EJERCICIOS DE INTEGRAL DEFINIDA

(1)

EJERCICIOS DE INTEGRAL DEFINIDA

2º) Aplicando la regla de Barrow, calcula las siguientes integrales definidas:

 

     

  

  

 













0 3 x

1 5

3 2

0

2

1 0

2

1 2

dx x sen e x dx

3 x

1dx x x x dx

cos 1

x sen

dx x xsen

dx x ln x dx

x sen dx

1 x x

3º) Determina a y b para que la siguiente función sea continua.

























0 2

3

0 1

1 2

) (

2 si x

x

x si

b ax

x si a x

f

x

. Con los valores calculados de a y b, halla



2^1 f(x)dx

4º) Sea f(x) =

 

²

3

1 x

x

 : a) Calcula los máximos y mínimos de f(x).

b) Represéntala gráficamente c)



2³ f (x)dx

d) Representa ese área.

5º) Halla el área del recinto plano limitado por las curvas f(x) = x² –3x+ 2 y g(x) = -x² + x + 2.

6º) Representa gráficamente

2 3 1

)

(     x x

x

f y calcula





1

1 f (x)dx. ¿Representa esa integral definida el área limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX en el intervalo [-1, 1]?

7º) Calcula 



⁰ 

1ln(x 2)dx

A . Representa gráficamente la parte del plano que corresponde con A.

8º) Halla el área del recinto plano limitado por la parábola y = 4x – x² y las tangentes a la curva en los puntos de intersección del eje OX.

9º) Halla el área del recinto plano limitado por f(x) = (1/2)x² – x + 1 e y – x – 1 = 0.

10º) Halla el área del recinto plano limitado por f(x) = x e^-x y g(x) = x² e ^–x. 11º) Halla el área del recinto plano limitado por f(x) = x³ – 2x y g(x) = x².

12º) Halla el área del recinto plano limitado por f(x) = x², g(x) = x²/2 y la recta y = 2x.

13º) Halla el área del recinto plano limitado por las curvas f(x) = sen(x) y g(x) = sen(2x) entre 0 y el primer punto de corte entre ambas funciones.

(2)

14º) Halla el área del recinto plano limitado por las curvas f(x) = x⁴ – 2x² y g(x) = 2x². 15º) Halla el área del recinto plano limitado por la parábola y² – 2x = 0 y la recta que

une los puntos (2, -2) y



⁴^,² ²



^.

16º) Halla el área del recinto plano limitado por las parábolas f(x) x², y ^g⁽^x⁾^ ^x. 17º) Halla el área del recinto limitado por la parábola f(x) = 2x², la recta y = 3 – x y que

está en el primer cuadrante.

18º) Halla el área del recinto limitado por f(x) = x 1

x²

 , el eje de abscisas y la recta x=2.

19º) Halla el área del recinto limitado por f(x) = x 1

1

 y g(x) = 2 x²

, con el eje de ordenadas.

20º) Halla el área del recinto plano determinado por la curva f(x) = x³ – 16x y el eje de abscisas.

22º) Dada la función f(x) = x sen(x), calcula:

a)



³^^/² f⁽x⁾dx

b) El área comprendida entre f(x) y el eje OX en el intervalo [,3/2].

c) Compara los resultados obtenidos en los dos apartados anteriores.

24º) Calcular el área del recinto plano limitado por la parábola 2y²  x2, el eje de abscisas y la tangente a la parábola paralela a la recta ²^y ^{ x}^³. Hacer un dibujo del recinto descrito.

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD Junio de 1997

(3)

1.- A. Se sabe que



a^b f

 

x dx ^ 0. ¿Se puede asegurar que a = b? Razona la respuesta.

B. Calcula, utilizando la Regla de Barrow, la integral definida



³ 

3 x 1 dx

Septiembre de 1997

2.- A. Enunciado del Teorema Fundamental del Cálculo Integral.

B. Calcular las siguientes integrales:

    



_sen ^x_x ^dx ^B ^x ^dx

A. cos₃ . ln( )

Junio de 1998

3.- A. Sea f(x) una función continua positiva tal que 1^



0¹f x dx ^2. ¿Se puede asegurar que f(x) 1, para todo x Î [0, 1]? Razonar la respuesta.

B. Calcular la integral



4²

 

/

/ x·cos x dx



Junio de 1999

4.- Teniendo en cuenta que la función f(x) = 2x³ – 3x² + a toma valores positivos y negativos. Halla el valor de a de forma que el área limitada por el eje OX, la recta x = -1, la recta x = 2 y la curva y = f(x) = 2x³ – 3x² + a quede dividida por el eje OX en dos partes con igual área.

5.- Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las siguientes curvas: x·y = 1, y = x², x = 3. Haz un dibujo del recinto descrito.

Junio de 2000

6.- A. Enunciado de la Regla de Barrow.

B. Sea ^f

  

^x ^ 1^x_t ^dt

1 , y sean a, b Î R⁺. Demuestra que f(a·b) = f(a) + f(b)

7.- A. Si f(x) es una función continua en [a, b], ¿puede ser



a^bf t dt ^0? Razona la respuesta con un ejemplo.

B. Calcula 0³ ^

1 x2 dx x

Junio de 2001

8.- Sabiendo que P(x) es un polinomio de tercer grado con un punto de inflexión en (1, 0) y con P’’’(1) = 24 donde, además, la tangente al polinomio en ese punto es horizontal.

Calcule



0¹P x dx.

(4)

Junio de 2001 9.- Dadas  

2 x x x

f 

 y

 







 

0 0 3

2 si x

x

x si x x

g . Calcule





  

0 1

2· g f x dx

x  (

g  f denota la composición de esas funciones).

10.- A. Enunciado del teorema del Valor Medio del Cálculo Integral.

B. Sean f y g, dos funciones continuas, definidas en el intervalo [a, b], que verifican que



a^b

 

^

  

b

ag x dx

dx x

f . Demuestre que existen a, b Î [a, b]

tales que f(a) = g(b).

Junio de 2002

11.- Dibuje la gráfica de ^f^{ }^x ^{ x}² ^⁴ en el intervalo [-3, 3] y calcule su integral en ese intervalo.

12.- Calcule el número positivo a tal que el valor del área de la región limitada por la recta y = a y la parábola y = (x – 2)² sea 36.

13.- A) Dada la parábola f(x)ax² bxc, determine los valores de a, b y c sabiendo que f tiene un máximo en el punto de abscisa

2

1



x y la recta tangente a f en el punto (1,3) es y = -3x+ 6.

B) Determine el área de la región limitada por la gráfica de la función

5 )

(x  x²x

f , el eje OX y las rectas

2

1



x e y = x + 6.

Junio de 2004

14.- A) Un barco B y dos ciudades A y C de la costa forman un triángulo rectángulo en C. Las distancias del barco a las ciudades A y C son 13 Km y 5 Km respectivamente.

Un hombre situado en A desea llegar hasta el barco B. Sabiendo que puede nadar a 3 Km/h y caminar a 5 Km/h, ¿a qué distancia de A debe abandonar la costa para nadar hasta B si quiere llegar lo antes posible?

B) Demuestre que la función f dada por

2 ) 4

( ₂



  x x x

f es estrictamente positiva en 2, y halle el área de la región determinada por la gráfica de f , el eje de abscisas y las rectas x=2 y x=3.

Junio 2005

15.- A. Enunciado e interpretación geométrica del teorema del valor medio del cálculo integral para funciones continuas.

(5)

B. Sea ^f :



 22,



^R^R continua en



²^,²



tal que



^ ^



2 1 1

2 f(t)dt f(t)dt , ¿se puede asegurar que existen b y c en



2,2



tales que b 1, c1 y f(b) = f(c)?. Justifique la respuesta.

Septiembre 2005

16.- A. Enunciado e interpretación geométrica del Teorema Fundamental del Cálculo Integral para funciones continuas.

B. Sea ^F ^x ^



0^x^sen ^t ^dt 2) ( )

( . Calcule la segunda derivada de la función F (sin intentar resolver la integral).

Junio 2006

17.- Opción 1.c) Enunciado e interpretación geométrica del Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral.

Opción 2 .c) Calcula el valor de m para que el área del recinto limitado por la recta y = m x y la curva y = x³ sea 2 unidades cuadradas.

Septiembre 2006

18.- Opción 1. c) Definición de primitiva e integral indefinida de una función.

Enunciado de la regla de Barrow.

Opción 2. c) Calcula el área del recinto limitado por la recta y = 2 – x y la curva y = x².

Junio 2007

19.- Opción 1. c) Enunciado del teorema fundamental del cálculo integral. Dada la función ^F ^x ^



0^x^e^^t ^dt

) 2

( , ¿tiene F(x) puntos de inflexión? Justifica la respuesta.

Opción 2. c) Calcula el área de la región del plano limitada por el eje OX y la curva ^y^ ^x³ ^⁹^x.

Septiembre 2007

20.- Opción 1.- c) Enunciado del teorema fundamental del cálculo integral. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ^F ^x ^

_

^t



^

 

^t



^dt

0

cos 2

2 )

( , en el punto de

abscisa x=0.

Opción 2.- Calcula el área de la región del plano limitada por las gráficas de g(x) y h(x)= ^x .