LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

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El límite de "f (x)" cuando "x" tiende a "x " 0 vale "b". Esto quiere decir que a medida de que el valor de la va- riable "x" se acerca al valor "x " 0 , el valor de la función se acerca al valor "L"

Para calcular el límite de una función se sustituye en la función la "x" por "x " 0 . Como resultado se obtiene algu- no de los casos que se indican en la tabla de más abajo. En caso de ser indeterminados, se procederá según el método correspondiente.

PROPIEDADES

Sean m y n números finitos y

x x

0

lí m f (x) m

  y

x x

0

lí m g(x) n

  . Si a,b,K se cumple:

1. Si el límite de una función existe, éste es único.

2.  

x x

o

lí m K K

 

3.  

o o o

x x x x x x

lí m f (x) g(x) lí m f (x) lí m g(x) m n

  

   

            

4.  

o o

x x x x

lí m K·f (x) K· lí m f (x) K·m

 

 

     

5.  

o o o

x x x x x x

lí m f (x)·g(x) lí m f (x) · lí m g(x) m·n

  

   

          ; si m 0 y n   

6.

o

o

o

x x x x

x x

lí m f (x)

f (x) m

lí m g(x) lí m g(x) n

 

 

 

  ; si

x x

o

lí m g(x) n 0

  

7.

x xo

o o

lí m g( x )

g( x ) n

x x x x

lí m f (x) lí m f (x)

m

 

 

   

      si

x x

o

lí m f (x) m 0

  

Al calcular un límite podemos obtener una de las siguientes expresiones de la tabla:

x x 0

lí m f (x) L

 

x  x 0

f (x )

0

 L

x

f (x)

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CASOS DETERMINADOS INDETERMINADOS

SUMA

RESTA    k      

PRODUCTO  ·k     ·

COCIENTE

k 0

0 k 0 0

k 0

0 0

k

   

    

 

0 0

POTENCIA

 

 

0 k 0 k 1

k 1 0

0 k 1

0 0

0 0

k 1 0 k 1

k k

0 0 k 1 0 k 1

 

 

 

 

      

  

 

 

 

    

 

  

 

          

0

0

1

0

INDETERMINACIONES

Cuando al calcular un límite se obtiene una de estas siete expresiones indeterminadas, se procede como se indica en cada caso:

Aparece al calcular un límite del tipo

x

f (x) lí m  g(x)

   

  

 

1 er Caso :

Para determinar el valor del límite se procede según uno de los métodos siguientes:

1. Si f (x) y g(x) son funciones polinómicas, se divide numerador y denominador por la inde- terminada de mayor exponente que aparece en el cociente.

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2. Como consecuencia del método anterior se deduce este otro, más rápido de aplicar:

m m 1 m

n m 1 0 m m

n n 1 n

x x

n n 1 0 n n

0 si m n

a x a x ··· a a x a

lím lím si m n

b x b x ··· b b x b

si m n

 

  

 

            

 

3. Como caso general, si f (x) y g(x) son funciones cualesquiera se aplica la regla de L’Hôpital.

4.

Aparece al calcular un límite del tipo:

x x

0

f (x) 0 lí m g(x) 0

 

  

 

2º Caso :

El método general para determinar el valor del límite es el de la simplificación: Factorización (factor común, pro- ductos notables, Ruffini,…) multiplicar y dividir por la expresión conjugada, racionalizar, etc.

También es aplicable la regla de L’Hôpital.

3 er Caso : Aparece al calcular un límite del tipo:  

x lí m f (x) g(x) x

0

     

Para determinar el valor del límite se multiplica y se divide por la expresión conjugada de la dada. Generalmente se transforma en otra indeterminación del tipo 

 .

     

     

 

0 0 0

2 2

x x x x x x

f (x) g(x) · f (x) g(x) f (x) g(x)

lí m f (x) g(x) lí m lí m

f (x) g(x) f (x) g(x)

  

  

  

 

4º Caso : Aparece al calcular un límite del tipo:  

x lí m f (x)·g(x) x

0

   (o ·0  )

Para deshacer esta indeterminación, bastará escribir el límite de una de las dos maneras siguientes

x x

0

f (x) 0 0

lí m 1 1 0

g(x)

 

 

   

 

  

 

, o bien

x x

0

lí m g(x)

1 1

f (x) 0

 

   

   

  

 

 

, con lo cual transformamos la indeterminación 0· o ·0 

en una de las 0 0 o 

Aparece al calcular un límite del tipo:  

0

g( x ) x lí m f (x) x

 . Se aplica el

5º, 6 º y 7º Casos :

método de derivación logarítmica, que consiste en tomar logaritmos al límite:

0 0

  

0· 

0 0

1 , 0 y

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   

0 0

g(x )

x x x x

ln y ln lí m f (x) g(x)·ln lí m f (x) ·0

 

   

            Se efectúa el método correspondiente (4º Caso). Supo- niendo que obtenemos para el límite el valor K, tendremos: ln y k    y e k  

0

g(x ) k x x

y lí m f (x) e

   

Como un caso particular, para el 1 , tenemos:  

0

g(x ) k x lí m f (x) x e

  , donde  

x x

0

k lí m f (x) 1 ·g(x)

  

FUNCIONES EQUIVALENTES

Definición: Se dice que dos funciones f (x) y g(x) son equivalentes en x a  , si se cumple que

x a

f (x)

lí m 1

 g(x)  Propiedad: Para el cálculo de límites, se puede sustituir una función por su función equivalente en ese punto.

Tabla de funciones equivalentes.

x

2

senx tgx (e 1) ln(1 x) x

En x 0 x

(1 cos x) 2

  

  

 

REGLA DE L’HÔPITAL

Se aplica cuando la indeterminación es de uno de los tipos: 0 , 0

. Se aplica la siguiente regla:

0 0 0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ···

  

 

     

  

       

     

x x x x x x

f x f x f x

lím lím lím

g x g x g x y así sucesivamente hasta que se deshaga la indeterminación.

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