Introducción a la Geometría algebraica

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Introducci´ on a la Geometr´ıa algebraica

Iv´ an Pan

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Variedades afines

1. Conjuntos algebraicos afines versus ideales

Comenzamos recordando algunas nociones básicas de Álgebra Conmutativa. Por simplicidad un Anillo siempre será un Anillo Conmutativo con Unidad.

1.1. Anillos noetherianos.

Proposici´on-Definici´on 1.1. Para un anillo A, las siguientes condiciones son equivalentes:

(1) Todo ideal I ⊂ A es finitamente generado, i.e., existen f₁, . . . , f_` ∈ A tales que I = (f₁, . . . , f_`).

(2) Toda cadena ascendente I₁ ⊂ I₂ ⊂ · · · ⊂ I_m ⊂ · · · de ideales de A estabiliza, i.e., existe N tal que I_N = I_{N +1} = · · · ; en este caso decimos que vale la condici´on de cadena ascendente (c.c.a).

(3) Toda familia no vac´ıa de ideales de A posee un elemento m´aximo.

En el caso de las condiciones equivalentes, decimos que A es noetheriano.

Proof. Ver [AM, Chap. 6]

Ejemplos 1.2.

a) Todo cuerpo es noetheriano ya que tiene apenas dos ideales.

b) Todo Dominio de Ideales Principales (DIP) es noetheriano, puesto que todo ideal de un tal anillo es, por definición, generado por un único elemento. Los ejemplos más importantes de DIP son el anillo de los números enteros Z y el anillo de polinomios en una variable k[x] donde k es un cuerpo arbitrario.

c) El anillo de polinomios con infinitas indeterminadas k[x₁, x₂, x₃. . .] no es noetheriano, pues la cadena de ideales

(x₁) ⊂ (x₁, x₂) ⊂ (x₁, x₂, x₃) ⊂ · no estabiliza.

d) Si A es noetheriano e I ⊂ A es un ideal, el anillo cociente A/I es noetheriano, como sigue f´acilmente de la c.c.a gracias a la correspondencia entre ideales de A/I e ideales de A que contienen I.

Teorema 1.3 (de la Base, de Hilbert). Si A es noetheriano, entonces A[x1, . . . , xn] tambi´en lo es, para n = 1, 2, . . .

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Proof. Ver [AM, Chap. 7]. Corolario 1.4. Sean k un cuerpo y n ∈ N un entero positivo. Si I ⊂ k[x1, . . . , x_n] es un ideal, entonces I es finitamente generado y el cociente k[x1, . . . , xn]/I es un anillo noetheriano.

1.2. Correspondencia V. Fijemos un cuerpo k y designemos A el anillo de polinomios k[x1, . . . , xn]. Si J ⊂ A es un ideal, definimos el conjunto algebraico af´ın asociado a J , que anotaremos V(J ), como siendo el conjunto de ceros comunes a todos los elementos de J , esto es,

V(J) := {p ∈ kⁿ: f (p) = 0, ∀ f ∈ J }.

Proposici´on-Definici´on 1.5. Sean I, J, Iλ ⊂ A = k[x₁, . . . , x_n] ideales, donde λ var´ıa en una familia de ´ındices Λ. Tenemos:

a) V((0)) = kⁿ, V(A) = ∅.

b) I ⊂ J ⇒ V(I) ⊃ V(J ).

c) V(I ∩ J ) = V(I) ∪ V(J ) d) V P

λ∈ΛI_λ = ∩_λ∈ΛV(I_λ)

En particular la familia de subconjuntos algebraicos afines es la familia de cerrados de una ´unica topolog´ıa en kⁿ, que llamaremos la Topolog´ıa de Zariski de kⁿ. El espacio af´ın de dimensi´on n, que anotaremos Aⁿk, es el conjunto kⁿ equipado con su topolog´ıa de Zariski.

Proof. La afirmaci´on a) es inmediata. Para demostrar b) tomamos un punto p ∈ V(J ) y un polinomio f ∈ I. Como f ∈ J , concluimos f (p) = 0; por lo tanto p ∈ V(I), como quer´ıamos.

Ahora consideremos la afirmaci´on c). Como I ∩ J ⊂ I, de b) deducimos V(I ∩ J ) ⊃ V(I);

de manera an´aloga V(I ∩ J ) ⊃ V(J ); por lo tanto V(I ∩ J ) ⊃ V(I) ∩ V(J ). Rec´ıprocamente, supongamos que exista p ∈ V(I ∩J ) tal que p 6∈ V(I)∩V(J ); sin p´erdida de generalidad podemos suponer p 6∈ V(I). Entonces existe f ∈ I tal que f (p) 6= 0. Si g ∈ J , entonces f g ∈ I ∩ J , por lo tanto f (p)g(p) = 0, de donde concluimos g(p) = 0. Como g es arbitrario en J deducimos p ∈ V(J ).

Finalmente, la afirmaci´on d) es consecuencia directa de la definici´on del ideal sumaP

λ∈ΛI_λ: un elemento de este ideal es una suma finita de elementos de la forma f_λ₁ + · · · + f_λ_r con f_λ_i ∈ I_λ_i, i = 1, . . . , r.

Cuando no haya lugar a confusi´on en relaci´on al cuerpo de base, escribiremos Aⁿ en lugar de Aⁿk.

Por el Teorema de la Base, todo ideal J de A es de la forma J = (f₁, . . . , f_`) para ciertos polinomios f_i ∈ A. En otras palabras, J es suma finita de los ideales principales (f_i), i = 1, . . . , `.

Entonces V(I) = V((f₁, . . . , f_`)) = ∩^`_i=1V((f_i)).

Por simplicidad escribiremos V(f1, . . . , f`) := V((f1, . . . , f`)).

Ejemplos 1.6.

a) Caso n = 1. En k[x] un ideal I es generado por un polinomio f . Por lo tanto V(I) es el conjunto de ra´ıces de f . Concluimos que los cerrados de A¹ son ∅, A¹ y los conjuntos finitos.

Cuando k = R o k = C la topolog´ıa usual es m´as fina que la topolog´ıa de Zariski.

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b) Caso n arbitrario. Un abierto no vac´ıo de Aⁿk es el complemento de una uni´on finita de conjuntos de la forma V(f ) donde f ∈ A = k[x₁, . . . , x_n], f 6∈ k.

Si k = R o k = C, los polinomios son continuos en la topolog´ıa usual y por lo tanto V(f ) = f⁻¹(0) es cerrado para todo f ∈ A de donde concluimos que la topolog´ıa usual contiene a la topolog´ıa de Zariski. De hecho, esta contención es estricta. En efecto, a semejanza de lo que vimos en el caso n = 1, todo abierto no vac´ıo en relación a la topolog´ıa de Zariski es denso en la topolog´ıa usual: si p ∈ Aⁿ es un cero de un polinomio f , digamos, existe una recta L que pasa por p y que no está contenida en V(f ), a menos que f sea nulo; entonces p está en la adherencia de Aⁿ− V(f ), ya que L es homeomorfo a k (= R o C) con respecto a la topolog´ıa usual y #V(f ) ∩ L < ∞.

c) Si I ⊂ k[x₁, . . . , x_n], entonces V(I^`) = V(I), para ` ≥ 1.

Observación 1.7. Utilizando los ejemplos a) y b) de 1.6 sigue inmediatamente que la función polinomial kⁿ → k asociada a un polinomio define una función Aⁿ → A¹ que es continua en relación a la topolog´ıa de Zariski.

El operador V establece una correspondencia

{I; I es ideal de A} −→ {V ; V es subconjunto cerrado de Aⁿ}, I 7→ V(I)

que invierte las inclusiones. El ejemplo c) de 1.6 nos muestra que esta correspondencia no es inyectiva.

1.3. La correspondencia I. Si X ⊂ Aⁿ es un subconjunto arbitrario, definimos el ideal de anulaci´on de X como el subconjunto de A = k[x₁, . . . , x_n] siguiente:

I(X) := {f ∈ A : f (x) = 0, ∀ x ∈ X};

se verifica inmediatamente que I(X) es un ideal de A, lo que justifica su denominaci´on.

Proposici´on 1.8. Sean J ⊂ A = k[x1, . . . , x_n] un ideal y X, Y ⊂ Aⁿ = Aⁿk subconjuntos.

Tenemos las siguientes afirmaciones:

a) X ⊂ Y ⇒ I(X) ⊃ I(Y ).

b) X ⊂ V(I(X)); m´as aun, vale la igualdad si y s´olo si X es un conjunto algebraico af´ın.

c) J ⊂ I(V(J )).

Proof. La afirmaci´on a), as´ı como las inclusiones en b) y c), son consecuencia directa de las definiciones correspondientes. Por otro lado, si X = V(I(X)), es claro que X es algebraico af´ın.

Supongamos, para terminar, que X es un conjunto algebraico af´ın, digamos X = V(I) para un ideal I ⊂ A. Entonces I ⊂ I(X), por c). Concluimos X = V(I) ⊃ V(I(X)), de donde sigue

el resultado.

Ejemplos 1.9.

a) Si Zⁿ ⊂ kⁿ (lo que ocurre si y sólo si Car(k) = 0), entonces tiene sentido preguntarse sobre el ideal I(Zⁿ). La respuesta es I(Zⁿ) = 0, lo que sigue fácilmente por inducción en n. En particular deducimos que Zⁿ no es un conjunto algebraico af´ın.

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b) Si (a1, . . . , an) ∈ Aⁿ, entonces I({(a1, . . . , an)}) es el ideal (x1 − a1, . . . , xn− an) (inducci´on en n, por ejemplo).

c) Si J = (x^r₁¹, . . . , x^r_nⁿ), r_i ≥ 1, entonces I(V(J)) = (x₁, . . . , x_n).

Corolario 1.10. Toda cadena (decreciente) de subconjuntos algebraicos afines X₁ ⊃ X₂ ⊃ · · · ⊃ X_n⊃ · · ·

estabiliza.

Proof. Es consecuencia directa de la proposici´on junto con la c.c.a de ideales en k[x₁, . . . , x_n].

El corolario precedente es evocado diciendo que la familia de conjuntos algebraicos afines satisface la condición de cadena descendente (c.c.d). No es dif´ıcil de demostrar que esta condición es equivalente a decir que toda familia no vac´ıa de conjuntos algebraicos afines posee un elemento m´ınimo. Esta equivalencia no es más que la versión “geométrica” de la Proposición-Definición 1.1.

Si J es un ideal en un anillo A, la ra´ız de J es por definici´on el conjunto

√

J := {f ∈ A : f^` ∈ J para un ` > 0};

es un ejercicio mostrar que √

J es un ideal de A. Se dice que el ideal J es radical si coincide con su ra´ız.

Observaci´on 1.11. Si X ⊂ Aⁿ, entonces I(X) es un ideal radical: en efecto, si f^` se anula en todo punto de X, entonces f tambi´en lo hace.

Otros ejemplos importantes de ideales radicales son los ideales primos: recordemos que un ideal I de A es primo si I 6= A y dados a, b ∈ A con ab ∈ I, tenemos a ∈ I o b ∈ I. De manera equivalente, I es primo si y s´olo si A/I es un dominio de integridad.

Recordemos tambi´en que entre los ideales primos de un anillo existe una familia particular- mente importante de ideales que son los ideales maximales: I es maximal si I 6= A y dado un ideal J con I ( J ⊂ A, tenemos J = A. De manera equivalente, I es maximal si y s´olo si A/I es un cuerpo.

Se puede también dar una caracterización del hecho de un ideal ser radical en términos de anillos cociente: un ideal I de A es radical si y sólo si A/I no tiene elementos nilpotentes (un elemento b de un anillo B se dice que es nilpotente si b^` = 0 para cierto ` > 0). Dejamos la justificación de esta afirmación como ejercicio para el lector.

Ejemplos 1.12.

a) Si a = (a₁, . . . , a_n) ∈ Aⁿ, el ideal M_a = (x₁− a₁, . . . , x_n− a_n) es el n´ucleo del homomorfismo sobreyectivo _a : k[x₁, . . . , x_n] → k definido por _a(f ) = f (a). En particular M_a es un ideal maximal.

b) Si f ∈ k[x₁, . . . , x_n] es un polinomio irreducible, entonces el ideal principal (f ) es un ideal primo, ya que k[x₁, . . . , x_n] es un dominio de factorizaci´on ´unica (DFU).

c) x²+ 1 genera un ideal maximal en R[x] pero no en C[x].

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El operador I establece una correspondencia

{V ; V es subconjunto algebraico af´ın de Aⁿ} −→ {I; I es ideal radical de A}, V 7→ I(V ) que invierte las inclusiones. La proposici´on 1.8 nos dice que V ◦ I = id y en particular que I es inyectiva.

Si restringimos V a la familia de ideales radicales y suponemos que k es algebraicamente cerrado, como veremos, I ◦ V = id. Para esto precisamos todav´ıa de otro importante teorema de Hilbert que describe los ideales radicales del anillo de polinomios sobre un tal cuerpo.

No obstante, postergaremos la demostración de este resultado para la próxima sección y dedi- caremos el resto de la presente a introducir la noción de cerrado irreducible y obtener algunos resultados relativos a esta noción; el lector podrá, a partir de eso, vislumbrar la existencia de un v´ınculo estrecho entre la estructura geométrica de los conjuntos algebraicos afines y la estructura algebraica de sus ideales asociados.

Terminolog´ıa 1.13. Un cerrado af´ın de Aⁿ, o simplemente un cerrado de Aⁿ, es un subconjunto cerrado en la topolog´ıa de Zariski. De esta forma, los cerrados afines de Aⁿson exactamente los conjuntos algebraicos afines de Aⁿ.

Definici´on 1.14. Un conjunto cerrado X ⊂ Aⁿk es irreducible si no puede ser escrito como uni´on de dos subconjuntos cerrados propios.

Claramente ∅ es un cerrado irreducible.

Proposici´on 1.15. Sea X ⊂ Aⁿ un cerrado no vac´ıo, tal que X 6= Aⁿ. Entonces X es irreducible si y s´olo si I(X) es un ideal primo.

Proof. Supongamos, por absurdo, que I(X) no sea primo. Entonces, existen f₁, f₂ ∈ k[x₁, . . . , x_n]\I(X) tales que f₁f₂ ∈ I(X). Luego V(f₁f₂) = V(f₁) ∪ V(f₂) ⊃ V(I(X)) = X.

Definiendo V_i := X ∩ V (f_i), i = 1, 2, que son conjuntos cerrados, obtenemos una descomposici´on X = V1∪ V2 con V1 ( X, i = 1, 2. Esto prueba la afirmaci´on directa.

Rec´ıprocamente, supongamos X = V₁∪V₂, con V₁, V₂ cerrados distintos de X. Como V_i ( X, entonces existe f_i ∈ I(V_i)\I(X), i = 1, 2, gracias a a) y b) de la proposici´on 1.8. Por otro lado f₁f₂ ∈ I(X), lo que muestra que I(X) no es irreducible y termina la prueba.

Ejemplos 1.16.

a) Si p = (p1, . . . , pn) ∈ Aⁿk, entonces I({p}) es un ideal maximal, por lo tanto todo punto de Aⁿk

es un cerrado irreducible.

b) Aⁿk es un cerrados irreducible si y solamente si k es un cuerpo infinito. En efecto, por un lado, si k es finito, Aⁿk también lo será y por lo tanto este espacio af´ın es unión de puntos, que son cerrados (irreducibles). Por otro lado, si k es infinito I(Aⁿk) = (0), como se demuestre fácilmente por inducción en n.

Teorema 1.17. Sea X un conjunto cerrado de Aⁿ_k. Existen ´unicos cerrados irreducibles X₁, . . . , X_` tales que

X = X1∪ · · · ∪ X`, y Xi 6⊂ Xj, ∀i 6= j.

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Proof. Antes de todo, observemos que la única afirmación no trivial es la existencia de la descomposición en cerrados irreducibles. En efecto, si X_i ⊂ X_j, el conjunto X_i es innecesario para la descomposición y podemos por lo tanto retirarlo; la demostración de la unicidad sigue entonces fácilmente de la definición de conjunto irreducible y la dejamos como ejercicio.

Consideremos la familia F de conjuntos algebraicos que no pueden ser escritos como uni´on finita de cerrados irreducibles. Supongamos, por absurdo, que F 6= ∅; sea X₀ ∈ F un elemento m´ınimo (ver comentarios a continuaci´on del Corolario 1.10).

Por construcción X0 no es irreducible; escribimos X0 = V ∪ W con V, W subconjuntos cerrados propios de X0. Por minimalidad V, W 6∈ F , por lo tanto V y W pueden ser escritos como unión finita de cerrados irreducibles. Entonces X₀ también: contradicción. Definición 1.18. Los cerrados irreducibles X1, . . . , X_` del teorema son las componentes irreducibles de X.

La siguiente noción será útil en los ejemplos a seguir y representa un caso particular de lo que veremos en §4.2

Definición 1.19. Una transformación af´ın es una aplicación φ : Aⁿk → A^mk tal que φ − φ(0, . . . , 0) es una transformación lineal de kⁿ en k^m. Decimos que la transformación es un isomorfismo af´ın si φ − φ(0, . . . , 0) es biyectiva.

Observación 1.20. (a) φ : Aⁿ_k → A^mk es una transformación af´ın si y sólo si φ es composición de una traslación con una transformación lineal.

(b) La imagen de una trasformaci´on af´ın es un conjunto algebraico af´ın definido por polinomios lineales.

Un isomorfismo af´ın φ de Aⁿk induce un isomorfismo (lineal) de k espacios vectoriales φ^∗ : k[x₁, . . . , x_n] → k[x₁, . . . , x_n] que a f ∈ k[x₁, . . . , x_n] asocia f ◦ φ.

Decimos que dos cerrados V₁ y V₂ de Aⁿk son af´ınmente equivalentes si existe un isomorfismo af´ın φ de Aⁿk tal que φ(V₁) = V₂; esta noción define una relación de equivalencia, como el lector podrá verificar sin dificultad. Más aún, V₁ y V₂ son af´ınmente equivalentes si y sólo si φ^∗(I(V2)) = I(V1).

Ejemplos 1.21. Sean A = k[x1, . . . , x_n] y 0 ≤ ` ≤ n.

(a) Los ideales de la forma I_` := (x₁, . . . , x_`) son primos, pues A/I_` ' k[x_`+1, . . . , x_n] es un dominio de integridad. Por lo tanto los conjuntos algebraicos afines de la forma V(I_`) = {(a₁, . . . , a_n) ∈ kⁿ; a₁ = · · · = a_` = 0} son irreducibles.

Aplicando un isomorfismo af´ın adecuado conclu´ımos una afirmaci´on an´aloga substituyendo x_i por un polinomio h_i de grado 1, para cada i, de forma que h₁−h₁(0 . . . , 0), . . . , h_`−h_`(0 . . . , 0) sean linealmente independientes sobre k.

(b) Tenemos la descomposici´on en componentes irreducibles

V(x1x2· · · x`) = V(x1) ∪ V(x2) ∪ · · · ∪ V(x`).

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(c) Consideremos el ideal Ia:= ((x1− a)x1, (x1− a)x2, . . . (x1− a)x`), donde a ∈ k. La descomposici´on en componentes irreducibles de V(I_a) es

V(I_a) = V(x₁− a) ∪ V(x₁, . . . , x_`)

= {(a₁, . . . , a_n); a₁ = a} ∪ {(a₁, . . . , a_n); a₁ = · · · = a_` = 0};

si a = 0, entonces V(I_a) es el hiperplano de ecuación x₁ = a; si a 6= 0, entonces V(I_a) es la unión disjunta de ese hyperplano y el conjunto cuyo único punto es (0, . . . , 0).

Ejemplo 1.22. Sean L₁, L₂ ⊂ A³k dos rectas, i.e., L_i es imagen de una aplicación af´ın inyectiva φ : A¹k → A³k. Si h_i, h⁰_i ∈ I(L_i) son polinomios lineales tales que h_i − h_i(0, 0, 0), h⁰_i − h⁰_i(0, 0, 0) sean linealmente independientes sobre k, entonces I(L_i) = (h_i, h⁰_i), i = 1, 2: en efecto, a menos de equivalencia af´ın podemos asumir L_i = (x = y = 0) y en este caso es fácil demostrar la afirmación. Si L₁ ∩ L₂ consiste de un único punto, entonces podemos asumir h⁰₁ = h⁰₂ y deducimos I(L₁∪ L₂) = (h₁h₂, h⁰₁): en efecto, podemos asumir que L₁ y L₂ son ejes coordenados en cuyo caso la afirmación es fácil de probar.

En los pr´oximos dos ejemplos, por simplicidad k es un cuerpo algebraicamente cerrado de caracter´ıstica 0, por ejemplo k = C. Pero en realidad todo lo que concluyamos es v´alido en cualquier cuerpo de caracter´ıstica 0 que posea ra´ıces de todos sus elementos.

Ejemplos 1.23. (a) Consideremos el ideal J = (x² + y²− z², 4x²+ y²− 4z²) de k[x, y, z];

donde k es un cuerpo de caracter´ıstica 0. El conjunto algebraico af´ın V = V(J ) es la intersección de los conjuntos (conos cuadráticos) de ecuaciones x²+ y²− z² = 0 y 4x²+ y²− 4z² = 0. Observe que (a, b, c) ∈ A³k\{(0, 0, 0)} es un punto de V si y sólo si (ta, tb, tc) ∈ V para todo t ∈ k^∗. Es claro que el único punto de V con tercera coordenada nula es el origen (0, 0, 0). Por lo tanto, (a, b, c) ∈ V y (a, b, c) 6= (0, 0, 0) equivale a (a/c, b/c, 1) ∈ V , y por lo tanto basta con buscar las soluciones del sistema de ecuaciones

x²+ y²− z² = 0 4x²+ y²− 4z² = 0

que son de la forma (a, b, 1); observe que si ponemos z = 1 en las ecuaciones de arriba obtenemos dos ecuaciones de elipses en x e y. Obtenemos las dos soluciones (dobles)

(a, b, 1) = (±1, 0, 1),

de donde deducimos que V es la uni´on de las rectas por el origen pasando por dichos puntos.

Entonces el plano de ecuaci´on y = 0 contiene ambas rectas y los planos de ecuaciones x − y = 0 y x + y = 0 contienen apenas una de ellas, respectivamente. Del ejemplo precedente deducimos

I(V ) = ((x − y)(x + y), y).

Observe que J ( I(V ).

Pregunta: ¿Qu´e pasa si la caracter´ıstica del cuerpo es 2 o 3?

(b) Consideremos las superficies de A³k siguientes: V = V(xz − y²), W = V(x³− yz), donde k es un cuerpo de caracter´ıstica 0. Vamos a describir las componentes irreducibles del cerrado af´ın obtenido como intersecci´on de ambas superficies.

Si J = (xz − y², x³− yz) ⊂ k[x, y, z], tenemos X := V(J) = V ∩ W . La recta de ecuaciones x = y = 0 est´a contenida en X; de hecho V(x) ∩ X = V(y) ∩ X = V(x, y).

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Por otro lado V(z) ∩ X = {(0, 0, 0)}. Si U designa el abierto A³k \ V(xyz), concluimos U ∩ X = X\V(x, y).

Se p = (a, b, c) es un punto de U , entonces p ∈ X si y s´olo si a 6= 0, b 6= 0 y valen las relaciones a⁵ = c³, b⁵ = c⁴, a⁴ = b³.

Deducimos que p ∈ X si y s´olo si p = (d³, d⁴, d⁵) con d 6= 0.

Sumando todo lo hecho, obtenemos

X = V(x, y) ∪{(t³, t⁴, t⁵); t ∈ k^∗},

donde la barra indica clausura; designemos C := {(t³, t⁴, t⁵); t ∈ k^∗}: utilizando que dicha clausura contiene (0, 0, 0) (observe que si F ⊂ kⁿ es un conjunto arbitrario, entonces V(I(F )) = F por Proposici´on 1.8) y est´a contenida en X, se deduce C = {(t³, t⁴, t⁵); t ∈ k}.

Ahora, por un lado es claro que V(x, y) es irreducible, pues (x, y) es un ideal primo.

Por otro lado, supongamos que C = Y₁ ∪ Y₂ es uni´on de cerrados irreducibles. Sean 0 6=

f_i ∈ I(Y_i), i = 1, 2. Entonces f₁f₂ ∈ I(C), esto es, f₁(t³, t⁴, t⁵)f₂(t³, t⁴, t⁵) = 0 para todo t 6= 0.

Como f_i(t³, t⁴, t⁵) ∈ k[t], i = 1, 2 y t var´ıa en un conjunto infinito, entonces f₁(t³, t⁴, t⁵) ≡ 0 o f₂(t³, t⁴, t⁵) ≡ 0; en otras palabras f₁ ∈ I(C) o f₂ ∈ I(C). Por lo tanto C es irreducible.

Observación 1.24. Un conjunto irreducible es conexo, como sigue fácilmente de la definición de conjunto irreducible. La afirmación rec´ıproca no es verdadera (ver ejemplo precedente).

2. Nullstellensatz de Hilbert

Como anunciamos anteriormente, completaremos ahora la descripci´on de los ideales radicales de k[x₁, . . . , x_n] en el caso en que k es un cuerpo algebraicamente cerrado. Para este fin, enun- ciaremos y demostraremos el famoso Teorema de los Ceros, de Hilbert, en general conocido por su nombre en alem´an: Nullstellensatz.

Teorema 2.1 (Nullstellensatz, de Hilbert). Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado. Es- cribimos A = k[x₁, . . . , x_n]. Valen las siguientes afirmaciones equivalentes:

a) Los ideales maximales de A son los ideales de la forma Ma = (x1 − a1, . . . , xn− an), a = (a1, . . . , an) ∈ kⁿ.

b) Si J ( A es un ideal, entonces V(J) 6= ∅.

c) Si J ⊂ A es un ideal, entonces I(V(J )) =√ J . Observaciones 2.2.

i) La afirmaci´on b) significa que los polinomios de un ideal distinto de A contienen un cero en com´un.

ii) Si k no es algebraicamente cerrado el Teorema es falso: en R²tenemos V(x²+y²+1) = ∅.

Corolario 2.3. Los operadores V e I inducen una correspondencia biun´ıvoca, que invierte las inclusiones, entre los conjuntos

{I; I es ideal radical de A} y {V ; V es subconjunto cerrado de Aⁿ}

Proof. Ejercicio.

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Para demostrar el Nullstellensatz precisamos introducir todav´ıa algunos conceptos algebraicos y hacer uso de un resultado que demostraremos m´as adelante.

2.1. Álgebras. Sea h : B → A un homomorfismo de anillos. Definimos una estructura de B-módulo en A mediante la operación

b · a := h(b)a, b ∈ B, a ∈ A.

Esta estructura de m´odulo en A es compatible con su estructura de anillo en el sentido que valen las siguientes igualdades para a, a⁰ ∈ A:

b · (aa⁰) = (b · a)a⁰.

Cuando estamos en la situación descripta, decimos que A es una B-álgebra y la estructura de esta álgebra es precisamente el homomorfismo h. En particular, cuando B = k es un cuerpo, A será un k espacio vectorial.

Un caso de especial interés de B-álgebras se obtiene cuando B es un subanillo de A siendo la estructura dada por el homomorfismo de inclusión. En este caso podemos “confundir” la operación del álgebra con la del anillo A, o sea, podemos escribir b · a = ba.

Observaci´on 2.4. Si h : B → A es un homomorfismo, entonces h(A) es un subanillo de A.

Por lo tanto tenemos una estructura de h(B)-´algebra en A.

Un ejemplo importante de B-´algebra es el anillo de polinomios B[x₁, . . . , x_n] en n indeterminadas.

Un homomorfismo entre dos B-´algebras h_i : B → A_i, i = 1, 2, es un homomorfismo de anillos ϕ : A₁ → A₂ tal que ϕ ◦ h₁ = h₂ (i.e. que respeta las estructuras de B-´algebra).

Si a₁, . . . , a_n∈ A el homomorfismo h : B → A se extiende de forma canónica a un homomorfismo de B-álgebras del anillo de polinomios B[x₁, . . . , x_n] en A de la manera natural. Si este homomorfismo es sobreyectivo para ciertos a₁, . . . , a_n ∈ A y n ≥ 1, decimos que la B-álgebra A es de tipo finito (o finitamente generada como B-álgebra); en otras palabras, una B-álgebra A es de tipo finito si todo elemento se puede escribir como una expresión polinomial en un número finito de elementos de A, con coeficientes en B; podemos expresar esto diciendo que existe un homomorfismo sobreyectivo de B-álgebras B[x1, . . . , xn] → A. En este caso escribimos A = B[a₁, . . . , a_n] := h(B)[a₁, . . . , a_n], donde a_i = h(x_i), i = 1, . . . , n.

Sea A una B-álgebra y a ∈ A un elemento. Decimos que a es entero sobre B si existe un polinomio mónico f ∈ B[t], de grado ≥ 1, tal que f (a) = 0; en otras palabras, a es entero sobre B si y sólo si satisface una ecuación de la forma

a^d+ b_d−1a^d−1+ · · · + b₁a + b₀, (1) para ciertos b₀, . . . , b_d−1 ∈ B y d ≥ 1. Decimos que (1) es una ecuaci´on de dependencia entera para a.

El ´algebra A se dice que es entera sobre B si todos sus elementos son enteros sobre B.

Cuando A y B son cuerpos decimos que a es algebraico sobre B en lugar de decir entero sobre B. An´alogamente, decimos que A es algebraico en lugar de decir entero.

(14)

Observación 2.5. Si a ∈ A es entero sobre B, entonces B[a] es un B-módulo finitamente generado: en efecto, por inducción en ` ≥ 0 se prueba fácilmente que a^d+` es combinación lineal de 1, a, . . . , a^d−1 con coeficientes en B, o sea B[a] = B + Ba + · · · Ba^d−1.

Ejemplos 2.6. Sea A = k[x1, . . . , x_n].

a) A es una k-álgebra de tipo finito. Más generalmente, si I es un ideal de A, el anillo cociente A/I es una k-álgebra de tipo finito, generada por las co-clases x₁+ I, . . . , x_n+ I.

b) Si f = x^d_n+Pd−1

i=0 a_ixⁱ_n∈ A, con a_i ∈ k[x₁, . . . , x_n−1], el elemento x_n+ (f ) ∈ A/(f ) es entero sobre k[x₁, . . . , x_n−1] y A/(f ) es un k[x₁, . . . , x_n−1]-módulo finitamente generado (Observación 2.5). En el caso en que n = 1, A/(f ) es un espacio vectorial de dimensión finita.

El resultado siguiente será demostrado más adelante, en el parágrafo 3.2.

Lema 2.7. Sea k un cuerpo infinito y A = k[a1, . . . , a_n] una k-´algebra de tipo finito. Si A es un cuerpo, entonces A es algebraico sobre k.

2.2. Demostraci´on del Nullstellensatz. a) Sea M ⊂ A = k[a₁, . . . , a_n] un ideal maximal;

el anillo cociente K := A/M es un cuerpo. Consideremos el monomorfismo natural ϕ : k → K obtenido por composición de la inclusión de k en A con la aplicación cociente π : A → K.

Este homomorfismo hace de K una k-´algebra de tipo finito. Por el Lema 2.7 el cuerpo K es algebraico sobre k. Como k es algebraicamente cerrado concluimos que ϕ es sobreyectivo, por lo tanto un isomorfismo; designemos a_i = ϕ⁻¹(π(x_i)) = ϕ⁻¹(x_i + M ), i = 1, . . . , n. Entonces x_i − a_i ∈ ker(π) = M, i = 1, . . . , n. Luego (x₁ − a₁, . . . , x_n − a_n) ⊂ M , de donde deducimos (x₁− a₁, . . . , x_n− a_n) = M , ya que ambos ideales son maximales.

a) ⇒ b). Sea M ⊃ J un ideal maximal conteniendo J ; existe a ∈ kⁿ tal que M = M_a. Entonces {a} = V(M_a) ⊂ V(J ).

b) ⇒ c) (“Pisadita” de Rabinowitsch). Por definici´on I(V(J )) ⊃ √

J . Por lo tanto es suficiente demostrar la inclusi´on contraria. En otras palabras, para un elemento f ∈ I(V(J )) queremos probar que existe N ∈ N tal que f^N ∈ J.

El truco o “pisadita” consiste en introducir una nueva variable t en la siguiente forma:

definimos el ideal

J_t := (tf − 1) + bJ ⊂ A[t] := k[x₁, . . . , x_n, t],

donde bJ es el ideal generado por los elementos de J en A[t]. Designamoss V_t al operador que a un ideal de A[t] asocia su conjunto de ceros en Aⁿ⁺¹.

Entonces

Vt(Jt) = Vt(tf − 1) ∩ Vt( bJ )

= {(p₁, . . . , p_n, b) ∈ Aⁿ⁺¹; bf (p₁, . . . , p_n) = 1} ∩ (V(J ) × A¹).

Que f ∈ I(V(J )) implica V_t(J_t) = ∅. Por hip´otesis concluimos J_t = k[x₁, . . . , x_n, t]. Entonces existen g₀, . . . , g_r∈ k[x₁, . . . , x_n, t], f₁, . . . f_r ∈ J, tales que

1 = g₀(tf − 1) +

r

X

i=1

g_if_i. (2)

(15)

Sea N la mayor potencia con que aparece la variable t en los polinomios g0, . . . , gr. Multiplicando (2) por f^N obtenemos

f^N = G0(tf − 1) +

r

X

i=1

Gifi, (3)

donde G_j = f^Ng_j = G_j(x₁, . . . , x_n, tf ) es un polinomio en las variables x₁, . . . , x_n, tf , para j = 0, . . . , r. Por lo tanto f satisface una ecuaci´on de congruencias de la forma

f^N ≡

r

X

i=1

h_if_i mod (tf − 1), (4)

para ciertos h1, . . . , hr∈ k[x1, . . . , xn].

Por otro lado el homomorfismo natural A = k[x₁, . . . , x_n] → A[t]/(tf − 1) obtenido por composición de la inclusión canónica de A en A[t] con la aplicación cociente A[t] → A[t]/(tf − 1) es evidentemente inyectivo. Deducimos que la congruencia en (4) es de hecho una igualdad, esto es

f^N =

r

X

i=1

hifi, lo que termina esta parte de la prueba.

c) ⇒ a) Si M ⊂ A es un ideal maximal, por hip´otesis I(V(M )) = M : en particular V(M ) 6=

∅. Si a ∈ V(M ), como {a} ⊂ V(M ), deducimos M_a = I({a}) ⊃ M de donde concluimos M = M_a por maximalidad. Esto termina la demostraci´on del Nullstellensatz. A partir de ahora y salvo menci´on expl´ıcita en contrario asumiremos que k es un cuerpo algebraicamente cerrado.

Ejemplo 2.8. V(x², y) = {(0, 0)} es irreducible pero (x², y) no es un ideal primo. Lo que pasa es que I({(0, 0)}) = (x, y) =p(x², y) ) (x², y).

Una hypersuperficie en Aⁿ es un cerrado af´ın de la forma V(f ) donde f ∈ k[x₁, . . . , x_n] es un polinomio no constante. Si n = 3 la hipersuperficie se dice que es una Superficie en A³ y si n = 2 que es una Curva Plana.

Ejemplos 2.9.

a) Un polinomio no constante f ∈ k[x₁, . . . , x_n] admite una descomposici´on, como producto, de la forma

f = f₁ⁿ¹· · · f_rⁿ^r,

donde f_i y f_j son polinomios irreducibles no asociados si i 6= j. Entonces p(f) = (f1· · · f_r).

Por lo tanto V(f ) = V(f₁) ∪ · · · ∪ V(f_r). Veamos que esta descomposici´on es de hecho la descomposici´on en componentes irreducibles de V(f ) dada por el Teorema 1.17.

En efecto I(V(f_i)) = (f_i), para todo i, lo que implica que V(f_i) es irreducible. M´as aun, V(f_i) ⊂ V(f_j) implica (f_i) = (f_j) lo que es posible si y solamente si f_i y f_j son asociados.

b) poner un ejemplo de aplicacion de Nullstellensatz

(16)

3. Lema de Normalizaci´on de Noether

3.1. Álgebras finitas. Una B-álgebra A se dice Finita si es finitamente generada como B módulo. En otras palabras, si existen a₁, . . . , a_n ∈ A tales A = Ba₁+ · · · Ba_n; podemos expresar esto diciendo que el homomorfismo h : B → A que define la B-álgebra induce un epimomorfismo de B-módulos Bⁿ → A

(b₁, . . . , b_n) 7→ h(b₁)a₁+ · · · + h(b_n)a_n, para ciertos a₁, . . . , a_n∈ A.

Proposici´on 3.1. Sean C ⊂ B ⊂ A anillos. Tenemos las siguientes afirmaciones:

a) Si B es C-álgebra finita y A es B-álgebra finita, entonces A es C-álgebra finita.

b) Si A es B-´algebra finita, entonces existe n ∈ N tal que todo x ∈ A satisface una ecuaci´on de dependencia entera de la forma

xⁿ+ bn−1xⁿ⁻¹+ · · · + b1x + b0 = 0, (5) para ciertos b₀, b₁, . . . , b_n−1∈ B, que dependen de x.

Proof.

a) Existen bi ∈ B, aj ∈ A, i = 1, . . . , r, j = 1, . . . , s tales que B =

r

X

i=1

Cb_i, A =

s

X

i=1

Ba_j. Por lo tanto A =P

i,jCa_jb_i.

b) Utilizaremos la “pisadita del determinante”.

Por hip´otesis A = Ba₁+ · · · Ba_n para ciertos a₁, . . . , a_n. Entonces xa_i =

n

X

j=1

b_ija_j, (6)

para ciertos b_ij ∈ B. Si δ_ij designa el (i, j)-´esimo s´ımbolo de Kronecker, el sistema de ecuaciones (6) puede ser escrito

n

X

j=1

(xδ_ij − b_ij)a_j = 0. (7)

Si M designa la matriz cuya entrada (i, j)-´esima es precisamente xδ_ij− b_ij y a designa el vector columna obtenido por trasposici´on de (a₁, . . . , a_n) ∈ Aⁿ, entonces (7) equivale a Ma = 0. Si adj M es la matriz adjunta de M, obtenemos

(det M)a = (adj M · M)a = (0, . . . , 0)^t.

Como a₁, . . . , a_n generan A como B-m´odulo, concluimos det M = 0. Finalmente, expandiendo

det M obtenemos una ecuaci´on como en (5)

Corolario 3.2. Si a1, . . . , an ∈ A son enteros sobre B, entonces B[a1, . . . , an] es una B-

´

algebra finita.

(17)

Proof. Por inducci´on en n. Si n = 1 el resultado sigue de la observaci´on 2.5.

Si n > 1, escribimos A_n−1 := B[a₁, . . . , a_n−1], que es una B-álgebra finita por hipótesis de inducción. Como B[a₁, . . . , a_n] = A_n−1[a_n] y a_n es entero sobre A_n−1, entonces B[a₁, . . . , a_n] es una A_n−1-álgebra finita, nuevamente por loc. cit, luego el corolario es consecuencia de la

afirmaci´on a) de la proposici´on 3.1.

Los siguientes dos corolarios son consecuencia del precedente y sus demostraciones son de- jadas para el lector.

Corolario 3.3. El conjunto E(A, B) de los elementos de A, que son enteros sobre B, es un subanillo de A.

Ejemplos 3.4.

a) Un n´umero racional es entero sobre Z s´olo si es entero, esto es, E(Q, Z) = Z.

b) Un polinomio con coeficientes en k es entero sobre k s´olo si es contante, o sea, E(k[x₁, . . . , x_n], k) = k.

Corolario 3.5. Una B-´algebra A es finita si y s´olo si es de tipo finito y entera.

3.2. Lema de Normalizaci´on de Noether. Sean k un cuerpo arbitrario y A una k

´

algebra. Decimos que a1, . . . , an ∈ A son algebraicamente independientes sobre k si el epimorfismo natural de anillos k[x₁, . . . , x_n] ^{// //} k[a₁, . . . , a_n] ⊂ A es inyectivo; o sea, si k[a₁, . . . , a_n] es (isomorfo a) un anillo de polinomios en n variables.

Teorema 3.6 (Lema de Normalizaci´on, de E. Noether). Sea k un cuerpo infinito y A = k[a₁, . . . , a_n] una k-´algebra de tipo finito. Existen y₁, . . . , y_m ∈ A, con 0 ≤ m ≤ n, tales que

a) y₁, . . . , y_m son algebraicamente independientes sobre k.

b) A es una k[y₁, . . . , y_m]-´algebra finita.

Proof. Si a1, . . . , a_nson algebraicamente independientes, entonces no hay nada para probar y m = n; caso contrario, existe f ∈ k[x₁, . . . , x_n], f 6= 0, tal que f (a₁, . . . , a_n) = 0.

Hacemos la prueba por inducci´on en n. Si n = 1, f = Pd

i=0α_ixⁱ con d > 0, α_i ∈ k para todo i y α_d 6= 0. Obtenemos una ecuación de dependencia entera (sobre k) para a₁ de la forma α_d⁻¹f (a₁) = 0. Entonces m = 0; más aun, utilizando el epimorfismo natural φ : k[x] → k[a₁] = A se muestra fácilmente que A = k[x]/ ker(φ) es un k-espacio vectorial de dimensión finita ≤ d.

Supongamos ahora n > 1. Sea d := grf ≥ 1. Escribimos f = fd+ g donde fdes un polinomio homog´eneo de grado d, i.e., es suma de monomios de grado d. Entonces gr g ≤ d − 1 o g = 0.

Consideremos un cambio de las variables x₁, . . . , x_n de la forma siguiente:

x_i = z_i+ c_it, i = 1, . . . , n − 1, x_n= t, para ciertos c₁, . . . , c_n−1∈ k. Obtenemos

f (z₁+ c₁t, . . . , z_n−1+ c_n−1t, t) = f_d(c₁, . . . , c_n−1, 1)t^d+ g₀ donde g0 es un polinomio en k[z1, . . . , zn−1, t], cuyo grado en t menor que d.

(18)

Por otro lado, observemos que al remplazar xn por 1 en fd obtenemos un polinomio no nulo f_d(x₁, . . . , x_d−1, 1) en x₁, . . . , x_d−1, pues f_d es homogéneo. Por lo tanto, dado que k es infinito, podemos elegir c₁, . . . , c_n−1 ∈ k de forma que f_d(c₁, . . . , c_n−1, 1) 6= 0, lo que se prueba fácilmente por inducción en n − 1, comparando los polinomios con sus funciones polinomiales asociadas;

fijemos una tal (n − 1)-upla de c⁰_is y escribamos

h(z₁, . . . , z_n−1, t) = f (z₁+ c₁t, . . . , z_n−1+ c_n−1t, t).

Deducimos

h(a₁− c₁a_n, . . . , a_n−1− c_n−1a_n, a_n) = f_d(c₁, . . . , c_n−1, 1)a^d_n+

g₀(a₁− c₁a_n, . . . , a_n−1− c_n−1a_n, a_n)

= f (a₁, . . . , a_n)

= 0,

lo que prueba que a_n es entero sobre B := k[a₁− c₁a_n, . . . , a_n−1− c_n−1a_n]. Por la hipótesis de inducción existen m ≤ n − 1 e y₁, . . . , y_m ∈ B algebraicamente independientes sobre k tales que B es un álgebra finita sobre k[y₁, . . . , y_m]. Como A = B[a_n] el resultado es una consecuencia de

la Proposici´on 3.1.

Observación 3.7. Los elementos y1, . . . , ym en el Lema de normalización pueden ser escogi- dos como siendo m combinaciones lineales de los a1, . . . , an con coeficientes en k, de forma que tales coeficientes sean las coordenadas de los puntos de un cierto abierto de Zariski no vac´ıo de Aⁿk: como vimos en la etapa de inducción, (c₁, . . . , c_n−1, 1) ∈ Aⁿk fue escogido de forma que f_d(c₁, . . . , c_n−1, 1) 6= 0. En la práctica, precisamos repetir este procedimiento un número ≤ n de veces, razón por la cual tendremos que adicionar, en general, otras condiciones de no anulación.

Demostración del Lema 2.7. Consideramos k ⊂ B = k[y1, . . . , ym] ⊂ A como en el Lema de normalización donde A es un cuerpo. Como A es una B-álgebra finita, entonces B también es un cuerpo: en efecto, si 0 6= z ∈ B, z⁻¹ ∈ A es entero sobre B, por lo tanto existe una relación de dependencia entera de la forma

(z⁻¹)^r+ b_r−1(z⁻¹)^r−1+ · · · + b₁z⁻¹+ b₀ = 0.

Multiplicando por z^r−1 ∈ B deducimos z⁻¹ ∈ B.

Como B es un cuerpo, m = 0, ya que en caso contrario B ser´ıa un anillo de polinomios.

Entonces A es algebraico sobre k, lo que demuestra el resultado.

Ejemplos 3.8.

a) Cúbica de Fermat. Sea f = x³₁+x³₂+x³₃−1 ∈ k[x₁, x₂, x₃] y designemos A := k[x₁, x₂, x₃]/(f ) = k[a₁, a₂, a₃], donde a_i = x_i+(f ), i = 1, 2, 3. Entonces f está en el núcleo del epimorfismo canónico k[x₁, x₂, x₃] → k[a₁, a₂, a₃], lo que muestra que a₁, a₂, a₃ no son algebraicamente independientes.

Por otro lado, si, por ejemplo, g(a₁, a₂) = 0 para un polinomio g ∈ k[x₁, x₂], entonces g ∈ (f ), lo que es imposible; an´alogamente com a1, a3o a2, a3. Concluimos que {a1, a2, a3}−{ai}, i = 1, 2, 3, es algebraicamente independiente sobre k y ai es entero sobre k[aj, a`] si i 6= j, i 6= `.

(19)

b) Sea f = xyz + x² + y² + z² − 1 ∈ k[x, y, z]. Sea A = k[a1, a2, a3] una k-´algebra de tipo finito tal que f (a₁, a₂, a₃) = 0. Haciendo un cambio de variables como en la prueba del Lema de Normalizaci´on, obtenemos

f (z₁+ c₁t, z₂+ c₂t, t) = c₁c₂t³+ (c₁z₂+ c₂z₁+ c²₁+ c²₂+ 1)t²+ (z₁z₂+ 2c₁z₁+ 2c₂z₂)t + z₁²+ z²₂− 1.

Si, por ejemplo, c₁ = c₂ = 1, escribiendo a = a₁− a₃, b = a₂− a₃, c = a₃, tenemos A = k[a, b, c] y c³+ (b + a + 3)c²+ (ab + 2a + 2b)c + a²+ b²− 1 = 0,

lo que muestra que c es entero sobre k[a, b].

Por otro lado, se demuestra sin dificultad que a1, a2son algebraicamente independientes sobre k, de donde sigue que a, b tambi´en lo sea.

4. Aplicaciones polinomiales y racionales

Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado. Sea X ⊂ Aⁿ = Aⁿk un cerrado af´ın.

4.1. Anillo de funciones regulares.

Definición 4.1. Una función polinomial (o función regular) en X es una función f : X → k tal que existe F ∈ k[x₁, . . . , x_n] con F (x) = f (x) para todo x ∈ X. Designamos R_X el conjunto de todas las funciones polinomiales de X.

En otras palabras, una función polinomial en X es la restricción de una función polinomial en kⁿ.

Consideremos el homomorfismo de k-álgebras res_X : k[x₁, . . . , x_n] → k^X := {g : X → k; g es función}, definido por restricción a X, esto es, res_X(f ) = f |_X. Por construcción R_X = im(resX) y I(X) = ker(resX); en particular RX ' k[x1, . . . , xn]/I(X).

El Anillo de coordenadas de X es, por definici´on, el anillo cociente k[x₁, . . . , x_n]/I(X), que designaremos k[X]. Como vimos, k[X] es can´onicamente isomorfo al anillo de las funciones regulares R_X, al cual identificaremos sin previo aviso, cuando sea necesario.

Ejemplos 4.2.

a) k[∅] = 0 y k[Aⁿ] = k[x₁, . . . , x_n].

b) Si a ∈ Aⁿ, entonces k[{a}] = k[x₁, . . . , x_n]/M_a' k.

c) Consideremos la curva plana X = V(y − x²) ⊂ A²k, la Par´abola. El homomorfismo natural de k-´algebras (o sea, de anillos y que es k-lineal) ρ : k[x, y] → k[x], x 7→ x, y 7→ x², es sobreyectivo y (y − x²) ⊂ ker ρ. Observar que ker ρ = I(X).

Sea K = k(x) el cuerpo de fracciones de k[x]. Claramente y − x² es irreducible en K[x], puesto que es un polinomio de grado 1. Por el Lema de Gauss, tambi´en lo es en k[x][y] = k[x, y].

Por lo tanto I(X) = p(y − x²) = (y − x²) (comparar con el ejemplo a) en 2.9). Concluimos k[x, y]/I(X) = k[x].

(20)

d) El ejemplo c) puede ser generalizado de la siguiente forma. Sea X = V(y^p − x^q), con mcd(p, q) = 1. Se muestra que el polinomio y^p − x^q es irreducible en k[x, y] (ver los ejercicios) y del Nullstellensatz se deduce que I(X) = (y^p− x^q). Entonces k[X] = k[x, y]/(y^p− x^q).

M´as aun, utilizando el homomorfismo k[x, y] → k[x], x 7→ t^p, y 7→ t^q, como en c), se deduce k[X] ' k[t^p, t^q] ⊂ k[t]. En el caso p = 1 obtenemos k[X] ' k[t].

Como sabemos, el homomorfismo cociente k[x₁, . . . , x_n] → k[X] establece una correspondencia biyectiva entre los ideales de k[X] y los ideales de k[x₁, . . . , x_n] que contienen I(X); esta correspondencia preserva ideales primos, maximales y radicales.

Por otro lado, si J ⊃ I(X), V(J ) es un cerrado af´ın contenido en X, por lo tanto un cerrado en X con la topolog´ıa inducida. Rec´ıprocamente, si Y ⊂ X es un subconjunto cerrado en X, tambi´en lo ser´a en Aⁿ y I(Y ) ⊃ I(X).

Definici´on 4.3. Un subconjunto algebraico af´ın de X es un conjunto cerrado de X.

Podemos entonces “relativizar” los operadores V y I a ideales radicales de k[X] y conjuntos cerrados de X, respectivamente: definimos

{ideales radicales de k[X]}

VX ..

{cerrados de X}

Ioo_X ,

como V_X(J + I(X)) = V(J ) ⊂ X y I_X(Y ) = I(Y ) + I(X). Identificando k[X] con R_X, entonces J + I(X) corresponde al ideal J_X = res_X(J ), que consiste en restringir a X los polinomios de J y entonces V_X(J ) se identifica con {x ∈ X; f (x) = 0, ∀ f ∈ J_X}. An´alogamente, I_X(Y ) se identifica, en R_X, con el ideal {g ∈ R_X; g(y) = 0, ∀ y ∈ Y }.

El siguiente resultado es una consecuencia inmediata de las definiciones.

Proposici´on 4.4. k[X] es un dominio de integridad si y s´olo si X es irreducible.

De hecho, el anillo de coordenadas de un conjunto algebraico af´ın X es una k-´algebra de tipo finito y reducida (i.e., sin elementos nilpotentes). Este tipo de anillo caracteriza a los conjuntos algebraicos afines. M´as precisamente, tenemos la siguiente:

Proposición 4.5. Una k-álgebra es isomorfa al anillo de coordenadas de un conjunto algebraico af´ın si y sólo si es de tipo finito y reducida.

Proof. Sea A = k[a1, . . . , an] una k-´algebra de tipo finito. Consideramos el homomorfismo de k−´algebras ρ : k[x1, . . . , xn] → A, xi 7→ a_i, i = 1, . . . , n. Entonces A ' k[x1, . . . , xn]/I donde I = ker ρ.

Por otro lado, A es reducido si y s´olo si I es un ideal radical (ver ejercicios), de donde sigue

el resultado.

Consideremos las curvas planas X_i := V(yⁱ− x³), i = 1, 2. Como se desprende de Ejemplos 4.2, tenemos k[X₁] = k[t], k[X₂] = k[t², t³] ( k[t]. Como estos anillos no son isomorfos (observe que k[t², t³] no es un DFU), nos gustar´ıa decir que X₁ y X₂ no son curvas (planas) isomorfas y que X1es isomorfa a “la recta” af´ın A¹k. Para este fin, precisamos tener una noción de “morfimo”, lo que introduciremos en la próxima sección.

(21)

4.2. Aplicaciones polinomiales.

Definici´on 4.6. Sean X ⊂ Aⁿ, Y ⊂ A^m conjuntos algebraicos afines. Una aplicaci´on φ : X → Y se dice que es polinomial si existen F₁, . . . , F_m ∈ k[x₁, . . . , x_n] tales que φ(x) = (F₁(x), . . . , F_m(x)) para todo x ∈ X.

Dada una aplicación arbitraria η : V → W entre dos conjuntos también arbitrarios, tenemos un homomorfismo canónico de k-álgebras

η^∗ : k^W → k^V

definido por η^∗(g) = g ◦ η; utilizando la terminolog´ıa anglosajona, diremos que η^∗ es el pullback (imagen inversa) de η. Es f´acil verificar, que la “operaci´on” que consiste en efectuar pullback, es un proceso funtorial contravariante, o sea, id^∗ = id y (η ◦ ν)^∗ = ν^∗ ◦ η^∗.

Ejemplo 4.7. Asumimos V ⊂ W y designamos por i : V → W la aplicación de inclusión, entonces i^∗ : k^W → k^V es el homomorfismo de restricción definido por i^∗(g) = g|_V. Por abuso de notación, anotamos i^∗ también como res_V: observemos que si W = A^m y V ⊂ Aⁿ es un conjunto algebraico af´ın, identificando k[x₁, . . . , x_n] con R_Aⁿ ⊂ kÂⁿ, la restricción del homomorfismo i^∗ : kÂⁿ → k^V a k[x₁, . . . , x_n] induce exactamente el homomorfismo res_V : k[x₁, . . . , x_n] → i^∗(k[x₁, . . . , x_n]) = R_V = k[V ] que hab´ıamos definido anteriormente.

Designamos por x₁, . . . , x_n las funciones coordenadas en Aⁿ y y₁, . . . , y_m las funciones coordenadas en A^m. En el siguiente resultado identificaremos k[Y ] y k[X] con R_X y R_Y, respectivamente..

Proposici´on 4.8. Sea φ : X → Y una aplicaci´on entre conjuntos algebraicos afines, X ⊂ Aⁿ, Y ⊂ A^m. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) φ es polinomial.

b) φ^∗(y_j|_Y) ∈ k[X], j = 1, . . . , m.

c) φ^∗(k[Y ]) ⊂ k[X].

Proof. Que φ sea polinomial equivale a la existencia de polinomios F1, . . . , F_m ∈ k[x₁, . . . , x_n] y un diagrama conmutativo de aplicaciones polinomiales

Aⁿ ^Φ ^//A^m

X^?

OO

φ //Y^?

OO

donde Φ = (F₁, . . . , F_m). La funtorialidad del pullback induce un diagrama conmutativo de homomorfismos

k^Aⁿ

resX

k^A^m

Φ^∗

oo

resY

k^X ^φ ^//k^Y

con Φ^∗(yj) = Fj, para todo j. La implicaci´on a) ⇒ b) sigue inmediatamente.

(22)

Para probar b) ⇒ a) basta con observar que para todo j = 1, . . . , m, existe F ∈ k[x1, . . . , xn] tal que φ^∗(res_Y(y_j)) = res_X(F_j).

La equivalencia b) ⇔ c) es consecuencia del hecho que φ^∗ es un homomorfismo de k-´algebras.

Corolario 4.9. φ : X → Y es polinomial si y s´olo si φ = (f₁, . . . , f_m) con f_j ∈ k[X], j = 1, . . . , m.

Corolario 4.10. Toda aplicaci´on polinomial φ : X → Y es continua en relaci´on a las topolog´ıas de Zariski de X e Y .

Proof. Si Z = VY(h₁, . . . , h_`), h_i ∈ k[Y ], entonces

φ⁻¹(Z) = {x ∈ X; h₁(φ(x)) = · · · = h_`(φ(x)) = 0}

= V_X(φ^∗(h₁), . . . , φ^∗(h_`)).

Ejemplos 4.11.

a) Consideremos la proyección canónica sobre el primer factor p1 : A² → A¹, p1(x, y) = x. La imagen de la curva algebraica af´ın V(xy − 1) es el conjunto {(t; t 6= 0} que no es un cerrado de A¹. En otras palabras, una aplicación polinomial no tiene porque ser cerrada.

b) La aplicaci´on polinomial φ : A¹ → V(y²− x³), definida por t 7→ (t², t³) es biyectiva. Su inversa est´a definida por

ψ(x, y) = y/x si x 6= 0 0 si x = 0.

Todo parece indicar que la inversa de φ no es polinomial (de acuerdo ?). Sin embargo, no es dif´ıcil de convencerse que ψ es continua en relaci´on a la topolog´ıa de Zariski; o sea que V(y²− x³) es homeomorfa a A¹.

Un espacio topol´ogico es irreducible si no puede ser escrito como uni´on de cerrados propios.

La demostraci´on del siguiente corolario es dejada como ejercicio para el lector.

Corolario 4.12. Si φ : X → Y es una aplicaci´on polinomial y V es un subconjunto de X que es irreducible en relaci´on a la topolog´ıa inducida de X, entonces φ(V ) es irreducible considerado con la topolog´ıa inducida de Y .

Ejemplos 4.13.

a) C´ubica alabeada af´ın. La imagen de la funci´on k → k³, t 7→ (t, t², t³), define un conjunto algebraico af´ın X definido como el conjunto de ceros comunes de los menores 2 × 2 de la matriz

x y z 1 x y

que es irreducible por el Corolario 4.12. De hecho ´estos menores generan el ideal I(X), pero eso es un poco m´as dif´ıcil de demostrar: bastar´ıa con probar que el ideal (y − x², z − xy, y²− xz) es radical, gracias al Nullstellensatz.

Introducción a la Geometría algebraica

Introducci´ on a la Geometr´ıa algebraica

Iv´ an Pan

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