2 Actas do Seminario de Iniciación á Investigación 0 0 8
INSTITUTO DE MATEMÁTICAS
A s mat emát i cas do veci ño
A. Ma r t í ne z Ca l v o
M. Pé r e z F e r ná nde z de Cór doba S . Vi l a r i ño F e r ná nde z
E DI T ORE S
ACTAS DO S EMINARIO DE
I NICIACIÓN Á I NVESTIGACIÓN
ANO 2008
Comité editorial:
Adela Martínez Calvo
María Pérez Fernández de Córdoba Silvia Vilariño Fernández
Imprime:
Imprenta Universitaria Campus universitario sur 15782 Santiago de Compostela
D. L. C 1692-2009
Estimado joven, las matemáticas también han sido infectadas por la peste moderna de la superespecialización. Me temo que no tengo la menor idea de lo que se hace en lógica formal, ni en ningún otro campo ajeno al mío.
Apóstolos Doxiadis (El tío Petros y la conjetura de Goldbach)
Un hombre deja de ser un principiante en cualquier ciencia y empieza a ser un experto cuando aprende que será un principiante toda su vida.
Robin G. Collingwood
iii
Subiu as escaleiras ata o primeiro andar: unha quenda de doce, o descanso, e outra quenda de dez. Coñecía de memoria o camiño, pero aínda así, cada día contaba os pasos. Desta hora xa debería ter chegado. Os luns chegaba cedo. A súa rutina era previsible, coma tódalas rutinas. Estaría preparando a cea, algo lixeiro, ou xa vendo as noticias. Despois escollería a roupa para o día seguinte, e iría á cama, relería nalgún libro co que quedaría durmida antes de pasar dúas páxinas. Nunhas horas soaría o espertador, un café con torradas e un novo día.
Tres pasos dende o último banzo achegárono á porta, pero dubidou se timbrar, e retrocedeu. E se non estaba? E se estaba atarefada? Mellor non molestar. Baixou polas escaleiras, pero detívose antes do descanso. Era luns e chegaba cedo. Estaría preparando a cea ou vendo as noticias. Tiña que estar. Subiu rápido, timbrou e agardou. Volveu a timbrar, pero ninguén abriu. Era luns e chegaba cedo, e tiña que estar.
Baixou as escaleiras ata a rúa: unha quenda de dez, o descansiño, e outra quenda de doce. Contaba os pasos, ao tempo que pensaba: era luns e chegaba cedo. Timbrou pero ninguén abriu. Que lle pasaría? Tería que traballar ata tarde? Marcharía de viaxe? Na rúa facía frío. A ela non lle gustaba saír con este tempo. Estaría tra- ballando. Algún imprevisto, seguro. Entón, volvería mañá. Nas rúas de decembro alumeaba o Nadal. Dende a outra beirarrúa mirou cara a súa fiestra, e viu luz.
v
Prefacio
Xenios aparte, ninguén discute que a imitación é unha compoñente importante dos procesos de aprendizaxe. Cada quen ten as súas propias experiencias discentes, e quero pensar que tamén docentes, e que por iso lle concedemos importancia ás nosas clases. Pero non é menos certo que imitación sen renovación só pode conducir a estancamento. Por iso, quenes falan do tema, inclúen ademais outros dous tipos de aprendizaxe: un, seguindo instrucións e, outro, polas consecuencias derivadas da nosa conduta, vaia, por ensaio/erro.
Se a preocupación pola formación dos nosos titulados que se inician na investi- gación tomase a forma dun problema, deberiamos entendelo, trazar un plan, levar a cabo ese plan e, unha vez resolto, revisar a súa solución. Pola multidisciplinariedade da poboación, non circunscrita a ningún departamento concreto, as tres primeiras etapas poderían (se as circunstancias fosen outras, atreveríame a dicir deberían) formar parte do programa de calquera candidatura ao decanato.
Persoalmente, non me consta que fose o seguemento de instruccións o que deu orixe ao Seminario de Iniciación á investigación. Tamén descoñezo modelos entre nós que os iniciadores e seguidores poidesen ter imitado. A lóxica dos argumentos ten que levarnos a concluír que estamos ante unha verdadeira innovación. E se aplicamos a cuarta fase da resolución de problemas, deberiamos entre todos poñernos a revisar a solución. Entre outras cousas, deberiamos enteder se é susceptible de ser aplicada noutros problemas semellantes, presentes ou futuros.
Por certo, dou por suposto ninguén de nós confunde supoñer con asumir, e dígoo polo topico método de afrontar problemas dos matemáticos: supoñer o problema resolto. Pero mesmo se é así, proporía que volvesemos ao primeiro parágrafo e que, intercambiando os nosos roles, tratasemos de aplicar o método de imitación para aprendermos deste modelo. E aínda que a solución non sexa completa, deberiamos convir en que o SII representa unha ventá pola que ademais de luz entran bocanadas de aire fresco.
E xa é ironía que, sendo eu, como son, usuario de macintosh, estea a glosar as ventás. Pois nada, o que está ben, está ben.
Santiago de Compostela, Abril de 2009 Felipe Gago Couso vii
Índice xeral
Introdución 1
Miguel Brozos Vázquez
“A xeometría do voo dun avión” 3
María Piñeiro Lamas
“Modelos de Predicción: una pequeña ayuda al Medio Ambiente” 7 Rubén Figueroa Sestelo
“Unha incursión no mundo discontinuo” 11
Ana Belén Rodríguez Raposo
“Quen sabe trisecar un ángulo?” 15
Manuel García Magariños
“Algunas aportaciones probabilísticas a la genética forense” 19 Carlos Meniño Cotón
“El teorema de Hedlund. Flujos minimales y curvatura negativa” 23 Laura Saavedra Lago
“¿Cómo quemar carbón con EDP’s?” 27
Silvia Vilariño Fernández
“Métodos Geométricos de Teorías Clásicas de Campos” 31 Abelardo Monsalve
“Análisis de los Modelos de Tipo de Interés” 35
Álvaro Lozano Rojo
“Un paseo por la dinámica de foliaciones” 39
Pablo González Sequeiros
“Sistemas de numeración” 43
ix
María Pérez Fernández de Córdoba
“Percolación de grafos” 47
Adela Martínez Calvo
“Estimación no modelo lineal funcional” 51
Giuseppe Viglialoro
“Problema no estándar relacionado con el equilibrio de membranas a trac-
ción” 55
María José Pereira Sáez
“Aplicaciones de la transformación de Cayley” 59
Javier Seoane Bascoy
“Primera aproximación a las variedades con estructuras” 63
x
Introdución
O presente volume é unha compilación dos resumos das charlas organizadas ao longo do ano 2008 dentro do Seminario de Iniciación á Investigación (SII) na Facul- tade de Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela. As conferencias impartidas polo SII foron organizadas por alumnos de Terceiro Ciclo da Facultade e forman parte das actividades do Instituto de Matemáticas.
O SII iniciou a súa andaina a comezos do ano 2005. Foi nesa época cando os alumnos de doutoramento da Facultade decidiron crear un seminario que permitise o intercambio de coñecementos entre as diversas áreas das Matemáticas, dirixido fundamentalmente aos estudantes dos últimos cursos da licenciatura e aos estudantes de Terceiro Ciclo da Facultade. Desde o seu nacemento, hai xa catro anos, o SII propúxose os seguintes obxectivos:
1. Fomentar o intercambio de coñecemento entre os alumnos da Facultade.
2. Pór a disposición dos estudantes un foro onde dar a coñecer os campos nos que cada un centra as súas investigacións.
3. Facilitar a práctica de falar en público, ofrecéndolle aos alumnos a oportu- nidade de dar charlas e afacerse a escoitar e participar activamente neste tipo de eventos.
4. Proporcionar un espazo onde se poidan desenvolver as actividades necesarias para que cada quen saiba explicar as ideas fundamentais dos seus traballos, incluso a persoas que non estean especializadas na materia.
Por cuarto ano consecutivo, o SII conseguiu cumprir estes obxectivos básicos grazas á colaboración do alumnado dos distintos departamentos da Facultade. Seguin- do coa dinámica de anos anteriores, o seminario desenvolveuse cunha periocidade semanal entre os meses de xaneiro a maio, e de novembro a decembro. Como xa se fixera en anos anteriores, o SII abreu as súas portas non só aos alumnos da Facul- tade e a alumnos visitantes doutras universidades, senón tamén ao profesorado da Facultade.
No que se refire á loxística do SII, este ano renovouse o seu comité organizador.
Dito comité estivo formado durante o 2008 por tres estudantes de doutoramen- to que se encargaron tanto da coordinación das conferencias en si (calendario de charlas, anuncio das mesmas, reserva de aula, proporcionar o material necesario ao
1
poñente,...) como da publicación deste anuario, onde se recolle un resumo de cada unha das charlas impartidas polos poñentes. Este mesmo comité organizador en- cargouse da confección deste volume e figura nel como comité editorial. Por outra banda, é importante salientar que cada un dos resumos aquí recollidos pasou un pro- ceso de revisión por parte dun alumno de Terceiro Ciclo dun departamento distinto ao do autor, logrando así que os resumos sexan comprensibles por aqueles que non son expertos no campo correspondente.
Os membros do comité organizador deste último ano queremos agradecer aos membros dos comités de anos anteriores o legado que nos deixaron, trala súa ini- ciativa de compartir entre tódolos departamentos as distintas liñas de investigación que se seguen en cada un deles, tratando así de estreitar os lazos entre as distintas ramas desta ciencia que compartimos todos, as Matemáticas. Ademais seguindo con esta iniciativa, os membros do actual comité invitamos ás novas xeracións de estu- dantes de Terceiro Ciclo a participar activamente na organización deste seminario durante os próximos anos. Por todo isto, queremos facer expreso o noso máis sincero agradecemento a todos aqueles que, dun xeito ou doutro, nos axudaron nesta tarefa.
Agradecementos
Quixeramos mencionar neste apartado que a organización do seminario tería si- do, sen dúbida, moito máis difícil de non contarmos coa colaboración desinteresada de moita xente. Por este motivo, desexamos agradecer a todos os que participaron no SII, ben como poñentes, ben como oíntes, e moi especialmente aos que partici- paron no proceso de arbitraxe: Miguel Brozos Vázquez, Esteban Calviño Louzao, Rubén Figueroa Sestelo, Manuel García Magariños, Pablo González Sequeiros, Ál- varo Lozano Rojo, Adela Martínez Calvo, Carlos Meniño Cotón, Abelardo Mon- salve Cobis, María José Pereira Sáez, María Pérez Fernández de Córdoba, María Piñeiro Lamas, Ana Rodríguez Raposo, Laura Saavedra Lago, Javier Seoane Bas- coy, Giuseppe Viglialoro e Silvia Vilariño Fernández.
Merecen unha mención destacada Rosa Crujeiras Casais e Felipe Gago Couso pola súa colaboración desinteresada na elaboración destas actas, así como Beatriz Pateiro López, autora do deseño orixinal da portada das mesmas.
Como xa indicamos, tanto o comité organizador como o comité editorial será renovado. Por este motivo, non queremos deixar pasar esta oportunidade para dar o noso alento aos novos membros do comité e desexarlles a mellor das sortes.
Santiago de Compostela, Maio de 2009.
O Comité Editorial.
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Seminario de Iniciación á Investigación
Instituto de Matemáticas
A xeometría do voo dun avión Miguel Brozos Vázquez
Departamento de Xeometría e Topoloxía 23 de Xaneiro de 2008
Resumo
Habendo xa máis dun século dende que os irmáns Wright fixeron voar un pro- totipo de avión (alá polo 1903), aínda hoxe resulta curioso ver como un obxecto desas dimensións se pode soster no aire; sendo esta sensación aínda máis esaxerada, probablemente, se nos atopamos no seu interior. O obxectivo destas liñas non é outro que facer un achegamento meramente introdutorio á xeometría que fai posible que estes obxectos desafíen con éxito a gravidade.
Pensemos pois nun avión surcando o ceo, e fixemos o noso punto de referencia no propio avión, como se fosemos no seu interior e fose o aire o que se move empuxando o avión verticalmente cara arriba. A base fundamental de sustentación do avión son as súas ás, e será na súa xeometría na que nos centremos aquí. É importante destacar o feito de que a á dun avión é alargada e practicamente un espacio produto dun segmento por unha sección coa forma da figura seguinte (chamaremos “aerofoil”
á forma que presenta esta sección):
Figura 1. A sección da á dun avión ten forma de aerofoil, o que provoca unha modificación do fluxo de aire.
Isto xustifica a simplificación que faremos do problema estudándoo unicamente en dúas dimensións. Así, sendo conscientes de que a xeometría de todo o corpo dun avión cumpre unha importante función, restrinxirémonos aquí a esta análise máis simplificada.
Deste xeito, a situación a estudar é a dun fluxo de aire que interactúa cun corpo sólido, e o obxectivo é estudar a forza vertical e cara arriba que o fluído
Palabras Clave: Aerodinámica, fluxo potencial, transformación de Joukowski.
3
4 SII A xeometría do voo dun avión
exerce sobre dito corpo. A pesar das simplificacións que levamos feito, este problema presenta aínda unha grande dificultade nun contexto físico xeral e precisaremos asumir algunhas condicións sobre o fluxo de aire. Un dos casos máis sinxelos é aquel no que o fluxo é o que se coñece co nome de fluxo potencial. As características que nos interesan destes fluxos son as seguintes:
1. O campo de velocidades do fluxo (v) vén dado polo gradiente dunha función (f ), isto é, v = ∇f .
2. Como consecuencia do anterior, o rotacional do campo de velocidades é cero, como veremos: sexan (x, y) coordenadas no plano, entón o vector de veloci- dades vén dado por v = (∂f∂x,∂f∂y) e, polo tanto,
krot(v)k = krot(∂f
∂x,∂f
∂y)k = ∂2f
∂x∂y− ∂2f
∂y∂x = 0 .
Esta propiedade interprétase fisicamente e dun modo intuitivo como que o fluxo non produce rotacións actuando sobre muíños infinitesimalmente pequenos e con aspas non orientadas.
3. Como terceira característica, que non sempre se impón ó considerar este tipo de fluxos, temos que a diverxencia do campo de velocidades é cero (div(v) = 0).
O seu significado físico é que o volume se preserva infinitesimalmente ó longo do fluxo.
Fixaremos pois a nosa atención en fluxos que cumpren estas propiedades, a pesar de que describen unha situación moi ideal. Tanto así que o coñecido físico Richard Feynman chegou a dicir que “o único fluído que cumpre estas condicións é a auga seca”.
Posto que queremos estudar un fluxo no plano, será útil considerar ese plano como o plano complexo. Isto implicará diversas vantaxes importantes, como veremos, pero ademais permite crear unha grande inmensidade de fluxos potenciais verificando as tres propiedades anteriores. Para facer isto un non ten máis que considerar unha función holomorfa φ definida no plano complexo. Chamemos f á parte real (f = Re(φ)) e h á parte imaxinaria (h = Im(φ)), entón temos que φ(z) = f (z) + ih(z) para todo complexo z. Consideremos agora f como función potencial do noso fluxo.
Nótese entón que estamos a falar dun fluxo que ten como vector de velocidades v = ∇f = (∂f∂x,∂f∂y), pero ademais, posto que a función φ é holomorfa, verifica as ecuacións de Cauchy–Riemann:
∂f
∂x = ∂h∂y,
∂f
∂y = −∂h∂x. (1)
Nestas condicións, é obvio que se cumpren as dúas primeiras condicións de fluxo potencial, e empregando (1) é doado ver que
div(v) = div(∂f
∂x,∂f
∂y) = ∂2f
∂x2 +∂2f
∂y2 = ∂2h
∂x∂y− ∂2h
∂y∂x = 0 ,
Miguel Brozos Vázquez SII 5
co que a terceira condición para os fluxos potenciais tamén se verifica.
Nesta situación, existen dúas clases de liñas que desempeñan un papel de extrema importancia. Estas son as liñas equipotenciais, que corresponden a considerar f constante, e as liñas de fluxo, que corresponden a considerar h constante. Unha propiedade fundamental é que estas liñas se cortan ortogonalmente, como se deduce do seguinte cálculo empregando de novo (1):
h∇f, ∇hi = ∂f
∂x
∂h
∂x+∂f
∂y
∂h
∂y = ∂f
∂x
∂h
∂x−∂h
∂x
∂f
∂x = 0.
Retomemos pois o problema que nos ocupa, este é o de estudar a forza que exerce o fluxo de aire sobre o corpo sólido (sección da á de avión). Obviamente, a dificultade deste problema depende da forma do sólido que consideremos, así, por exemplo, a solución a este problema era ben coñecida hai máis dun século se o sólido ten forma circular. Sen embargo, preséntase moito máis complicado á hora de considerar un aerofoil como o da Figura 1.
Para resolver este problema, botamos man de novo do cálculo complexo mediante a transformada de Joukowski. Esta é unha aplicación do plano complexo en si mesmo dada pola seguinte expresión:
J(z) = z +1 z.
Nótese que esta aplicación ten a súa única singularidade na orixe e, salvando a tal singularidade, transforma certos círculos en aerofoils. Isto móstrase na seguinte gráfica:
Figura 2. A transformada de Joukowski é unha aplicación conforme que transforma un disco no plano complexo nun aerofoil.
Unha característica importante da transformada de Joukowski é que é unha aplicación conforme, polo que preserva a ortogonalidade das liñas equipotencias e as liñas de fluxo. Este feito é fundamental á hora de reducir o problema de calcular o empuxe exercido polo fluxo sobre o aerofoil ó problema de calcular o empuxe exercido polo fluxo sobre o círculo en rotación. Non entraremos aquí en máis detalles, pois o noso obxectivo non era máis que dar unha moi sinxela e breve introdución. Porén,
6 SII A xeometría do voo dun avión
recomendaría [1] para unha interesante introdución á aerodinámica con simuladores que permiten o cálculo do empuxe en función da forma do aerofoil.
Na achega que vimos de facer á xeometría que permite o voo dun avión, con- sideramos un modelo, como xa mencionamos, moi ideal. Na vida real, a viscosidade do fluído que se considera desempeña un papel clave e as ecuacións que rixen o comportamento do fluído son as ecuación de Navier-Stokes. Estas son ecuacións en derivadas parciais de segundo grao moi complexas e non se coñece a súa solución.
Por este motivo, en ocasións redúcese o problema a outros máis sinxelos, como o dos fluxos potenciais, que o aproximen. Non obstante, unha técnica que se emprega actualmente é a de considerar a capa máis próxima ó sólido (na que se dan certas simplificacións que fan o problema máis tanxible) e o resto do fluído por separado, permitindo así aproximacións coa suficiente precisión para levar a cabo simulacións axeitadas, que permiten que nos últimos anos se veñan facendo destacados avances en aerodinámica.
Bibliografía
[1] NASA Glenn Research Center, Beginner’s Guide to Aerodynamics, http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/bga.html.
[2] Wikipedia (versión en inglés).
Seminario de Iniciación á Investigación
Instituto de Matemáticas
Modelos de Predicción: una pequeña ayuda al Medio Ambiente
María Piñeiro Lamas
Departamento de Estadística e Investigación Operativa 30 de Enero de 2008
Resumen
Hace unas décadas era impensable que el desarrollo económico pudiera afectar tan negativamente a la naturaleza como para llegar a representar un serio problema.
Sin embargo, el acelerado crecimiento de la población humana y el consumo incon- trolado de los recursos naturales han hecho mella en el aire, el agua y el suelo. Hoy en día la contaminación provoca importantes daños en la salud humana, los seres vivos y el entorno. En los últimos años, tanto los gobiernos y las organizaciones ecologis- tas como los científicos buscan soluciones para evitar los problemas ambientales. Las acciones políticas para la protección del Medio Ambiente obligan a las empresas a desarrollar planes medioambientales que permitan prevenir daños ecológicos, aunque esto suponga reducciones en sus beneficios. Por su parte, las investigaciones cientí- ficas intentan aportar soluciones desde sus diferentes ámbitos. Entre la infinidad de campos de aplicación de la Estadística, se encuentra el Medio Ambiente.
Un problema medioambiental
La Unidad de Producción Térmica (UPT) de As Pontes constituye uno de los centros productivos propiedad de Endesa Generación S.A. en la península Ibérica.
Está situada en el municipio de As Pontes de García Rodríguez, al noreste de la provincia de A Coruña.
Esta central térmica fue diseñada y construida para hacer uso racional de los lignitos pardos extraídos de la mina a cielo abierto situada en sus proximidades.
Este combustible sólido se caracteriza por sus elevados contenidos en humedad y azufre, así como por su bajo poder calorífico. A lo largo de los años la central ha sufrido varios procesos de transformación en sus instalaciones con el objetivo principal de reducir las emisiones de dióxido de azufre (SO2). En la actualidad se ha finalizado una nueva adaptación de la UPT de As Pontes para consumir, como combustible principal, carbón subbituminoso de importación, caracterizado por su bajo contenido en azufre y cenizas.
La legislación vigente y la localización de la Central Térmica próxima a enclaves naturales de alto valor ecológico, como el Parque Natural de As Fragas do Eume,
Palabras Clave: Predicción, Modelos GAM, Medio Ambiente
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8 SII Modelos de Predicción: una pequeña ayuda al Medio Ambiente
hacen que desde sus inicios haya existido una gran preocupación por su impacto en el entorno. Por ello dicha central posee un Sistema de Seguimiento y Control de la Calidad Atmosférica que le permite efectuar cambios en las condiciones de operación que reducen las emisiones cuando las condiciones meteorológicas son adversas para la difusión del penacho emitido, concretamente el dióxido de azufre que contiene, y se dan episodios significativos de alteración de la calidad del aire. La legislación española mediante normas y decretos fija las concentraciones máximas que se pueden alcanzar de estos gases en un determinado período de tiempo. En particular, para esta central el único límite susceptible de ser rebasado alguna vez, es aquel que se establece sobre la media horaria arrastrada de la concentración de SO2 en el suelo, en el valor de 350 µg/m3.
El problema que se plantea entonces es poder predecir la citada media horaria de los niveles de SO2, a partir de la información que se recibe en continuo de las estaciones de muestreo y la información pasada de dichas medidas. Los modelos estadísticos de predicción son la clave para obtener estas predicciones y sugerir una línea de actuación a los operadores de la central, para intentar evitar los episodios de calidad de aire.
En los últimos años los cambios producidos en la legislación medioambiental y en la propia central, así como la construcción de una nueva central de ciclo combinado de gas natural hacen necesario el diseño de modelos que obtengan la predicción simultánea de dos indicadores de polución en el entorno. Los combustibles que van a ser utilizados hacen que el principal interés recaiga en predecir los valores de los óxidos de nitrógeno (N Ox). También será interesante seguir prediciendo los valores del SO2.
Se plantea entonces un nuevo problema: predecir las concentraciones medias horarias de dióxido de azufre y de los óxidos de nitrógeno, medidas en el entorno de las dos instalaciones. Ante este nuevo planteamiento, los modelos estadísticos de predicción vuelven a ser una herramienta eficaz.
Modelos de predicción
Fruto de la colaboración durante los últimos años entre el Departamento de Estadística e Investigación Operativa de la Universidad de Santiago de Compostela y de la Sección de Medio Ambiente de la Central Térmica, se creó un Sistema de Predicción Estadística de Inmisión (SIPEI) que emplea modelos estadísticos para facilitar predicciones de los niveles de SO2 que permitan a los operadores de la planta anticiparse a la aparición de episodios de alteración de la calidad del aire.
La legislación vigente y la disponibilidad de datos con frecuencia minutal en tiempo real, nos hacen considerar la media horaria arrastrada tanto de los valores de SO2 como del N Ox, para obtener las predicciones de los valores futuros de ambos contaminantes. Así vamos a construir dos series temporales xt e yt, para las que el subíndice t representa un instante minutal, y cada valor se va a obtener como
María Piñeiro Lamas SII 9
promedio de los valores reales correspondientes a la hora anterior:
xt= 1 60
X59 i=0
SO2(t − i),
yt= 1 60
X59 i=0
N Ox(t − i),
donde SO2(t) y N Ox(t) representan la concentración de SO2 y N Ox, respectiva- mente, en el instante t, medida en µg/m3.
La serie de valores medios horarios de SO2 tiene un comportamiento bastante peculiar, muy influenciado por las condiciones meteorológicas y la topografía lo- cal. Toma valores próximos a cero durante largos períodos de tiempo, y crece de manera repentina en condiciones meteorológicas desfavorables para la dispersión del penacho. En la actualidad, la serie de valores medios horarios de N Ox tiene un comportamiento similar a la del SO2 pero a menor escala. El principal objetivo de los modelos estadísticos desarrollados es predecir los episodios de alteración de la calidad del aire, por lo que nuestro interés se centra en los valores que menos ocurren a lo largo de la serie temporal. Por esto se diseñó un tipo de memoria denominado Matriz Histórica (véase [1]). Esta matriz se compone de un número grande de regis- tros de la forma (xt− xt−5, xt, xt+30): ternas de datos reales de medias bihorarias de SO2 ó N Ox, elegidos de forma que cubran todo el rango de la variable en cuestión y que harán el papel de memoria histórica de ésta. Para asegurar que cubren to- do el rango de la variable, se divide la matriz en bloques atendiendo al nivel de la variable respuesta, xt+30. Para actualizar la memoria, cada vez que llega un nuevo dato se construye el registro correspondiente al que pertenece. Dicho registro entra en ese bloque sustituyendo al registro más antiguo del mismo. Con una muestra así construida, se asegura que en todo momento se dispone de información actualizada sobre todo el rango de variación de la variable de interés.
Un campo donde han sido muy utilizados los modelos aditivos (véase [2]) es en el estudio de las series de tiempo medioambientales. Por este motivo vamos a utilizarlos para obtener las predicciones, a media hora, de los niveles de SO2 y N Ox en el entorno de la Central Térmica. Estamos planteando así nuestro problema de predicción desde el punto de vista de la regresión, donde la variable respuesta es aquella que queremos predecir, xt+30.
El modelo que planteamos es
Xˆt+30= β0+ f1(Xt) + f2(Xt− Xt−5),
donde Xi representa el nivel medio horario del contaminante en el instante i, β0 es la constante desconocida y, f1 y f2 son funciones suves desconocidas. Estimaremos el modelo de forma no paramétrica utilizando splines con penalizaciones y las ma- trices históricas correspondientes. El parámetro de suavizado, presente en cualquier metodología no paramétrica, se va a estimar utilizando el método de validación cruzada generalizado.
10 SII Modelos de Predicción: una pequeña ayuda al Medio Ambiente
Hay que tener en cuenta que la estimación de los modelos se hace de forma inde- pendiente para cada uno de los dos contaminantes, es decir, por un lado utilizamos un modelo de la forma expuesta arriba y las correspondientes matrices históricas para obtener las predicciones de SO2, y por otro, utilizaremos otro modelo similar para obtener las del N Ox.
Para poder observar el comportamiento del modelo aditivo seleccionado hemos evaluado su funcionamiento sobre un episodio de alteración de la calidad de aire, cuya información no ha sido incluida en las matrices históricas. Así veremos si se comporta de forma adecuada ante situaciones reales a la hora de predecir tanto los valores futuros de SO2como los de N Ox. La figura muestra las predicciones (a media hora) utilizando el modelo propuesto y la serie real observada para un episodio de alteración de la calidad de aire ocurrido el 12 de Marzo de 2007, para el SO2. En dicha figura se puede apreciar el buen comportamiento de las predicciones obtenidas por el modelo propuesto.
Figura 1: Episodio de alteración de la calidad del aire ocurrido el 12 de Marzo de 2007. Predicción dada por modelo aditivo.
Bibliografía
[1] I. García-Jurado, W. González-Manteiga, J.M. Prada-Sánchez, M. Febrero- Bande y R. Cao, Predicting using Box-Jenkins, Nonparametric and Bootstrap Techniques, Technometrics 37 (1995), 303–310.
[2] T.J. Hastie y R.J. Tibshirani; Generalized Additive Models, Chapman and Hall, 1990.
Seminario de Iniciación á Investigación
Instituto de Matemáticas
Unha incursión no mundo discontinuo Rubén Figueroa Sestelo
Departamento de Análise Matemática 13 de febreiro de 2008
Resumo
O obxectivo desta charla é motivar e afondar un pouco na teoría da diferenciación de funcións dunha variable real e na integral de Lebesgue, de xeito que estas técnicas permitan posteriormente realizar unha xeneralización dos teoremas de Cauchy-Peano e Picard-Lipschitz a ecuacións diferenciais con segundo membro discontinuo.
Motivación
A modelización dos problemas da física clásica foi quizais unha das maiores moti- vacións no desenvolvemento do cálculo diferencial e da teoría das ecuacións diferen- ciais. Vexamos cómo un problema de cinemática serve de motivación para o estudio das ecuacións diferenciais discontinuas: Supoñamos unha vagoneta que circula sobre dous raís empuxada por unha locomotora que se despraza con aceleración constante a. No instante t0 un obstáculo situado sobre a vía provoca a detención brusca da locomotora, sen interromper o movemento da vagoneta, que pasa a desprazarse se- gundo a súa propia inercia. Deste xeito, se x(t) representa a velocidade da vagoneta no instante t, entón esta pode representarse mediante a expresión:
x0(t) =
½ a, se 0 < t < t0,
0, se t ≥ t0, (1)
que é unha función discontinua de t. Este problema ten unha apariencia sinxela, pero a teoría clásica de ecuacións diferenciais non nos permite abordalo, pois os resultados clásicos de existencia de solución esixen segundos membros continuos. Sen embargo, non é difícil ver que a función
x(t) =
½ at, se 0 < t < t0,
at0, se t ≥ t0, (2)
describe perfectamente a velocidade da vagoneta. Esta función x non é unha solución de (1) no sentido clásico, pois x non é unha función derivable en todo punto como esixe a noción clásica de solución. Será, como veremos máis adiante, unha solución
Palabras Clave: funcións dunha variable real, integral de Lebesgue, ecuacións diferenciais discontinuas
11
12 SII Unha incursión no mundo discontinuo
en sentido débil. O lector que desexe obter outras motivacións para as ecuacións discontinuas, referentes por exemplo aos modelos de crecemento de poboacións, pode consultalos en [4].
Resultados relativos a funcións reais dunha variable real
Nesta sección preténdese afondar nalgúns conceptos relativos á diferenciación e integración de funcións de variable real que serán necesarios para elaborar a nosa teoría de ecuacións diferenciais discontinuas. Supóñense coñecidos os resultados clási- cos da derivación de funcións reais dunha variable real, así como a teoría das integrais de Riemann e de Lebesgue. Consideremos o problema de valor inicial:
(P )
½ x0(t) = f (t, x(t)) para todo t, x(t0) = x0.
O teorema fundamental do cálculo dinos que o problema (P) equivale a atopar unha función x tal que para todo t do seu dominio se teña
x(t) = x0+ Z t
t0
f (s, x(s)) ds, (3)
onde a integral considérase no sentido de Riemann. A idea fundamental na que nos basearemos é que a integral da ecuación (3) ten sentido para unha clase moito más ampla de funcións que as funcións continuas, e maior aínda se se considera a integral no sentido de Lebesgue. Por este motivo, debilitaremos as condicións esixidas á función f e pediremos simplemente medibilidade na variable independente e continuidade na variable dependente. Estas funcións denomínanse funcións de Carathéodory. O que debemos estudar agora son condicións suficientes para que se satisfagan estas tres condicións: 1) A composición s 7→ f (s, x(s)) é medible; 2) A función x é derivable (alomenos en case todo punto) e 3) A función f (·, x(·)) é integrable e a integral coincide con x. Á primeira pregunta dá resposta o teorema de composición medible. O lector interesado pode atopar a súa proba en [1].
No que segue, I = [a, b] será un intervalo pechado e acotado de R.
Teorema 1. (Teorema de composición medible) Dadas unha función de Cara- théodory f : I × Rn−→ Rn e unha función medible v : t ∈ I −→ Rn, a aplicación
t ∈ I 7→ f (t, v(t)) ∈ Rn tamén é medible.
Unha vez superado o problema da medibilidade, debemos abordar o problema de atopar a clase de funcións que, sendo derivables, poden ser reconstruídas integrando a función derivada. A esta cuestión dan resposta as funcións absolutamente continuas e o teorema fundamental do cálculo para a integral de Lebesgue. Pódese ver un desenvolvemento exhaustivo destas cuestións en [2] e [3].
Rubén Figueroa Sestelo SII 13
Definición 2. Unha función f : I = [a, b] ⊂ R → R dise que é absolutamente continua en I se para cada ε > 0 existe δ > 0 de tal xeito que se {(ak, bk)}nk=1 é unha familia de subintervalos de I que son disxuntos dous a dous e tal que
Xn k=1
(bk− ak) < δ, entón
Xn k=1
|f (bk) − f (ak)| < ε.
Denotaremos por AC(I) o conxunto de funcións reais absolutamente continuas en I.
Teorema 3. (Teorema fundamental do cálculo para a integral de Lebesgue) Unha función f : I = [a, b] −→ R é absolutamente continua en I se e só se existe f0(t) para case todo punto t ∈ I, f0 ∈ L1(I) e ademáis
f (t) = f (a) + Z t
a
f0(s)ds para todo t ∈ I.
En consecuencia, as funcións absolutamente continuas son aquelas (e só aquelas) que poden ser reconstruídas integrando a súa función derivada. Polo tanto, será neste conxunto de funcións onde teremos que buscar as solucións aos problemas de valor inicial que plantexábamos ao inicio.
Observación 4. O concepto de función absolutamente continua, así como o teore- ma fundamental do cálculo foron establecidos para funcións con valores en R, pero esténdense sen dificultade a funcións con valores en Rn.
Resultados de existencia de solución para ecuacións dife- renciais discontinuas
A teoría das funcións absolutamente continuas permítenos estender a teoría clási- ca de ecuacións diferenciais, dando un novo concepto de solución e versións máis débiles dos teoremas de Cauchy-Peano e Picard-Lipschitz. Pódense ver estes resul- tados con máis detalle en [5].
Sexan D ⊂ Rn+1 un aberto, f : D −→ Rn unha función de Carathéodory e (t0, x0) ∈ D. Consideramos o problema de valor inicial
x0= f (t, x), x(t0) = x0. (4) Definición 5. Unha solución de (4) no sentido de Carathéodory é unha función ξ : I −→ Rn que satisface as siguientes condicións:
1) I é un intervalo non dexenerado e t0 ∈ I;
14 SII Unha incursión no mundo discontinuo
2) ξ ∈ AC(I, Rn) e (t, ξ(t)) ∈ D para todo t ∈ I;
3) ξ0(t) = f (t, ξ(t)) para case todo t ∈ I;
4) ξ(t0) = x0.
Observación 6. Se ξ : I −→ Rn é solución de Carathéodory de (4) e a composición t ∈ I 7→ f (t, ξ(t))
é continua, entón ξ é solución en sentido clásico.
Teorema 7. (Teorema de Carathéodory de existencia de solución) Sexa D ⊂ Rn+1 un aberto e sexa f : D −→ Rn una función de Carathéodroy tal que para cada subconxunto compacto U ⊂ D existe unha función real de variable real, mU(t), localmente integrable e tal que
kf (t, x)k ≤ mU(t) para todo (t, x) ∈ U.
Entón para cada (t0, x0) ∈ D existe α > 0 tal que o problema (4) ten solución definida en [t0− α, t0+ α].
Teorema 8. (Teorema de unicidade de solución) Sexa unha función nas hipóte- ses do teorema (7) f : D ⊂ Rn+1 −→ Rn e tal que para cada compacto U ⊂ D existe unha función real, LU(t), localmente integrable tal que para calesquera (t, x), (t, y) ∈ U tense
kf (t, x) − f (t, y)k ≤ LU(t) kx − yk.
Entón, para cada (t0, x0) ∈ D existe α > 0 tal que o problema (4) ten solución única definida en [t0− α, t0+ α].
Para rematar, invitamos ao lector a verificar que estes dous resultados xeneralizan os teoremas coñecidos de Cauchy-Peano e Picard-Lipschitz e polo tanto permíten- nos ampliar notablemente o campo de ecuacións diferenciais que podemos estudar.
Invitamos tamén a comprobar que o problema das vagonetas que plantexabamos ao inicio está nas hipóteses dos resultados precedentes.
Bibliografía
[1] J. Appell y P. P. Zabrejko, Nonlinear superposition operators, Cambridge University Press (1990).
[2] S. B. Chae, Lebesgue Integration, Springer-Verlag.
[3] E. Hewitt y K. Stromberg, Real and Abstract Analysis, Springer – Verlag, Nueva York; Tercera Edición (1975).
[4] S. Novo, R. Obaya y J. Rojo, Ecuaciones y sistemas diferenciales, A.C., Madrid (1992).
[5] E. Zeidler, Nonlinear functional analysis and its applications I, Springer- Verlag, Nueva York (1986).
Seminario de Iniciación á Investigación
Instituto de Matemáticas
Quen sabe trisecar un ángulo?
Ana Belén Rodríguez Raposo
Departamento de Álxebra 20 de febreiro de 2008
Resumo
Para atopar a orixe do problema da trisección do ángulo temos que remontarnos á época grega, en torno ao 300 a.C. Nese momento a xeometría vivía un dos seus puntos álxidos coa aparición dos famosos Elementos de Euclides. Recordemos que, a parte de ser o primeiro tratado “moderno" de matemáticas, é un abraiante re- sumo de case todo o saber matemático da Grecia clásica. Eran moitos os problemas xeométricos que se resolvían neste tratado. Entre eles, descríbese a forma de calcular xeometricamente a bisectriz dun ángulo. É importante remarcar que con xeometri- camente nos referimos á construcción con regra e compás. De feito, a xeometría de Euclides pode pensarse coma a xeometría da regra e o compás.
Así, e en vista de que bisecar un ángulo resultaba moi sinxelo dentro dos axiomas de Euclides, naceu a pregunta de como se facía a trisección do ángulo, é dicir, como se podía dividir un ángulo arbitrario en tres partes iguais utilizando só regra e compás.
O problema, de enunciado sinxelo, resultou non ter unha solución tan inmediata como era de esperar, e a comunidade matemática comezou a preguntarse se era efectivamente posible realizar esta construcción con regra e compás, ou se pola contra non era factible.
Euclides non sabe trisecar un ángulo!
A solución tivo que agardar varios centos de anos, ata que o estudio da resolución de ecuacións polinómicas e dos corpos que se xeneran nesta resolución estivo o su- ficientemente desenvolvido. Antes de obter, entón, unha resposta ao noso problema teremos que recordar uns cantos conceptos de álxebra conmutativa, que nos permi- tirán alxebrizar o problema e obter de forma sinxela unha solución que se resistiu para a xeometría pura.
Supoñamos que temos un polinomio f ∈ K[x], sendo K un corpo conmutativo.
Para que este polinomio teña unha raíz ou cero no corpo K debe existir un elemento α ∈ K tal que f (α) = 0. Pero se isto non sucede non quere dicir que o polinomio f non teña raíces, senón que non estamos escollendo un corpo suficientemente grande onde buscar as súas solucións. Pensemos no polinomio f = x2+1 ∈ Q[x]. Claramente
Palabras Clave: Trisección dun ángulo, constructibilidade de números, axiomas da xeometría.
15
16 SII Quen sabe trisecar un ángulo?
as raíces deste polinomio non son elementos de Q, pero se tomamos i ∈ C si obtemos que f (i) = 0. Ten sentido, entón, preguntarnos como podemos atopar un corpo no que estean tódalas raíces dun polinomio, e incluso a súa relación co corpo base.
Definición 1. Consideremos F e K corpos.
Unha extensión de corpos é un homomorfismo f : K → F de corpos. Esta extensión denotarémola como F |K.
A dimensión de F coma K-espacio vectorial chámase grao da extensión, e deno- tarémola mediante [F : K]. Se o grao da extensión é finito diremos que a extensión é finita.
Se f : K → F é unha extensión de corpos e α ∈ F , defínese K(α) coma o menor corpo que contén a K e a α. Nótese que K(α)|K é unha extensión de corpos.
Proposición 2. Sexan F : K e E : F dúas extensións de corpos finitas. Entón verifícase que [E : K] = [E : F ] · [F : K].
O seguinte paso será relacionar estes coñecementos sobre extensións de corpos ó problema da resolución de ecuacións polinómicas. Recordemos que dado un poli- nomio f ∈ K[x] as súas raíces non teñen por que ser elementos de K. Así definimos:
Definición 3. Sexa F |K unha extensión de corpos. Un elemento α ∈ F é alxébrico sobre K se existe un polinomio f ∈ K[x] tal que f (α) = 0. Un elemento α ∈ F é transcendente se non é alxébrico.
Se α ∈ F é alxébrico sobre K, chamámoslle polinomio irreducible de α sobre K ao polinomio irreducible f ∈ K[x] tal que f (α) = 0. Este polinomio é único.
A nosa próxima tarefa será obter unha relación entre o grao do polinomio e a dimensión do corpo K(α).
Proposición 4. Sexa F |K unha extensión de corpos, e α ∈ F alxébrico. Entón, se f ∈ K[x] é o polinomio irreducible de α sobre K, tense que [K(α) : K] = grao f .
Unha vez que temos esta base alxébrica teórica utilizarémola para estudiar a constructibilidade de figuras xeométricas. Para isto basearémonos nos axiomas de Euclides, é dicir, nas construccións con regra e compás. A partir de aquí considera- remos que o corpo K é Q.
Como o que queremos é estudiar a constructibilidade con regra e compás, o que teremos que facer é traducir estas construccións á linguaxe alxébrica. Se identifi- camos as rectas con polinomios de grao 1 e as circunferencias con (certos) polinomios de grao 2, poderemos aplicar os nosos coñecementos alxébricos para tratar problemas provenientes da xeometría de Euclides, e sempre sen saírnos dos seus cinco axiomas.
Se partimos de Q permitiremos só os números reais que proveñan de interseccións de dúas rectas, de unha recta e unha circunferencia ou de dúas circunferencias, e permitiremos que este proceso sexa iterativo.
Definición 5. Un número real α e absolutamente constructible se é raíz dun poli- nomio con coeficientes racionais que proveña dunha ecuación dunha intersección de dúas rectas, dunha recta e unha circunferencia ou de dúas circunferencias.
Ana Belén Rodríguez Raposo SII 17
Un número real α é constructible se existe unha torre de corpos Q0 = Q ⊆ Q1 ⊆ ··· ⊆ Qn
tales que Qi= Qi−1(αi), onde αi é absolutamente constructible sobre Qi−1.
Nótese que cada un dos pasos Qi|Qi−1 provén da obtención dun novo punto intermedio mediante os procesos permitidos, co cal debe ter grao 1 ou 2, dependendo se intervén unha circunferencia ou non. Tense entón:
Teorema 6. Sexa α un número real constructible. Verifícase que:
[Q(α) : Q] = 2k, k ∈ N.
Parece que este é o resultado axeitado para ver que, en efecto, a trisección dun ángulo non é posible con regra e compás. Consideremos o ángulo π3, e vexamos que en efecto non se pode trisecar. Primeiro observemos que, dado un ángulo α, a súa constructibilidade e a do seu seno son equivalentes, xa que bastaría construír o triángulo rectángulo de hipotenusa 1 e construír un dos catetos medindo senα. Logo se probamos que senπ9 non é constructible obteremos que non é posible trisecar o ángulo π3. Atoparemos pois un polinomio irreducible sobre Q de grao 3 que teña por raíz ao número l = senπ9. Utilizando fórmulas trigonométricas elementais obtense que:
senπ
3 = −4sen3π
9 + 3senπ 9, de onde obtemos o polinomio:
f = 4x3− 3x + 1 2,
que é claramente un polinomio de Q[x], que ten por raíz ao número l e que ademais é irreducible sobre Q. Así
[Q(l) : Q] = 3 co cal l non pode construírse con regra e compás.
A trisección mediante os axiomas da papiroflexia
Logo non é posible trisecar un ángulo? A resposta é, evidentemente, si, pero necesitamos algún axioma máis aló dos cinco euclidianos. Son coñecidas algunhas curvas trisectrices, como a espiral de Arquímedes [1] ou a trisectriz de Hipias [2].
A parte destas famosas trisectrices existe outra maneira moi sinxela de trisecar un ángulo, que é usando a papiroflexia.
Pódese construír unha xeometría das dobleces do papel, que se basea en 6 axiomas que conteñen (ou implican) aos de Euclides, pero que van máis aló [3]. O axioma que a diferencia da xeometría euclídea é o seguinte:
Dados dous puntos P1 e P2 e dúas rectas L1 e L2, existe unha única doblez que leva P1 sobre L1 e P2 sobre L2.
18 SII Quen sabe trisecar un ángulo?
Esta doblez, trasladada á linguaxe de ecuacións, é solución dunha ecuación de grao 3, co cal estes axiomas non son equivalentes aos de Euclides, aínda que os conteñen. É este axioma o que nos permite obter a trisección dun ángulo arbitrario de forma máis ou menos sinxela. En [3] podes atopar como facelo.
Bibliografía
[1] http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Exposiciones/ExpoDe/AntonioPerez /HistoriaMate/Arquimedes.asp
[2] http://descartes.cnice.mec.es/materiales-didacticos/trisectrices-pge /hipias.html
[3] José Ignacio Royo, Matemáticas, Papiroflexia y balones de fútbol, en
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/TestuakOnLine/01-02/PG01-02-royo.pdf
Seminario de Iniciación á Investigación
Instituto de Matemáticas
Algunas aportaciones probabilísticas a la genética forense
Manuel García Magariños
Departamento de Estatística e Investigación Operativa 5 de Marzo de 2008
Resumen
Introducción
Prácticamente desde el nacimiento de la medicina como ciencia propiamente dicha, las matemáticas, y más concretamente, la estadística, destacaron como he- rramientas esenciales a la hora de afrontar aquellos estudios que involucraban canti- dades más o menos altas de información a partir de la cual se pretendiese obtener un resultado analítico. En el campo de la genética forense y, dentro de este campo, en las pruebas de paternidad, la realidad no es distinta. Una prueba de paternidad es aquella que tiene como objeto probar la paternidad, esto es, determinar el parentesco ascendente en primer grado entre un individuo y un hombre (presunto padre). Los métodos para determinar esta relación han evolucionado desde la simple convivencia con la madre, la comparación de rasgos, tipo de sangre ABO, análisis de proteínas y antígenos HLA. Actualmente la prueba idónea es la prueba genética basándose en polimorfismo de regiones STR.
Los polimorfismos genéticos hacen referencia a aquellas regiones del genoma para las cuales existe variabilidad entre los seres humanos. Son aproximadamente un 1 % del ADN y existen diferentes tipos, aunque los más usados tradicionalmente en los estudios forenses son los Short Tandem Repeats (STRs). Los STRs son secuencias de nucleótidos que se repiten un cierto número de veces en una posición del genoma.
Cada individuo posee un par de números de repeticiones (e.g. 10-12) de cada STR, heredado cada uno de un progenitor. Como alternativa o complemento a los STRs, han surgido en los últimos tiempos los Single Nucleotide Polymorphisms (SNPs).
Estos son variaciones en la secuencia de ADN que afectan a un único nucleótido en una determinada posición. Cuando existen dos posibilidades (e.g. C o T) se denomi- nan SNPs bialélicos. Al igual que con los STRs, se hereda una cadena nucleotídica de cada progenitor, de modo que en cada individuo se pueden dar 3 diferentes posibilidades (e.g. CC, CT o TT). Cada una de las variantes en un posible SNP ha de darse al menos en un 1 % de la población; de lo contrario, se considera que estamos ante una mutación.
Palabras Clave: genética; paternidad; polimorfismo; STR; SNP; teorema de las probabili- dades totales.
19
20 SII Algunas aportaciones probabilísticas a la genética forense
Los STRs, como marcadores de referencia en pruebas de paternidad, se agrupan en los diferentes kits comerciales normalmente usados para llevarlas a cabo. Los más comunes son
Minifiler (8 STRs) Profiler Plus (9 STRs) Identifiler (15 STRs) PowerPlex (15 STRs)
Identifiler + PowerPlex (17 STRs)
De forma adicional, en algunas ocasiones pueden ser usados algunos STRs suple- mentarios. Las pruebas de paternidad llevadas a cabo mediante estos kits dan lugar generalmente a resultados para los que, bien positivos, bien negativos, no existe duda razonable posible. Sin embargo, en algunos casos, las pruebas de paternidad pueden ofrecer resultados ambiguos, para los que no se puede asegurar taxativamente la paternidad o la exclusión. Estos problemas se circunscriben en muchas ocasiones a casos en los que, por unas circunstancias u otras, se estudia la paternidad de un individuo a través de un familiar cercano, generalmente un hermano biológico (tío).
Nuestra hipótesis de trabajo es que la adición de un set de 52 SNPs puede pro- porcionar la información necesaria para resolver aquellos casos en que los STRs dan lugar a resultados ambiguos. Para contrastarla, hemos llevado a cabo dos estudios de simulación, que explicamos en el siguiente apartado.
Simulación
En un primer estudio se simularon, a partir de las frecuencias poblacionales y las tasas de mutación en cada marcador, 10.000 individuos que representan el papel de tíos (hermanos biológicos del verdadero padre), y se calculó la probabilidad P (B) de que para dichos individuos no se encuentre exclusión alguna en el conjunto de marcadores.
En un segundo estudio de simulación, y usando de nuevo datos genéticos pobla- cionales, se obtuvieron alrededor de 6.600 pedigrís de familias como el que se aprecia en la figura 1. Para ello, se comenzó simulando, del mismo modo que en el primer estudio, a los tres individuos independientes (abuelo, abuela y madre), en el sentido de que en su caso no se dispone de sus antecedentes familiares. Posteriormente, se realizan los cruces simulados correspondientes, lo cual da lugar al trío de individuos hijo-padre-tío. Tomando los datos del hijo y el tío se obtiene el índice de paternidad, contrastando la hipótesis de éste último como presunto padre.
Se han obtenido tanto los P (B) como los índices de paternidad correspondientes a los diferentes kits y diferentes agrupaciones de marcadores, con el objetivo de comparar posteriormente los resultados. Todos estos modelos de simulación han sido programados en R, software estadístico gratuito y de libre distribución.
Manuel García Magariños SII 21
Figura 1: Pedigrí simulado
Métodos probabilísticos
En el primer estudio, se comienza obteniendo la probabilidad de no exclusión en cada marcador i (STR o SNP), P (Bi), usando el teorema de las probabilidades totales, que, aplicado a este caso particular, dice
P (Bi) = P (Bi|C1)P (C1) + P (Bi|C2)P (C2) + P (Bi|C3)P (C3)
siendo C1, C2 y C3 las tres posibles situaciones por las cuales dos hermanos biológi- cos comparten 2, 1 o ninguno de los alelos heredados en cada marcador, con probabi- lidades 0.25, 0.5 y 0.25 respectivamente. De esta forma, y debido a la independencia de los marcadores, la probabilidad de no exclusión en el conjunto correspondiente de marcadores, P (B), es igual al producto de las probabilidades de no exclusión en cada marcador
P (B) =Y P (Bi)
En el segundo estudio, y para cada pedigrí, se obtiene el índice de paternidad del tío como el cociente
IP = P (E|H1) P (E|H2)
siendo E los genotipos de padre y tío, y H1 y H2 las hipótesis que afirman que el tío es el verdadero padre y que no lo es, respectivamente.
Resultados
La figura 2 contiene una tabla con los resultados de probabilidad media de no exclusión, P (B), e índices de paternidad obtenidos para diferentes agrupaciones de marcadores genéticos. En lo que respecta al IP, se reportan las proporciones de valores (en el total de 6.600 pedigrís) mayores que 1, puesto que este es el valor a partir del cual la probabilidad de que el tío sea considerado padre es mayor que la de que no lo sea. De todos modos, es obligado aclarar que un IP>1 no es suficiente para que un individuo sea considerado como padre en una prueba. Se aprecia en los resultados que tanto la adición del set de 52 SNPs como la de 4 STRs suplementarios reducen considerablemente las probabilidades de cometer un error en este tipo de pruebas, algo fundamental, entendiendo todo lo que está en juego.
La figura 3 se obtiene a partir de los logaritmos base 10 de los IPs ordenados de menor a mayor a lo largo de los aproximadamente 6.600 pedigrís, para las diferentes
22 SII Algunas aportaciones probabilísticas a la genética forense
agrupaciones de marcadores que se muestran en la figura 2. Dado que se reportan las IPs de individuos que no son el padre, los mejores resultados serán los de aquellos conjuntos de marcadores cuyos valores sean menores. Lo más reseñable en esta figura es que se aprecia que los resultados del set de 52 SNPs son mejores que los del kit Identifiler + PowerPlex (17 STRs), el más potente de los usados comúnmente, y muy similares a los que se obtienen añadiendo a dicho kit 4 STRs suplementarios.
En base a los resultados obtenidos, se puede por tanto afirmar que la adición de un set de 52 SNPs es necesaria en estudios de paternidad que involucren a familiares del presunto padre, aun a pesar del incremento económico que ello suponga.
Figura 2: Probabilidades medias de no exclusión y resultados de IP para las diferentes agrupaciones de marcadores genéticos utilizados.
Figura 3: Logaritmos base 10 ordenados de menor a mayor de los 6600 IPs obtenidos en los pedigrís simulados para las diferentes agrupaciones de marcadores genéticos utilizados. Los mejores resultados son los de aquellos conjuntos de marcadores cuyos valores están por debajo.
Seminario de Iniciación á Investigación
Instituto de Matemáticas
El teorema de Hedlund. Flujos minimales y curvatura negativa
Carlos Meniño Cotón
Departamento de Xeometría e Topoloxía 19 de Marzo de 2008
Resumen
Dentro de la teoría de sistemas dinámicos cobra especial importancia la detección de aplicaciones y flujos minimales. Surge de modo natural esta cuestión en el estudio de los conjuntos minimales (cerrados densos que son minimales para la relación de inclusión).
Recordamos que un flujo (o sistema dinámico) sobre un espacio topológico X es una acción Φ : R × X → X . Al conjunto Φ(R × {x}) se le denomina órbita que pasa por x. Un flujo se dice minimal si todas sus órbitas son densas en X. Un homeomorfismo f se dice minimal si la Z-acción que induce, (n, x) 7→ fn(x), es tal que todas sus órbitas son densas.
Ejemplo 1. Una rotación de ángulo 2πα, con α irracional, es una aplicación mi- nimal en S1. El sistema dinámico en el toro inducido por las rectas de pendiente irracional en el plano es un flujo minimal.
Aunque ambos conceptos están relacionados, no son equivalentes y, en general, se usan técnicas distintas para detectarlos. Como muestra de la complejidad del tema diremos que todavía no se sabe si existen flujos minimales sobre S3 (conjetura de Gottschalk) pero sí se sabe que existen aplicaciones minimales sobre todas las esferas de dimensión impar [1].
Todo sistema dinámico sobre la botella de Klein tiene necesariamente una órbita periódica y por tanto no admite flujos minimales [3]. En consecuencia, los flujos minimales permiten distinguir la botella de Klein del toro de dimensión 2.
La cuestión que abordamos ahora es cómo influye la curvatura a esta cuestión, el resultado en este sentido es el que obtuvo Hedlund en 1936 [2]. Antes de enunciarlo repasaremos algo de geometría hiperbólica.
Palabras Clave: Flujo minimal, Plano hiperbólico, Horociclo, Fibrado Unitario
23
24 SII El teorema de Hedlund. Flujos minimales y curvatura negativa
Previos en geometría hiperbólica
Definición 2. El disco de Poincaré es la variedad de Riemann definida sobre el disco abierto de radio 1 del plano complejo con la métrica
ds2 = 4|dz|
(1 − zz)2 .
El modelo del semiplano viene dado en el semiplano superior complejo con la métrica dada por la densidad λ(z) = 1/im(z). El punto del infinito forma parte de este modelo.
Ambos modelos son isométricos, forman el plano hiperbólico, que denotamos H, y tienen distintas ventajas e inconvenientes.
Poincaré demostró que el grupo de isometrías del plano hiperbólico que conservan la orientación coincide con el grupo de Lie
P SL(2, R) = {A ∈ M2 | det(A) = 1}/{I, −I} ,
(las que no conservan orientación son de la forma az+ccz+a con |a|2− |c|2 = 1).
Definición 3 (Transformaciones elementales del plano hiperbólico). Existen trans- formaciones sencillas del plano hiperbólico que generan el resto de isometrías orien- tadas.
(a) Transformaciones parabólicas. Las que fijan un punto del plano hiperbólico.
Son conjugadas a traslaciones horizontales en el modelo del semiplano.
(b) Transformaciones elípticas. Son las conjugadas a rotaciones en el modelo del disco.
(c) Transformaciones hiperbólicas. Fijan exactamente dos puntos. Son conjugadas a homotecias en el modelo del semiplano, que fijan 0 y ∞.
Definición 4. Un grupos fuchsiano es un grupo discreto de isometrías del plano hiperbólico. Diremos que es de primera clase si está constituido por transformaciones hiperbólicas. Su conjunto límite es el círculo del infinito. Diremos que es cocompacto si el cociente del plano hiperbólico por la acción del grupo fuchsiano es compacto.
Sea (M, g) una variedad de Riemann y T M = S
p∈MTpM el fibrado tangente.
Se define el fibrado tangente unitario de M como
T1(M ) = {(p, v) ∈ T M | g(v, v) = 1} .
Carlos Meniño Cotón SII 25
Figura 1: Levantamiento de dos horociclos orientados al fibrado tangente unitario del plano hiperbólico. El levantamiento de todos los horociclos con esa orientación determina un flujo.
Flujo geodésico y flujo horocíclico
En el plano hiperbólico existen varios tipos de curvas que destacan por sus propiedades geométricas, consideramos el modelo del disco de Poincaré para su vi- sualización:
(a) Geodésicas. Círculos ortogonales al borde del círculo.
(b) Hiperciclos. Círculos que cortan en dos puntos al borde no ortogonalmente.
(c) Horociclos. Círculos tangentes al borde.
(d) Círculos hiperbólicos. Contenidos dentro del círculo.
Cada elemento del fibrado tangente unitario se puede identificar con un punto y una dirección. Por ese punto y con esa dirección pasa un único horociclo y una única geodésica (fijando una orientación). Se definen, por tanto, flujos en el fibrado tangente unitario; la línea de flujo que pasa por un elemento es la inducida por la geodésica y horociclo únicos que determina dicho elemento (ver Figura 1).
Un grupo fuchsiano Γ de primera clase y cocompacto actuando sobre el plano hiperbólico, Γ × H → H, induce una superficie de curvatura negativa constante −1.
El grupo también actúa sobre los elementos del fibrado tangente unitario, Γ × T1(H) → T1(H), (g, (p, v)) 7→ (gp, g∗pv) .
Dicha acción está bien definida puesto que el grupo actua por isometrías. Los flujos geodésico y horocíclico del fibrado tangente unitario del plano hiperbólico inducen flujos en el cociente por la acción del grupo fuchsiano. Éstos son los flujos geodésico y horocíclico respectivos de dicha superficie.
Recíprocamente se tiene que toda superficie orientada de curvatura constante −1 se obtiene como cociente del plano hiperbólico por la acción de un grupo fuchsiano de primera clase cocompacto.
26 SII El teorema de Hedlund. Flujos minimales y curvatura negativa
El flujo geodésico fue bien estudiado en los comienzos de la geometría hiperbólica y no es minimal aunque se sabe que posee órbitas densas así como órbitas periódicas.
La cuestión sobre el carácter minimal del flujo horocíclico quedó en suspenso hasta los años 30 del siglo XX, esto es precisamente el resultado de Hedlund.
Teorema 5 ([2], Teorema de Hedlund). Sea Γ un grupo fuchsiano de primera clase y cocompacto. Entonces el flujo horocíclico inducido en T1(H)/Γ = T1(H/Γ) es minimal.
La demostración se sigue usando el lema del encajonamiento en semihorociclos dados sobre un intervalo del borde del disco de Poincaré y que pasan por un punto fijo. Esto prueba la existencia de órbitas densas.
La cocompacidad se usa para probar que todos los horociclos cumplen esta propiedad, la demostración completa es larga y técnica.
Corolario 6. Para p > 1 existen superficies de curvatura negativa, cerradas y orien- tadas de género p cuyos fibrados tangentes unitarios (que son 3-variedades) admiten un flujo minimal.
El teorema de Hedlund también ofrece un contraejemplo en homología a la con- jetura de Gottschalk. Usando este teorema A. Verjovsky obtuvo una 3-variedad equivalente a S3 en homología y que admite un flujo minimal.
Bibliografía
[1] A.Fathi, M.R. Herman, Existence de difféomorphismes minimaux, Astérisque 49 (1977), 37–59.
[2] G. A. Hedlund, Fuchsian groups and transitive horocycles, Duke Math. J. 2 (1936), no. 3, 530–542.
[3] H. Kneser, Regulare Kurvensharen auf Ringflächen, Math. Ann. 91 (1924), 135–
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