Convoluci´on peri´odica

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Convoluci´ on peri´ odica

Objetivos. Introducir el concepto de convoluci´on de funciones 2π-peri´odicas y demostrar las propiedades principales de esta operaci´on.

Requisitos. Funciones Lebesgue integrables, funciones peri´odicas, teorema de Fubini, cambio de variable.

Funciones 2π-peri´ odicas

1. Definici´on (funci´on T -peri´odica). Sea f : R → C una funci´on y sea T ∈ R. Se dice que f es T -peri´odica (tambi´en se dice que T es un per´ıodo de f ) si para cada x en R

f (x + T ) = f (x).

2. Los per´ıodos de una funci´on. Una funci´on puede tener varios per´ıodos. Por ejemplo, si T es un per´ıodo de f , entonces 2T tambi´en es un per´ıodo de f :

f (x + 2T ) = f ((x + T ) + T ) = f (x + T ) = f (x).

M´as general, si T es un per´ıodo de f , entonces cualquier m´ultiplo positivo de T tambi´en es un per´ıodo de f . Si f es una constante, entonces cualquier n´umero real es su per´ıodo.

Se puede demostrar que el conjunto de los per´ıodos de una funci´on dada es un subgrupo de R.

3. El per´ıodo positivo m´ınimo de una funci´on. Sea f : R → C una funci´on. Su- pongamos que el conjunto de los per´ıodos positivos de f tiene un elemento m´ınimo T . Entonces se dice que T es el per´ıodo positivo m´ınimo de f . Se puede demostrar que en esta situaci´on cualquier per´ıodo positivo de f es un m´ultiplo entero de T . Hay funciones que no tienen per´ıodo positivo m´ınimo.

4. El grupo cociente R/(T Z). Sea T > 0. Los elementos de R/(T Z) son conjuntos de la forma x + T Z, con x en R. La suma de dos elementos de R/(T Z) se puede definir como la suma de dos subconjuntos de R, es decir, como el conjunto de todas las sumas:

A + B := {c ∈ R : ∃a ∈ A ∃b ∈ A c = a + b}.

Es f´acil ver que si A, B ∈ R/(T Z), x ∈ A, y ∈ B, entonces A + B = (x + y) + T Z.

La funci´on x + T Z → e2π i x/T es un isomorfismo del grupo R/(T Z) sobre el grupo T.

Convoluci´on peri´odica, p´agina 1 de 2

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5. Varios puntos de vista a las funciones 2π-peri´odicas. En estos apuntes vamos a trabajar con funciones 2π-peri´odicas. Si f : R → C es una funci´on 2π-peri´odica, entonces existe una ´unica funci´on g : (R/(2πZ)) → C tal que g(x + 2πZ) = f (x) para cada x en R.

Tambi´en existe una ´unica funci´on h : T → C tal que h(ei x) = f (x) para cada x en R. M´as a´un, si f es continua, las funciones g y h tambi´en son continuas. Esto significa que en vez de trabajar con funciones 2π-peri´odicas es posible trabajar con funciones definidas en el grupo cociente R/(2πZ) o en la circunferencia unitaria T. En estos apuntes elegimos el punto de vista m´as elemental y trabajamos con funciones 2π-peri´odicas definidas en R.

6. Funciones 2π-peri´odicas integrables sobre intervalos de longitud 2π. Sea p ∈ [1, +∞]. Denotamos por Lp(R) a las funciones R → C que son Lebesgue-medibles, 2π-peri´odicas y p-integrables sobre el intervalo [0, 2π).

Convoluci´ on peri´ odica

7. Definici´on (la convoluci´on peri´odica de dos funciones peri´odicas). Dadas dos funciones f, g ∈ L1(R), denotamos por f ∗ g su convoluci´on peri´odica (tambi´en llamada la convoluci´on c´ıclica):

(f ∗ g)(θ) := 1 2π

Z

0

f (θ − η)g(η) dµ(η). (1)

La convoluci´on f ∗ g se puede definir tambi´en para otras clases de funciones. Solamente se pide que la integral (1) exista en el sentido de Lebesgue para casi todo θ en R.

8. Proposici´on (la convoluci´on peri´odica de dos funciones peri´odicas es una funci´on peri´odica). Sean f, g : R → C dos funciones 2π-peri´odicas Lebesgue-medibles y tales que su convoluci´on f ∗ g est´a definida casi en todas partes. Entonces f ∗ g tambi´en es una funci´on 2π-peri´odica.

9. Proposici´on (propiedad asociativa de la convoluci´on peri´odica).

(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).

10. Proposici´on (propiedad conmutativa de la convoluci´on peri´odica).

f ∗ g = g ∗ f.

Convoluci´on peri´odica, p´agina 2 de 2

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