1.1. Naturaleza, topología y optimización

Cap´ıtulo 1 Introducci´ on

“Optimization has the potential to change the world.”

George B. Dantzig

1.1. Naturaleza, topolog´ıa y optimizaci´ on

La naturaleza ha invertido millones de a˜ nos en la construcci´on y mejoramiento sistem´atico de sus estructuras, desarrollando estrategias propias que le permiten adaptar sus sistemas a un ambiente en permanente evoluci´on. El hombre, en su af´an de dar respuesta a sus necesidades, se ve confrontado a sopesar, cuidadosamente, tanto la inversi´on de recursos y tiempo como la calidad, est´etica y precisi´on en cada una de sus obras. Este desafio permanente, en el c´omo realizar mejor sus actividades, conduce en los dos casos, al mismo objetivo: la optimizaci´on.

Figura 1.1: Optimizaci´on natural de la estructura de un ´arbol, como resultado de la evoluci´on. Concepci´on estructural de elementos de apoyo, de m´ınimo peso, inspirada en la optimizaci´on de la naturaleza. Nuevo aeropuerto Stuttgart. [Fotos R. Parra]

En la Figura (1.1) se aprecia un ejemplo del proceso de optimizaci´on por parte

de la naturaleza, “el ´arbol ” y una reproducci´on de sus funciones “sistemas ramifi-

cado de apoyo”, como soluci´on ingenier´ıl, a la necesidad de vencer grandes luces, y transportar sus cargas al fundamento, en forma segura, econ´omica y est´eticamente agradable. Dos estructuras, que comparten el mismo principio estructural y topol´ogi- camente, cien por ciento comparables.

La optimizaci´on es un proceso asociado con la actividad creadora y modificadora del entorno, por parte del hombre, en su compromiso por buscar mejores soluciones a sus necesidades y desafios. La optimizaci´on podr´ıa definirse, en forma concreta, como ”el proceso de hacer, con una serie de recursos limitados y en lapso de tiempo definido, un producto mejor”. El t´ermino ”mejor”, en la definici´on precedente, im- plica que puede haber m´as de una soluci´on y que cada una de ellas puede tener valor diferente. El concepto de soluci´on ´optima no es, por lo tanto, un concepto absoluto, por el contrario, es un concepto relativo que depende de la formulaci´on y requeri- mientos de cada problema. En este sentido la definici´on coincide plenamente con la presentada por el Diccionario de la Real Acad´ emia de la Lenuga Espa˜ nola en su 22 ^◦ Edici´on [19] ”Optimizar es buscar la mejor manera de realizar una actividad”

La topolog´ıa es un concepto matem´atico que se refiere al estudio de las pro- piedades geom´etricas de las figuras planas y espaciales que no cambian debido al homomorfismo, tal como el acortamiento, alargamiento o deformaci´on. Un ejemplo cl´asico de estas figuras son lo toroides de rotaci´on o los marcos. Barr [8] define la topolog´ıa como el estudio de la continuidad del material relacionado con las formas y los espacios. Para estructuras modeladas en forma discreta, como por ejemplo mediante el M´etodo de los elementos finitos, la topolog´ıa hace referencia a la conser- vaci´on de la conectividad entre nudos y elementos antes y desp´ ues de experimentar desplazamientos y deformaciones debidas a solicitaciones externas, por ejemplo.

Optimizaci´on topol´ogica puede ser definida, a partir de los conceptos anteriores, como “el proceso matem´atico mediante el cual, atendiendo una serie de restriccio- nes y limitaciones, se establece la cantidad y ubicaci´on de material que puede ser minimizado o retirado en un objeto plano o en el espacio, arrojando como resultado un objeto con la menor cantidad de materia que cumple completamente con el obje- tivo principal para el cual fu´e concebido”. La optimizaci´on topol´ogica es el tipo de optimizaci´on estructural m´as general puesto que no depende de un tipo particular de estructura.

1.2. Optimizaci´ on topol´ ogica, rese˜ na hist´ orica

Se atribuye a Galileo Galilei (1564-1642) el primer trabajo sobre optimizaci´on

estructural. En su obra Discurso de dos nuevas ciencias [20] publicada en 1638

present´o los resultados de sus observaciones acerca del flujo de esfuerzos en vigas,

especialmente voladizos, como se muestra en la Figura (1.2) indicando que alguna

zona de estos elementos no estaba solicitada completamente. Aunque no cien por

ciento correcta la teor´ıa de un flujo constante y paralelo de esfuezos, si sirvi´o de referencia para que Bernoulli , basado en los trabajos de Young, Euler y Leibniz , pudiera desarrollar completamente la teor´ıa de la flexi´on. Igualmente este trabajo servir´ıa de referencia para que en 1904 Michell [40] identificara las trayectorias y concentraciones de esfuerzos en sus modelos de estructuras de m´ınimo peso.

Figura 1.2: Version original y optimizada del voladizo estudiado por Galileo 1638.

Adaptado de la referencia [20]

Wilhelm Leibniz (1646-1716) formul´o la teor´ıa del c´alculo diferencial a partir del concepto de sumatoria de series en 1684. Joseph Louis Lagrange (1736-1813) pu- blic´o en 1806 [22] su obra Le¸cons du calcul des fonctions donde desarroll´o la teor´ıa sobre el c´alculo de variaciones. De esta forma se consolid´o una base matem´atica s´olida, que permit´ıa definir formalmente todas aquellas hip´otesis y teor´ıas que a la fecha requer´ıan de un lenguaje formal para explicar el comportamiento en dominios infinitesimales. A partir de los operadores y aritm´etica diferencial se pudo concluir entre otras la formulaci´on de la teor´ıa de la flexi´on. Uno de los m´as valiosos aportes de calculo diferencial, visto desde la perspectiva de la optimizaci´on, es el concepto de la tangente nula de una funci´on. Este concepto se ha utilizado desde entonces como herramienta b´asica en el algebra lineal para determinar la abscisa en la cual se presenta un m´aximo o un m´ınimo, bien sea local o global.

El principio de la minima acci´on, desarrollado por Sir Willian Rowan Hamil- ton (1805 - 1865), presenta una alternativa a la mec´anica de Lagrange la cual planteaba la parematrizaci´on y configuraci´on del espacio mediante coordenadas ge- neralizadas en primera instancia. La mec´anica de Hamilton , asi denominada en su honor, considera variables generalizadas de posici´on y de impulso como variables in- dependientes. El aporte mas valioso f´ ue el de la ley de la conservaci´on de la energ´ıa.

Su alumno James Clerk Maxwell (1831 - 1879), durante sus trabajos sobre termo-

din´amica y magnetismo, demostr´o la reciprocidad del comportamiento del potencial termodin´amico y magn´etico Φ mediante la ecuaci´on conocida como la ”Ecuaci´on general de las relaciones de Maxwell” _∂x ^∂

j

( _∂x ^∂Φ

i

) = _∂x ^∂

i

( _∂x ^∂Φ

j

). Esta ecuaci´on demuestra en forma clara la invariabilidad de la posici´on de un valor m´aximo o m´ınimo de un campo magn´etico o t´ermico. La ecuaci´on general de las relaciones de Maxwell se conoce en la mec´anica de s´olidos y en general en el estudio de la elasticidad como la ley de las deformaciones rec´ıprocas de Maxwell y permite evaluar desplazamientos y l´ıneas de influencia, entre otros, a partir de principios de energ´ıa. Principios que fueron utilizados por Maxwell [38] para demostrar como una estructura puede al- canzar su l´ımite de econom´ıa de material.

Figura 1.3: Diferentes formas de las armaduras de m´ınimo peso presentadas por Michell en 1904. Elementos en l´ınea delgada indican solicitaciones a compresi´on, en l´ınea gruesa solicitaciones a tensi´on. Tomado de la referencia [40]

Hacia finales del siglo XIX e inicios del XX tuvo lugar un creciente inter´es e investigaci´on cient´ıfica por la construcci´on de estructuras livianas. A. Michell [40]

present´o en 1904 una serie de estructuras articuladas de m´ınimo peso como se apre-

cia en la Figura (1.3). En estas estructuras Michell logr´o identificar, a partir de

las trayectorias y concentraciones de esfuerzos, elementos estructurales que estaban

solicitados por debajo del esfuerzo promedio. Una vez identificados, procedi´o a reti-

rarlos y reajustar nuevamente las trayectorias de esfuerzos, hasta concebir de forma

intuitiva y experimental, muchas de las estructuras que actualmente permiten al

ingeniero estructural verificar sus modelos de optimizaci´on. El trabajo de Michell ,

aunque emp´ırico, es considerado como uno de los pioneros y referencia en la opti- mizaci´on topol´ogica. El trabajo de Michell sirvi´o posteriormente para que en la decada de los 40 Richard Buckminster F¨ uller (1895 - 1983) desarrollara las es- tructuras tipo tensegrity, en las cuales, los elementos que las constituyen trabajan exclusivamente a tensi´on o a compresi´on. Este concepto gener´o, en su momento, una revoluci´on en el campo de la arquitectura y la ingenier´ıa, especialmente en el dise˜ no y construcci´on de c´ upulas geod´esicas de grandes luces y peso m´ınimo. Es- tas estructuras fueron concebidas como estructuras altamente optimizadas, desde el punto de vista del peso, desafortunadamente, algunas de ellas, desde el punto de vista de estabilidad, presentan incertidumbres en su comportamiento.

Figura 1.4: Ejemplos de estructuras espaciales de m´ımimo peso. Hiperboloide de 350 metros de altura, concebido como antena de transmisi´on para la radio rusa, dise˜ nado por V. Shukhov en 1919. Domo geod´esico de 76 metros de luz, dise˜ nado por R. Buckminster F¨ uller para la feria internacional de Montreal en 1967. Tomado de las referencias [23] y [36]

Vladimir Shukhov (1891 - 1939) [23] cient´ıfico y arquitecto ruso, conocido por sus trabajos pioneros sobre nuevos m´etodos de an´alisis y modelos estructurales para edificaciones industriales, concibi´o y construy´o varias estructuras y metodolog´ıas pa- ra llegar al m´ınimo peso. Sus trabajos de estructuras industriales, torres, cubiertas y domos muy livianos y transparentes, son un ejemplo de la intuici´on ingenieril del concepto de la optimizaci´on topol´ogica. En la Figura (1.4) se aprecia que la elegan- cia estructural de estas obras ha sido lograda a partir del concepto de peso m´ınimo, dejando solo el material estrictamente necesario.

Un ejemplo de optimizaci´on intuitiva sobre medios cont´ınuos, lo constituye al-

gunas estructuras dise˜ nadas por el ingeniero arquitecto italiano Pier Luigi Nervi

(1891 - 1979), entre otros. Las vigas del soporte para la cubierta del estado de Flo-

rencia, al igual que los apoyos en forma de “Y” para soportar la cubierta del Palacio

de los deportes en Roma, mostradas en la Figura (1.5) evidencian un conocimiento

detalladao del flujo y concentraci´on de esfuerzos. S´olo de esta forma es posible pres-

cindir del material en zonas de menor concentraci´on de esfuerzos, sin poner en riesgo la seguridad estructural. Las formas estructurales indicadas permiten concluir que la fusi´on de las consideraciones estructurales con la soluci´on formal de los espacios, no ri˜ nen, por el contrario se complementan.

Figura 1.5: Optimizaci´on topol´ogica intuitiva de elementos cont´ınuos en concreto.

Vigas curvas de secci´on variable para el Palacio de los deportes en Florencia. Apoyos en forma de “Y” para el Estadio de Roma. Obras concebidas y construidas bajo la direcci´on de Pier Luigi Nervi en la d´ecada de 1940 a 1950. Tomado de la referencia [43]

El desarrollo conceptual y formal de la optimizacion topol´ogica moderna se re- monta a la d´ecada de los a˜ nos 60 del siglo XX. En esta d´ecada se desarrollan los fundamentos de la as´ı llamada “optimizaci´on moderna” de estructuras, basada en los conceptos de la programaci´on matem´atica y el an´alisis de sensibilidad. Schmidt y Malett [56] publicaron un art´ıculo sobre s´ıntesis estructural y jerarqu´ıa de los par´ametros de dise˜ no, documento que es tomado como punto de partida y funda- mento de la teor´ıa de la optimizaci´on. Parad´ojicamente y a pesar de carecer de un fundamento matem´atico y mec´anico s´olido, la t´ecnica del optimizaci´on a partir del concepto del elemento completamente esforzado “Fully Stressed Design”, aplicada por Reddy, Venkayya y Khot [63] en dise˜ nos aeroespaciales, se estableci´o como la t´ecnica de optimizaci´on m´as generalizada hasta finales de los a˜ nos 70. En este pe- riodo la experiencia, intuici´on y conocimiento del comportamiento estructural por parte de los ingenierios, a´ un como hoy, era de vital importancia en la consecuci´on de buenos resultados.

Tanscurrieron varios a˜ nos, hasta que la formulaci´on basada en m´etodos varia- cionales y condiciones de Lagrange permitieran darle fundamento matem´atico al m´etodo de dise˜ no completamente esforzado, por lo menos para una serie de proble- mas como lo publicaron Prager y Taylor en 1968 [47].

Las condiciones de optimalidad para analizar y resolver problemas de optimiza-

ci´on topol´ogicas presentadas por Save y Prager [53] en 1985 as´ı como Rousselet y Haug [52] en 1982 constituyen el fundamento materm´atico para la construcci´on de algoritmos iterativos en el proceso de optimizaci´on.

Otro avance significativo en la metodolog´ıa para resolver problemas de optimi- zaci´on topol´olgica fue publicado por Svanberg en 1987 [61]. En este art´ıculo Svan- berg present´o un m´etodo de optimizaci´on basado en en an´alisis de sensibilidad, el concepto de aproximaci´on estructural expl´ıcita y el m´etodo de la programaci´on ma- tem´atica. Basado en estos conceptos el proceso de dimensionamiento autom´atico se consolid´o como un m´etodo viable para la optimizaci´on topol´ogica.

El problema de la optimizaci´on de forma debido a su complejidad, teniendo en cuenta que el cambio de la forma exterior autom´aticamente implica el cambio y exigencia del dominio interior, tard´o algunos a˜ nos en establecerse como tal. Aportes importantes fueron publicados por Barthelemy [7]. Avances en el cambio de la representaci´on param´etrica para describir el dominio cambiante fueron presentados por Bendsøe y Kukuchi [11]

Figura 1.6: Punto de partida y resultado de una optimizaci´on topol´ogica obtenida a partir del m´etodo “Ground Structure”. Tomado de la referencia [29]

Motivado en los trabajos de Michell en 1904, Kirsch [29] desarroll´o un prin- cipio denominado estructura base “Ground Structure”. En este m´etodo, basado en programaci´on matem´atica, el dominio se presenta como una combinaci´on de todas las posibles soluciones. Es decir en el caso de las cerchas de Michell , todos los nudos estaban conectados entre s´ı, mediante barras, como se aprecia en la Figura (1.6).

El algoritmo desarrolllado ten´ıa por tarea “buscar” dentro de todo ese conjunto de

barras y conexiones, aquellas barras que no estuviesen trabajando al maximo y des-

conectarlas, evaluar su efecto sobre las dem´as barras y asi continuar hasta obtener

barras exigidas al m´aximo, tanto a tensi´on como compresi´on. Como se puede intuir,

el tama˜ no del problema esta asociado a la combinaci´on de todas las posibles solu-

ciones y tiene un crecimiento exponencial, con lo que el m´etodo estar´ıa destinado

para estructuras relativamente elementales o de mediano tama˜ no.

Figura 1.7: Estados en la optimizaci´on topol´ogica de una viga simplemente apoyada con cargas puntuales aplicadas en los extremos y el centro de la viga. Adaptado de la referencia [10]

En la d´ecada de los 90 Bendsøe y Kikuchi [11] logran desarrollar un m´etodo de optimizaci´on innovador basado en la relajaci´on de las propiedades f´ısicas del mate- rial en el dominio del problema. A partir de esta publicaci´on se despierta un gran inter´es por el m´etodo. Se generaliza el uso del m´etodo de los elementos finitos en el cual se definen como variables la magnitud del algunas propiedades f´ısicas del material como, por ejemplo, el m´odulo de elasticidad y la densidad. De esta forma las propiedades pueden ir variando y reajustandose durante las diferentes iteraciones de optimizaci´on.

A partir de los trabajos de Bendsøe y Sigmund [10], [58], se ha despertado un

inter´es particular por revisar y validar a la luz de la optimizaci´on topol´ogica, mu-

chas soluciones ingenieriles basadas en concentraciones y flujo de esfuerzos. Estas

soluciones y verificaciones resultaron pr´acticamente comparables y cien por ciento

acertadas. Con estos resultados se concluye una vez m´as, que la experiencia ingenie-

ril, basada en un estudio detallado del comportamiento mec´anico de los elementos

estructurales no pod´ıa llevar a otros resultados. Algunos de estos problemas estruc-

turales, para los cuales ya exist´ıa una soluci´on confiable y validada se muestran en

la Figura (1.7), Figura (1.8) y Figura (1.9). El tratamiento de la flexi´on mediante

la simulaci´on de elementos tipo cercha permiti´o durante muchos a˜ nos identificar la

orientaci´on y magnitud de los esfuerzos en vigas solicitadas a flexi´on, como se aprecia

en la Figura (1.7) . El m´etodo de las dovelas o STM por sus siglas en ingl´es “Strut-

and-Tie Model” [50] es un m´etodo que actualmente, goza de mucha aplicaci´on en

el dise˜ no de elementos en concreto reforzado y de gran peralte, donde las deforma-

(a) (b)

Figura 1.8: a.) L´ıneas de esfuerzos obtenidas a partir del m´etodo de las dovelas ...

compresi´on, −− tensi´on. b.) L´ıneas de esfuerzos obtenidas a partir de una optimi- zaci´on topol´ogica. Adaptado de las referencias [14] y [50]

ciones por corte son importantes. Una comparaci´on de los elementos mostrados en la Figura (1.8) demuestra que topol´ogicamente las dos soluciones son iguales. Otra verificaci´on del conocimiento ingenier´ıl la constituyen los elementos estructurales solicitados por grandes concentraciones de esfuerzos, como, por ejemplo, los ganchos de gruas y aparejos. La soluci´on topol´ogica es muy similar a la obtenida a partir del concepto de concentraci´on de esfuerzos. Se puede apreciar en la Figura (1.9). que a partir de una soluci´on estructural convencional, con muy pocos ajustes a la forma, se llega a una soluci´on optimizada m´as econ´omica, esbelta y segura.

(a) (b)

Figura 1.9: Gancho para grua. a.) Forma convencional obtenida a partir del con-

cepto de concentraci´on de esfuerzos. b.) Forma mejorada luego de una optimizaci´on

topol´ogica. Adaptado de la referencia [15]

En los ´ ultimos a˜ nos una de las ´areas de investigaci´on y desarrollo de la optimi- zaci´on estructural, se ha orientado hacia el proceso de dise˜ no estructural, mediante la implementaci´on de m´odulos de optimizaci´on en las herramientas computacionales convencionales. Algunos de esos avances ya est´an incluidos en muchos de los pro- gramas de an´alisis y dise˜ no de estructuras, donde en forma interactiva se realiza el proceso de an´alisis, dise˜ no y optimizaci´on.

1.3. Optimizaci´ on en la ingenieria estructural

La ingenieria estructural, as´ı como muchas otras disciplinas que estan relaciona- das con el aprovechamiento de los materiales, se ven confrontadas con la creciente escasez y costo de la materia prima. Con el ´animo de reducir los costos y hacer cada vez m´as competitiva, comercial y ambientalmente sostenible su labor, el ingeniero estructural se ve en la necesidad de hacer un uso racional de los recursos. Los prin- cipios y las t´ecnicas de optimizaci´on tienen como objeto complementar el proceso de an´alisis y dise˜ no, y se requiere para su aplicaci´on de un conocimiento claro de la mec´anica estructural. La labor del ingeniero ha sido por definici´on la optimiza- ci´on de recursos. El primer paso para ello, fu´e expresar las teor´ıas de an´alisis en los c´odigos y normativas de dise˜ no. C´odigos y normativa, que en un principio estaban orientados a garantizar la seguridad de los usuarios y que con el correr del tiempo, han venido dando paso a t´ecnicas m´as refinadas en las cuales se establecen criterios tanto de seguridad como de econ´omia y confort.

La actividad innovadora de la ingenier´ıa estructural, siempre ha estado compro- metida con la optimizaci´on de los recursos. As´ı, esta no se llevara a cabo en una forma consciente. Esta es la ´ unica explicaci´on que puede darse a obras como los via- ductos realizadas por los romanos en edad ant´ıgua, pasando por las grandes c´ upulas y b´ovedas de la edad media, hasta las estructuras de bajo peso realizadas por Mi- chell [40], Schukov [23], Eiffel [31] a finales del siglo XIX y principios del siglo XX, quienes mucho tiempo antes que las teor´ıas de optimizaci´on fueran presentadas formalmente, su filosof´ıa ya hac´ıa parte del compromiso y la visi´on en la ingenier´ıa estructural.

La necesidad impuesta por el medio de aprovechar al m´aximo los recursos se

ha visto reflejado tambi´en en la evoluci´on de los productos y materiales utilizados

en la construcci´on. Por ejemplo en las estructuras de acero el primer producto que

se puede considerar como resultado de una necesidad por optimizar el material fue

el pasar de perfiles estructurales de forma circular y cuadrada a la conceptci´on del

perfil angular y de all´ı a los perfiles de l´amina delgada. Elementos que con la misma

cantidad de material pero con una variaci´on en la forma pueden elevar notablemente

su capacidad de carga, por ejemplo ante solicitaciones a compresi´on. En las estruc-

turas de concreto constituye un caso evidente de “optimizaci´on intuitiva” el reducir

el peralte de las vigas en aquellas zonas donde los esfuerzos son m´ınimos, como se

mencion´o, anteriormente, en la obra de Pier Luigi Nervi [43].

La ingenier´ıa estructural no ha sido ajena al uso racional de los recursos. Por el contrario, desde sus inicios, ha sido su permanente desaf´ıo. Es este compromiso, el que hace necesario que cada vez la intuici´on, la experiencia y la visi´on del inge- niero estructural se vea apoyada y corroborada por las t´ecnicas matem´aticas de la optimizaci´on.

1.4. Objetivo general

Fundamentar, desarrollar, implementar y validar un algoritmo eficiente y ro- busto que permita optimizar topol´ogicamente problemas asociados con la mec´anica estructural en el campo de la elasticidad bidimensional.

1.5. Metodolog´ıa

La metodolog´ıa a seguir est´a definida por los objetivos espec´ıficos :

- Se identificar´a un procedimiento de optimizaci´on topol´ogica adecuado al pro- blema de la elasticidad bidimensional

- A partir del procedimiento anterior se formular´a un problema de optimizaci´on topol´ogica en la mec´anica estructural identificando las variables de dise˜ no y funci´on objetivo.

- Luego se seleccionar´a un elemento finito bidimensional, capaz de representar cambios en la composici´on interna de un elemento bidimensional

- Una vez formulado el elemento finito se seleccionar´a un programa de elementos finitos en el cual se tenga acceso al proceso de c´alculo.

- Sobre el programa de elementos finitos seleccionado se desarrollar´a, codificar´a e implementar´a un algoritmo de optimizaci´on topol´ogica.

- Finalmente se validar´a y verificar´a la calidad de los resultados a partir de casos particulares de la teor´ıa de la elasticidad.

1.6. Estructura del trabajo

En este cap´ıtulo se present´o la informaci´on general sobre la optimizaci´on, la topo-

log´ıa y la combinaci´on de estos dos conceptos as´ı como un breve desarrollo hist´orico.

El conocimiento b´asico de la teor´ıa de la elasticidad, as´ı como del m´etodo de los elementos finitos, son requisitos para el seguimiento del presente trabajo. Con este fin, en el cap´ıtulo dos se presenta una breve introducci´on al m´etodo y se deducen las matrices de rigid´ez de los dos tipos de elementos finitos, m´as comunes, empleados en la modelaci´on de problemas bidimensionales.

Los fundamentos matem´aticos y de optimizaci´on, necesarios para entender la formulaci´on de la optimizaci´on topol´ogica, se presentan en el tercer cap´ıtulo.

La presentaci´on de los conceptos de la optimizaci´on topol´ogica en el contexto de los problemas bidimensionales, se presenta en el cuarto cap´ıtulo. Se relacionan, en este cap´ıtulo, diferentes metodolog´ıas y t´ecnicas, con el ´animo de brindar un pano- rama, tanto de la evoluci´on como de los trabajos actuales de investigaci´on.

En el cap´ıtulo quinto se presenta la formulaci´on del modelo de optimizaci´on to- pol´ogica.

El cap´ıtulo sexto est´a dedicado a la presentaci´on del algoritmo de optimizaci´on, su codificaci´on e implementaci´on. Igualmente en este cap´ıtulo se indican los crite- rios de selecci´on de un programa as´ı como las caracter´ısticas de un algoritmo. Se presenta una breve descripci´on de un programa de elementos finitos, sobre el cual se implementa la optimizaci´on topol´ogica.

La verificaci´on y validaci´on del algoritmo implementado, se realiza en el cap´ıtulo s´eptimo. Se valida la calidad de los resultados del algoritmo implementado a partir de casos, de soluci´on conocida, de problemas de elasticidad bidimensional. Como aporte al conocimiento sobre el comportamiento de estructuras bidimensionales, se plantean y resuelven algunos casos frecuentes en la ingenier´ıa estructural.

Finalmente en los cap´ıtulos octavo y noveno se presentan las conclusiones del

trabajo, se discuten los resultados, se proponen recomendaciones y se direcciona

una l´ınea de profundizaci´on e investigaci´on.

Cap´ıtulo 2

Teor´ıa de la elasticidad y el

m´ etodo de los elementos finitos en problemas bidimensionales

Como la aplicaci´on de la optimizaci´on topol´ogica se desarrollar´a sobre un progra- ma de elementos finitos y este a su vez tiene como bases la teoria de la elasticidad, se presentan los conceptos b´asicos de la teor´ıa de la elasticidad bidimensional. A partir de estos conceptos se desarrollar´a el fundamento del m´etodo de los elementos finitos, sus matrices y metodolog´ıa. Se concluye el cap´ıtulo con la deducci´on de las matrices de rigidez para los dos tipos de elementos que se utilizar´an en la implementaci´on del m´etodo.

2.1. Conceptos b´ asicos sobre la elasticidad bidi- mensional

En la mec´anica estructural, existe una gran cantidad de estructuras que pueden ser tratadas, a partir de un modelamiento bidimensional. La gran ventaja de la teor´ıa de la elasticidad bidimensional, radica en el hecho de poder tratar problemas de esfuerzo y deformaci´on plana en forma unificada. Aunque cada uno de estos estados represente un comportamiento estructural que no guarda relaci´on con el otro [6]. Para el caso de estudio en este trabajo, se ha tomado como referencia el estado plano de esfuerzos. En este estado se asume que los esfuerzos asociados a la direcci´on z son despreciables. De esta forma es suficiente con evaluar el comportamiento del elemento en su plano x − y.

2.1.1. Desplazamientos

Considerando una secci´on general de un elemento bidimensional, contenida en

el plano x − y, el campo de desplazamientos, de esta secci´on, estar´a perfectamente

definido si se conocen los desplazamientos en las direcciones x y y de todos sus puntos. El vector de desplazamientos de un punto se indica en la siguiente Ecuaci´on

d(x, y) =  u(x, y) v(x, y)



(2.1) donde u(x, y) y v(x, y) representan los deplazamientos del punto x en las direc- ciones de los ejes coordenados x e y respectivamente.

Figura 2.1: Cambio de posici´on o desplazamiento de una part´ıcula P _o de una estruc- tura bidimensional.

2.1.2. Deformaci´ on infinitesimal

Un elemento bidimensional, en el estado plano de esfuerzos, experimenta cambios de posici´on de sus part´ıculas en las direcciones x e y, como se indic´o en la Ecuaci´on (2.1). En la Figura (2.2) se indican las posibles combinaciones de cambio de posici´on de una secci´on.

La deformaci´on infinitesimal longitudinal se se define como la relaci´on entre el cambio de longitud y la longitud de referencia de una l´ınea material en entorno diferencial. Una l´ınea material es el conjunto de part´ıculas definidas en un segmento recto. Para el caso de elementos bidimensionales se defienen, tres deformaciones a saber:

Deformaci´ on longitudinal o elongaci´ on en la direcci´ on x

Corresponde al cambio de longitud en la direcci´on x referido a la longitud inicial

en esa direcci´on ∆x es decir:

Figura 2.2: Posibles desplazamientos que experimenta un elemento diferencial en un estado plano de esfuerzos. a.) Elongaci´on en la direcci´on x, b.) Elongaci´on en la direcci´on y c.) Distorsi´on en el plano x − y.

ε x ≈ l´ım

∆x→0

∆u

∆x = ∂u(x, y)

∂x (2.2)

Deformaci´ on longitudinal o elongaci´ on en la direcci´ on y

Corresponde al cambio de longitud en la direcci´on y referido a la longitud inicial en ´esa direcci´on ∆y, es decir:

ε _y ≈ l´ım

∆y→0

∆v y

∆y = ∂v(x, y)

∂y (2.3)

Deformaci´ on tangencial o distorsi´ on angular en el plano x-y

Corresponde al cambio de forma debido al cambio en el ´angulo formado por dos l´ıneas materiales que originalmente eran perpendiculares entre s´ı. La distorsi´on equivale en la Figura (2.2) al cambio del ´angulo Ψ; la cual se d´a en t´erminos de Θ. La Ecuaci´on (2.4) representa el cambio del ´angulo, mientras que la Ecuaci´on (2.5) representa el cambio angular en t´erminos de los desplazamientos en las dos direcciones.

γ xy ≈ π

2 − Ψ = Θ x + Θ y (2.4)

ε xy ≈ 1 2



∆x→0 l´ım

∆v

∆x + l´ım

∆y→0

∆u

∆y



= 1 2

 ∂v(x, y)

∂x + ∂u(x, y)

∂y



(2.5)

Se debe se˜ nalar, que en el estado plano de esfuerzos todos los esfuezos asociados a la direcci´on z, como σ z , σ z xy σ y z son despraciables. No sucede lo mismo con la componente de deformaci´on ε z , la cual es funci´on de las componentes ε x y ε y . La energ´ıa interna de deformaci´on que genera el esfuerzo σ _z sobre esta deformaci´on es nula.

El vector de deformaciones significativas corresponde al indicado en la Ecuaci´on (2.6):

ε =



 



 

 ε x

ε _y ε xy



 



 



=



 



 



∂u(x,y)

∂x

∂v(x,y)

∂y 1

2

∂v(x,y)

∂x + ^∂u(x,y) _∂y



 



 



(2.6)

donde u(x, y) y v(x, y) representan las componenetes de desplazamiento de un elemento infinitesimal.

2.1.3. Esfuerzos

Como se indic´o anteriormente, en el estado plano de esfuerzos, los esfuerzos asociados a la direcci´on z son nulos o despreciables, por lo tanto el vector de esfuerzos tendr´a las componentes que se indican en la Ecuaci´on (2.7).

σ =





 σ x

σ y

σ xy







(2.7)

En la Figura (2.3) se representa gr´aficamente el vector de esfuerzos un elemento infinitesimal

Figura 2.3: Representaci´on gr´afica del vector de esfuerzos sobre un elemento infini-

tesimal en el plano x − y.

2.1.4. Ecuaciones de gobierno del problema mec´ anico

Las ecuaciones denominadas “ecuaciones de gobierno del problema mec´anico”

[39] corresponden al conjunto de ecuaciones que permiten relacionar las tres com- ponentes de un problema de mec´anica estructural: cinem´atica, equilibrio y modelo del material. A partir de estas ecuaciones es posible establecer relaciones entre la est´atica, la cinem´atica y las propiedades del material del cual est´a compuesto un elemento estructural.

Relaci´ on deformaci´ on-desplazamiento o ecuaci´ on constitutiva de la ci- nem´ atica

La ecuaci´on cinem´atica determina la relaci´on entre los desplazamientos y las deformaciones en el dominio del problema. En el presente trabajo se trabaja en el campo de los peque˜ nos desplazamientos y peque˜ nas deformaciones. El vector de componentes de deformaciones se indica en la Ecuaci´on (2.8):

ε =



 



 

 ε x

ε y

ε _xy



 



 



= ∂ d =









∂

∂x 0

0 _∂y ^∂

∂

∂y

∂

∂x









 u(x, y) v(x, y)



(2.8)

donde ε corresponde al vector de componentes de desplazamiento, ∂ correspon- de a un operador de diferenciaci´on y d corresponde al vector de componendes de desplazamiento.

Relaci´ on esfuerzo-solicitaciones o ecuaci´ on constitutiva del equilibrio Partiendo de las ecuaciones de equilibrio, es posible establecer una relaci´on entre las solicitaciones externas y los esfuerzos. A pesar de qu´e esta expresi´on no se utiliza en el presente trabajo, se menciona para indicar, como se relacionan todas las com- ponentes de fuerza y desplazamiento. Considerando que las solicitaciones externas y las acciones internas de fuerza est´an en equilibrio, es posible establecer la siguiente relaci´on:

N =





 Nx Ny Nxy







=







σ x (x, y)t σ y (x, y)t σ xy (x, y)t







(2.9)

donde N es el vector que contiene las componentes de acciones internas de fuerza.

Relaci´ on esfuerzo-deformaci´ on o ecuaci´ on constitutiva del material

Se considera un material de comportamiento lineal el´astico isotrop definido por la

ley de Hook e [46]. Para el caso bidimensional la ecuaci´on constitutiva del material,

con las hip´otesis simplificativas descritas, arroja la siguiente relaci´on matricial entre

esfuerzos y deformaciones:

σ = Dε





 σ x

σ y

σ xy







=





d 11 d 12 0 d 21 d 22 0 0 0 d 33









 ε x

ε y

ε xy







(2.10)

donde σ corresponde al vector de las componentes de esfuerzos presentado en la Ecuaci´on 2.7, D es la matriz de constantes el´asticas que describe el comportamiento del material y ε es el vector de las componentes de deformaci´on infinitesimal. d 11 , d 12 , d 21 y d 33 corresponden a los coeficientes que relacionan deformaciones y esfuer- zos definidos por Lam´ e y Young [46].

Para el caso del estado plano de esfuerzos EP E y estado plano de deformaci´on EP D los coeficientes de la matriz D est´an dados por las siguientes expresiones:

D =





d 11 d 12 0 d 21 d 22 0 0 0 d 33



 (2.11)

D ^{EP E} = E 1 − µ ²









1 µ 0

µ 1 0

0 0 ^1−µ ₂









D ^{EP D} = E

(1 + µ)(1 − 2µ)









1 − µ µ 0

µ 1 − µ 0

0 0 ^1−2µ ₂







 donde E es el m´odulo de Young o m´odulo de elasticidad, µ es el coeficiente de contracci´on transversal o relaci´on de Poisson .

2.1.5. Energ´ıa interna de deformaci´ on

La energ´ıa interna de deformaci´on corresponde a los trabajos internos que reali- zan a nivel de part´ıculas los esfuerzos sobre los deformaciones y su expresi´on est´a da- da por la Ecuaci´on (2.12).

U = 1 2

Z

Ω

σ ^T ε dV (2.12)

donde Ω corresponde al dominio del sistema, en este trabajo corresponde al vo- lumen V .

La energ´ıa interna de deformaci´on, se utilizar´a, m´as adelante, como indicador para establecer la convergencia en el proceso de optimizaci´on topol´ogica.

2.1.6. Principio del trabajo virtual

El principio del trabajo virtual, en su forma m´as general, establece que el tra-

bajo realizado por las solicitaciones externas reales, sobre desplazamientos virtuales

debe ser equivalente a la energ´ıa interna de deformaci´on que generan los esfuerzos reales sobre las deformaciones virtuales de las part´ıculas. Utilizando este principio, se pueden formular las ecuaciones de equilibiro en t´erminos del principio del trabajo virtual [6] como se indica a continuaci´on:

Z

Ω

σ ^T δεdΩ = Z

Ω

p ^T δdΩ (2.13)

donde δ es al operador variacional asociado al vector de desplazamientos d y al vector de deformaciones ε virtuales , p es el vector de fuerzas externas aplicadas en los nudos y Ω es el dominio del problema estructural.

La importancia de este principio radica en el hecho, de que la energ´ıa o el trabajo pueden ser obtenidos a partir de la discretizaci´on de los elementos que componen la ecuaci´on, permitiendo formular el problema de elasticidad bidimensional en forma discretizada.

2.2. Fundamento del M´ etodo del Elemento Finito

El m´etodo de los elementos finitos o FEM por sus siglas en ingl´es, “Finite Ele- ment Method ”, fu´e concebido inicialmente como un m´etodo para resolver problemas reg´ıdos por ecuaciones diferenciales. Gracias al concepto de “discretizaci´on” del do- minio, su aplicaci´on trascendi´o rapidamente a otras disciplinas. Hoy en d´ıa se ha convertido en una herrameienta computacional bastante sofisticada, con la cual es posible modelar, muchos tipos de problemas f´ısicos.

El fundamento matem´atico y el desarrollo de la metodolog´ıa de soluci´on no se trata en este trabajo. Diversos enfoques, metodolog´ıas y aplicaciones se pueden encontrar en las referencias. [3], [6], [13], [45], [49] y especialmente en el trabajo de Ole Zienkiewicz autor del primer libro sobre el m´etodo [65].

A continuaci´on se presentar´a en forma general la filosof´ıa del m´etodo y luego se desarrollaran las matrices de los elementos finitos empleados en este trabajo.

2.2.1. Discretizaci´ on del cont´ınuo

En el m´etodo del elemento finito, el dominio Ω es discretizado mediante una serie de subdominios que componen una malla. Cada uno de estos subdominios es denominado “elemento finito”. Dependiendo de la precisi´on deseada en el ´analisis estos sudbominios pueden ser cada vez de menor tama˜ no.

El estado de las variables, se aproxima mediante interpolaci´on, a partir de la geometr´ıa y los valores de las variables en los nodos de la malla. Las funciones utilizadas para la interpolaci´on en el interior de cada elemento finito se denominan

“funciones de forma”. Si las mismas funciones de forma se utilizan para interpolar

la geometr´ıa y el estado de las variables de inter´es, se habla entonces de un modelo

isoparam´etrico.

Figura 2.4: Discretizaci´on del dominion de una viga de peralte alto mediante ele- mentos finitos o subdominios.

2.2.2. Aproximaci´ on de la funci´ on

Los desplazamientos en el interior de un elemento se eval´ uan en la siguiente forma: .

u ^(e) (x, y) = N ^(e) (x, y)d ^(e) (2.14) donde u ^(e) corresponde al vector de desplazamientos interpolados en un punto interior del elemento y d ^(e) corresponde al vector de desplazamientos en los nudos de los elementos, N ^(e) es una matriz de interpolaci´on [6].

2.2.3. Matrices de rigidez

La matriz de rigidez para cada uno de los subdominios o elementos se obtiene, tambi´en, a partir de una formulaci´on basada en el principio del trabajo virtual, a nivel del subdominio La matriz de rigidez de un elemento finito tiene la siguiente forma [65]:

K ^(e) = Z

Ω

B ^(e)T DB ^(e) dΩ e (2.15)

donde Ω e corresponde al subdominio, B ^(e) es un operador matricial deforma- ci´on-desplazamiento, D corresponde a la matriz constitutiva el´astica del material, indicada en la Ecuaci´on (2.11).

El operador matricial deformaci´on-desplazamiento B ^(e) resulta de aplicar el ope- rador de diferenciaci´on ∂ a a la matriz N ^(e) que contiene las funciones de forma para interpolar los desplazamientos,seg´ un se indica en la Ecuaci´on (2.16)

B ^(e) = ∂N ^(e) (2.16)

La matriz de rigidez del sistema, se obtiene a partir de una operaci´on de super- posici´on de rigideces denominada “ensamblaje”. El ensamblaje consiste en la adici´on de las rigideces que cada elemento aporta cuando se conecta a un nudo de la ma- lla, asociados a los grados de libertad del elemento. Este proceso se trata en forma detallada en la la mayor´ıa de textos de elementos finitos, en especial el tratamiento dado por [27] es bastante expl´ıcito.

2.2.4. Conformaci´ on del sistema general

Reemplazando la Ecuaci´on (2.8), la Ecuaci´on (2.10) y la Ecuaci´on (2.14) en la Ecuaci´on (2.13) y operando matricialmente, se obtiene el siguiente sistema discreto de ecuaciones:

Kd = p (2.17)

donde K corresponde a la matriz de rigidez global del sistema, p es el vector global de fuerzas nodales consistentes y como se se˜ nal´o en la Ecuaci´on (2.14) d co- rresponde al vector de desplazamientos en los nudos.

2.3. Matrices de rigidez para elementos finitos bi- dimensionales

Como el objetivo de este trabajo se refiere a la optimizaci´on de problemas en el campo bidimensional, se considerar´an los siguientes tipos de elementos en el plano:

elementos rectangulares bilineales y elementos triangulares lineales, con dos grados de libertad por nodo. Este tipo de elementos fueron presentados por primer vez en los trabajos de Melosh y Przemieniecki en la d´ecada de los 60 [48]. Igualmente a partir de este tipo de elementos se pueden construir mallas estructuradas y no estructuradas para identificar el efecto de la malla sobre el proceso de optimizaci´on.

Los elementos elegidos tienen la gran ventaja de que sus matrices de rigidez pueden ser evaluadas explicitamente, lo cual facilita su implementaci´on sin necesidad de integraci´on num´erica para obtener los coeficientes de la matriz de rigidez.

2.3.1. Matriz de rigidez de un elemento finito bidimensional rectangular bilineal

Para el caso de estructuras bidimensionales, solicitadas a tracci´on o compresi´on,

principalmente, el elemento rectangular de cuatro nodos y ocho grados de libertad

ofrece un alto grado de precisi´on [65]. No sucede lo mismo para solicitaciones a

flexi´on, donde se requerir´ıa, bien sea, de aumentar el n´ umero de elementos de la

malla, o mejorar la calidad del elemento mediante la adici´on de nodos al elemento

o incrementar los grados de libertad.

En la Figura (2.5) se muestra un elemento finito rectangular en el sistema de coordenadas locales, as´ı como sus grados de libertad.

Figura 2.5: Elemento finito de forma rectangular de dimensiones 2a y 2b con ocho grados de libertad, referido al sistema x − y.

Funciones de interpolaci´ on para los desplazamientos

Las componentes del desplazamiento u en direcci´on x y del desplazamiento v en direcci´on y se interpolar´an a partir de un polinomio completo de primer orden m´as el t´ermino xy de segundo orden [65]. Es decir, se asume que el comportamiento de los desplazamientos en el subdominio del elemento es bilineal de la forma:

u(x, y) = C 1 + C 2 x + C 3 y + C 4 xy

v(x, y) = C 5 + C 6 x + C 7 y + C 8 xy (2.18) donde C i para i = 1, 2, 3 y 4 o i = 5, 6, 7 y 8 son constantes que regulan el desplazamiento en cada direcci´on y se determinan a partir de las condiciones de borde, conformando dos sistemas desacoplados de dimensi´on 4x4.

Funciones de forma

Las Ecuaciones 2.18 pueden escribirse como la suma de los productos de las funciones de forma N _i ^(e) por el respectivo vector de desplazamientos, como se indica en la Ecuaci´on (2.19)

u =

4

P

i=1

N _i ^(e) u i

v = P ⁴

i=1

N _i ^(e) v i

(2.19)

donde las funciones de forma N _i ^(e) corresponden a las siguientes ecuaciones:

N ₁ ^(e) = ¹ ₄ 1 − ^x _a

1 − ^y _b
N ₂ ^(e) = ¹ ₄ 1 + ^x _a

1 − ^y _b
N ₃ ^(e) = ¹ ₄ 1 + ^x _a

1 + ^y _b
N ₄ ^(e) = ¹ ₄ 1 − ^x _a

1 + ^y _b

(2.20)

se observa que las funciones de forma dependen linealmente de las coordenadas x e y de un punto en elemento.

Evaluaci´ on de los desplazamientos

Reemplazando las ecuaciones de forma en la Ecuaci´on (2.19) se obtiene:

u ^(e) = u v



= N ₁ 0 N 2 0 N 3 0 N 4 0 0 N 1 0 N 2 0 N 3 0 N 4





 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 u 1

v 1

u 2

v 2

u 3

v 3

u 4

v 4



 

 

 

 

 



 

 

 

 

 



= N ^(e) d ^(e) (2.21)

donde d ^(e) representa el vector de todos los desplazamientos nodales del elemento, N ^(e) es la matriz de funciones de forma.

Campo de deformaciones

Las deformaciones son en t´erminos generales, la derivada de los desplazamientos.

Para problemas mec´anicos bidimensionales ssta derivada equivale a un operador ma- tricial de diferenciaci´on denominado ∂ aplicado sobre el vector de desplazamientos d como se indic´o en la Ecuaci´on (2.14)

Como el vector de desplazamientos nodales d ^(e) en la Ecuaci´on (2.21) es cons- tante, el operador matricial de diferenciaci´on act´ ua, finalmente, sobre la matriz de funciones de forma, tal como se indica en la Ecuaci´on (2.22).

B ^(e) = ∂ N ^(e) =







∂

∂x 0

0 _∂y ^∂

∂

∂y

∂

∂x







"

N 1 0 N 2 0 N 3 0 N 4 0 0 N 1 0 N 2 0 N 3 0 N 4

#

(2.22)

El campo de deformaciones, de acuerdo a la teor´ıa de la elasticidad, se deduce a

partir de la aplicaci´on del operador de diferenciaci´on a los desplazamientos sobre la

Ecuaci´on (2.14), tal como se indica a continuaci´on.

ε ^(e) = ∂ u ^(e) = ∂ N ^(e) d ^(e) = B ^(e) d ^(e) (2.23) luego de haber evaluado las respectivas derivadas de la Ecuaci´on (2.22) se obtie- nen los valores de la matriz B ^(e) en t´erminos de x , y y de las dimensiones a y b del elemento.

B ^(e) = ab 2





2y − b 0 −2y + b 0 2y + b 0 −2y − b 0

0 2x − a 0 −2x − a 0 2x + a 0 −2x + a

2x − a 2y − b −2x − a −2y + b 2x + a 2y + b −2x + a −2y − b



 (2.24)

Principio de los Trabajos Virtuales

Aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales y reemplazando en ´el los ele- mentos discretizados para ε y σ se obtiene la matriz de rigidez [65].

Z

Ω

ε ^T δσ dΩ = Z

Ω

t ^T δd dΩ + Z

Ω

f ^T δd dΩ (2.25)

donde Ω y Ω t corresponden al dominio del sistema y subdominio donde act´ uan las cargas distribuidas, t y f representan las fuerzas de superficie aplicadas en el contorno Ω t y las fuerzas m´asicas respectivamente.

Matriz de rigidez de un elemento rectangular

Reemplazando los valores discretizados de ε, y σ en la ecuaci´on anterior se obtiene una expresi´on que representa la matriz de rigidez buscada [65].

K ^(e) = Z a/2

− a/2

Z b/2

− b/2

B ^(e)T D B ^(e) t dxdy (2.26)

donde t corresponde al espesor del elemento finito.

Luego de efectuar la integraci´on en las dos direcciones, se obtiene una matriz

de dimensiones 8 x 8 y de coeficientes conocidos, que depende ´ unicamente de las

dimensiones del elemento 2a, 2b, su m´odulo el´astico E y la constante de Poisson µ

El producto e integraci´on de estas matrices se presenta en la Ecuaci´on (2.27)

K ^(e) =

























k 11 k 12 k 13 k 14 k 15 k 16 k 17 k 18

k 21 k 22 k 23 k 24 k 25 k 26 k 27 k 28

k ₃₁ k ₃₂ k ₃₃ k ₃₄ k ₃₅ k ₃₆ k ₃₇ k ₃₈ k 41 k 42 k 43 k 44 k 45 k 46 k 47 k 48

k 51 k 52 k 53 k 54 k 55 k 56 k 57 k 58

k 61 k 62 k 63 k 64 k 65 k 66 k 67 k 68

k 71 k 72 k 73 k 74 k 75 k 76 k 77 k 78

k 81 k 82 k 83 k 84 k 85 k 86 k 87 k 88

























(2.27)

donde los coeficientes k _ij i, j = 1, ..., 8 corresponden a los siguientes valores.

k 11 = k 33 = k 55 = k 77 = D [ 4b/a + 2(1 − µ)a/b ] k 22 = k 44 = k 66 = k 88 = D [ 4a/b + 2(1 − µ)b/a ] k 12 = k 38 = k 47 = k 56 = D [ 1,5(1 + µ) ]

k 13 = k 57 = D [−4b/a + 2(1 − µ)a/b ]

k ₁₄ = k ₂₇ = k ₃₆ = k ₅₈ = D [−1,5(1 − 3µ) ]

k 15 = k 37 = D [−2b/a − (1 − µ)a/b ]

k 16 = k 25 = k 34 = k 78 = D [−1,5(1 + µ) ]

k 17 = k 35 = D [ 4b/a − 2(1 − µ)a/b ]

k 18 = k 23 = k 45 = k 67 = D [ 1,5(1 − 3µ) ]

k 24 = k 68 = D [ 2a/b − 2(1 − µ)b/a ]

k ₂₆ = k ₄₈ = D [−2a/b − (1 − µ)b/a ]

k 28 = k 46 = D [−4a/b + (1 − µ)b/a ]

(2.28)

La constante D se conoce como constante de rigidez de diafragma y su valor est´a dado por la siguiente Ecuaci´on.

D = E t

12 (1 − µ ² ) (2.29)

Campo de esfuerzos

A partir de la ecuaci´on constitutiva del material Ecuaci´on (2.10), y expresando la deformaci´on ε en t´erminos de B de la Ecuaci´on (2.24) y u de la Ecuaci´on (2.21)se obtiene el campo de esfuerzos en el elemento.

σ ^(e) = Dε ^(e) reemplazando ε ^(e) σ ^(e) = DB ^(e) d ^(e) (2.30)

la matriz B ^(e) es una matriz que depende de las variables x e y del elemento, por

lo tanto el campo de deformaciones y esfuerzos para los puntos del subdomino de

un elemento rectangular var´ıa bilinealmente [65].

2.3.2. Matr´ız de ridigez de un elemento finito bidimensional triangular lineal

.

Otro elemento frecuentemente usado en la modelaci´on de problemas bidimensio- nales es el elemento finito de forma triangular de seis grados de libertad. Con res- pecto al elemento de forma rectangular, presenta la gran ventaja de poder modelar con mejor precisi´on dominios irregularidades, permitiendo tambien la discretizaci´on del dominio en mallas no estructuradas. Al igual que para el caso del elemento fi- nito de forma rectangular, es posible, deducir la matriz de rigidez en forma expl´ıcita.

En la Figura (2.6) se muestra un elemento finito triangular lineal en el sistema de coordenadas x − y as´ı como sus grados de libertad.

Figura 2.6: Elemento finito de forma triangular con seis grados de libertad, referido al sistema x − y.

Funciones de interpolaci´ on para los desplazamientos

Las componentes de desplazamiento u en direcci´on x y v en direcci´on y se inter- polar´an a partir de un polinomio completo de primer orden. Es decir, se asume que el comportamiento de los desplazamientos en el subdominio del elemento es lineal, de la forma [65]:

u(x, y) = C ₁ + C ₂ x + C ₃ y

v(x, y) = C 4 + C 5 x + C 6 y (2.31)

donde C i son constantes que regulan el desplazamiento en cada direcci´on y se

determinan a partir de las condiciones de borde, conformando dos sistemas de ecua-

ciones desacopladas de dimensi´on 3 x 3.

Funciones de forma

La Ecuaci´on (2.31) puede escribirse como la suma de los productos de las fun- ciones de forma N _i por el respectivo vector de desplazamientos, como se indica en la Ecuaci´on (2.32).

u =

3

P

i=1

N _i ^(e) u i

v = P ³

i=1

N _i ^(e) v i

(2.32)

donde las funciones de forma N i se obtienen a partir de la siguiente expresi´on:

N ₁ ^(e) = _2A ¹ [ Y 32 (x − x 2 ) − X 32 (y − y 2 )]

N ₂ ^(e) = _2A ¹ [−Y ₃₁ (x − x ₃ ) + X ₃₁ (y − y ₃ )]

N ₃ ^(e) = _2A ¹ [ Y 21 (x − x 1 ) − X 21 (y − y 1 )]

(2.33)

X ij = x i − x j i, j = 1, 2, 3 Y _kl = y _k − y _l k, l = 1, 2, 3

donde A representa el ´area del tri´angulo definido por los nodos 1, 2 y 3. Los coeficientes X ij y Y mn representan las diferencias de coordenadas como se indic´o al pie de la Ecuaci´on. Al igual que con el elemento de forma rectangular, las funciones de forma del elemento triangular dependen linealmente, de las coordenadas x e y del punto en el elemento [65].

Evaluaci´ on de los desplazamientos

Reemplazando las ecuaciones de forma en la Ecuaci´on (2.32) se obtiene:

u ^(e) = u v



= N ₁ 0 N 2 0 N 3 0 0 N ₁ 0 N ₂ 0 N ₃





 

 

 



 

 

 

 u ₁ v 1

u 2

v ₂ u 3

v 3



 

 

 



 

 

 



= N ^(e) d ^(e) (2.34)

donde d ^(e) representa el vector de todos los desplazamientos nodales del elemento, N ^(e) es la matriz de funciones de forma.

Campo de deformaciones

Al igual que con el elemento de forma rectangular el operador de diferenciaci´on

tiene la misma estructura para el elemento triangular ∂ como se indica en la Ecuaci´on

(2.34).

∂ =









∂

∂x 0

0 _∂y ^∂

∂

∂y

∂

∂x









(2.35)

Como el vector de desplazamientos nodales d ^(e) en la Ecuaci´on (2.34) es cons- tante, el operador matricial de diferenciaci´on act´ ua, finalmente, sobre la matriz de funciones de forma, tal como se indica en laEcuaci´on (2.36).

B ^(e) = ∂ N ^(e) =







∂

∂x 0

0 _∂y ^∂

∂

∂y

∂

∂x







"

N 1 0 N 2 0 N 3 0 0 N ₁ 0 N ₂ 0 N ₃

#

(2.36)

El campo de deformaciones, de acuerdo a la teor´ıa de la elasticidad, se deduce a partir de la aplicaci´on del operador de diferenciaci´on sobre los desplazamientos se˜ nalados en la Ecuaci´on (2.14), tal como se indica a continuaci´on.

ε ^(e) = ∂ d ^(e) = ∂ N ^(e) d ^(e) = B ^(e) d ^(e) (2.37) luego de haber evaluado las respectivas derivadas de la Ecuaci´on (2.22) se ob- tienen los valores de la matrix B ^(e) en t´erminos de las coordenadas de los nodos x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 , y 3

B ^(e) = A 2







Y 23 0 Y 31 0 Y 12 0 0 X 32 0 X 13 0 X 21

X 32 Y 23 X 13 Y 31 X 21 Y 12





 (2.38)

X ij = x i − x j i, j = 1, 2, 3 Y kl = y k − y l k, l = 1, 2, 3

donde A representa el ´area del tri´angulo definido por los nodos 1, 2 y 3. Los coeficientes X ij y Y mn representan diferencias de coordenadas como se indica al pie de la Ecuaci´on (2.38).

Matriz de rigidez de un elemento triangular

Reemplazando los valores discretizados de ε, y σ en la ecuaci´on anterior se obtiene una expresi´on que representa la matriz de rigidez buscada [65].

K ^(e) = Z

A

B ^(e)T D B ^(e) t dA = B ^(e)T D B ^(e) t A (2.39) donde A corresponde al ´area del elemento y t el espesor del mismo.

Como la matriz B ^(e) est´a en t´erminos de las coordenandas de los nodos, se trata

de una matriz de constantes al igual que D, por lo tanto pueden escribirse fuera de

la integral en la Ecuaci´on (2.39).

Luego de efectuar el producto de las tres matrices, se obtiene una matriz de dimensiones 6x6 y de coeficientes conocidos, que dependen ´ unicamente de las coor- denadas de los nodos del elemento x ₁ , x ₂ , x ₃ , y ₁ , y ₂ , y ₃ , su m´odulo el´astico E.y de la constante de Poisson µ.

El producto deeestas matrices se presenta en la Ecuaci´on (2.40)

K ^(e) =













k ₁₁ k ₁₂ k ₁₃ k ₁₄ k ₁₅ k ₁₆ k 21 k 22 k 23 k 24 k 25 k 26

k 31 k 32 k 33 k 34 k 35 k 36

k ₄₁ k ₄₂ k ₄₃ k ₄₄ k ₄₅ k ₄₆ k 51 k 52 k 53 k 54 k 55 k 56













(2.40)

donde los coeficientes k ij i, j = 1, ..., 6 corresponden a los siguientes valores.

k 11 = D [ 3(1 − µ)/2 X ₃₂ ² + 3Y ₃₂ ² ] k ₁₂ = D [ 3(1 + µ)/2 X ₃₂ Y ₂₃ ]

k 13 = D [ 3(1 − µ)/2 X 32 X 13 + 3Y 32 Y 13 ] k 14 = D [ 3(1 − µ)/2 X 32 Y 31 + 3µX 31 Y 32 ] k 15 = D [ 3(1 − µ)/2 + 3Y 32 Y 21 ]

k 16 = D [ 3(1 − µ)/2 + 3µX 21 Y 23 ]

k 22 = D [ 3X ₃₂ ² + 3(1 − µ)/2 Y ₃₂ ² ]

k ₂₃ = D [ 3µX ₃₂ Y ₃₁ + 3(1 − µ)/2 X ₃₁ Y ₃₂ ] k 24 = D [ 3X 32 X 13 + 3(1 − µ)/2 Y 32 Y 13 ] k 25 = D [ 3µX 32 Y 12 + 3(1 − µ)/2 X 21 Y 23 ] k 26 = D [ 3X 32 X 21 + 3(1 − µ)/2 Y 32 Y 31 ] k 33 = D [ 3(1 − µ)/2X ₃₁ ² + 3Y ₃₁ ² ]

k 34 = D [ 3(1 + µ)/2X 31 Y 13 ]

k 35 = D [ 3(1 − µ)/2X 21 X 13 + 3Y 21 Y 13 ] k ₃₆ = D [ 3µX ₂₁ Y ₃₁ + 3(1 − µ)/2 X ₃₁ Y ₂₁ ]

k 44 = D [ 3X ₃₁ ² + 3(1 − µ)/2 Y ₃₁ ² ]

k 45 = D [ 3(1 − µ)/2 X 21 Y 31 + 3µX 31 Y 21 ]

k 46 = D [ 3X 21 X 13 + 3(1 − µ)/2 Y 21 Y 131 ]

k 55 = D [ 3(1 − µ)/2X ₂₁ ² + 3Y ₂₁ ² ] k ₅₆ = D [ 3(1 + µ)/2 X ₂₁ Y ₁₂ ] k 66 = D [ 3X ₂₁ ² + 3(1 − µ)/2 Y ₂₁ ² ]

X ij = x i − x j i, j = 1, 2, 3 Y _kl = y _k − y _l k, l = 1, 2, 3

donde D corresponde a la constante de rigidez de diafragma, definida anterir- mente para el elemento rectangular, e indicada en la Ecuaci´on (2.41).

D = E t

12 (1 − µ ² ) (2.41)

Campo de esfuerzos

A partir de la ecuaci´on constitutiva del material Ecuaci´on (2.10), y expresando la deformaci´on ε ^(e) en t´erminos de B ^(e) y d ^(e) se obtiene el campo de esfuerzos en el elemento.

σ ^(e) = Dε ^(e) reemplazando ε σ ^(e) = DB ^(e) d ^(e) (2.42) se observa, que como B ^(e) es una matriz de constantes, el campo de deforma- ciones y esfuerzos es constante para todos los puntos del subdominio del elemento triangular.

2.4. Soluci´ on del sistema

Una vez aplicadas las condiciones de frontera de Neuman [60], [66], el sistema de la Ecuaci´on (2.17), se convierte en un sistema definido positivo cuya soluci´on es el vector de desplazamientos nodales d.

La soluci´on del sistema general, Kd = p se realiza mediante un algoritmo ma- tem´atico [65]. Existen diferentes algoritmos, muy eficientes para resolver sistemas de ecuaciones simult´aneas, entre ellos se encuentran el Algoritmo de Gauss , el de Cholesky , el de contorno o siluetra en ingl´es “skyline”, entre otros. Una descripci´on m´as detallada se encuentra en las referencias [3],[6], [49] y [65].

Para indicar la soluci´on del sistema se utiliza la siguiente expresi´on algebr´aica.

d = K ⁻¹ · p (2.43)

donde el t´ermino K ^{− 1} debe interpretarse como la soluci´on del sistema mediante un algorimo adecuado y eficiente, no mediante al inversa propiamente dicha.

2.5. Energ´ıa interna de deformaci´ on

A partir de la Ecuaci´on (2.12) se puede evaluar la energ´ıa interna de deformaci´on aportada por un elemento finito (e), en la siguiente forma discretizada [65]:

U ^(e) = 1

2 d ^(e)T p ^(e) = 1

2 d ^{T (e)} K ^(e) d ^(e) (2.44)

donde U ^(e) representa la energ´ıa interna de deformaci´on de un elemento fini- to y es una magnitud de car´acter escalar, d ^(e) y p ^(e) representan respectivamente, los vectores de desplazamientos y de fuerzas y K ^(e) la matriz de rigidez del elemento.

La energ´ıa interna de deformaci´on del sistema se obtiene a partir de la suma de las energ´ıas de los elementos Ecuaci´on (2.44) y se expresa en la siguiente forma:

U =

ne

X

e=1

U ^(e) (2.45)

Una ligera variante a la Ecuaci´on (2.44) la constituye la siguiente Ecuaci´on:

U ^(e) = 1

2 ρ ^(e) d ^(e)T p ^(e) = 1

2 ρ ^(e) d ^{T (e)} K ^0(e) d ^(e) (2.46) donde ρ ^(e) corresponde a la densidad del material del elemento finito.

La densidad es una propiedad del material que est´a asociada con el m´odulo de elasticidad E o con el volumen de elemento V ^(e) .

Con el objeto de poder variar la cantidad de material en un elemento, se extrae de la matriz de rigidez del elemento K ^(e) , la densidad como factor com´ un, quedando una matriz de rigidez modificada denominada K ^(e) . De esta forma se conservan las unidades de energ´ıa. Una primera interpretaci´on del concepto de esta operaci´on, equivaldr´ıa, bien sea, al poder controlar mediante esta variable, la porosidad o el espesor del elemento finito y no se debe entender como un t´ermino adicional que desvirt´ ue el concepto de la energ´ıa interna de deformaci´on, cuya unidad es el Joule [J].

La energ´ıa interna de deformaci´on del sistema juega un papel muy importante

en el proceso iterarivo de optimizaci´on, es el indicador de convergencia del m´etodo

y debe ser evaluada y comparada durante el proceso de optimizaci´on. La energ´ıa

interna de deformaci´on de un elemento se convierte en el indicador que permite

establecer en qu´e forma est´a siendo solicitado un elemento.

Cap´ıtulo 3

Fundamento matem´ atico de la optimizaci´ on

La teor´ıa de la optimizaci´on, como todas las disciplinas, se ha consolidado a partir de conceptos y teorias existentes. Para facilitar la comprensi´on de los conceptos y obtener un panorama de la optimizaci´on, se presenta en forma cron´ologica y con una notaci´on unificada, los conceptos b´asicos, tanto matem´aticos, como de optimizaci´on (tambi´en conocida como programaci´on lineal y no lineal).

3.1. Objetivo de la optimizaci´ on

Dada una funci´on de una o varias varibles f (x), o f (x 1 , x 2 , x 3 ) el concepto de optimizaci´on hace referencia a la ubicaci´on x o x 1 , x 2 , x 3 donde la funci´on presenta un valor m´aximo o m´ınimo, se dice entonces que x ^∗ o x ^∗ es la soluci´on. Por lo tanto el objetivo de la optimizaci´on, es determinar el o los valores de las variables de la funci´on, donde esta presenta un m´ınimo. En t´erminos generales un problema de optimizaci´on se define en t´erminos de la siguiente forma:

Minimizar o Maximizar f (x)

para x ∈ Ω (3.1)

donde f (x) corresponde a la funci´on a optimizar y Ω corresponde al dominio de la o las variables x.

3.2. Clasificaci´ on de las t´ ecnicas de optimizaci´ on

Existen diferentes criterios para clasificar las t´ecnicas de optimizaci´on. A conti-

nuaci´on se presenta la clasificaci´on de las t´ecnicas de optimizaci´on de acuerdo a los

elementos, que de una u otra forma intervienen en la formulaci´on y soluci´on de un

problema de optimizaci´on [1], [4], [5], [9], [25], [29] y [59].