Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº

Matemática & Salud

© Luis Alberto Díaz Nunja

© Edwin Cristian Julián Trujillo

© William Roberto Aguirre Samaniego Primera edición, agosto de 2021

© De esta edición

Universidad San Ignacio de Loyola Fondo Editorial

Av. La Fontana 750, La Molina Teléfono: 3171000, anexo 3705 Director: José Valdizán Ayala Coordinadora: María Olivera Cano Editor: Rafael Felices Taboada

Diagramación y portada: Sergio Pastor Segura

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2021-06461 Impresión bajo demanda

Aleph Impresiones S.R.L.

Jr. Risso 580 - Lince Agosto 2021

Tiraje 100 ejemplares

Se prohíbe la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio, sin permiso expreso del Fondo Editorial.

Díaz Nunja, Luis Alberto

Matemática & salud / Diaz Nunja, Julián Trujillo, Aguirre Samaniego -- 1a ed. -- Lima : Universidad San Ignacio de Loyola. Fondo Editorial, 2021.

p. 278: 25 cm.

ISBN: 978-612-4370-78-6

1. Funciones de variable real. 2. Series infinitas. 3. Cálculo. 4. Ecuaciones diferenciales. 5. Salud pública -- Modelos matemáticos. I. Julián Trujillo, Edwin Cristian. II. Aguirre Samaniego, William Roberto

614.4 D68

ÍNDICE

Prefacio 9

Unidad I

FUNCIONES REALES DE

VARIABLE REAL 11

SESIÓN 1.1.

Función real de variable

real: definición, dominio y rango 13

SESIÓN 1.2.

Características de una función: monotonía,

evaluación de funciones 19

SESIÓN 1.3.

Función par e impar.

Traslaciones. 25

SESIÓN 2.1.

Función lineal y

cuadrática. Aplicaciones. 32

SESIÓN 2.2.

Función exponencial.

Aplicaciones. 39

SESIÓN 2.3

Función logística y

aplicaciones a la medicina 45

SESIÓN 3.1

Función logaritmo. Aplicaciones. 53

SESIÓN 3.2.

Función trigonométrica seno 60

SESIÓN 3.3.

Función trigonométrica coseno 66

SESIÓN 4.1.

Aplicaciones de las

funciones trigonométricas

seno y coseno a la medicina 72

Unidad II

LÍMITES Y CONTINUIDAD 77

SESIÓN 4.2.

Límites de una función.

límites laterales. Propiedades. 79

SESIÓN 4.3.

Límites trigonométricos 86

SESIÓN 5.1.

Límites al infinito - asíntotas 90

SESIÓN 5.2.

Límites algebraicos,

polinómicas y racionales 97

SESIÓN 5.3.

Límites exponenciales 101

SESIÓN 6.1.

Continuidad de funciones 107

SESIÓN 6.2.

Tipos de discontinuidad 113

SESIÓN 6.3.

Aplicaciones 117

Unidad III

DERIVADAS E INTEGRALES 125

SESIÓN 7.1.

La derivada de una

función. definición. 127

SESIÓN 7.3.

Regla de la cadena.

Interpretación geométrica

de la Derivada. 135

SESIÓN 8.1.

Derivada de orden superior: segunda derivada. Monotonía de

funciones. 140

SESIÓN 8.2.

Criterio de la primera y

segunda derivada 147

SESIÓN 8.3.

Gráfica de funciones 154

SESIÓN 9.1.

Optimización de funciones

y sus aplicaciones 162

SESIÓN 9.2.

Razón de cambio 169

SESIÓN 9.3.

Derivada de funciones

trigonométricas seno y coseno 174

SESIÓN 10.1.

Antiderivada de una función 179

SESIÓN 10.2.

Integral indefinida 183

SESIÓN 10.3.

Técnicas de integración.

Cambio de variable. 189

SESIÓN 11.1.

Técnicas de integración.

Integración por partes. 192

SESIÓN 11.2.

Técnicas de integración.

Sustitución trigonométrica. 198

SESIÓN 11.3.

Técnicas de integración.

Fracciones parciales. 202

SESIÓN 12.1.

Integral definida. Segundo teorema fundamental del

cálculo. 208

SESIÓN 12.2.

Aplicaciones de la integral

definida. Trabajo. 214

SESIÓN 12.3.

Integral definida. Área de

regiones planas. 220

SESIÓN 13.2.

Volúmenes de sólidos.

Método de arandelas. 232

SESIÓN 13.3.

Aplicaciones a contextos

reales. Trabajo. 236

Unidad IV ECUACIONES

DIFERENCIALES ORDINARIAS 243

SESIÓN 14.1.

Ecuaciones diferenciales

ordinarias de primer orden 245

SESIÓN 14.2.

Técnicas para la solución

de la edo. Variables separables. 251

SESIÓN 14.3.

EDO exactas. Factor

integrante. EDO lineales. 255

SESIÓN 15.1.

Aplicaciones de las EDO.

modelo logístico. Ley de

enfriamiento de Newton. 262

SESIÓN 15.2.

Modelo de crecimiento y decaimiento. Concepto de

la vida media. Aplicaciones. 269

Bibliografía 277

PREFACIO

E

Además, la revisión de los modelos matemáticos existentes nos da la pauta para llevar a cabo la elaboración de nuevos modelos de ecuaciones diferenciales ordinarias que apoyen la resolución de problemas específicos en el área de las Ciencias de la Salud. De esta manera contribuye a la comunidad en general, al favorecer diagnósticos tempranos y tratamientos oportunos. La combinación de las herramientas matemáticas y los conocimientos de las ciencias biológicas logrará una fusión de ciencias en beneficio de la humanidad.

En este manual del pensamiento matemático se recogen diferentes enunciados de situaciones reales que se pueden modelizar aplicando los conceptos a lo largo del tiempo. Se incluyen problemas referentes a las Funciones Matemáticas, Límites y Continuidad, Cálculo Diferencial e Integral y Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

Uno de nuestros principales objetivos es mostrarle al estudiante la utilidad de las matemáticas para comprender determinados aspectos de la realidad. Por ello, decidimos incidir en menor proporción en los aspectos teóricos, omitiendo muchas demostraciones y procurando exponer cuantiosos ejemplos. Por otro lado, remitimos a la bibliografía a quien desee consultar las demostraciones omitidas.

Todas las referencias bibliográficas corresponden a libros de mucha difusión.

Al final de cada sesión se incluye la actividad de aprendizaje autónomo, con lo que se pretende que el estudiante reafirme los conocimientos adquiridos y se ejercite en el manejo de técnicas y métodos aprendidos. Finalmente, proponemos el test de verificación de logros por cada sesión, destinado a que cada alumno valore su grado de asimilación de los objetos matemáticos estudiados.

Los autores Lima, febrero de 2021

11 Matemática & Salud

1

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

OBJETIVO GENERAL

• Resuelve problemas de contexto real estableciendo conexiones entre conceptos, estrategias heurísticas y algoritmos relacionados con el análisis funcional, elaborando modelos y comunicando resultados con una actitud reflexiva y crítica frente a una sociedad globalizada.

OBJETIVO ESPECÍFICO

• Utiliza el lenguaje simbólico, gráfico e icónico en relación con funciones reales de variable real, empleando pertinentemente las tecnologías de la información y la comunicación, con la finalidad de lograr una comunicación integral y reflexiva.

• Elabora e interpreta modelos matemáticos relacionados con las funciones, seleccionando las características relevantes de problemas y casos de contexto real, en forma autónoma y colaborativa.

• Aplica conceptos matemáticos, estrategias heurísticas y algoritmos relacionados con el análisis de funciones en la resolución de problemas contextualizados a través del desarrollo de actividades formativas.

Caso

Luis es una persona de 62 años que muestra los siguientes síntomas de salud:

alto nivel de azúcar en la sangre y en la orina, aumento de la sed y necesidad frecuente de orinar. El médico de cabecera ha diagnosticado que Luis padece de hiperglucemia.

A Luis se le realizó el examen de glucometría, que arroja un valor de 210, por lo cual se le administran 4 𝑐𝑐𝑐𝑐 de insulina, teniendo en cuenta que si el resultado arroja un valor de 100 se le administrarán 2 𝑐𝑐𝑐𝑐 de insulina.

Julián, primo de Luis, desea saber la relación entre el valor que arroja el glucómetro y la cantidad en centímetros cúbicos (𝑐𝑐𝑐𝑐) de insulina que se deben administrar. ¿Qué conceptos matemáticos necesita emplear para llegar a su objetivo?

13 Matemática & Salud

SESIÓN 1.1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL: DEFINICIÓN, DOMINIO Y RANGO

Productos farmacéuticos

Los productos farmacéuticos deben especificar las dosis recomendadas para adultos y para niños. Dos de las fórmulas que se han sugerido para obtener las dosis para niños, a partir de las de adultos, son las siguientes:

Regla de Cowling: 𝒚𝒚 =^{𝒕𝒕+𝟏𝟏}_{𝟐𝟐𝟐𝟐} 𝒂𝒂 Regla de Young: 𝒚𝒚 =_{𝒕𝒕+𝟏𝟏𝟐𝟐}^𝒕𝒕 𝒂𝒂

Donde 𝒂𝒂 denota la dosis para adultos en miligramos (mg), 𝒕𝒕 ∈]𝟎𝟎; 𝟏𝟏𝟐𝟐[ indica la edad del niño y 𝒚𝒚 la dosis para el niño en mg.

Si la dosis para un adulto de cierto fármaco es 100 mg, ¿cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente?, ¿qué valores puede tomar 𝒕𝒕?,

¿cuál sería la dosis de este fármaco para un niño de 7 años para cada regla?,

¿es posible representar estas reglas en un plano cartesiano?

Función

Sean 𝐴𝐴 y 𝐵𝐵 dos conjuntos no vacíos de ℝ. Una función representada por 𝑓𝑓 de 𝐴𝐴 en 𝐵𝐵 (𝑓𝑓: 𝐴𝐴 → 𝐵𝐵) es una regla que asigna a un elemento 𝑥𝑥 del conjunto 𝐴𝐴 un único elemento del conjunto 𝐵𝐵, denotado por 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

𝑨𝑨: Conjunto de partida.

𝑩𝑩: Conjunto de llegada.

𝒇𝒇: Nombre de la función.

El símbolo 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) denota el valor de 𝑓𝑓 en 𝑥𝑥 o la imagen de 𝑥𝑥. Asimismo, se dice que 𝑥𝑥 es la variable independiente y 𝑦𝑦 es la variable dependiente.

Observación:

Al principio se puede confundir las notaciones 𝒇𝒇 y 𝒇𝒇(𝒙𝒙). Tenga en cuenta que:

• 𝑥𝑥 es el elemento de entrada.

• 𝒇𝒇 se usa para representar a la función.

• 𝒇𝒇(𝒙𝒙) es el valor de la función en 𝑥𝑥.

A la expresión 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) se le llama regla de correspondencia.

14

Luis Díaz ∎ Edwin Julián ∎ William Aguirre

Dominio y rango de una función

Al conjunto de elementos de entrada se llama dominio de 𝑓𝑓 y se denota por 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑓𝑓). Al conjunto de valores de la función se llama rango de 𝑓𝑓 y se denota por 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑓𝑓).

Gráfica de una función

La gráfica de una función 𝒇𝒇 es el conjunto de todos los puntos (𝑥𝑥; 𝑓𝑓(𝑥𝑥)) en un sistema de coordenadas rectangulares, donde 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑓𝑓).

Actividades previas Ejemplo 1

Sea 𝑓𝑓 una función real de variable real, cuya regla de correspondencia es dada por:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 − 3

a) ¿Cómo actúa 𝑓𝑓 sobre la entrada 𝑥𝑥 para producir la salida 𝑓𝑓(𝑥𝑥)?

b) Determine el dominio y rango de la función 𝑓𝑓.

c) Determine el rango de la función 𝑓𝑓.

15 Matemática & Salud

Resolución:

a) De acuerdo con la regla de correspondencia, a cada elemento 𝑥𝑥 del dominio, la función 𝑓𝑓, saca la raíz cuadrada de 𝑥𝑥 disminuido en 3.

b) Para que la función 𝑓𝑓 esté bien definida, 𝑥𝑥 − 3 > 0

⟹ 𝑥𝑥 > 3

⟹ 𝑥𝑥 ∈ ]3; +∞[

Así 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑓𝑓) = ]3; +∞[

c) Para determinar el rango, debemos formar la función 𝑓𝑓 a partir del dominio.

Para esto consideramos 𝑥𝑥 ∈ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑓𝑓).

⟹ 𝑥𝑥 ∈ ]3; +∞[

⟹ 𝑥𝑥 > 3

⟹ 𝑥𝑥 − 3 > 0

⟹ √𝑥𝑥 − 3 > 0

⟹ 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0 Luego, 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑓𝑓) =]0;+∞[

Ejemplo 2

Dada la función 𝑟𝑟, definida por:

𝑟𝑟(𝑥𝑥) =𝑥𝑥 − 9 𝑥𝑥 − 2 Determine el dominio de la función 𝑟𝑟.

Resolución:

Para que la función 𝑟𝑟 esté bien definida, 𝑥𝑥 − 2 ≠ 0

⟹ 𝑥𝑥 ≠ 2

⟹ 𝑥𝑥 ∈ ℝ − {2}

Así 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑟𝑟) = ℝ − {2}

Ejemplo 3

Roy es estudiante de Medicina y afirma: «Las funciones ℎ y 𝑡𝑡 definidas por ℎ(𝑥𝑥) =√𝑥𝑥 − 1

√2 − 𝑥𝑥 ; 𝑡𝑡(𝑥𝑥) = Y𝑥𝑥 − 1 2 − 𝑥𝑥

tienen el mismo dominio». ¿Está de acuerdo con Roy? Justifique su respuesta.

Resolución:

Para esto, debemos hallar los dominios de cada función.

Para ℎ:

𝑥𝑥 − 1 ≥ 0 ∧ 2 − 𝑥𝑥 > 0

⟹ 𝑥𝑥 ≥ 1 ∧ 2 > 𝑥𝑥

⟹ 𝑥𝑥 ≥ 1 ∧ 𝑥𝑥 < 2

16

Luis Díaz ∎ Edwin Julián ∎ William Aguirre

⟹ 1 ≤ 𝑥𝑥 < 2

⟹ 𝑥𝑥 ∈ [1; 2[

⟹ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(ℎ) = [1; 2[

Para 𝑡𝑡:

𝑥𝑥 − 1 2 − 𝑥𝑥 ≥ 0

⟹𝑥𝑥 − 1 𝑥𝑥 − 2 ≤ 0

⟹ 𝑃𝑃𝑃𝑃: 1; 2

⟹ 1 ≤ 𝑥𝑥 < 2

⟹ 𝑥𝑥 ∈ [1; 2[

⟹ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡) = [1; 2[

Sí estoy de acuerdo, dado que tienen los mismos dominios.

Ejemplo 4

Un fármaco se elimina del organismo mediante la orina. Suponga que, para una dosis inicial de 20 mg, el modelo 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 20 `^a_bc^de representa la cantidad en miligramos del fármaco que queda en el organismo luego de 𝑡𝑡 horas. ¿Estime la cantidad del fármaco en el organismo 8 horas después de la dosis?

Resolución:

Como queremos luego de 8 horas, entonces 𝑡𝑡 = 8

⟹ 𝑓𝑓(8) = 20 g5 4i

dj

⟹ 𝑓𝑓(8) = 3,355 mg

Así, la cantidad de fármaco que queda en su organismo después de 8 horas será 3,355 mg.

Actividades de aprendizaje

1. Determine el dominio y rango de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4 + √𝑥𝑥 − 3 2. Determine el dominio 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥^l+ 2𝑥𝑥 − 15

3. Cada una de las siguientes figuras representa el gráfico de una función.

Determine el dominio y el rango en cada caso.

17 Matemática & Salud

a) b)

4. En una prueba para metabolismo de azúcar en la sangre, llevada a cabo en un intervalo de tiempo, la cantidad de azúcar en la sangre era una función del tiempo 𝑡𝑡 (medido en horas) y dada por:

𝐴𝐴(𝑡𝑡) = 3,9 + 0,2𝑡𝑡 − 0,1𝑡𝑡^l Determine la cantidad de azúcar en la sangre:

a) Al principio de la prueba.

b) Una hora después de la prueba.

c) Dos horas y media después de la prueba.

Actividades colaborativas

1. Determine el dominio de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =_mndomdb^am 2. Determine el dominio de 𝑔𝑔(𝑥𝑥) =_√omdp^lm

3. De acuerdo con las siguientes figuras, determine si corresponde a la de una función.

a) b)

4. Un granjero tiene 200 metros de cerca para delimitar un terreno rectangular.

Exprese el área 𝐴𝐴 del terreno como una función de la longitud de uno de sus lados.

18

Luis Díaz ∎ Edwin Julián ∎ William Aguirre

Test de verificación de logros

1. Determine el dominio de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =_√pdm^pq

2. Una compañía ha determinado que el costo de producir 𝑥𝑥 unidades de su producto por semana está dado por:

𝐶𝐶(𝑥𝑥) = 5000 + 6𝑥𝑥 + 0,002𝑥𝑥^l Determine el costo de producir:

a) 1000 unidades por semana.

b) 2500 unidades por semana.

c) Ninguna unidad.

Actividad de aprendizaje autónomo 1. Determine el dominio de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =_√pdm^pq 2. Determine el dominio de ℎ(𝑥𝑥) = r^odm_m+l

3. De acuerdo con las siguientes figuras, determine si corresponde a la de una función.

a) b)

4. Se corta un alambre de 20 cm de longitud en cuatro trozos para formar un rectángulo. Si 𝑥𝑥 representa el lado más corto, exprese el área del rectángulo en función de 𝑥𝑥, y determine el dominio y el rango de la función.

5. Un edificio de departamentos tiene 70 habitaciones que puede rentar en su totalidad si la renta se fija en 200 dólares al mes. Luego de un estudio de mercado se determinó que, por cada incremento de 5 dólares en la renta, una habitación quedará vacía sin posibilidad alguna de rentarla. Exprese el ingreso mensual total 𝑅𝑅 como una función 𝑥𝑥, sabiendo que 𝑥𝑥 representa el número de incrementos de 5 dólares en la renta.

6. El peso 𝒘𝒘 aproximado del cerebro de una persona es directamente proporcional al peso de su cuerpo 𝒙𝒙. Si una persona que pesa 150 libras (lb) tiene un cerebro cuyo peso aproximado es de 4 libras, determine un modelo matemático que exprese el peso 𝒘𝒘, aproximado, del cerebro (en libras) como una función del peso 𝒙𝒙 del cuerpo de la persona (en libras).

19 Matemática & Salud

SESIÓN 1.2. CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN: MONOTONÍA, EVALUACIÓN DE FUNCIONES

Peso de una persona

La gráfica que se muestra en la figura adjunta determina el peso de cierta persona en función de la edad.

¿Es posible describir el peso de esta persona a lo largo del tiempo? ¿Qué cree que ocurrió cuando esta persona tenía 30 años?

Monotonía de funciones: Función creciente y función decreciente

Sea 𝐼𝐼 un intervalo en el dominio de una función 𝑓𝑓. Decimos que:

1) 𝑓𝑓 es creciente en el intervalo 𝐼𝐼 si 𝑓𝑓(𝑎𝑎) < 𝑓𝑓(𝑏𝑏) siempre que 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏; 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ 𝐼𝐼.

2) 𝑓𝑓 es decreciente en el intervalo 𝐼𝐼 si 𝑓𝑓(𝑎𝑎) > 𝑓𝑓(𝑏𝑏) siempre que 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏; 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ 𝐼𝐼.

Observación:

Decimos que 𝑓𝑓 es monótona en el intervalo 𝐼𝐼 si 𝑓𝑓 es creciente o decreciente en 𝐼𝐼.

Intersecciones con los ejes coordenados

Para las representaciones gráficas es necesario saber las intersecciones con los ejes coordenados.

Intersección con el eje 𝑿𝑿

Hacemos 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 y hallamos el o los valores de 𝑥𝑥.

Intersección con el eje 𝒀𝒀

Hacemos 𝑥𝑥 = 0 y hallamos el valor de 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(0).

20

Luis Díaz ∎ Edwin Julián ∎ William Aguirre

Función definida por partes

Existen funciones que no pueden representarse mediante una única expresión.

Para esto es conveniente dividir el dominio en partes. Por ejemplo, si consideramos la función que les asigna a los números negativos el – 1 y a los números positivos el número 1, no podemos hallar una sola expresión para dicha función. Pero dividiendo el dominio tendríamos:

Funciones positivas y negativas

Una función 𝑓𝑓 es positiva en un intervalo 𝐼𝐼 si la gráfica está por encima del eje 𝑋𝑋 en el intervalo 𝐼𝐼, es decir 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) > 0; ∀𝑥𝑥 ∈ 𝐼𝐼.

Una función 𝑓𝑓 es negativa en un intervalo 𝐼𝐼 si la gráfica está por debajo del eje 𝑋𝑋 en el intervalo 𝐼𝐼, es decir 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) < 0; ∀𝑥𝑥 ∈ 𝐼𝐼.

Actividades previas Ejemplo 1

Si 𝑓𝑓 es una función cuya gráfica se muestra en la figura, determine los intervalos donde la función crece, decrece y donde es constante.

Resolución:

De acuerdo con el gráfico tenemos:

a) 𝑓𝑓 es creciente en el intervalo ]𝑎𝑎; 𝑏𝑏[

b) 𝑓𝑓 es constante en los intervalos ]𝑏𝑏; 𝑐𝑐[

c) 𝑓𝑓 es decreciente en los intervalos ]𝑐𝑐; 𝑑𝑑[

Ejemplo 2

Sea la función 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥^l+ 2𝑥𝑥 − 3. Determine los puntos de intersección con el eje 𝑋𝑋 y el eje 𝑌𝑌.

Resolución:

Con el eje 𝑋𝑋:

Debemos resolver la ecuación 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥^l+ 2𝑥𝑥 − 3 = 0.

⟹ 𝑥𝑥^l+ 2𝑥𝑥 − 3 = 0

⟹ (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 3) = 0

⟹ 𝑥𝑥 = −3 y 𝑥𝑥 = 1

î í ì

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= -

0 1

0 1

x si

x ) si

x

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