1. Figuras congruentes
Contenidos
1.1 Definición
1.2 Triángulos Congruentes
3.1 Definición
3.2 Triángulos Semejantes
2. Figuras Equivalentes 3. Figuras semejantes
3.3 Elementos homólogos
3.4 Razón entre áreas y perímetros
4.1 División Interior 4.2 División Exterior 4.3 División Armónica
4. División de un segmento
4.4 Sección áurea o Divina
1. Figuras congruentes ( )
1.1 Definición
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.
Ejemplos:
A
C
B D
F
E
1.2 Triángulos congruentes
Para determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son:
1° Lado, lado, lado (L.L.L.)
Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.
Ejemplo:
8 8
10 10
6 6
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:
Δ ABC Δ DEF
2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados
respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E F
D
α α
5 3
5 3
Ejemplo:
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:
Δ ABC Δ DEF
3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos
respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E F
D
α α
12 12
Ejemplo:
β β
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:
Δ ABC Δ DEF
2. Figuras Equivalentes
Son aquellas que tienen la misma área.
Ejemplo:
El cuadrado de lado 2√
π
, es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura:Área = 4
π
Área = 4π
3. Figuras semejantes (~)
Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones:
3.1 Definición
Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.
G F
J
I
α
Hβ δ γ
ε
A E
D
C α B
β δ γ ε
1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y 2° que sus lados homólogos sean proporcionales.
Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.
A E
D
C α B
β δ γ ε
G F
J
I
α
Hβ δ γ
ε
6
5 4 3
12
10
8
6
4 2
Además, están en razón 1:2.
Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales.
3.2 Triángulos Semejantes
Ejemplo:
A B
C
α
β
γ
E F
D
α
β
γ
Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k
5 3
15
4 9 12
Recuerda que al establecer una
semejanza, el orden no se debe alterar.
AB es homólogo a DE BC es homólogo a EF
AC es homólogo a DF AB
DE BC
EF AC
DF 1
= = = 3 = k
Ejemplo:
Determinar la medida del segmento QR de la figura:
A B
C
α
β
4
γ
10Q R
P
α
γ
β
6 Solución:
Los triángulos ABC y PRQ son semejantes y se tiene que
Es decir:
Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces:
ABPR CB
QR AC
= = PQ = k Con k razón de semejanza
P Q
R
A B
C
3.3 Elementos Homólogos
Los lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a los lados proporcionales.
Ejemplo:
4 3
5
6
8
10
ABPQ= BC
QR= CA
RP = k 5
10 = 3
6 = 4
8 = 1
⇒
2Además, los elementos que cumplen la misma función en cada triángulo como: alturas, transversales,bisectrices y simetrales, también son homólogos y proporcionales.
= k
R P 6
8 10 Q
A B
C 4 3
5
h
Ch
RAdemás, hC = hR
2,4
4,8 = 1
2 = k
• La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos.
3.4 Razón entre Áreas y Perímetros
Ejemplo:
Q
6
10
h
RR 8 P
A B
4 3
5 C
h
CPABC
PPQR = 12
24 = 1 2
= k
• La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.
Ejemplo:
Q
6
10
h
RR 8 P
A B
4 3
5 C
h
CAB
PQ =
5
= k10
=1
2
4. División de un segmento
4.1 División interior
C
A B
Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:
Ejemplo:
Q
A B
AC CB = m n
Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5, y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB?
Q
A B
45
AQQB = 3 5 Solución:
AQ45 = 3
5 AQ =3∙45 5
AQ = 27
⇒ ⇒ ⇒
27
Por lo tanto, AB mide 72
4.2 División exterior
Si el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:
A B D
Ejemplo:
A B D
20
AD BD = m n
Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2, y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD?
ADBD = 5
2 20
BD = 5
2 BD =20∙2
5 BD = 8
⇒ ⇒
⇒
A 12 B 8 D
Solución: 20
4.3 División armónica
Dividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón.
Ejemplo:
m AC CB = AD = n
BD
Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2,
¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12?
A C B D
A C B D
12
12+y y Solución:
12 - x y
ACCB = 3
2 = 3
2 2x = 3(12-x)
⇒
x⇒
12-x
2x = 36 -3x
⇒
5x = 36
⇒
⇒
ADBD = 3
2 = 3
⇒
2⇒
24 + 2y = 3y⇒
36 5
x = 36 5
24 = y 24
5 24
A C B D
x
12
4.4 Sección Áurea o Divina
El punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional
geométrica entre el trazo completo y el menor.
Si AX > BX, entonces:
Ejemplo:
A X B
A P B
AB AX = AX
BX
ó(AX)
2= AB∙BX
En la figura, P divide al segmento AB en “sección áurea”, con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la medida de AP, si PB = 5b?
5b
Solución:
(AP)2 = (AP + 5b)∙5b
⇒
(AP)2 = 5b∙AP + 25b2
⇒
(AP)2 - 5b∙AP - 25b2 = 0
⇒
5b
A P B
(AP)2 = AB∙PB