanto, entero, racional y real.

80. Escribe un número que sea real pero no racional. ¿Qué tipo de número es?

Respuesta modelo: el número π es un número real que no es racional, pues su expresión decimal tiene infinitas cifras que no forman ningún período. Es un número irracional.

81. Copia y completa la tabla escribiendo estos números en todos los conjuntos numéricos a los que pertenecen: 3 ; 2; 2; 1,2525...; 2,010010001...; 4; 0,16

5 − − 

82. Indica si los siguientes números son racionales o irracionales.

a) 5,3727272… b) 3,5454454445… c) 0,127202002000… d) 8,666126712671267…

a) Racional b) Irracional c) Irracional d) Racional

83. Calcula el valor de A = 3x – 5 + |x + 3| en cada caso:

a) x = –5 b) x = 0 c) x = 5

a) A =–15 – 5 + |–2| =–18 b) A =– 5 + |+3| = – 5 + 3 = –2 c) A = 15 – 5 + |+8| = 15 – 5 + 8 = 18

Naturales

( )

 ••• Naturales

( )

 2

Enteros

( )

 ••• Enteros

( )

 2, –4

Racionales

( )

 ••• Racionales

( )

 2; –4; 3

5; 1,2525…; 0,16

Reales

( )

 ••• Reales

( )

 Todos

(17)

84. Calcula el valor de las expresiones en x = –3.

a) |x² + 3x| b) |2x| – |1 – x| c) x – |x – 1| d) 1 – x² – |x – 2|

a) |(–3)² + 3 · (–3)| = |9 – 9| = |0| = 0 c) x – |x – 1| = –3 – |–3 – 1| = –3 – |–4| = –3 – 4 = –7 b) |2 · (–3)| – |1 – (–3)| = |–6| – |1 + 3| = 6 – 4 = 2 d) 1 – x² – |x – 2| = 1 – (–3)² – |–3 – 2| = 1 – 9 – |–5| = –13

85. Determina la distancia que separa los siguientes pares de números.

a) –2 y 5 b) 5 y 11

2 c) –3 y –4 d) –3 y 3 4

a) d(–2, 5) = |5 – (–2)| = |5 + 2| = |+7| = 7 c) d(–3, –4) = |–4 – (–3)| = |–4 + 3| = |–1| = 1 b) 5,11 11 5 11 10 1

2 2 2 2 2

d   = − = − = d) 3,3 3 ( 3) 3 3 3 12 15

4 4 4 4 4 4

d − = − − = + = + =

86. Copia y completa en tu cuaderno los signos de desigualdad < o > necesarios en cada caso.

a) 16 • 0,1667 b) 1,732 • 3 c) 1,33334 • 43 d) ³5 • 1,7099

a) 1

6 < 0,1667 b) 1,732 < 3 c) 1,33334 > 4

3 d) ³5 > 1,7099

87. ¿Cuántos números existen comprendidos entre 5,125 y 5,126? Escribe tres de ellos.

Entre 5,125 y 5,126 existen infinitos números. Por ejemplo, 5,1251; 5,1252 y 5,1253.

88. ¿Qué errores, absoluto y relativo, se comenten al considerar la aproximación 2,24 de 5 = 2,2360679…?

El error absoluto es Ea = 5 2,24− = 3,932… · 10^–3 y, el error relativo, Er = 3,932... 10³ 5

⋅ −

=1,758… · 10^–3.

89. El número irracional φ = 1,61 803 398 874 988… es el número de oro. Halla las aproximaciones por defecto, exceso y redondeo de φ hasta la milésima. Calcula los errores absoluto y relativo que se cometen con estas aproximaciones.

Aproximación por defecto y redondeo: 1,618 ⇒ Ea = φ −1,618 = 3,99… · 10^–5 y Er = 3,3988... 10⋅ ⁻⁵ 2,1... 10⁻⁵

= ⋅

φ Aproximación por exceso: 1,619 ⇒ Ea = φ −1,619 = 9,66… · 10^–4 y Er = 9,66... 10⋅ ⁻⁴ =5,97... 10⋅ ⁻⁴

φ

90. Representa en la recta real los siguientes números racionales.

a) 56 b) 254 c) 4

− 5 d) 11− 4

a) c)

b) d)

(18)

Conjuntos numéricos | Unidad 1 21 91. Representa en la recta real los siguientes números irracionales.

a) 26 b) 32 c) − 18

a) b) c)

92. Expresa mediante desigualdades y representa gráficamente en la recta real los siguientes intervalos y semirrectas.

a) [–1, +∞) b) (–2, 0] c) (–∞, 3) d) [4, 8]

a) [–1, +∞) = {x ^{∈ ℜ}/ x ≥ –1} c) (–∞, 3) = {x ^{∈ ℜ}/ x < 3}

b) (–2, 0] = {x ^{∈ ℜ}/ –2 < x ≤ 0} d) [4, 8] = {x ^{∈ ℜ}/ 4 ≤ x ≤ 8}

93. Relaciona en tu cuaderno las diferentes expresiones de estos intervalos y semirrectas.

[–1, 2] x > 2 (2, +∞) 0 < x < 4

(3, 6] –1 ≤ x ≤ 2 (0, 4) 3 < x ≤ 6

[–1, 2] ⇒ –1 ≤ x ≤ 2 ⇒ (3, 6] ⇒ 3 < x ≤ 6 ⇒ (2, +∞) ⇒ x > 2 ⇒ (0, 4) ⇒ 0 < x < 4 ⇒

94. Dibuja los siguientes entornos en la recta real e indica mediante desigualdades los intervalos que determinan, así como su centro y su radio.

a) E(2, 4) c) E(3, 1)

b) E(1, 3) d) E(–2, 5)

a) E(2, 4) = (–2, 6) Centro = 2 y Radio = 4 ⇒ – 2 < x < 6

b) E(1, 3) = (–2, 4) Centro = 1 y Radio = 3 ⇒ – 2 < x < 4

c) E(3, 1) = (2, 4) Centro = 3 y Radio = 1 ⇒ 2 < x < 4

d) E(–2, 5) = (–7, 3) Centro = –2 y Radio = 5 ⇒ – 7 < x < 3

(19)

95. Representa gráficamente los siguientes números reales y ordénalos de menor a mayor.

–π; 2 5 ; 2 3; 223

50 ; –3,15; 0,67

Por tanto, 3,15 2 0,6 223 2 5

3 50

− < −π < = < <

96. ¿Qué números enteros están a la vez en las semirrectas (–∞, –2] y (–6, +∞]?

{–5, –4, –3, –2} =

{

x∈/ 5− ≤ ≤ −x 2

}

97. Representa en la recta real el intervalo A = [–2, 5] y la semirrecta B = (3, +∞). ¿Existe algún intervalo de puntos común a ambos? En caso afirmativo, hállalo.

Sí existe intervalo común a ambos:

(

3,5

]

99. Marca en una recta numérica el conjunto de puntos cuya distancia al punto 2 sea:

a) Mayor o igual que 2 c) Igual a 3. e) No menor que 2.

b) Menor que 1. d) No mayor que 3. f) Mayor que 2 y menor que 5.

a) d)

b) e)

c) f)

100. Calcula los números que representan las letras redondeando a dos cifras decimales.

x² = 2² + 2² = 8 ⇒ x = 8 =2,83 m y = 2 · π · r = 2 · π · 3 = 18,85 m z² = 1² + 2² = 5 ⇒ z = 5 =2,24 m

101. Expresa los números decimales en forma de fracción y luego compara los pares de fracciones.

a) 1,318 y 28

25 b) 17

9 y 2,5

c) 7

18 y 0,16 d) 5,36 y 111 20 a) 1,318 = 1318 6591000 500= y 28 560

25 500= ⇒ 1,318 > 28 25 b) 2,5 25 2 23

9 9

= − =

 y 17

9 ⇒ 17 9 < 2,5 c) 0,16 16 32

99 198

= = y 7 77

18 198= ⇒ 7 0,16 18>

d) 5,36 = 536

100 y 111 555

20 =100 ⇒ 5,36 < 111 20

(20)

Conjuntos numéricos | Unidad 1 23 102. Realiza las siguientes operaciones.

a) 7 1 2 6 39 9 3 4 7: ²

 

− ⋅ −  c) 4 2³ 8 2 49 3 5 :72

 

+ ⋅ − ⋅ 

 

b) 410 1 3 2 3 64 5 2 5

  

⋅ + ⋅ − ⋅  d) 3 12 ¹: 11 4 35 5 4

 − −  − ⋅ 

   

   

a)

2 2 2

7 1 2 6 3: 7 1 2 7 7 1 17 7 1 289 7 289 252 289 37

9 9 3 4 7 9 9 3 2 9 9 6 9 9 36 9 324 324 324

− − −

     

− ⋅ −  = − ⋅ −  = − ⋅  = − ⋅ = − = =

b) 4 1 3 2 3 6 2 1 3 2 18 2 1 3 14 2 1 21 2 1 1

10 4 5 2 5 5 4 5 10 5 4 10 5 20 5 20 50

− − −

            

⋅ + ⋅  − ⋅ = ⋅ + ⋅  − = ⋅ + ⋅  = ⋅ − = ⋅ =

c) 4 2³ 8 2 4 :7 4 8 40 24 :7 4 8 16 7: 4 8 32 4 256 1260 256 1516

9 3 5 2 45 2 45 2 315 315 315 315

− +

   

+ ⋅ − ⋅  = + ⋅  = + ⋅ = + ⋅ = + = =

d)

1 1 1

1 11 4 3 6 1 11 12 5 11 3 2 8 10 1

3 : : : :

2 5 5 4 2 5 20 2 5 5 5 5 40 4

− − −

 −   − ⋅  = −   −   =  − = = =

           

           

103. ¿Qué intervalo se puede expresar mediante la desigualdad │x – 3│ ≤ 2?

Como │x – 3│ ≤ 2 ⇒ d(x, 3) ≤ 2, se buscan los números cuya distancia al 3 es menor o igual que 2.

Los números son los pertenecientes al intervalo [1, 5].

104. Redondeando π hasta la milésima, el volumen de una esfera es de 14,139 cm³. Averigua su radio.

3 3

4 4 3,142 14,139 3,375 3,375 1,5 cm

3 3

r r

V = ⋅ π ⋅ = ⋅ ⋅ = ⇒r = ⇒ =r =

105. Un triángulo rectángulo e isósceles tiene por hipotenusa 12 cm. Halla los intervalos necesarios para aproximar sus catetos con un error inferior a la centésima.

x² + x² = 12 ⇒ 2 x² = 12 ⇒ x² = 6 ⇒ x = 2,449 489… Para que el error cometido, al aproximar los catetos, sea menor que una centésima sus medidas deben estar en el intervalo [2,44; 2,45].

106. Elena se ha gastado 24 € al cambiar su teléfono móvil. ¿Cuánto dinero tenía antes de la compra si esta ha supuesto los tres octavos del total?

Llamamos x al dinero que tenía Elena: 3 24 24 8 64 8⋅ =x ⇒ =x ⋅ =3 €.

107. Álvaro se gasta la tercera parte de su asignación mensual en ir al cine y 2

5 en comprar música. Después de estos gastos le quedan todavía 8 euros.

a) ¿Cuál es la asignación mensual de Álvaro?

b) ¿Cuánto se gasta en ir al cine? ¿Y en comprar música?

a) Álvaro se gasta 1 2 5 6 11

3 5 15 15

+ = + = en ir al cine y comprar música. Por tanto, le quedan 1 11 4 15 15

− = del dinero.

Llamamos x a la asignación mensual de Álvaro: 4 8 8 15 30 15⋅ = ⇒ = ⋅x x 4 = b) Álvaro se gasta 1

3 de 30 = 10 € en el cine y 2

5 de 30 = 12 € en música.

(21)

108. Lola dedica los 25 de su tiempo libre diario a leer, y 14 del resto, a practicar deporte. Además, le quedan dos horas y cuarto de tiempo libre.

a) ¿Cuál es el total de su tiempo libre?

b) ¿Cuánto tiempo dedica a la lectura?

c) ¿Y a practicar deporte?

a)

Por tanto, 9

20 equivalen a 135 minutos y 1

20 a 15 minutos. En total Lola tiene 300 minutos libres.

b) Dedica a leer 2

5 de 300 = 120 minutos. Le quedan 180 minutos.

c) Dedica a practicar deporte 1

4 de 180 = 45 minutos.

109. En un grupo de 4.º de ESO de 25 alumnos hay 16 chicas. Entre los chicos, los dos tercios han elegido francés como materia optativa. ¿Qué fracción del total representan?

Han elegido francés como materia optativa 2

3 de (25 – 16) = 6 chicos. Los alumnos que han elegido francés representan 6

25 del total.

110. Alejandro ha cortado 1

3 de una barra para hacer un bocadillo, y con los tres cuartos del resto ha preparado unas rebanadas. Si ha sobrado un trozo de 4 centímetros, ¿cuánto medía la barra?

Uso Fracción consumida Fracción que sobra

Bocadillo 1

3 1 – 1

3 = 2 3 Rebanadas 3 2 2 1

4 3 4 2⋅ = = 2 1 1 3 2 6− =

Sobra 1

6 0

Por tanto, 1

6 equivalen a 4 cm. Entonces, la barra medía 6 · 4 = 24 cm.

Tarea Fracción consumida Fracción libre

Leer 2

5 1 – 2

5 = 3 5

Deporte 1 3 3

4 5 20⋅ = 3 3 9

5 20 20− =

Libre 9

20 0

(22)

Conjuntos numéricos | Unidad 1 25 111. Las tres quintas partes del aforo de un estadio de fútbol están ocupadas por seguidores del equipo de

casa y las dos terceras partes de lo que resta están ocupadas por los seguidores del equipo visitante. Se sabe que quedan 3600 asientos libres.

a) ¿Cuál es la capacidad del estadio?

b) ¿Cuántos seguidores de uno y otro equipo están presenciando el partido?

a)

Por tanto, 2

15 equivalen a 3600 asientos y 1

15 equivale a 1800. El estadio tiene 1800 · 15 = 27 000 asientos.

b) Hay 3

5 de 27 000 = 16 200 seguidores del equipo de casa y 2

3 de (27 000 – 16 200)= 7 200 visitantes.

112. Un grupo de 50 atletas han sido calificados según su rendimiento: superior, medio o bajo. Las 3

5 partes han obtenido calificación superior, las 3

5 partes del resto, medio, y el resto, bajo. Halla el número de atletas que corresponde a cada una de las tres calificaciones.

Superior: 3

5 de 50 = 30 atletas. Entonces 50 – 30 = 20 atletas tienen nivel medio o bajo.

Medio: 3

5 de 20 = 12 atletas. Entonces 20 – 12 = 8 atletas tienen nivel bajo.

113. Se está probando un nuevo tratamiento en 320 personas. Aunque los efectos secundarios deberían ser nulos, ha provocado un intenso dolor de cabeza en 15 de ellas. El tratamiento se aceptará si el porcentaje de personas en el que se manifiesta el dolor es inferior a una centésima parte. Con los datos experimentales anteriores, ¿el tratamiento será aceptado o rechazado?

El tratamiento produce dolor de cabeza a 15 3

320 64= de las personas que han probado el tratamiento.

Como 3 300 64 1

64 6400 6400 100= > = , entonces el tratamiento será rechazado.

114. En una localidad hay 325 alumnos en la escuela municipal de música. De ellos, la quinta parte estudian algún instrumento de cuerda y 234 alumnos estudian alguno de viento.

a) ¿Cuántos alumnos estudian instrumentos de cuerda?

b) ¿Qué fracción estudia instrumentos de viento?

c) ¿Cuántos alumnos no estudian ningún instrumento de cuerda ni ningún instrumento de viento? ¿Qué fracción representan?

a) Estudian instrumento de cuerda 1

5 de 325 = 65 alumnos.

b) Estudian instrumento de viento 234

325 del total de alumnos.

c) No estudian ningún instrumento de cuerda ni viento 325 – (65 + 234) = 26 alumnos, que representan 26 2

325 25= del total.

Seguidores Fracción ocupada Fracción libre

Casa 3

5 1 – 3

5 = 2 5

Visitante 2 2 4

3 5 15⋅ = 2 4 2

5 15 15− =

Libre 2

15 0

(23)

115. Alicia ha pensado en un número entero.

¿Qué entorno les está indicando? ¿Qué posibilidades existen para el número pensado?

Entorno: centro: 14 1 15 7,5

2 2

+ = = y radio: 10 + 9 = 19

Por tanto, el entorno que les está indicando es E(7,5; 19) = (–11,5; 26,5).

No pertenece al entorno E(14, 10) = (4, 24) ni al entorno E(1, 9) = (–8, 10).

Por tanto, el número entero puede ser –11, –10, –9, –8, 24, 25 o 26.

116. De un rectángulo se sabe que sus medidas están en la proporción de uno a cuatro y que su área es de 121 m². Calcula, con una aproximación de tres decimales, las medidas del perímetro y de la diagonal del rectángulo.

Llamamos x y 4x a las medidas de los lados del rectángulo: x · 4x = 121 ⇒ 4x² = 121 ⇒ x = 5,5 m El rectángulo tiene dimensiones 5,5 x 22 m.

Por tanto, P = 2 · 5,5 + 2 · 22 = 55 m

Llamamos d a la diagonal del rectángulo, y aplicando el teorema de Pitágoras:

d² = 22² + 5,5² = 514,25 ⇒ d = 22,677 m

Encuentra el error

117. Isabel y Sergio han terminado de realizar la misma operación combinada pero han obtenido resultados diferentes. Observa cómo lo han hecho.

Isabel lo ha resuelto así:

( ) ( ) ( )

4 1 1 5 2 3 1: 4 3 5 2 3 4 4 9 5 2 6 5 5 4 5 20 30 5

3 3 6 2 4 3 6 2 3 6 3 6 3 6 6

− − − −

     

+ −  − ⋅ − = + − − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − == − ⋅ − = − = − = − Y Sergio de esta manera:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 1 1 5 2 3 1: 4 3 5 2 3 4 4 9 5 2 6 5 5 4 10 5 4 15 4 10

3 3 6 2 4 3 6 2 3 6 3 6 6 6

− − − − − −

     

+ −  − ⋅ − = + − − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − = − ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − =

¿Quién lo ha resuelto bien? ¿Dónde está el error? Indica cuál es el resultado correcto de la operación combinada.

Ninguno de los dos ha resuelto bien la operación combinada. Isabel se ha equivocado en el paso ^{5 5}

( )

4 3 6

− − ⋅ − , porque al realizar el producto no ha multiplicado los signos correctamente,

Sergio se ha equivocado en el mismo paso que Isabel, pero porque no ha respetado la jerarquía de operaciones al efectuar la resta antes que la multiplicación.

El resultado correcto de la operación combinada sería:

( ) ( ) ( )

4 1 1 5 2 3 1: 4 3 5 2 3 4 4 9 5 2 6 5 5 4 5 20 10 5

3 3 6 2 4 3 6 2 3 6 3 6 3 6 6 3

− − − −

     

+ −  − ⋅ − = + − − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − = − ⋅ − = + = =

(24)

Conjuntos numéricos | Unidad 1 27 PONTE A PRUEBA

Fracciones musicales Actividad resuelta.

Escuela de idiomas

En una localidad hay dos escuelas de lenguas extranjeras. Debido a la gran demanda, los alumnos no pueden matricularse más que en una de las dos y en un solo idioma. La siguiente tabla muestra el total de alumnos en cada escuela y el número de alumnos matriculados en inglés y en francés:

1. ¿En qué escuela se pueden estudiar un idioma diferente de francés o inglés?

En la escuela A se puede estudiar un idioma diferente de francés o inglés porque 45 + 54 = 99 < 135.

2. ¿En qué escuela hay mayor proporción de alumnos que estudian francés teniendo en cuenta el total de alumnos matriculados en ella?

En la escuela A estudian francés 45 1

135 3= y, en la escuela B, 30 2 75 5= . Como 1 5 2 6

3 15 5 15= < = , entonces la proporción de alumnos que estudian francés es mayor en la escuela B.

3. La fracción de alumnos que no estudian ni francés ni inglés en la escuela A es:

A. 1

5 B. 4

15 C. 2

3 D. 3

4

No estudian francés ni inglés, en la escuela A, 135 – 99 = 36 alumnos, que representa 36 4

135 15= del total de alumnos.

La respuesta correcta es la B.

4. Considerando el total de alumnos matriculados en cada escuela, ¿qué proporción es mayor: los alumnos que estudian inglés en la escuela A o los alumnos que estudian francés en la escuela B?

En la escuela A estudian inglés 54 2

135 5= y, en la escuela B, 30 2 75 5= .

Por tanto, la proporción de alumnos que estudian inglés en la escuela A es la misma que la que estudian francés en la escuela B.

5. Calcula el porcentaje de alumnos que estudian francés, que estudian ingles y que estudian otros idiomas considerando el total de alumnos matriculados en las dos escuelas.

Estudian francés 45 30 75 5 135 75 210 14

+ = =

+ , inglés 54 45 99 33

135 75 210 70

+ = =

+ y otros idiomas 36 36 6

135 75 210 35= = +

Francés Inglés Total

Escuela A 45 54 135

Escuela B 30 45 75

(25)

28 Unidad 1 | Conjuntos numéricos La comida que se tira

Cada día se tira a la basura una enorme cantidad de comida. En algunos casos son restos de alimentos cocinados que no se han llegado a consumir. En otros, son productos que se desechan por estar a punto de superar la fecha de caducidad indicada o porque tienen una apariencia menos atractiva, cosa que ocurre frecuentemente con la fruta. En estudios realizados en todo el mundo se obtuvieron, entre otros, los siguientes datos sorprendentes: dos quintas partes de la comida que se produce en EE.UU. terminan en la basura. En España, cerca de tres millones de toneladas de comida se desperdician cada año, lo que supone un coste de unos 250 euros al año por persona.

1. En España hay unos 46 millones de habitantes. ¿Cuánto dinero, en millones de euros, supone al año la comida desperdiciada? A. 11 500, B. 1150, C. 115 000, D. 115

En España se desperdicia en comida 250 · 46 = 11 500 millones de euros. La respuesta correcta es la A.

2. ¿Cuántos kilogramos de comida tira cada uno, en promedio?

En España, de promedio, cada uno tira 3 000 000 : 46 000 000 = 0,065 toneladas = 65 kg de comida.

3. La media de comida que tira cada habitante es 950 de lo que compra. Se supone que aproximadamente 35 de esa cantidad se podrían haber consumido si se hubieran conservado correctamente, y 1

3 del resto ni siquiera se llegó a sacar del embalaje. Lo demás serían residuos no comestibles: pieles, cáscaras, etc.

¿Qué fracción representan de la comida que compra una familia?

La fracción de comida que representan los residuos no comestibles es 9 2 2 6 50 5 3 125⋅ ⋅ = .

AUTOEVALUACIÓN

1. Di si son ciertas o no estas afirmaciones.

a) En el intervalo (3, 4) no hay números enteros, pero sí racionales.

b) Toda raíz cuadrada no exacta es irracional.

a) Verdadero. En este intervalo no hay números enteros, pero sí racionales; por ejemplo, 3,5.

b) Falso. Por ejemplo, 0,1 0,3 =  .

2. Escribe cinco fracciones equivalentes a 96

64 y di cuál es la fracción irreducible correspondiente al número racional que determinan:

96 3 6 12 9 27

64 2 4= = = 8 = 6 18= ⇒ La fracción irreducible que determinan es 3 2.

3. Halla las fracciones irreducibles de:

a) 36

54 b) 84

294 c) 77

143 a) 36 2

54 3= b) 84 2

294 7= c) 77 7

143 13=

4. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones.

a) 5 4, 17

10, 29 20, 7

5 b) 13

18, 5 6, 12

27, 8 12 a) 25 34 29 28, , , 17 29 7 5

20 20 20 20⇒10 20 5 4> > > b) 78 90, , 48 72, 5 13 8 12 108 108 108 108⇒6 18 12 27> > >