UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA – SEDE MEDELLÍN MECÁNICA DE FLUIDOS
PRÁCTICA: Propiedades de los fluidos Profesor: Andrés Gómez Giraldo
1. OBJETIVOS
− Presentar dos de las propiedades fundamentales de los fluidos: viscosidad y tensión superficial.
− Calcular la viscosidad usando el aparato Hele Shaw.
− Calcular la tensión superficial de pompas de jabón.
2. VISCOSIDAD 2.1 Marco teórico
Una clasificación bastante importante de los flujos (movimientos de fluidos) es entre flujos laminares y turbulentos. Los primeros son flujos suaves y ordenados en el cual elementos o partículas fluidas parecen organizarse en capas que se mueven deslizándose sobre las capas adyacentes. A pesar de que hay agitación molecular e intercambio de momentum entre capas adyacentes, prácticamente no hay mezcla a grandes escalas entre capas y el flujo es llamado laminar. El segundo tipo de movimiento está caracterizado por movimiento aleatorio o caótico de partículas fluidas individuales y por un rápido mezclado de esas partículas a través del flujo. Se observan vórtices de varios tamaños y el movimiento es llamado flujo turbulento. El factor que incide sobre si un flujo es laminar o turbulento es la importancia relativa de la fuerza que se opone al movimiento relativo de partículas y su inercia.
Cuando un esfuerzo cortante actúa sobre un sólido, genera una deformación angular que es
constante y proporcional a la magnitud del esfuerzo. Esta deformación desaparece cuando
se retira el esfuerzo que la genera. Cuando un esfuerzo cortante se aplica sobre un elemento
fluido, éste se deforma continuamente mientras el esfuerzo actúa. Sin importar que tan
pequeña sea la magnitud del esfuerzo, se puede obtener una deformación grande
simplemente dejando el esfuerzo actuar durante un tiempo largo. Un fluido no se opone a
deformarse, pero si hemos observado que ciertos fluidos se deforman (unas de sus capas
fluyen sobre otras) más fácilmente que otros. Esa propiedad que relaciona los esfuerzos
aplicados con la TASA DE DEFORMACIÓN es la viscosidad y es casi análoga al modulo
de rigidez de los sólidos, con las diferencia de que éste último relaciona esfuerzos con
DEFORMACIÓN. Puede demostrarse que la tasa de deformación puede calcularse, para
flujo laminar, como el gradiente de velocidad entre dos capas adyacentes. Se denominan
fluidos newtonianos aquellos en los que el esfuerzo cortante aplicado y la tasa de
deformación son proporcionales:
du
τ μ = dy (1)
La constante de proporcionalidad, μ , es la viscosidad del fluido.
2.2 Medición de la viscosidad usando el aparato Hele Shaw
Este aparato consiste básicamente en dos placas planas separadas una distancia pequeña a través de la cual fluye un líquido (agua en este caso). El fluido se mueve en capas que se deslizan sobre las capas adyacentes que se mueven con distinta velocidad (flujo laminar), generando un esfuerzo entre ellas. También se genera un esfuerzo entre cada una de las placas y las capas de fluido adyacentes que produce, al aplicarse sobre el área de contacto entre las placas y el fluido, una fuerza que se opone al movimiento y que es función de la viscosidad del fluido. Para sostener el movimiento debe existir entonces una diferencia de presión en la dirección del movimiento, siendo mayor la presión aguas arriba (P
1>P
2).
La Figura 1 muestra el esquema del montaje
Figura 1. Montaje de la práctica de flujo laminar entre placas planas y paralelas.
Haciendo un balance entre las fuerzas de presión debidas a las fuerzas de presión P
1y P
2y las fuerzas que se generan por resistencia viscosa de las paredes al flujo (todas las fuerzas externas en la dirección del movimiento) se llega a:
L P q h
μ 3 2
3Δ
= (2)
donde q es el caudal por unidad de ancho (q=Q/b), b=24.0cm es el ancho de la sección de flujo (perpendicular al papel), 2h=0.220cm es la separación entre las placas, Δ P = (P
1- P
2) es la caída de presión, μ es la viscosidad dinámica del líquido y L es la distancia entre los dos puntos de medida de presión. El caudal Q es el volumen de agua que pasa por una sección transversal del aparato en una unidad de tiempo (
Q=vol t)
L h
h P
1P
2z
2=P
2/ γ z
1=P
1/ γ
q
Conocidas las variables geométricas, h y L, la viscosidad puede calcularse al medir Q y Δ P.
El caudal se mide volumétricamente, es decir, tomando el tiempo necesario para recolectar un volumen dado de fluido (debido a la imprecisión del método de medida, cada caudal debe medirse varias veces hasta que se tenga confianza sobre el valor medido). La diferencia de presión se mide con un par de piezómetros:
1 2
( )
P γ z γ z z
Δ = Δ = − (3)
donde Δ z es la diferencia entre las lecturas de nivel en los dos piezómetros. Deben entonces tomarse varias parejas de datos (Q, Δ z), calcular las respectivas parejas de (q, Δ P) y estimar la viscosidad dinámica del agua mediante una regresión lineal y=mx, con intercepto cero, a partir de la ecuación (2) donde la pendiente de la regresión
2
33 m h
μ L
= . De esta última expresión se despeja el valor de la viscosidad. Recuerde que la pendiente de la línea de mejor ajuste a parejas de puntos (x
i, y
i) está dada estadísticamente por
n i i i
n i i
x y m
x
=
=
= ∑
∑
1 2
1
(4)
3. TENSIÓN SUPERFICIAL Marco teórico.
En la interfase entre un líquido y la atmósfera hay una fuerza pequeña atrayendo moléculas fuera del líquido porque hay relativamente pocas moléculas en el vapor por encima de la superficie. Dentro de la masa del líquido, las fuerzas intermoleculares de atracción y repulsión están balanceadas en todas las direcciones. Sin embargo, para moléculas en la superficie, las fuerzas cohesivas en la capa inferior a la superficie no son balanceadas por una fuerza igual en una capa superior idéntica. Esta situación lleva a que las moléculas en la superficie sean atraídas fuertemente por las de la capa inferior y las vecinas de su misma capa y causa que la superficie se comporte como si fuera una membrana: de ahí el nombre de tensión superficial. De hecho, tratar la superficie como si fuera una membrana capaz de soportar tensión es una analogía comúnmente empleada en el tratamiento teórico de problemas de tensión superficial. Cuando la superficie libre se curva, la fuerza de tensión superficial es capaz de soportar pequeñas cargas (fuerzas). ¡Una aguja colocada horizontal y suavemente sobre la superficie del agua no se hunde! La superficie desciende ligeramente como parte del proceso que causa una curvatura localizada de la superficie y el desarrollo de la fuerza necesaria para sostener la aguja.
La tensión superficial, σ , tiene unidades de fuerza por unidad de longitud [F L
-1]. Debido a
que la tensión superficial depende de la fuerza de atracción entre moléculas, su magnitud
disminuye con el aumento de la temperatura. La tensión superficial también depende del fluido que está por encima de la superficie libre. Los valores de tensión superficial reportados en tablas, normalmente están dados para fluidos en contacto con el aire.
3.2 Medición de la tensión superficial usando pompas de jabón
Considere el caso general de una pequeño elemento diferencial dx dy de una interfase con doble curvatura con radios R
1y R
2(Figura 2). Evidentemente una diferencia entre las presiones al interior y al exterior de la membrana (p
i-p
e) debe acompañar la fuerza de tensión superficial para mantener el equilibrio estático del elemento. Del balance estático resulta:
1 2
1 1
i e
p p
R R
σ
⎛ ⎞− = ⎜ + ⎟
⎝ ⎠
(5)
Figura 2. Elemento diferencial de una interfase curva.
Para una gota esférica R
1=R
2. En el caso de una burbuja esférica formada con una sustancia jabonosa existen dos membranas separadas entre si una pequeña distancia ε , de manera que el equilibrio estático sugiere que:
2 2
i e
p p R
R R
σ ε
ε
⎛ − ⎞
− = ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠ (6)
donde R es el radio de la membrana esférica exterior y R- ε es el radio de la membrana inferior. Cuando ε
R→0, esta expresión se simplifica, obteniendo
4
i e
p p
R
− = σ (7)
Así pues, podemos medir la tensión superficial de una sustancia jabonosa si logramos formar una burbuja, determinar la diferencia de presiones entre su interior y su exterior, y a la vez determinamos su radio. Para ello se construyó el montaje mostrado en la Figura 3 El equipo consiste básicamente en una cámara en donde se forman las burbujas y un manómetro de brazo inclinado para medir la diferencia de presiones. El sistema tiene acoplada una válvula que permite inflar las burbujas.
Figura 3. Montaje para medir la tensión superficial.
La presión al interior de la burbuja se transmite a uno de los lados del manómetro y desplaza el fluido manométrico (así se llama el fluido adentro del manómetro) una distancia l a lo largo del brazo inclinado del manómetro. La diferencia de presiones se calcula entonces como
i atm m
p p p ρ g lsen α
Δ = − = (8)
donde se ha tomado la presión atmosférica como la presión externa, ρ
mes la densidad del fluido manométrico, g la aceleración de la gravedad y α el ángulo que forman los brazos del manómetro con la horizontal. Para medir el radio de la esfera, se proyecta la sombra de la superficie esférica sobre un papel milimetrado usando una lámpara. Por supuesto el diámetro de la imagen es mayor que el diámetro de la burbuja real, así que debe hacerse una corrección Δ a los diámetros medidos en el papel milimetrado:
l Burbuja
Manómetro inclinado
Nivel de equilibrio
α p
intp
ext(
1)
medido real
D =D + Δ
(9)
La corrección Δ puede calcularse, por ejemplo, midiendo la longitud h’ de la proyección sobre el papel de un objeto con longitud real h:
(
h' h h)
Δ = −
(10)
Así pues
( 1 )
1( 1 ) ( 2 ' )
real medido medido medido
D = D + Δ
−≈ D − Δ = D − h h (11)
Deben tomar entonces varias parejas de puntos dados por el radio corregido y la diferencia de presión y encontrar la expresión de la hipérbola equilátera que mejor se ajusta a la nube de puntos, es decir encontrar la constante en la fórmula
4 p R cte σ
Δ = = (12)
El valor de la constante puede hallarse mediante el método de mínimos cuadrados. Para verlo más claro, divida ambos lados de la ecuación por R para obtener
4 1
p σ R
Δ = (13)
y como esta expresión no tiene la forma de una línea recta, se debe linealizar para poder hacer una regresión lineal. Una forma de hacerlo es introduciendo una nueva variable
Z = 1 R
, así que la ecuación (13) queda
4
p σ Z
Δ = ⋅ (14)
siendo la pendiente m = 4 σ . Una vez hallada la pendiente, se despeja el valor de la tensión superficial.
EN ESTE CASO, para reducir el tiempo de trabajo, no haremos regresión lineal para
encontrar el valor más apropiado de σ , sino que nos limitaremos a despejar directamente un
valor de σ para cada pareja de datos, despejando directamente de la ecuación (12).
Práctica: propiedades de los fluidos.
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1) Estimación de la viscosidad del agua
Datos: b = 24.0 cm., h = 0.11 cm., L = 50 cm., γ = 1000 gf/cm3
