Temporal disaggregation and restricted forecasting of multiple population time series

(1)

Temporal disaggregation and restricted forecasting of multiple population time series

Eliud Silva (Universidad Anáhuac y UNAM) Víctor M. Guerrero (ITAM)

Daniel Peña (Universidad Carlos III de Madrid)

Presented at the International Seminar on Population Estimates and Projections: Methodologies, Innovations and Estimation of Target

Population applied to Public Policies, 9-11 November 2011, Rio de Janeiro

(2)

Las técnicas y procedimientos estadísticos se pueden aplicar para la comprensión y resolución de problemas en diversas áreas. En la demografía, en el Análisis Demográfico, se tiene una veta de oportunidad para su aplicación.

Desde la década de los 80´s se han suscitado investigaciones en el campo demográfico, bajo la óptica de las series de tiempo, donde se han abordado: la fecundidad, la mortalidad y la migración. Estas tienen el común denominador de: la descripción, el análisis y el pronóstico. Entre otros muchos se tienen los siguientes ejemplos:

Pronósticos de población: Lee y Tuljapurkar (1994), Keilman et al. (2002), Girosi y King (2004), Tuljapurkar et al. (2004), Hyndman y Booth (2008), Alonso et al. (2009) y Okita et al. (2009).

Introducción

(3)

Land y Cantor (1983) usan la metodología ARIMA para modelar variaciones estacionales de nacimiento y muerte en Estados Unidos;

Carter y Lee (1986) realizan pronósticos conjuntos para fecundidad, nupcialidad y matrimonios; Thompson et al. (1989) hacen proyecciones multivariadas de fecundidad; McNown y Rogers (1992) pronostican mortalidad.

McNown y Rajbhandary (2003) analizan la fecundidad y el comportamiento del mercado laboral femenino; Laporte y Fergusonb (2003) analizan la desigualdad del ingreso y la mortalidad en Canadá; Brücker et al. (2003) discuten la migración internacional en Alemania; Jeon y Shields (2008) discuten el impacto del tamaño de cohortes en Estados Unidos; Goldstein (2009) reconstruye la incidencia de Influenza usando series de mortalidad.

Introducción

(4)

En este documento se presentan dos situaciones de combinación de información para series de tiempo multivariantes:

1. Información demográfica censal con información anual de estadísticas vitales. Se generan series anuales desagregadas de tasas acumulativas de crecimiento demográfico (PGR) (para 4 anillos urbanos de la ZMCM);

2. Se combinan las series anuales desagregadas con metas oficiales de crecimiento demográfico.

2.1 Se propone utilizar un mecanismo para evaluar la compatibilidad de las metas oficiales con los datos anuales estimados.

2.2 Se concluye que las metas oficiales no son alcanzables y se hace una propuesta que sí resulta compatible.

Desagregación temporal de series de tiempo

multivariante

(5)

Desagregación temporal de series de tiempo multivariante

La desagregación de series múltiples puede verse como una generalización del problema de desagregación univariante.

Algunos autores suponen estructuras específicas para el error aleatorio involucrado:

- Ruido blanco (Rossi 1982, Di Fonzo 1990), - Paseo aleatorio (Di Fonzo 1994),

- AR(1) multivariado (Pavía 2000).

En cambio, Guerrero y Nieto (1999) no suponen una estructura específica

a priori, sino que la deducen de los datos observados y consideran que un

modelo VAR(p) es apropiado para capturar la dinámica involucrada.

(6)

Desagregación temporal de series de tiempo multivariante

Para el método de Guerrero y Nieto (1999), por principio se requiere tener como insumo unas series de tiempo denominadas series preliminares.

Dichas series deben tener cierta analogía o comportamiento similar con las que se pretenden desagregar, en este caso con los incrementos demográficos (PGR).

Desde la perspectiva demográfica se proponen las series preliminares de

acuerdo con el siguiente algoritmo, pero antes se contextualiza en

términos geográficos…

(7)

Mapa país

Estados Unidos Mexicanos (México)

(8)

Mapa Estado de México y D. F.

(9)

Mapa de la Ciudad Central

(10)

ZMCM y su composición en anillos concéntricos

(11)

Ciudad Central (ccp

_t

)

Delegaciones: Benito Juárez, Cuauhtémoc, Miguel Hidalgo y Venustiano Carranza.

Primer anillo (frp

_t

)

Delegaciones: Azcapotzalco, Coyoacán, Cuajimalpa, Gustavo A. Madero, Iztacalco, Iztapalapa y Álvaro Obregón;

Municipios: Naucalpan y Nezahualcóyotl.

Segundo anillo (srp

_t

)

Delegaciones: Magdalena Contreras, Tláhuac, Tlalpan y Xochimilco; Municipios: Atenco, Atizapán, Coacalco, Chimalhuacán, Ecatepec, Huixquilucan, La Paz, Tlalnepantla, Tultitlán y Cuautitlán Izcalli.

Tercer anillo (trp

_t

)

Delegaciones: Milpa Alta; Municipios: Acolman, Cuautitlán, Chalco, Chiautla, Chicoloapan, Chiconcuac, Ixtapaluca, Jaltenco, Melchor Ocampo, Nextlalpan, Nicolás Romero, Papalotla, Tecámac, Teoloyucán, Teotihuacán, Tepetlaoxtoc, Tepotzotlán, Texcoco, Tezoyuca, Tultepec y Zumpango.

Composición de la ZMCM

(12)

Metodología: a ) Generación series preliminares

Algoritmo utilizado, para generar las series preliminares de las tasas acumulativas de crecimiento demográfico (PGR):

I. Construir las series anuales de crecimiento natural de la población para el D. F. y el Estado de México, para los años t = 1941, 1942, …, 2000.

II. Calcular de manera recursiva las poblaciones de ambas unidades geográficas para t = 1941, 1942, …, 2000.

III. Calcular las proporciones de las poblaciones de los contornos con respecto al total del D. F. y el Estado de México, para los años

censales 1940, 1950, …, 2000, y hacer interpolaciones lineales para los años intercensales.

IV. Calcular las series de población para cada anillo, como el producto de las proporciones de los anillos del paso III, por las series del paso II.

V. Añadir a las series del paso IV los efectos de migración.

VI. Estimar las tasas acumulativas de crecimiento demográfico (PGR)

entre 1940 y cada año desde 1941 hasta 2000, para cada anillo.

(13)

Z D

W D

Y D

) C

(

A _D _D _D _D

D

D W Y W

Z ^   

' P

C A I

Cov ( Z ^ _D  Z _D W _D )  ( _knm  _D _D )Π ^- ¹ (   )Π ^- ¹

 ^  ^



 P ' C ' C P C ' A _D Π ^- ¹ (  )Π ^- ¹ _D _D Π ^- ¹ (  )Π ^- ¹ _D

: conjunto de restricciones

: serie multivariante preliminar

: serie anual multivariante no-observable C D : matriz conocida constante

Sean,

Dados y , el mejor estimador lineal e insesgado de es (véase Guerrero y Nieto, 1999)

con

donde

Y D

W D Z _D

Metodología: b) Planteamiento

(14)

Modelos autorregresivos estimados (estadístico

t entre paréntesis)

(15)

1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 1.5

2 2.5 3 3.5x 10⁶

year

population

19400 1950 1960 1970 1980 1990 2000

1 2 3 4 5 6 7 8x 10⁶

year

population

1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

0 1 2 3 4 5 6 7x 10⁶

year

population

19400 1950 1960 1970 1980 1990 2000

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2x 10⁶

year

population

ccp _t frp _t

srp _t trp _t

Resultados de la desagregación*

*En rojo: series preliminares; en negro: series desagregadas; en verde y morado: IC al 95%; puntos en negro:

restricciones censales.

(16)

Series desagregadas: preliminares, finales y errores

estándar (100xSE)

(17)

Comparación entre los resultados de la

desagregación y la información del I Conteo de Población y Vivienda, 1995 (año intercensal)

Anillos

Valor observado en 1995

Límite Inferior al

95%

Estimado por la desagregación

Límite Superior

al 95%

ccp _t 0.195 0.171 0.192 0.213

frp _t 3.485 3.279 3.462 3.545

srp _t 3.706 3.529 3.648 3.767

trp _t 2.255 2.132 2.219 2.305

(18)

 _H    _H    _H 

F

F AC I I C A I

Cov        



 



 Z ^  Z Ψ _a Ψ ' _ε ' '

 

 ^ ^     ^  ^   ^ ¹

 I ' C ' C I ' C ' A Ψ _H  _a Ψ  _ε Ψ _H  _a Ψ  _ε

 ² ⁽ ^), ² ⁽ ^), ² ^(s ^), ² ⁽ ⁾ 

20 diag ccp frp rp trp

Σ _ε  I     

Resultado nuevo: Incorporación de

incertidumbre, atribuible a la desagregación, en los pronósticos multivariantes irrestrictos y

restringidos

Inclusión de la matriz de incertidumbre en los pronósticos:

sus elementos son extraídos de la diagonal de la matriz de covarianza obtenida de las desagregaciones univariantes.

Σ ε

 _H _a  _ε

F

F E I Σ Σ

Cov ( Z  ( Z Z ) Z )  Ψ  Ψ '  Irrestrictos

Restringidos

donde

(19)

Estimación del modelo VAR(p) para las series desagregadas (se encuentra que p=2)

Los residuales generan estadísticos Ljung-Box que conducen a no rechazar la hipótesis de ruido blanco a un nivel de significancia del 5%. Es decir,

(* en este caso, el estadístico de Ljung-Box no rechaza la hipótesis de ruido

blanco a un nivel de significancia del 1%).

(20)

Pronósticos restringidos y pruebas de compatibilidad

Para obtener pronósticos irrestrictos multivariantes, primero se estima un

modelo VAR para las series de población, para que se emplea la prueba de

likelihood ratio (upper bound p=5). En la parte determinística, se utilizó una

constante en cada ecuación.

(21)

Generación de pronósticos irrestrictos con el modelo VAR(2) para las series desagregadas y resultados del II Conteo de Población y Vivienda, 2005

1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 -1

0 1 2 3 4 5

Year

c u m u la ti v e P G R

Anillos

Valor observado en 2005

Límite Inferior 95%

Pronóstico irrestricto

Límite Superior 95%

ccp _t 0.147 0.034 0.104 0.175

frp _t 3.477 3.350 3.458 3.567

srp _t 3.866 3.856 4.008 4.160

trp _t 2.694 2.534 2.627 2.720

— Ciudad Central

— Primer anillo

— Segundo anillo

— Tercer anillo

(22)

Pruebas de compatibilidad

La combinación de información debe ser juzgada desde un punto de vista empírico, pues las metas impuestas podrían contradecir el comportamiento observado de las series. Para este fin, se utiliza el siguiente estadístico propuesto por Guerrero y Peña (2003)

con

donde Entonces cae en la región de compatibilidad si el estadístico calculado no es mayor que el percentil de una Ji-cuadrada con M grados de libertad, y se declara que es incompatible con al 100 % de significancia si .

También se pueden utilizar estadísticos de compatibilidad parcial para

evaluar la a compatibilidad de restricciones específicas con los pronósticos

irrestrictos ( ).

(23)

Metas oficiales

(Tomadas de Gobierno del DF y CONAPO, 2000. Programas de Población del Distrito Federal 2001-2006. Nivel normativo: Metas)

Las metas oficiales de crecimiento demográfico resultan incompatibles (K = 3.45 que es significativa, comparada con una F con 13 y 33 grados de libertad).

t =2003 t =2006 t =2010 t =2020

sin meta sin meta

sin meta Pronóstico

restringido

Año

ztrp

t



zsrp

t



zfrp

t



zccp

t

 5

2005

(1  0.004)



Fzccp zccp

^ ₂₀₁₀

(1  0.009)

¹⁰

3 2000

(1  0.003)

zfrp Fzfrp

^ ₂₀₀₅

(1  0.005)

⁵

zfrp

^ ₂₀₁₀

(1  0.003)

¹⁰

3 2000

(1  0.012)

zsrp zsrp

^ ₂₀₀₃

(1  0.011)

³

zsrp

^ ₂₀₀₆

(1  0.007)

⁴

zsrp

^ ₂₀₁₀

(1  0.005)

¹⁰

3 2000

(1  0.024)

ztrp ztrp

^ ₂₀₀₃

(1  0.022)

³

ztrp

^ ₂₀₀₆

(1  0.008)

⁴

ztrp

^ ₂₀₁₀

(1  0.007)

¹⁰

Pronósticos restringidos y pruebas de

compatibilidad

(24)

Metas propuestas en este trabajo

Las nuevas metas de crecimiento demográfico propuestas son compatibles con la historia (K = 0.74 no es significativa, comparada con una F con 13 y 33 grados de libertad).

t =2003 t =2006 t =2010 t =2020

sin meta sin meta

sin meta Pronóstico

restringido propuesto

Año

ztrp

t



zsrp

t



zfrp

t



zccp

t

 5

2005

(1  0.025)



Fzccp zccp

^ ₂₀₁₀

(1  0.035)

¹⁰

3 2000

(1  0.015)

zfrp Fzfrp

^ ₂₀₀₅

(1  0.01)

⁵ ¹⁰

2010

(1  0.008)



zfrp

3 2003

(1  0.032)



zsrp

⁴

2006

(1  0.03)



zsrp zsrp

^ ₂₀₁₀

(1  0.023)

¹⁰

3 2003

(1  0.045)



ztrp

⁴

2006

(1  0.038)



ztrp ztrp

^ ₂₀₁₀

(1  0.024)

¹⁰

3 2000

(1  0.032) zsrp

3 2000

(1  0.047)

ztrp

(25)

Pruebas de compatibilidad con propuestas propias

(26)

Generación de pronósticos restringidos con series desagregadas

1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 -1

0 1 2 3 4 5

Year

c u m u la ti v e P G R

— Ciudad Central

— Primer anillo

— Segundo anillo

— Tercer anillo

(27)

¿Qué capacidad predictiva tienen los pronósticos estimados con base en los resultados del Censo de

Población y Vivienda en México, 2010?

Resultados de un trabajo de investigación

realizado con Dr. Manuel Ordorica de El Colegio de México

(28)

http://www.youtube.com/watch?v=hlh38jEorE4

Dr. Eduardo Sojo, Presidente del INEGI, Presentación de los Resultados del Censo de Población y Vivienda 2010…particularmente lo que ha

llamado mucho la atención del Censo de Población y Vivienda es el

incremento en la población, encontramos, más mexicanos de los que se

tenían previstos en las proyecciones…

(29)

Delegación/Municipio 1940 1950 1960 1970 1980 1990 1995 2000 2005 2010

Ciudad de México 1,448,422 2,234,795 2,832,133 2,902,969 2,595,823 1,930,267 1,760,359 1,688,401 1,677,358 1,721,137

Benito Juárez n.d. n.d. n.d. n.d. 544,882 407,811 369,956 359,334 355,017 385,439

Cuauhtémoc n.d. n.d. n.d. n.d. 814,983 595,960 540,382 515,132 521,348 531,831

Miguel Hidalgo n.d. n.d. n.d. n.d. 543,062 406,868 364,398 351,846 353,534 372,889

Venustiano Carranza n.d. n.d. n.d. n.d. 692,896 519,628 485,623 462,089 447,459 430,978 Total Ciudad Central 1,448,422 2,234,795 2,832,133 2,902,969 2,595,823 1,930,267 1,760,359 1,688,401 1,677,358 1,721,137

Azcapotzalco 63,000 187,864 370,724 534,554 601,524 474,688 455,131 440,558 425,298 414,711 Coyoacán 35,248 70,005 169,811 339,446 597,129 640,066 653,489 639,021 628,063 620,416 Cuajimalpa de Morelos 6,025 9,676 19,199 36,200 91,200 119,669 136,873 151,127 173,625 186,391 Gustavo A. Madero 41,567 204,833 579,180 1,186,107 1,513,360 1,268,068 1,256,913 1,233,922 1,193,161 1,185,772 Iztacalco 11,212 33,943 198,904 477,331 570,377 448,322 418,982 410,717 395,025 384,326 Iztapalapa 25,393 76,621 254,355 522,095 1,262,354 1,490,499 1,696,609 1,771,673 1,820,888 1,815,786 Alvaro Obregón 32,313 93,176 220,011 456,709 639,213 642,753 676,930 685,327 706,567 727,034 Naucalpan de Juárez 11,051 12,737 16,021 387,184 730,170 786,551 839,723 857,511 821,442 833,779 Nezahualcóyotl n.d. n.d. n.d. 580,436 1,341,230 1,256,115 1,233,868 1,224,924 1,140,528 1,110,565 Total Primer anillo 225,809 688,855 1,828,205 4,520,062 7,346,557 7,126,731 7,368,518 7,414,780 7,304,597 7,278,780

Magdalena Contreras, La 13,159 21,955 40,724 75,429 173,105 195,041 211,898 221,762 228,927 239,086

Tláhuac 13,843 19,511 29,880 62,419 146,923 206,700 255,891 302,483 344,106 360,265

Tlalpan 19,249 32,767 61,195 130,719 368,974 484,866 552,516 580,776 607,545 650,567 Xochimilco 33,313 47,082 70,381 116,493 217,481 271,151 332,314 368,798 404,458 415,007

Atenco 5,023 5,424 7,341 10,616 16,418 21,219 27,988 34,393 42,739 56,243

Atizapán de Zaragoza n.d. n.d. n.d. 44,322 202,248 315,192 427,444 467,262 472,526 489,937 Coacalco de Berriozábal 1,736 2,315 3,984 13,197 97,353 152,082 204,674 252,270 285,943 278,064 Chimalhuacán 7,399 13,004 76,740 19,946 61,816 242,317 412,014 490,245 525,389 614,453 Ecatepec de Morelos 10,501 15,226 40,815 216,408 784,507 1,218,135 1,457,124 1,620,303 1,688,258 1,656,107 Huixquilucan 12,034 13,491 16,229 33,527 78,149 131,926 168,221 193,156 224,042 242,167

Paz, La 3,052 4,194 7,880 32,258 99,436 134,782 178,538 213,045 232,546 253,845

Tlalnepantla de Baz 14,626 29,005 105,447 366,915 778,173 702,807 713,143 720,755 683,808 664,225

Tultitlán 6,638 9,237 15,479 52,317 136,829 246,464 361,434 432,411 472,867 524,074

Cuautitlán Izcalli n.d. n.d. n.d. n.d. 173,754 326,750 417,647 452,976 498,021 511,675 Total Segundo anillo 140,573 213,211 476,095 1,174,566 3,335,166 4,649,432 5,720,846 6,350,635 6,711,175 6,955,715

Milpa Alta 14,786 18,212 24,379 33,694 53,616 63,654 81,102 96,744 115,895 130,582

Acolman 7,234 9,422 12,230 20,964 32,316 43,276 54,468 61,181 77,035 136,558

Cuautitlán 10,701 13,622 20,509 41,156 39,527 48,858 57,373 75,831 110,345 140,059

Chalco 17,994 22,056 29,725 41,450 78,393 106,450 175,521 222,201 257,403 310,130

Chiautla 3,479 3,867 4,862 7,266 10,618 14,764 16,602 19,559 22,664 26,191

Chicoloapan 2,417 3,229 4,719 8,750 27,354 57,306 71,351 77,506 170,035 175,053

Chiconcuac 3,587 4,520 6,031 8,399 11,371 14,179 15,448 17,977 19,656 22,819

Ixtapaluca 7,765 10,787 20,472 36,722 77,862 137,357 187,690 293,160 429,033 467,361

Jaltenco 2,236 2,767 3,322 4,738 7,847 22,803 26,238 31,608 26,359 26,328

Melchor Ocampo 4,156 4,928 6,537 10,834 17,990 26,154 33,455 37,724 37,706 50,240

Nextlalpan 2,349 2,611 3,602 4,360 7,380 10,840 15,053 19,755 22,507 34,374

Nicolás Romero 17,283 23,346 29,617 47,504 112,645 184,134 237,064 269,393 306,516 366,602

Papalotla 815 706 735 1,088 1,769 2,387 2,998 3,469 3,766 4,147

Tecámac 7,718 9,104 11,971 20,882 84,129 123,218 148,432 172,410 270,574 364,579

Teoloyucán 5,656 7,446 9,939 15,477 28,836 41,964 54,454 66,486 73,696 63,115

Teotihuacán 6,667 8,348 10,477 16,283 30,140 30,486 39,183 44,556 46,779 53,010

Tepetlaoxtoc 5,379 5,373 5,471 7,068 10,019 16,120 19,380 22,687 25,507 27,944

Tepotzotlán 7,879 10,703 12,682 21,902 27,079 39,647 54,419 62,247 67,724 88,559

Texcoco 24,812 32,265 42,525 65,628 105,851 140,368 173,106 203,681 209,308 235,151

Tezoyuca 2,161 2,532 3,424 4,770 7,567 12,416 16,338 18,734 25,372 35,199

Tultepec 3,638 5,517 7,744 11,480 22,910 47,323 75,996 93,364 110,145 91,808

Zumpango 14,073 17,498 22,677 36,105 51,393 71,413 91,642 99,781 127,988 159,647

Total Tercer anillo 172,785 218,859 293,650 466,520 846,612 1,255,117 1,647,313 2,010,054 2,556,013 3,009,456