Relaciones entre Conjuntos Matemáticas Discretas - p. 2/14

(1)

Matemáticas Discretas TC1003

Relaciones entre Conjuntos: Conceptos Básicos

Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes

ITESM

(2)

Relaci´on Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Diagrama de Flechas

Ejemplo 8

Representaci´on 2 Ejemplo 9

Ejemplo 10

Relaciones entre Conjuntos Matemáticas Discretas - p. 2/14

Relación Binaria: Definición

Definici´on

Sean A y B dos conjuntos. Una relación (binaria) R

de A en B es un subconjunto de A × B.

(3)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Relación Binaria: Definición

Definici´on

Sean A y B dos conjuntos. Una relación (binaria) R

de A en B es un subconjunto de A × B. Si (x , y) ∈ R

diremos que x está relacionado con y por R.

(4)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Relaciones entre Conjuntos Matemáticas Discretas - p. 2/14

Relación Binaria: Definición

Definici´on

Sean A y B dos conjuntos. Una relación (binaria) R de A en B es un subconjunto de A × B. Si (x , y) ∈ R diremos que x está relacionado con y por R. Note que en la definición R es simplemente un

subconjunto de parejas ordenadas de A × B.

(5)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Relación Binaria: Definición

Definici´on

Sean A y B dos conjuntos. Una relación (binaria) R de A en B es un subconjunto de A × B. Si (x , y) ∈ R diremos que x está relacionado con y por R. Note que en la definición R es simplemente un

subconjunto de parejas ordenadas de A × B.

Notaci´on Infija:

Muy frecuentemente usaremos x R y

para indicar que

(x , y) ∈ R

(6)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Relaciones entre Conjuntos Matemáticas Discretas - p. 3/14

Si A = {3 , 4 , 8} y B = {3 , 6 , 10}, indica cuáles de los siguientes conjuntos son relaciones de A en B:

1) {(3, 3) , (3, 6)}

2) {(3 , 3) , (4 , 6) , (8 , 10) , (3 , 6)}

3) {(3, 10)}

4) ∅

5) {(3, 3) , (4, 3)}

(7)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Si A = {3 , 4 , 8} y B = {3 , 6 , 10}, indica cuáles de los siguientes conjuntos son relaciones de A en B:

1) {(3, 3) , (3, 6)}

2) {(3 , 3) , (4 , 6) , (8 , 10) , (3 , 6)}

3) {(3, 10)}

4) ∅

5) {(3, 3) , (4, 3)}

Soluci´on

Recuerde los requisitos para ser relación de A en B: ser una colección de parejas cuya primera coordenada está en A y la segunda coordenada en B. Por ello, deberán revisarse todos los elementos del conjunto: ver que sean efectivamente parejas ordenadas. Y ver que la primera coordenada está en A y la

segunda en B. De acuerdo a está definición todos los conjuntos

dados en las opciones la cumplen. Para ∅ piense en vacuidad: no

hay elemento de ∅ que no sea pareja de A × B.

(8)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Relaciones entre Conjuntos Matemáticas Discretas - p. 4/14

Considere la siguiente relación de Z en Z:

R = {(n , m) ∈ Z × Z | 4 divide a (n − m) }

Indique cuáles de las siguientes parejas están en la relación:

1) (−2 , 5)

2) (11, 2)

3) (−4 , 3)

4) (10, 2)

5) (10 , 4)

(9)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Considere la siguiente relación de Z en Z:

R = {(n , m) ∈ Z × Z | 4 divide a (n − m) }

Indique cuáles de las siguientes parejas están en la relación:

1) (−2 , 5) 2) (11, 2) 3) (−4 , 3) 4) (10, 2) 5) (10 , 4) Soluci´on

Recuerde la definición de r divide a s ↔ ∃k ∈ Z, s = k · r . 1) (−2, 5) < R pues 4 no divide a − 7 = −2 − 5 .

2) (11 , 2) < R pues 4 no divide a 9 = 11 − 2 . 3) (−4 , 3) < R pues 4 no divide a − 7 = −4 − 3 . 4) (−4, 3) ∈ R pues 4 divide a 8 = 10 − 2 .

5) (10, 4) < R pues 4 no divide a 6 = 10 − 4 .

(10)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Relaciones entre Conjuntos Matemáticas Discretas - p. 5/14

Si

A = {2 , 4, 11} B = {8 , 34, 187}

y

R = {( x , y) ∈ A × B | x divide a y }

Indique cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas:

1) 17 R 187 2) 4 R 8 3) 17 R 68 4) 11 R 22

5) (2, 187) < R

(11)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Si

A = {2 , 4, 11} B = {8 , 34, 187}

y

R = {( x , y) ∈ A × B | x divide a y }

Indique cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas:

1) 17 R 187 2) 4 R 8 3) 17 R 68 4) 11 R 22

5) (2, 187) < R Soluci´on

1) 17 R 187 es falsa pues 17 < A.

2) 4 R 8 es cierta pues 4|8 ( 8 = 2 · 4 ).

3) 17 R 68 es falsa pues 17 < A.

4) 11 R 22 es falsa pues 22 < B.

5) (2 , 187) < R es cierta pues 2 no divide a 187.

(12)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Relaciones entre Conjuntos Matemáticas Discretas - p. 6/14

Si

A = {2 , 4, 7}

B = {8 , 22 , 77}

y

R = {(x , y) ∈ A × B |x divide a y }

Indique cuántas parejas están en la relación.

(13)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Si

A = {2 , 4, 7}

B = {8 , 22 , 77}

y

R = {(x , y) ∈ A × B |x divide a y } Indique cuántas parejas están en la relación.

Soluci´on

A × B tiene un total de 9 parejas (|A| · |B|). Revisando una por una todas ellas veamos cual está en la relación: (2 , 8) ∈ R pues 2|8.

(2 , 22) ∈ R pues 2|22. (2 , 77) < R pues 2 no divide a 77. (4 , 8) ∈ R pues 4|8. (4 , 22) < R pues 4 no divide a 22. (4 , 77) < R pues

4 no divide a 77. (7 , 8) < R pues 7 no divide a 8. (7 , 22) < R pues

7 no divide a 22. (7, 77) ∈ R pues 7|77. El total de parejas de A × B

que cumplieron son 4.

(14)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Relaciones entre Conjuntos Matemáticas Discretas - p. 7/14

Si

A = {1 , 7}

defina la relación:

{(x , Y) ∈ A × P (A) |x ∈ Y}

Indique cuántas parejas tiene tal relación.

(15)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Si

A = {1 , 7}

defina la relación:

{(x , Y) ∈ A × P (A) |x ∈ Y}

Indique cuántas parejas tiene tal relación.

Soluci´on

En este caso P (A) = {{} , {1}, {7}, {1, 7}}. El total de parejas de

A × P (A) es 8. Revisemos cada una de ellas: (1 , {}) < R pues 1 < {}.

(1 , {1}) ∈ R pues 1 ∈ {1}. (1 , {7}) < R pues 1 < {7}. (1 , {1 , 7}) ∈ R pues

1 ∈ {1 , 7}. (7 , {}) < R pues 7 < {}. (7 , {1}) < R pues 7 < {1}. (7 , {7}) ∈ R

pues 7 ∈ {7}. (7 , {1 , 7}) ∈ R pues 7 ∈ {1 , 7}. El total de parejas de

A × P (A) que cumplieron son 4.

(16)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Relaciones entre Conjuntos Matemáticas Discretas - p. 8/14

Si

A = {6 , 9}

defina la relación:

{(X , Y) ∈ P (A) × P (A) |X ⊂ Y}

Indique cuántas parejas tiene tal relación.

(17)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Si

A = {6 , 9}

defina la relación:

{(X , Y) ∈ P (A) × P (A) |X ⊂ Y}

Indique cuántas parejas tiene tal relación.

Soluci´on

En este caso P (A) = {{} , {6}, {9}, {6, 9}}. El total de parejas de

P (A) × P (A) es 16. Las únicas parejas que cumplen son: ({} , {6}),

({} , {9}), ({} , {6 , 9}), ({6} , {6 , 9}), y ({9} , {6 , 9}). 5 parejas en total en la

relación. Lo importante a notar es que la relación tiene que ver con

ser un subconjunto propio.

(18)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Relaciones entre Conjuntos Matemáticas Discretas - p. 9/14

Si

A = {2}

defina la relación:

{(X , Y) ∈ P (A) × P (A) |X ∪ Y = A}

Indique cuántas parejas tiene tal relación.

(19)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Si

A = {2}

defina la relación:

{(X , Y) ∈ P (A) × P (A) |X ∪ Y = A}

Indique cuántas parejas tiene tal relación.

Soluci´on

En este caso P (A) = {{} , {2}}. El total de parejas de P (A) × P (A) es 4. Revisando una por una tenemos: ({} , {}) < R pues {} ∪ {} , A.

({} , {2}) ∈ R pues {} ∪ {2} = A . ({2} , {}) ∈ R pues {2} ∪ {} = A .

({2} , {2}) ∈ R pues {2} ∪ {2} = A . 3 parejas en total en la relación.

(20)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Relaciones entre Conjuntos Matemáticas Discretas - p. 10/14

Diagrama de Flechas de una Relación

Sean A = {a , b , c}, B = {1 , 2 , 3} y R la relación de A en B:

R = {(a , 1) , (b , 2) , (b , 3) , (c , 1)}

El diagrama de fechas de R es:

a b c

1 2 3

Un nodo para cada elemento de A y de B. Una

flecha de a a b si la pareja (a , b) está en R.

(21)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Si A = {a , b , c} y B = {1 , 2 , 3}, identifique en orden cada relación:

a) {(a, 2) , (a, 1) , (c, 3) , (b, 2) , (b, 1)}

b) {(a , 2) , (a , 3) , (c , 3) , (c , 1) , (b , 1)}

c) {(a, 2) , (a, 3) , (c, 2) , (c, 1) , (b, 1)}

Con su diagrama de flechas:

1 a s

b s

c s

1 s

2 s

3 s

2 a s

b s

c s

1 s

2 s

3 s

3 a s

b s

c s

1 s

2 s

3 s

4 a s

b s

c s

1 s

2 s

3 s

(22)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Relaciones entre Conjuntos Matemáticas Discretas - p. 11/14

Si A = {a , b , c} y B = {1 , 2 , 3}, identifique en orden cada relación:

a) {(a, 2) , (a, 1) , (c, 3) , (b, 2) , (b, 1)}

b) {(a , 2) , (a , 3) , (c , 3) , (c , 1) , (b , 1)}

c) {(a, 2) , (a, 3) , (c, 2) , (c, 1) , (b, 1)}

Con su diagrama de flechas:

1 a s

b s

c s

1 s

2 s

3 s

2 a s

b s

c s

1 s

2 s

3 s

3 a s

b s

c s

1 s

2 s

3 s

4 a s

b s

c s

1 s

2 s

3 s

Soluci´on

a) con 3), b) con 4), y c) con 1)

(23)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Representación Matricial

Sean A = {a

¹

, a

₂

, . . . , a

_n

} y B = {b

¹

, b

₂

, . . . , b

_m

} conjuntos y R una relación de A en B. La

representación matricial de R consiste de una

matriz n × m (observe que A tiene n elementos y B tiene m) de ceros y unos. Habrá un 1 en la

posición (i , j) si y sólo si la pareja (a

_i

, b

_j

) está en R,

cero en caso contrario. La matriz se conoce como

matriz de adyacencia.

(24)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Relaciones entre Conjuntos Matemáticas Discretas - p. 13/14

Si A = {a , b , c} y B = {1 , 2 , 3} y si se mantiene el orden mostrado en ambos conjuntos, identifique en orden cada relación:

a) {(c, 2) , (a, 1) , (a, 2) , (b, 2) , (c, 3)}

b) {(b , 1) , (a , 1) , (c , 3) , (b , 3) , (b , 2)}

c) {(a, 1) , (b, 2) , (c, 3) , (b, 3) , (a, 2)}

Con su matriz de adyacencia:

1)



 



1 1 0

0 1 0

0 1 1



 



2)



 



1 0 0

1 1 1

0 0 1



 



3)



 



1 1 0

0 1 1

0 0 1



 



4)



 



0 1 0

1 1 1

0 0 1



 



(25)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Si A = {a , b , c} y B = {1 , 2 , 3} y si se mantiene el orden mostrado en ambos conjuntos, identifique en orden cada relación:

a) {(c, 2) , (a, 1) , (a, 2) , (b, 2) , (c, 3)}

b) {(b , 1) , (a , 1) , (c , 3) , (b , 3) , (b , 2)}

c) {(a, 1) , (b, 2) , (c, 3) , (b, 3) , (a, 2)}

Con su matriz de adyacencia:

1)



 



1 1 0

0 1 0

0 1 1



 



2)



 



1 0 0

1 1 1

0 0 1



 



3)



 



1 1 0

0 1 1

0 0 1



 



4)



 



0 1 0

1 1 1

0 0 1



 



Soluci´on

a) con 1), b) con 2), y c) con 3)

(26)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Relaciones entre Conjuntos Matemáticas Discretas - p. 14/14

Identifique en orden cada relación:

a) n

(x, y) ∈ R

²

| y ≤ |x| o b) n

(x , y) ∈ R

²

| y ≤ x o c) n

(x , y) ∈ R

²

| x ≤ y o Con su diagrama:

1 x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

3

2 x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

3

3 x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

3

4 x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

3

(27)

Ejemplo 8

Ejemplo 10

Identifique en orden cada relación:

a) n

(x, y) ∈ R

²

| y ≤ |x| o b) n

(x , y) ∈ R

²

| y ≤ x o c) n

(x , y) ∈ R

²

| x ≤ y o Con su diagrama:

1 x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

3

2 x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

3

3 x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

3

4 x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

3