Matemática
Conjuntos Numéricos IV
CUADERNILLO N°4
Contenidos
- Números irracionales.
- Definición de raíz.
- Propiedades de las raíces.
- Métodos de Racionalización.
- Orden en los racionales.
Aprendizajes Esperados
- Distinguir entre números racionales e irracionales.
- Operar correctamente en problemas con raíces.
- Aplicar procedimientos de racionalización cuando corresponda.
- Comprender la relación entre potencia y raíz.
1. Los Números Irracionales
Un número irracional es aquel que no puede ser representado como una fracción, es decir, es un número decimal infinito que no posee periodo. Los más conocidos son el número pi , el número de Euler , el número áureo y las raíces cuadradas de números que no sean cuadrados perfectos.
A la unión de los números racionales e irracionales se le denomina “Números Reales”
2. Definición de Raíz
Como ya habrás visto en la unidad de números, las raíces son lo mismo que una potencia, con la salvedad de que poseen un exponente fraccionario. Es decir:
Y si se tiene un exponente en la base de la raíz:
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Donde a (equivalente al radicando de la raíz) es mayor o igual que cero y n (se denomina índice) un entero positivo. Si el valor de a es un número real negativo, entonces la raíz se convierte en un número imaginario ( ). Durante las primeras unidades se estudiaron los subconjuntos de los números reales ( ). La unión entre los números reales y los imaginarios da como resultado un conjunto mayor: los números complejos ( ).
Sin embargo, los números imaginarios y los números complejos no forman parte de la PSU (pero es bueno que sepas algo de ellos).
3. Propiedades
Las raíces comparten las mismas propiedades que las potencias (por lo mencionado en la definición).
A) Multiplicación y división de raíces del mismo índice: Se multiplicarán/dividen los radicandos y se conservará el índice.
B) Raíz de una Raíz: Se multiplican los índices y se conserva el radicando.
C) Ingresar un factor a una raíz: El factor se elevará al mismo valor que el índice y pasará a multiplicar la base de la raíz.
Cabe destacar que también podemos utilizar esta propiedad para extraer un factor desde una raíz.
D) Amplificación de radicando e índice: Si se amplifican por el mismo valor, no se alterará el valor de la raíz:
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4. Racionalización
Racionalizar consiste en eliminar las raíces presentes en el denominador de una fracción. Para ello, se deberá identificar uno de los siguientes tres casos (no son los únicos, pero sí son comunes en PSU) y aplicar el algoritmo indicado.
A) Sólo raíz cuadrada: Se deberá multiplicar por la misma raíz.
B) Adiciones y sustracciones y sólo raíces cuadradas: Se debe multiplicar por un factor de tal manera que resulte una suma por diferencia (a dicho factor se le denomina conjugado).
C) Denominador con raíz cúbica: Se debe amplificar por una raíz, de tal manera que el exponente de ambos radicando sume “3”.
Como podrás darte cuenta, la expresión cambia totalmente respecto a la original. En la PSU, muchas respuestas que incluyen raíces han sido racionalizadas, por ello debes tener mucho cuidado… tu respuesta puede ser la correcta, sin embargo, si no la has racionalizado no estará entre las alternativas o peor aún, podría aparecer la opción “Ninguna de las anteriores”, la que podrías considerar correcta no siéndolo.
Ejercitación
1. ¿Cuál(es) de los siguientes números es (son) irracionales?
I.
II.
III.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III
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2. El valor de es:
A) 1 B) 5 C) 25 D) E)
3. La suma de resulta:
A) B) C) D)
E) No se pueden sumar 4.
A) 10 B) C) D) 32 E) 40
5. Si , entonces el valor de es:
A) B) C) D) 2 E) -2
6.
A) B) C) D) E) 1
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7. Si , y , entonces, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a ?
I.
II.
III.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III
8.
A) B) C) D) 47 E) 0
9. Al multiplicar se obtiene:
A) B) C) D) E)
10. Sobre el número podemos afirmar que:
A) Es un número natural.
B) Es un número entero.
C) No es un número real.
D) Es un número decimal infinito periódico.
E) Ninguna de las anteriores.
11. ¿Cuál es el valor de
?
A) 3 B) C) D) 4 E) 2
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12. La expresión
es equivalente a:
A) B) C) D) E)
13. ¿Cuál(es) de los siguientes números es (son) irracionales?
I.
II.
III.
A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 14.
A) 0
B) 1 C) m D) 1 + m E)
15. Un número racional comprendido entre y es:
A) B) C) 2,4 D) 2,7 E) 2,8
16. El valor de la expresión es:
A) B) C) D) E)
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17. ¿A cuál de los siguientes conjuntos pertenece ? A)
B) C) D) E)
18. Al racionalizar la expresión se obtiene:
A) B) C) D) E)
19.
A) B) C) D) E)
20. El valor de A) –
B) – C) D) E)
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Sección de Ejercicios
1) ¿Cuál de los siguientes números es racional?
A) B) C) D) E)
2) Al desarrollar se obtiene A) – 24
B) – 2 C) 0 D) 12 E) 74
3) El valor de
es:
A) B) 1 C) D) E)
4)
A)
B) C)
D)
E) Ninguno de los valores anteriores.
5) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
A) es irracional B) es irracional C) es real D) es irracional E) Toda fracción es real
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6) La potencia es equivalente a A)
B) C) D) E)
7) ¿Por cuánto hay que multiplicar para obtener ? A)
B) C) D) E)
8) ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a una cantidad menor que la fracción ? A)
B)
C) D) E)
9) ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde(n) a la suma de con ?
I.
II.
III.
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) II y III
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10) El valor de es:
A) B) C) D)
E) Ninguna de las anteriores
11) ¿Cuál(es) de los siguientes números multiplicados por da(n) como resultado un número racional? (PSU oficial año 2012)
I.
II.
III.
A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III
12) ¿Cuál de las siguientes igualdades es verdadera? (PSU oficial año 2012) A)
B) C) D)
E)
13) A)
B) C)
D) E)
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14) A) 1 B) 8 C) D) E)
15) ¿Cuál de las siguientes opciones no corresponde a un número racional?
A) B) C) D) E)
Ejercicio Guía 3
1 A
2 D
3 D
4 C
5 A
6 B
7 C
8 D
9 A
10 E
11 C
12 A
13 E
14 C
15 D
