MECHANICS OF MATERIALS

(1)

MATERIALS

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

John T. DeWolf

Lecture Notes:

J. Walt Oler

Texas Tech University

4 Flexión Pura

(2)

MECHANICS OF MATERIALS

Third Edition Beer • Johnston • DeWolf

4 - 2

Flexión Pura

Flexión Pura: Elementos prismaticos sujetos a pares de fuerzas iguales y en sentidos contrarios actuando en el mismo plano longitudinal

(3)

•  Principio de superposición: El esfuerzo normal debido a flexión pura se puede combinar con el esfuerzo normal debido a carga axial y esfuerzo cortante

producto de una carga cortante para

•  Cargas exentricas: Carga axial que no pasa a traves de la seccion centroidal produce fuerzas internas equivalentes a una fuerza axial y un par.

•  Carga transversal: Carga transversal concentrada o distribuida produce fuerzas internas equivalentes a una fuerza cortante y un par.

(4)

MECHANICS OF MATERIALS

4 - 4

Elemento Simétricos en Flexión pura

∫− =

=

∫ =

=

∫ =

=

M dA y

M

dA z

M

dA F

x z

x y

x x

σ σ σ

0 0

•  Estos requisitos podrán ser aplicados a las cantidades de los componentes y los momentos de las fuerzas internas elementales estáticamente indeterminadas.

•  Las fuerzas internas en cualquier sección transversal son equivalentes a un par. El momento de la pareja es la sección del momento de flexión.

•  Desde la estática, un par M consta de dos fuerzas iguales y opuestas.

•  La suma de las componentes de las fuerzas en cualquier dirección es cero.

•  El momento es el mismo alrededor de un eje perpendicular al plano del par y cero alrededor de cualquier eje contenido en el plano.

(5)

Barra con un plano de simetria en flexion pura

•  El elemento permanece simétrico

•  Se dobla uniformemente para formar un arco circular

•  El plano de sección transversal pasa a través del centro del arco y permanece plana

•  La longitud de la parte superior disminuye y la longitud de la parte inferior incrementa

•  una superficie neutra debe existir esta es paralela a las superficies superior e inferior y para el cual la longitud no cambia

•  Esfuerzos y tensiones son negativas (compresión)

(6)

MECHANICS OF MATERIALS

4 - 6

Tensión debido a flexion

Considere un segmento de viga de longitud L.

Después de la deformación, la longitud de la superficie neutra permanece L. En otras

secciones,

( )

m x

m m x

c y

ρ c c

y y

L

y y

L L

y L

ε ε

ε ε ρ

ρ ρθ

θ ε δ

θ ρθ

θ ρ

δ

θ ρ

−

=

−

=

−

=

−

=

−

′ =

−

=

−

′ =

or

linearly) ries

(strain va

(7)

•  Para un material elástico lineal,

linearly) varies

(stress

m

m x

x

c y

c E E y

σ

ε ε

σ

−

=

−

=

•  Por equilibrio estático,

∫

−

=

−

=

dA c y

c dA dA y

F

m

m x

x

σ

σ σ

0

Primer momento con respecto al plano neutro es cero. Por lo tanto, la superficie neutra debe pasar a través de la sección de centroide.

•  Por equilibrio estático,

c y S

M I

Mc

c dA I

c y M

c dA y y

dA y

M

m x

m

m m

m x

−

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

−

=

−

=

∫

σ σ

σ

σ σ

ng Substituti

2

(8)

MECHANICS OF MATERIALS

4 - 8

Porpiedades de la sección

•  La máxima tensión normal debido a la flexión

modulus section

inertia of

moment section

=

c S I I

S M I

m Mc σ

Una sección de la viga con un módulo de sección más grande tendrá una tensión máxima más baja

•  Considere una sección transversal de la viga rectangular,

Ah h bh

bh c

S I ₆¹ ³ ₆¹

3 121

2 = =

=

Entre dos vigas con la misma área de sección transversal, el haz con la mayor profundidad será más eficaz en la resistencia a la flexión.

•  Vigas de acero estructurales están diseñados para tener un gran módulo de sección.

(9)

(10)

MECHANICS OF MATERIALS

4 - 10

Deformaciones en la sección transversal

•  La deformación por flexión de un momento M se cuantifica por la curvatura de la superficie neutra

EI M

I Mc Ec Ec

c

m m

=

= 1

1 ε σ

ρ

•  Aunque los planos de sección transversal permanecen plana cuando es sometido a momentos de flexión, en el plano deformaciones son distintos de cero,

ρ νε ν

ρ ε νε ν

ε_y = − _x = ^y _z = − _x = ^y

•  Expansión por encima de la superficie neutra y

contracción por debajo de ella causa una curvatura en el plano,

curvature c

anticlasti 1 = =

′ νρ ρ

(11)

Una pieza de la máquina de hierro fundido recibe la acción de un 3 kN-m par.

Sabiendo E = 165 GPa y despreciando los efectos de los filetes, determine (a) la

SOLUCION:

•  Basado en la geometría de sección transversal, calcular la ubicación de la sección de centroide y el momento de inercia.

( )

= ∑ +

∑

= ∑ I _′ I Ad²

A A

Y y _x

•  Aplicar la fórmula de flexión elástica para encontrar la tracción máxima y esfuerzos de compresión.

I

m = Mc σ

•  Calcular la curvatura

EI

= M ρ 1

(12)

MECHANICS OF MATERIALS

4 - 12

Ejemplo Problema 4.2

SOLUCION:

Basado en la geometría de sección transversal, calcular la ubicación de la sección de centroide y el momento de inercia.

mm 3000 38

10 114 ³

× =

∑ =

= ∑ A

A Y y

∑ = ×

∑ =

×

=

×

=

×

3 3 3 3 2

10 114 3000

10 4 2 20

1200 30

40 2

10 90 50

1800 90

20 1

mm , mm

, mm

Area,

A y A

A y y

( ) ( )

4 9 - 3

2 3

121 2

3 121

2 3

121 2

m 10 868 mm

10 868

18 1200 40

30 12

1800 20

90

×

=

×

=

× +

×

=

∑ +

∑ + =

′ =

I

d A bh

d A I I_x

(13)

•  Aplicar la fórmula de flexión elástica para encontrar la tracción máxima y esfuerzos de compresión.

4 9

mm 10

868

m 038 . 0 m kN 3

mm 10

868

m 022 . 0 m kN 3

−

×

− ⋅

=

−

=

×

= ⋅

=

I c M

I Mc

B B A A m

σ σ σ

MPa 0

. +76

A = σ

MPa 3

.

−131

B = σ

•  Calcular la curvatura

(¹⁶⁵^GPa³)^kN

(

⁸⁶⁸^m¹⁰^-⁹^m⁴

)

1

×

= ⋅

= EI M ρ

m 7 . 47

m 10 95 .

1 20 ₃ _-₁

=

×

= ⁻

•  Considere una viga de material compuesto formado a partir de dos materiales con E₁ y E₂.

•  Tensión normal varía linealmente.

ε_x = − ρ^y

•  Piecewise linear normal stress variation.

ε ρ ρ σ

ε

σ₁ = Ê₁ _x = −Ê¹^y ₂ = Ê₂ _x = − Ê²^y

Eje neutro no pasa por la sección centro de gravedad de la sección compuesta.

•  Las fuerzas elementales de la sección son

ydA dA E

dF ydA

dA E

dF σ ρ

σ₁ ρ¹ ₂ ₂ ²

1 = = − = = −

( ) ( )

1 2 1

2 1 E

n E dA

y n dA E

y

dF = − nE = − =

ρ ρ

•  Definir una sección transformada de tal manera que

x x

x

n I

My

σ σ

σ

=

−

=

2 1

(27)

La barra está hecho de piezas

unidas de acero (Is = 29 x 106 psi) y latón (Eb = 15x106 psi).

Determinar la tensión máxima en el

SOLUTION:

•  Transformar la barra a una sección transversal equivalente hecha de latón

•  Evaluar las propiedades transversales de la sección transformada

•  Calcular la tensión máxima en la sección transformada. Esta es la máxima tensión correcta para las piezas de latón de la barra.

•  Determinar la tensión máxima en la parte de acero de la barra multiplicando la tensión máxima para la sección

(28)

MECHANICS OF MATERIALS

4 - 28

Ejemplo 4.03

•  Evaluar las propiedades de la sección transversal

transformados ( )( )

4

3 121

in 063 . 5

in 3 in.

25 . 2

=

= b h

I _T

SOLUCION:

•  Transformar la barra a una sección transversal equivalente hecha de latón.

in 25 . 2 in 4 . 0 in 75 . 0 933 . 1 in 4 . 0

933 . psi 1 10 15

psi 10 29

6 6

= +

× +

=

× =

= ×

=

T b s

b E n E

•  Calcular las tensiones máximas

( )( ) ₁₁_.₈₅_ksi

in 5.063

in 5 . 1 in kip 40

4 =

= ⋅

= I

m Mc σ

( )

( )_max^max = =¹^.⁹³³×¹¹^.⁸⁵^ksi

=

m s

m b

nσ σ

σ

σ ( )

( ) ^22.9 ^ksi

ksi 85 . 11

max max

=

s b

σ σ

(29)

•  Vigas de hormigón sometidas a momentos de flexión se ven reforzadas por varillas de acero.

•  En la sección transformada, el área de la sección transversal del acero, As, se sustituye por el área equivalente nA_s donde n = E_s/E_c.

•  Para determinar la ubicación del eje neutro,

( ) ( )

0 2 0

2

21 + − =

=

−

d A n x A n x

b

x d A x n

bx

s s

s

•  La tensión normal en el hormigón y el acero

σ = −My

•  Las varillas de acero llevan toda la carga de tracción por debajo de la superficie neutra. La parte superior de la viga de hormigón lleva la carga de compresión.

(30)

MECHANICS OF MATERIALS

4 - 30

Ejemplo Problema 4.4

Una losa de piso de concreto reforzado con varillas de acero 5/8 pulgadas de diámetro. El módulo de elasticidad es

29x106psi para el acero y 3.6x106psi para el hormigón. Con una carga de flexión aplicada de 40 kip*in el ancho de 1 pie de la losa, determinar la tensión máxima en el hormigón y el acero.

SOLUCION:

•  Transformar a una sección hecha de hormigón.

•  Evaluar las propiedades geométricas de la sección transformada.

•  Calcular las tensiones máximas en el hormigón y el acero.

(31)

SOLUCION:

•  Transformar a una sección hecha de hormigón.

( )

₈⁵ ² ²

4 6 6

in 95 . 4 in

2 06 . 8

06 . psi 8 10 6 . 3

psi 10 29

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

× ⎡

=

× =

= ×

=

s π c s

nA E n E

•  Evaluar las propiedades geométricas de la sección transformada.

( )

( )( )³

(

²

)

⁽ ⁾² ⁴

31 12in 1.45in 4.95in 2.55in 44.4in in

450 . 1 0

4 95 . 2 4

12

= +

=

−

⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

I

x x x

x

•  Calcular las tensiones máximas.

4 1

in 44.4

in 1.45 in

kip 40 ⋅ ×

=

= I

c Mc

σ σc ⁼¹^.³⁰⁶^ksi

(32)

MECHANICS OF MATERIALS

4 - 32

Concentraciones de Esfuerzos

Pueden ocurrir concentraciones de esfuerzos:

•  en la proximidad de los puntos donde se aplican las cargas

I K Mc

m = σ

•  en las proximidades de cambios abruptos en sección transversal

(33)

•  Para cualquier miembro sometido a flexión pura

m

x c

yε

ε = − tensión varía linealmente a través de la sección

•  Si el miembro está hecho de un material elástico lineal, el eje neutro pasa a través de la sección centroide

I

x = −My

y σ

•  Para un material con una curva de tensión-deformación no lineal, la ubicación eje neutro se encuentra si se satisface:

= ∫−

∫ =

= dA M y dA

F_x σ_x ⁰ σ_x

•  Para un miembro con planos vertical y horizontal de simetría y un material con la misma resistencia a la

tracción y a la compresión relación tensión-deformación, el eje neutro se encuentra en la sección de centroide y la

(34)

MECHANICS OF MATERIALS

4 - 34

Deformaciones Plasticas

•  Cuando la tensión máxima es igual a la resistencia a la rotura del material, se produce el fracaso y el momento correspondiente M_U se conoce como el último momento de flexión.

•  El módulo de rotura en flexión,R_B, se encuentra a partir de un valor determinado experimentalmente de M_U y una distribución de la tensión lineal ficticia.

I c R_B = M^U

•  R_B puede ser utilizado para determinar M_U de cualquier miembro de hecho del mismo material y con la misma forma pero diferentes

dimensiones de la sección transversal.

(35)

•  Viga rectangular hecha de un material elastoplástico

moment elastic

maximum

=

≤

Y Y

Y m

m Y

x

c M I

I Mc

σ σ

σ

σ σ

σ

•  Si el momento se incrementa más allá del momento máximo elástico, zonas plásticas se desarrollan

alrededor de un núcleo elástico.

thickness -

half core elastic 1 ₃¹ ₂²

23 ⎟⎟ =

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

= _Y ^Y y_Y

c M y

M

•  En el límite como el momento se incrementa aún más, el espesor de núcleo elástica tiende a cero, lo que

corresponde a una deformación plástica totalmente.

moment plastic

23 =

= _Y

p M

M

(36)

MECHANICS OF MATERIALS

4 - 36

Deformaciones Plásticas de los Elementos con un Solo plano de simetría

•  Deformación plástica total de una viga con sólo un plano vertical de simetría.

•  Resultantes R₁ y R₂ de las fuerzas de compresión y tracción elementales forman un par.

Y

Y A

A

R R

σ

σ ₂

1

2 1

=

El eje neutro de la sección se divide en áreas iguales.

•  El momento plástico para el elemento,

(

^A

)

^d

M_p = ₂¹ σ_Y

•  El eje neutral no se puede suponer que pasa a través de la sección de centroide.

(37)

•  Zonas plásticas se desarrollan en un miembro de un material elastoplástico si el momento de

flexión es lo suficientemente grande.

•  Dado que la relación entre el estrés normal y la tensión es lineal y se aplica en todos los puntos durante la fase de descarga, puede ser manejado suponiendo que el elemento es totalmente elástico.

•  Las tensiones residuales se obtienen aplicando el principio de superposición para combinar las tensiones debido a la carga con un momento M (deformación elastoplástico) y de descarga con un -M momento (deformación elástica).

•  El valor final de la tensión en un punto no será,

(38)

MECHANICS OF MATERIALS

4 - 38

Ejemplo 4.05, 4.06

Un miembro de sección transversal rectangular uniforme se somete a un momento de flexión M

= 36,8 kN-m. El miembro está hecho de un

material elastoplástico con un límite elástico de 240 MPa y un módulo de elasticidad de 200 GPa.

Determine (a) el grosor del núcleo elástico, (b) el radio de curvatura de la superficie neutra.

Después de la carga se ha reducido de nuevo a cero, determine (c ) La distribución de tensiones

residuales, (d) radio de curvatura.

(39)

( )( ) (

¹²⁰^m ¹⁰ ^m

)

⁽²⁴⁰^MPa⁾

10 120

10 60 10

50

3 6 3 6

3 2 3

32 2 32

×

=

×

=

×

=

−

Y

Y I

M

m m

c bc I

σ

•  Momento máximo elástico:

•  Espesor del núcleo elástico:

( )

666 . mm 0 60

1 m kN 28.8 m

kN 8 . 36

1

2 2 13 23

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

⋅

=

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

=

Y Y

Y Y Y

y c

y

c y c

M y M

mm 80 2y_Y =

•  Radio de curvatura:

3

9 6

10 2 . 1

Pa 10 200

Pa 10 240

−

=

×

=

×

= ×

=

Y Y Y Y

y E

ε ρ ε σ

(40)

MECHANICS OF MATERIALS

4 - 40

Ejemplo 4.05, 4.06

•  M = 36.8 kN-m

MPa 240

mm 40

Y =

= σ

yY

•  M = -36.8 kN-m

Y 3 6

2 MPa 7

. 306

m 10 120

m kN 8 . 36

σ σ

<

= ×

= ⋅

′ =

I

m Mc

•  M = 0

6 3 6

9 6

10 5 . 177

m 10 40

10 5 . 177

Pa 10 200

Pa 10 5 . 35

core, elastic

the of edge At the

−

×

= ×

−

=

×

−

=

×

= −

=

x Y x x

y E

ρ ε ε σ

m

= 225 ρ

(41)

•  El esfuerzo debido a la carga excéntrica encontrada mediante la superposición de la tensión uniforme debido a una carga centrada y distribución de la tensión lineal por un momento de flexión pura

( ) ( )

I My A

P

x x

x

−

=

+

= σ _centric σ _bending σ

•  Carga excéntrica

Pd M

P F

=

= •  La validez requiere: tensiones por debajo del límite proporcional, deformaciones tienen un efecto insignificante en la geometría, y

esfuerzos no evaluado cerca de los puntos de aplicación de la carga.

(42)

MECHANICS OF MATERIALS

4 - 42

Ejemplo 4.07

Una cadena de enlace abierto se obtiene

doblando barras de acero de bajo carbono en la forma que se muestra. Para 160 libras de carga, determine (a) la tensión máxima y tensiones de compresión, (b) la distancia entre la sección centroide y eje neutro

SOLUCION:

•  Encuentra la carga centrada

equivalente y momento de flexión

•  Superponer la tensión uniforme debido a la carga centrada y la

tensión lineal debido al momento de flexión.

•  Evaluar la resistencia a la tracción máxima y tensiones de compresión en los bordes interior y exterior, respectivamente, de la distribución de la tensión superpuesta.

•  Encontrar el eje neutro mediante la determinación de la ubicación

donde la tensión normal es cero.

(43)

•  Carga centrada

Equivalente y momento de flexión

( )( )

in lb 104

in 6 . 0 lb 160 lb 160

⋅

=

= Pd M

P

( )

psi 815

in 1963 .

0

lb 160 in 1963 .

0

in 25 . 0

0 2

2

2 2

=

A P c A

σ

π π

•  Tensión normal debido a una carga centrada

( )

( )( )

in 10 068 .

in 25 . 0 in lb 104

in 10 068 . 3

25 . 0

4 3 4 3

4 14

4 41

×

= ⋅

=

×

=

−

I Mc

c I

σm

π π

•  Tensión normal debido al momento de flexión

(44)

MECHANICS OF MATERIALS

4 - 44

Ejemplo 4.07

•  Tracción máxima y tensiones de compresión

8475 815

0 0

−

=

−

=

+

=

+

=

m c

m t

σ σ

σ

σ σ

σ

psi

=9260 σt

psi

−7660

c = σ

•  Ubicación del eje neutro

( )

in lb 105

in 10 068 . psi 3 815 0

4 3 0

0

⋅

= ×

=

−

=

−

M I A y P

I My A

P

in 0240 .

0 = 0 y

(45)

Las tensiones admisibles mayores para el enlace de hierro fundido son 30 MPa en

tensión y 120 MPa a compresión. Determine la fuerza más grande P que se puede aplicar al enlace.

SOLUCION:

•  Determinar una carga centrada equivalente y momento de flexión.

•  Evaluar las cargas críticas de la tracción permisible y esfuerzos de compresión.

•  La mayor carga admisible es la más Para Ejemplo Problema 2.4,

2 3m 10 3× ⁻

= A

•  Superponer el estrés debido a una carga centrada y la tensión debido a la

flexión.

(46)

MECHANICS OF MATERIALS

4 - 46

Ejemplo Problema4.8

•  Determine an equivalent centric and bending loads.

moment bending

028 . 0

load centric

m 028 . 0 010 . 0 038 . 0

=

−

=

P Pd

M P d

•  Evaluar las cargas críticas de tensiones admisibles.

kN 6 . 79 MPa

120 1559

kN 6 . 79 MPa

30 377

=

−

=

−

=

= +

=

P P

B A

σ σ

kN 0 .

=77

•  La mayor carga admisible P

•  Superpose stresses due to centric and bending loads

( )( )

( ^P)( ) _P

P I

Mc A

P

P P P

I Mc A

P

B A A A

10 1559 868

022 . 0 028 . 0 10

3

10 377 868

022 . 0 028 . 0 10

3

9 3

−

× =

× −

−

=

−

=

+

× =

× +

−

= +

−

=

−

σ σ

(47)

•  Análisis de flexión pura se ha limitado a los miembros sometidos a los pares de flexión que actúan en un plano de simetría.

•  Pasa a considerar las situaciones en las que los pares de flexión no actúan en un plano de simetría.

•  No se puede asumir que el elemento se doblará en el plano de los pares.

•  El eje neutro de la sección transversal coincide con el eje del par.

•  Los miembros siguen siendo simétrica y curvos en el plano de simetría.

(48)

MECHANICS OF MATERIALS

4 - 48

Flexión Asimétrica

Se desea determinar las condiciones en que el eje neutro de una sección

transversal de forma arbitraria coincide con el eje de la pareja como se muestra.

• 

par vector debe ser dirigida a lo largo de un eje centroidal director

inertia of

product I

dA yz

c dA z y

dA z

M

yz

m x

y

=

∫ =

=

∫ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

∫ =

=

= 0 or

0 σ σ

•  La fuerza resultante y el momento de la distribución de las fuerzas elementales en la sección deben satisfacer

couple applied

M M

M

F_x = 0= _y _z = =

• 

eje neutro pasa a través del centroide

= ∫

∫ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

∫ =

=

dA y

c dA dA y

F_x _x _m

0 or

0 σ σ

• 

define la distribución de esfuerzos

inertia of

moment I

c I I σ

c dA y y

M M

m z

=

∫ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

−

=

M or

σ