2. Figuras Equivalentes 3. Figuras semejantes

(1)

1. Figuras congruentes

Contenidos

1.1 Definición

1.2 Triángulos Congruentes

3.1 Definición

3.2 Triángulos Semejantes

2. Figuras Equivalentes 3. Figuras semejantes

3.3 Elementos homólogos

3.4 Razón entre áreas y perímetros

(2)

4.1 División Interior 4.2 División Exterior 4.3 División Armónica

4. División de un segmento

4.4 Sección áurea o Divina

(3)

1. Figuras congruentes ( )

1.1 Definición

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.

Ejemplos:

(4)

A

C

B D

F

E

1.2 Triángulos congruentes

Para determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son:

1° Lado, lado, lado (L.L.L.)

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.

Ejemplo:

8 8

10 10

6 6

Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:

Δ ABC Δ DEF

(5)

2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados

respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente.

A B

C

E F

D

α α

5 3

Ejemplo:

Δ ABC Δ DEF

(6)

3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos

respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.

A B

C

E F

D

α α

12 12

Ejemplo:

β β

Δ ABC Δ DEF

(7)

2. Figuras Equivalentes

Son aquellas que tienen la misma área.

Ejemplo:

El cuadrado de lado 2√

π

, es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura:

Área = 4

π

^{Área = 4}

π

(8)

3. Figuras semejantes (~)

Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones:

3.1 Definición

Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.

G F

J

I

α

H

β δ γ

ε

A E

D

C α B

β δ γ ε

1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y 2° que sus lados homólogos sean proporcionales.

Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.

(9)

A E

D

C α B

β δ γ ε

G F

J

I

α

H

β δ γ

ε

6

5 4 3

12

10

8

6

4 2

Además, están en razón 1:2.

Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.

(10)

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales.

3.2 Triángulos Semejantes

Ejemplo:

A B

C

α

β

γ

E F

D

α

β

γ

Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k

5 3

15

4 9 12

Recuerda que al establecer una

semejanza, el orden no se debe alterar.

AB es homólogo a DE BC es homólogo a EF

AC es homólogo a DF AB

DE BC

EF AC

DF 1

= = = 3 = k

(11)

Ejemplo:

Determinar la medida del segmento QR de la figura:

A B

C

α

β

4

γ

10

Q R

P

α

γ

β

6 Solución:

Los triángulos ABC y PRQ son semejantes y se tiene que

Es decir:

Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces:

ABPR CB

QR AC

= = PQ = k Con k razón de semejanza

(12)

P Q

R

A B

C

3.3 Elementos Homólogos

Los lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a los lados proporcionales.

Ejemplo:

4 3

5

6

8

10

ABPQ= BC

QR= CA

RP = k 5

10 = 3

6 = 4

8 = 1

⇒

2

Además, los elementos que cumplen la misma función en cada triángulo como: alturas, transversales,bisectrices y simetrales, también son homólogos y proporcionales.

= k

(13)

R P 6

8 10 Q

A B

C 4 3

5

h

_C

h

_R

Además, h_C = h_R

2,4

4,8 = 1

2 = k

(14)

• La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos.

3.4 Razón entre Áreas y Perímetros

Ejemplo:

Q

6

10

h

_R

R 8 P

A B

4 3

5 C

h

_C

P_ABC

P_PQR = 12

24 = 1 2

= k

(15)

• La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.

Ejemplo:

Q

6

10

h

_R

R 8 P

A B

4 3

5 C

h

_C

AB

PQ =

5

= k

10

⁼

1

2

(16)

4. División de un segmento

4.1 División interior

C

A B

Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:

Ejemplo:

Q

A B

AC CB = m n

Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5, y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB?

(17)

Q

A B

45

AQQB = 3 5 Solución:

AQ45 = 3

5 AQ =3∙45 5

AQ = 27

⇒ ⇒ ⇒

27

Por lo tanto, AB mide 72

(18)

4.2 División exterior

Si el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:

A B D

Ejemplo:

A B D

20

AD BD = m n

Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2, y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD?

(19)

ADBD = 5

2 20

BD = 5

2 BD =20∙2

5 BD = 8

⇒ ⇒

⇒

A 12 B 8 D

Solución: 20

(20)

4.3 División armónica

Dividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón.

Ejemplo:

m AC CB = AD = n

BD

Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2,

¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12?

A C B D

12

(21)

12+y y Solución:

12 - x y

ACCB = 3

2 = 3

2 2x = 3(12-x)

⇒

^x

⇒

12-x

2x = 36 -3x

⇒

5x = 36

⇒

ADBD = 3

2 = 3

⇒

2

⇒

24 + 2y = 3y

⇒

36 5

x = 36 5

24 = y 24

5 24

A C B D

x

12

(22)

4.4 Sección Áurea o Divina

El punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional

geométrica entre el trazo completo y el menor.

Si AX > BX, entonces:

Ejemplo:

A X B

A P B

AB AX = AX

BX

^ó

(AX)

²

= AB∙BX

En la figura, P divide al segmento AB en “sección áurea”, con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la medida de AP, si PB = 5b?

5b

(23)

Solución:

(AP)² = (AP + 5b)∙5b

⇒

(AP)² = 5b∙AP + 25b²

⇒

(AP)² - 5b∙AP - 25b²= 0

⇒

5b

A P B

(AP)² = AB∙PB