Transformada de Fourier
para funciones de la clase de Schwartz
Definici´on 1. Denotemos por C8pRq al conjunto de todas las funciones R Ñ C que son infinitamente derivables.
Definici´on 2. Dada una funci´on f de clase C8pRq y un par de n´umeros k, m P N0, pongamos
}f }k,m :“ sup
xPR
`p1 ` |x|qk|fpmqpxq|˘ .
La clase de Schwartz SpRq se define como el conjunto de todas las funciones f de clase C8pRq tales que }f }k,mă `8 para cualesquiera k, m P N0.
Proposici´on 3. Sea f P C8pRq. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(a) f P SpRq;
(b) para cada p y m en N0,
sup
xPR
`|x|p|fpmqpxq|˘
ă `8;
(c) para cada m en N0 y cada polinomio P , sup
xPR
ˇ
ˇP pxq|fpmqpxq|˘
ă `8.
Demostraci´on. La implicaci´on (a)ñ(b) se sigue de la desigualdad |x|p ď p1 ` |x|qp, y la implicaci´on (a)ñ(b) se sigue de la identidad
p1 ` |x|qp “
p
ÿ
k“0
ˆp k
˙
|x|k.
Para ver que (b) implica (c), recordamos que cada polinomio P es una combinaci´on lineal de monomios. Para ver que (c) implica (b), recordamos que cada monomio es un polinomio.
Proposici´on 4. Sea f P SpRq y sea P una funci´on polinomial. Entonces f P P SpRq.
Proposici´on 5. Sea f P SpRq y sea m P N0. Entonces fpmqP SpRq.
Ejemplo 6. Sea P un polinomio de una variable con coeficientes reales o complejos.
Pongamos
f pxq “ P pxq e´x2. Entonces f P SpRq.
Proposici´on 7. SpRq Ĺ L1pRq.
Transformada de Fourier en la clase de Schwartz, p´agina 1 de 2
Proposici´on 8 (la transformada de Fourier de la derivada, repaso). Sea f P L1pRq tal que su derivada f1 existe µ-c.t.p. y pertenece a L1pRq. Entonces
pF f1qpξq “ 2π i ξ pf pξq.
Proposici´on 9 (la transformada de Fourier de una funci´on multiplicada por la funci´on identidad, repaso). Supongamos que
ż
R
|x| |f pxq| dx ă `8.
Entonces pf es derivable y
fp1pξq “ ż
R
p´2π i xqf pxq e´2π i xξ dx.
Proposici´on 10. Sea f P SpRq. Entonces pf P SpRq.
Demostraci´on. Sean p, m P N0. Demostremos que sup
ξPR
´
|ξ|p| pfpmqpξq|
¯
ă `8.
Pongamos
gpxq “ p´2π i xqmf pxq.
Entonces g P SpRq y pg “ pfpmq. Ahora pongamos hpxq “ 1
p2π iqpgppqpxq.
Entonces h P SpRq y ph P L8pRq, pero
phpξq “ ξppgpξq “ ξpfppmq.
Proposici´on 11 (la convoluci´on de una funci´on con el n´ucleo de calor, repaso). Sea f P L1pRq. Entonces para cada t ą 0
ż
R
Htpyqf px ´ yqdy “ ż
R
e´4π2t|ξ|2f pξq ep 2π i ξx dξ. (1) Proposici´on 12. Sea f P SpRq. Entonces para cada x en R
f pxq “ ż
R
f pξq ep 2π i ξx dξ.
Demostraci´on. Fijamos x en x P R. Vamos a pasar al l´ımite cuando t tiende a 0, en la f´ormula (1). Como f es continua en x y acotada, pHt˚ f qpxq Ñ f pxq cuando t tiende a 0.
La funci´on bajo la integral del lado derecho se puede acotar por la funci´on integrable | pf |:
| e´4π2t|ξ|2f pξq ep 2π i ξx| ď | pf pξq|.
Por eso se puede aplicar el teorema de Lebesgue de la convergencia dominada. Finalmente notamos que
limtÑ0e´4π2t|ξ|2f pξq ep 2π i ξx “ pf pξq.
Transformada de Fourier en la clase de Schwartz, p´agina 2 de 2
