LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
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El límite de "f (x)" cuando "x" tiende a "x " 0 vale "b". Esto quiere decir que a medida de que el valor de la va- riable "x" se acerca al valor "x " 0 , el valor de la función se acerca al valor "L"
Para calcular el límite de una función se sustituye en la función la "x" por "x " 0 . Como resultado se obtiene algu- no de los casos que se indican en la tabla de más abajo. En caso de ser indeterminados, se procederá según el método correspondiente.
PROPIEDADES
Sean m y n números finitos y
x x
0lí m f (x) m
y
x x
0lí m g(x) n
. Si a,b,K se cumple:
1. Si el límite de una función existe, éste es único.
2.
x x
olí m K K
3.
o o o
x x x x x x
lí m f (x) g(x) lí m f (x) lí m g(x) m n
4.
o o
x x x x
lí m K·f (x) K· lí m f (x) K·m
5.
o o o
x x x x x x
lí m f (x)·g(x) lí m f (x) · lí m g(x) m·n
; si m 0 y n
6.
oo
o
x x x x
x x
lí m f (x)
f (x) m
lí m g(x) lí m g(x) n
; si
x x
olí m g(x) n 0
7.
x xoo o
lí m g( x )
g( x ) n
x x x x
lí m f (x) lí m f (x)
m
si
x x
olí m f (x) m 0
Al calcular un límite podemos obtener una de las siguientes expresiones de la tabla:
x x 0
lí m f (x) L
x x 0
f (x )
0 L
x
f (x)
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CASOS DETERMINADOS INDETERMINADOS
SUMA
RESTA k
PRODUCTO ·k · 0·
COCIENTE
k 0
0 k 0 0
k 0
0 0
k
0 0
POTENCIA
0 k 0 k 1
k 1 0
0 k 1
0 0
0 0
k 1 0 k 1
k k
0 0 k 1 0 k 1
0
0
1
0
INDETERMINACIONES
Cuando al calcular un límite se obtiene una de estas siete expresiones indeterminadas, se procede como se indica en cada caso:
Aparece al calcular un límite del tipo
x
f (x) lí m g(x)
1 er Caso :
Para determinar el valor del límite se procede según uno de los métodos siguientes:
1. Si f (x) y g(x) son funciones polinómicas, se divide numerador y denominador por la inde- terminada de mayor exponente que aparece en el cociente.
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2. Como consecuencia del método anterior se deduce este otro, más rápido de aplicar:
m m 1 m
n m 1 0 m m
n n 1 n
x x
n n 1 0 n n
0 si m n
a x a x ··· a a x a
lím lím si m n
b x b x ··· b b x b
si m n
3. Como caso general, si f (x) y g(x) son funciones cualesquiera se aplica la regla de L’Hôpital.
4.
Aparece al calcular un límite del tipo:
x x
0f (x) 0 lí m g(x) 0
2º Caso :
El método general para determinar el valor del límite es el de la simplificación: Factorización (factor común, pro- ductos notables, Ruffini,…) multiplicar y dividir por la expresión conjugada, racionalizar, etc.
También es aplicable la regla de L’Hôpital.
3 er Caso : Aparece al calcular un límite del tipo:
x lí m f (x) g(x) x
0
Para determinar el valor del límite se multiplica y se divide por la expresión conjugada de la dada. Generalmente se transforma en otra indeterminación del tipo
.
0 0 0
2 2
x x x x x x
f (x) g(x) · f (x) g(x) f (x) g(x)
lí m f (x) g(x) lí m lí m
f (x) g(x) f (x) g(x)
4º Caso : Aparece al calcular un límite del tipo:
x lí m f (x)·g(x) x
00·
(o ·0 )
Para deshacer esta indeterminación, bastará escribir el límite de una de las dos maneras siguientes
x x
0f (x) 0 0
lí m 1 1 0
g(x)
, o bien
x x
0lí m g(x)
1 1
f (x) 0
, con lo cual transformamos la indeterminación 0· o ·0
en una de las 0 0 o
Aparece al calcular un límite del tipo:
0
g( x ) x lí m f (x) x
. Se aplica el
5º, 6 º y 7º Casos :
método de derivación logarítmica, que consiste en tomar logaritmos al límite:
0 0
0·
0 0
1 , 0 y
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0 0
g(x )
x x x x
ln y ln lí m f (x) g(x)·ln lí m f (x) ·0
Se efectúa el método correspondiente (4º Caso). Supo- niendo que obtenemos para el límite el valor K, tendremos: ln y k y e k
0
g(x ) k x x
y lí m f (x) e
Como un caso particular, para el 1 , tenemos:
0
g(x ) k x lí m f (x) x e
, donde
x x
0k lí m f (x) 1 ·g(x)
FUNCIONES EQUIVALENTES
Definición: Se dice que dos funciones f (x) y g(x) son equivalentes en x a , si se cumple que
x a
f (x)
lí m 1
g(x) Propiedad: Para el cálculo de límites, se puede sustituir una función por su función equivalente en ese punto.
Tabla de funciones equivalentes.
x
2
senx tgx (e 1) ln(1 x) x
En x 0 x
(1 cos x) 2
REGLA DE L’HÔPITAL
Se aplica cuando la indeterminación es de uno de los tipos: 0 , 0
. Se aplica la siguiente regla:
0 0 0