Variables Aleatorias

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Variables Aleatorias

VARIABLES ALEATORIAS

1. Variable aleatoria. Tipos... 2

2. Distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria discreta... 4

3. Función de distribución. Propiedades... 5

4. Función de densidad... 7

5. Cálculo de Probabilidades... 10

6. Caracterización de una distribución... 13

6.1. Moda……… 13

6.2. Mediana………... 13

6.3. Esperanza matemática. Propiedades... 13

6.4. Momentos... 15

6.4.1. Momentos de orden k respecto al origen... 15

6.4.2. Momentos de orden k respecto a la media... 15

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Variables Aleatorias

VARIABLES ALEATORIAS

1. VARIABLE ALEATORIA. TIPOS.

En el tema de Estadística Descriptiva hemos estudiado la variable estadística que representaba el conjunto de resultados observados en una muestra tomada de un experimento aleatorio, presentando cada valor una frecuencia relativa.

Frecuentemente, al realizar un experimento aleatorio nos interesa más que el resultado completo del experimento (variable estadística) una función real de los resultados. Tales funciones, cuyos valores dependen de los resultados de un experimento aleatorio, se llaman variables aleatorias.

Así al lanzar 60 veces un dado, obtenemos una muestra que representamos por una variable estadística x que toma los valores y frecuencias relativas siguientes:

Si imaginamos

que se realiza una infinidad de pruebas relativas al experimento la infinidad de resultados posibles da origen a la noción de variable aleatoria asociada a un experimento aleatorio. Donde los valores que toma la variable aleatoria son todos iguales a 1, 2, 3, 4, 5, y 6 cada uno de ellos con probabilidad 1/6. La variable aleatoria es pues la abstracción o idealización de la variable estadística.

Tenemos así los conceptos concretos de población o muestra, frecuencia y variable estadística, como nociones concretas de las cuales, por un proceso de abstracción, resultan los conceptos teóricos de espacio muestral, probabilidad y variable aleatoria.

Sea (E, B, P) un espacio probabilístico asociado a un experimento aleatorio. Una variable aleatoria es una función definida sobre el espacio muestral E que toma valores en el cuerpo de los números reales R, es decir,

ξ: E→ R A→ξ(A)

xi 1 2 3 4 5 6

fi 10/60 7/60 12/60 11/60 13/60 7/60 1

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Variables Aleatorias

Una variable aleatoria puede ser discreta o continua.

Una variable aleatoria ξ se dice que es discreta cuando toma un número finito o infinito numerable de valores reales, es decir, cuando es un conjunto de puntos aislados.

EJEMPLO 1:

Sea la experiencia de lanzar dos monedas al aire o dos veces una moneda y observar el resultado. El espacio muestral E = {cc, cx, xc, xx}. Consideremos la variable aleatoria número de caras obtenido.

ξ: E→ R ξ(cc) = 2 ξ(cx) = 1 ξ(xc) = 1 ξ(xx) = 0

Podíamos haber definido otra variable aleatoria η de tal forma que:

η: E→ R

η(cc) = 1 η es una variable aleatoria discreta.

η(cx) = 1 η(xc) = 1 η(xx) = 0

En muchos casos el resultado del experimento es un número real, entonces se adopta dicho valor. Por ejemplo, al lanzar un dado ξ(x )i =xi

Hay variables aleatorias que no toman valores aislados, sino que pueden tomar cualquier valor de un intervalo real. A las variables de este tipo las definiremos como variables aleatorias continuas.

ξ es una variable aleatoria discreta.

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Variables Aleatorias

EJEMPLO 2:

Consideremos un círculo graduado de 0 a 1 y una manecilla que gira alrededor de su centro C, que puede tomar todos los valores reales de [0,1). Es una variable continua.

EJEMPLO 3:

Los errores de observación constituyen una variable aleatoria continua.

2. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ASOCIADA A UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

En el ejemplo 1 a cada valor de la variable aleatoria ξ le corresponde una probabilidad.

En el caso de la variable η:

La tabla formada por los valores que toma la variable junto con sus probabilidades, recibe el nombre de distribución de probabilidad de la variable.

Sea ξ una variable aleatoria discreta. A cada valor x le podemos asociar un número i

[ ]

i i

P(x )=P(ξ =x )0,1 , hemos definido así una función P(x) sobre la variable aleatoria ξ. Si en el espacio muestral los sucesos que corresponden a los diferentes valores de x constituyen i una partición de E, se verifica que

P(x )i =1. En estas condiciones P(x ) se llama i distribución de probabilidad de ξ.

EJEMPLO 4:

Si consideramos el lanzamiento de un dado y la variable aleatoria ξ=“puntos obtenidos”. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

P(η = 1) = ¾ P(η = 0) = ¼ P(ξ = 2) = ¼

P(ξ = 1) = ½ P(ξ = 0) = ¼

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Variables Aleatorias

Distribución de probabilidad que se puede representar mediante un diagrama de barras.

3. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Supongamos que, en el ejemplo anterior, nos interesa ver la probabilidad de obtener una puntuación menor o igual que un cierto

valor.

Gráficamente, adopta una forma de escalera, tomando los saltos en los valores aislados que toma la variable, siendo en cada uno de éstos continua por la derecha.

Obsérvese que la altura de cada salto finito en los puntos de discontinuidad se corresponde con la probabilidad en dicho punto.

Obsérvese la similitud con el diagrama de frecuencias relativas acumuladas

Analíticamente,

Sea ξ una variable aleatoria discreta o continua, a la función F(x) tal que: F(x)=P(ξ ≤x)se la denomina función de distribución.

xi ξ( )xi =xi P x( )i =P(ξ=xi)

1 1 1/6

2 2 1/6

3 3 1/6

4 4 1/6

5 5 1/6

6 6 1/6

1 2 3 4 5 6 1/6

xi

xi 1 2 3 4 5 6

P(ξ ≤x )i 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 1

0 si x<1 1 / 6 si 1 x<2 2 / 6 si 2 x<3 F(x) 3 / 6 si 3 x<4 4 / 6 si 4 x<5 5 / 6 si 5 x<6

1 si 6 x

=

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Variables Aleatorias

Propiedades:

1.- F(x) es monótona no decreciente Si a<b entonces F(a)≤ F(b)

En efecto, F(b) = P( ξ ≤ b) = P(ξa)+P a( < ≤ξ b) = F(a)+P a( < ≤ξ b)≥ F(a) puesto que la probabilidad es mayor o igual a cero.

2.-xlim F(x) 0

→−∞ =

lim F(x

x→−∞ ) = lim P x P

x→−∞ (ξ≤ )= ( )φ =0

3.- lim F(x)x 1

→∞ =

lim F(x lim P x P

x→∞ )=x→∞ (ξ≤ )= (E) = 1

4.- La función de distribución es continua por la derecha.

lim F(x h F(x lim P x h P x lim P x x h P

h + + − =h + ≤ + − ≤ =h + < ≤ + = =

0 ) ) 0 (ξ ) (ξ ) 0 ( ξ ) ( )φ 0

5.- Dada la función de distribución, podemos calcular la probabilidad,

P(a< ξ ≤b)=P(ξ ≤b) P(− ξ ≤a)=F(b) F(a)− , puesto que F(x) = P(ξ ≤x) P(a< ξ <b)=P(ξ <b) P(− ξ ≤a)=F(b ) F(a)

P(a≤ ξ <b)=P(ξ <b) P(− ξ <a)=F(b ) F(a ) P(a≤ ξ ≤b)=P(ξ ≤b) P(− ξ <a)=F(b) F(a )

P(ξ =b)=P(ξ ≤b) P(− ξ <b)=F(b) F(b ) corresponde al sato de discontinuidad en b En el caso de que la variable sea discreta: F(x) = P xi

xi x

( )

EJEMPLO 5:

Si queremos calcular la función de distribución para el ejemplo 1, xi P(ξ= xi) F(x)

0 1/4 1/4 1 2/4 3/4

2 1/4 1

F x)( =



0 si x < 0 1 / 4 si 0 x < 1 3 / 4 si 1 x < 2

1 si 2 x

Gráficamente,

(7)

Variables Aleatorias

En el caso continuo:

EJEMPLO 6:

Consideremos el ejemplo 2. y que queremos determinar la probabilidad de que la manecilla se pare en una posición determinada, es decir, de obtener una puntuación 0,6, por ejemplo. Dicha probabilidad es prácticamente cero puesto que existen infinitos casos posibles. Si nos preguntamos por obtener una puntuación menor o igual a x, nos dará la función de distribución:

Gráficamente,

La probabilidad de que la manecilla caiga entre el 0,5 y el 0,6 será:

P(0, 5< ξ ≤0, 6) = F(0,6) - F(0,5) = 0,6 - 0,5 = 0,1

En general consideraremos, el intervalo (x, x+h), para el cual P x( < ≤ +ξ x h)= F(x+h)- F(x) es la probabilidad en el intervalo. Si dividimos por h, nos da la probabilidad media

F x h F x) h ( + ) (

que llamaremos densidad media de ese intervalo. Por último, si el intervalo lo tomamos infinitesimal, tendremos: limF x h F x)

h

h→

+

0

( ) (

= F’(x) = f(x) que llamaremos función de densidad, que representa por tanto la probabilidad media en un intervalo infinitesimal, y que es equivalente a la función de probabilidad de las variables aleatorias discretas.

Función de distribución:

F(x)=P(ξ ≤x) =

0 si x 0

x si 0 x 1

1 si 1 x

 <

 ≤ <

 ≤

F(x)

1 0

F(x)

x

f(x)=F '(x) =

0 si x 0

1 si 0 x 1

0 si 1 x

 <

 ≤ <

 ≤

(8)

Variables Aleatorias

4. FUNCIÓN DE DENSIDAD

Una variable aleatoria ξ con función de distribución F(x), se dice que es una variable aleatoria continua si F(x) es una función absolutamente continua (o simplemente continua) de x cuya derivada F’(x) = f(x) existe y es continua salvo, como mucho, en un número finito de puntos. La función f(x) definida, se denomina función de densidad de ξ .

Como F(x) es no decreciente, tendrá que ser f(x) ≥0 para todo x. Además, integrando F x)( = x f t dt( )

−∞ y como x→∞lim F x)( = 1 resulta f t dt( )

−∞

= 1. Por tanto, en una función de densidad f(x) se verifican siempre las dos propiedades:

1.- f(x) 0 para todo x 2.- f (t)dt

−∞ = 1 siendo F(x) P( x) x f (t)dt

= ξ ≤ =

−∞

EJEMPLO 7:

Sea f(x) =

x2 1

2x si 0 x 9

3 9

0 resto

 − + ≤ ≤



 ¿Es f(x) una función de densidad?

Solución:

Para que sea función de densidad debe verificar:

1.- f(x) ≥ 0 para todo x 2.- f (t)dt

−∞ = 1

en particular f(1) =1/3 - 2 + 1/9 <0, por tanto, no es una función de densidad, aunque f (t)dt

−∞

= 1

Determinada F(x) se obtiene f(x) y recíprocamente. Mediante la función de densidad, podemos calcular:

P a b F(b F(a b f t a f t f t

a

( < ≤ )= )− )= ( )dt− ( )dt= b ( )dt

−∞ −∞

∫ ∫ ∫

ξ

(9)

Variables Aleatorias

Si f(t) es esa curva, F(x) es el área rayada y el área encerrada entre la curva y el eje OX es igual a la unidad.

La probabilidad de que ξ se encuentre entre dos valores es igual al área comprendida entre estos dos valores.

f t P a b

a

b ( )dt = ( < ≤ )

ξ

En particular P x f t

x

(ξ = )=

x ( )dt = 0

EJEMPLO 8:

La duración en minutos de una reacción química viene dada por una variable aleatoria con la siguiente función de densidad:

f(x) = kx si 1 x 3 0 en el resto

 ≤ ≤



Calcular: a) Valor de k para que f(x) sea función de densidad. b) Probabilidad de que la reacción dure entre 2 y 4 minutos. c) Obtener la función de distribución.

Solución:

a) Se tiene que cumplir que f(x) ≥ 0 para todo x y que f (t)dt

−∞ = 1 2 3

3 1

1

kx 1

f (x)dx kxdx 4k 1 k

2 4

−∞

= =  = = ⇒ =

∫ ∫

b) f(x) =

1x si 1 x 3 4

0 en el resto

 ≤ ≤





2 3

4 3 4

2 2 3

2

x x 5

P(2 4) f (x)dx dx 0dx

4 8 8

< ξ < = = + =  =

∫ ∫ ∫

c) F(x) P( x) x f (t)dt

= ξ ≤ =

−∞

Si x<1 se tiene que F(x) = 0 Si 1<x≤3 se tiene que F(x) =

2 x 2

x 1

1

t t x 1

4dt 8 8

 −

=  =

(10)

Variables Aleatorias

Si 3<x se tiene que F(x) =

2 3

3 x

1 3

1

t t

dt 0dt 1

4 8

+ =  =

∫ ∫

Resultando F(x) =

2

0 si x 1

x 1

si 1 x 3 8

1 si 3 x

 <

 −

 ≤ <



 ≤ cuya gráfica es:

Obsérvese que en las variables aleatorias continuas la función de distribución es continua.

La función de densidad no tiene porque ser continua en un número finito de puntos.

5. CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Se calcula la probabilidad de cualquier suceso asociado a una variable aleatoria a partir de la distribución de probabilidad o de la función de densidad.

Caso discreto Caso continuo

P(ξ =a) P(ξ =a)=

af x dx

( )

=0

( )

P(ξ <a)=F(a) P− ξ =a P(ξ <a)=

a f x dx

( )

=F(a)=P

(

ξ ≤a

)

( ) ( )

P(a < ξ ≤b)=P ξ ≤b − ξ ≤P a =F(b) F(a)− P(a< ξ ≤b)=F(b) F(a) =

abf x dx

( )

( )

P(ξ >a) 1 F(a) 1 P= − = − ξ ≤a P(ξ >a)=+∞

f x dx

( )

En el caso de variable aleatoria discreta si los valores de la variable para los cuales la probabilidad es distinta de cero son x1, x2,…xn, la función de distribución es:

1

1 1 2

1 2 2 3

1 2 3 3 4

0 si x<x P(x ) si x x x P(x ) P(x ) si x x x F(x) P(x ) P(x ) P(x ) si x x x

...

≤ <

+ ≤ <

= + + ≤ <

n

...

1 si x x









 ≤

1 2 3

1

>

>

F(x)

x

1 2 3

1

>

f(x)

x

x1 x2 xn

1

F(x2)

F(x1)

i i i 1

P(x ) F(x ) F(x )

= = 

(11)

Variables Aleatorias

EJEMPLO 9:

Sea X una variable aleatoria con función de distribución:

0 si x<-2 0.4 si -2 x<-1 F(x) 0.8 si -1 x<1

1 si 1 x

 ≤

=  ≤

 ≤

a) Representar gráficamente F(x).

b) ¿Es una variable aleatoria continua? ¿Por qué?

c) Determinar la distribución de probabilidad.

Solución:

a)

b) No es continua, ya que F(x) es discontinua.

c) La probabilidad se obtiene en cada punto de discontinuidad y su valor es el salto finito.

xi P(X=xi)

-2 0,4

-1 0,8-0,4=0,4 1 1-0,8=0,2

Suma 1

En el caso de variable aleatoria continua el proceso de cálculo de F(x) es algo diferente.

Supongamos una variable aleatoria continua con función de densidad:

( )

1 1 2

2 2 3

n 1 n 1 n

f (x) si x x<x f (x) si x x<x f x ...

f (x) si x x<x 0 en otro caso

 ≤

 ≤

= 

 ≤



.

Para calcular la función de distribución, se tiene en cuenta, el valor de la función de densidad en cada uno de los distintos intervalos, es decir

(12)

Variables Aleatorias

1

2

n 1

1 x

1 1 2

x x

2 2 3

x

x

n 1 x

0 si x<x F(x ) f (t)dt si x x x

F(x ) f (t)dt si x x x F(x)

...

F(x ) f (t)dt

+ ≤ <

+ ≤ <

=

+

n 1 n

n

si x x x

1 si x x

≤ <

.

EJEMPLO10:

Si la función de densidad de una v. a. continua es:

2x si 0 x 1

2

1 1 7

f (x) si x

4 2 2

0 en el resto

 ≤ < 

 

 

 

= ≤ < 

 

 

 

 

a) Obtener la función de distribución. b) P 2

(

≤ <X 4

)

c) Obtener un valor de x tal que P(X ≥x)=0.3 d) El primer cuartil.

Solución:

a) Si x<0 , entonces F(x)=0

si 0<x<1/2, entonces x x 2 F(x) f (t)dt 0 2tdt x

=

−∞ =

=

si 1/2<x<7/2, entonces

x 1 x

2 0 1

2

1 1 1 1 1 1

F(x) f (t)dt 2tdt dt x x

4 4 4 2 4 8

−∞

 

= = + = +  − = +

 

∫ ∫ ∫

si 7/2<x, entonces F(x)=1

2

0 si x 0

x si 0 x 1 2

F(x) P(X x) 1 1 1 7

x si x

4 8 2 2

1 si 7 x

2

 ≤

 ≤ <

= ≤ =  + ≤ <

 <



b)

( )

24 2721 1 7

P 2 X 4 f (x)dx dx 2

4 4 2

 

≤ < = = =  − =

 

∫ ∫

83

c)

P(X>x)=0, 3⇒F(x)=P(X≤x)= −1 P(X>x)= −1 0, 3=0, 7

1 1

F(x) x 0, 7

4 8

= + = ⇒ x=2, 3 d)

(13)

Variables Aleatorias

F(x)=P(X≤x)=0, 25

1 1

F(x) x 0, 25

4 8

= + = ⇒ 1

x=2

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6. CARACTERIZACION DE UNA DISTRIBUCIÓN

Al estudiar las variables estadísticas en el primer capítulo, vimos una serie de medidas con unas frecuencias relativas fi. Si suponemos en términos teóricos que el número de observaciones tiende a infinito, estas frecuencias relativas tomarán el carácter de probabilidades de cada uno de los valores de la variable.

6.1. Moda.

Moda es el máximo de la función de densidad o de la función de probabilidad.

6.2. Mediana.

Mediana es el valor x tal que la función de distribución vale 0,5.

En el caso discreto será xi tal que F(xi-1)<0,5<F(xi), o bien, (xi+xi+1)/2 si F(xi)=0,5 En el caso continuo será x tal que F(x)=0,5.

6.3. Esperanza matemática. Propiedades.

La esperanza matemática es el valor medio teórico que resulta de sustituir las f por las i P , y que no es sino una media aritmética ponderada. Se acostumbra a definirlo como i

esperanza matemática de ganancias, es decir, la ganancia que teóricamente esperaba obtener un jugador frente a unas determinadas reglas de juego.

Definición: Sea ξ una variable aleatoria, se define el operador E

[ ]

ξ como:

[ ]

Eξ = x P Xi i

i n

( )

= 1

para una variable discreta y finita.

(14)

Variables Aleatorias [ ]

Eξ = x P Xi i

i

( )

=

1

para una variable discreta y no finita siempre que la serie sea convergente.

[ ]

Eξ = t f t dt. ( ).

−∞

cuando la variable ξ es continua con función de densidad f(x) y siempre que la integral sea absolutamente convergente.

Si ξ es discreta. Si ξ es continua.

[ ]

i i

i 1

E x P(x )

=

µ = ξ =

E

[ ]

xf (x)dx

−∞

µ = ξ =

EJEMPLO 11:

En el ejemplo clásico del dado 4:

[ ]

E ξ =

6

i i

i 1

x P(x )

= = 1 16 + 2 16 + 3 16 + 4 16 + 5 16 + 6 16 = 216 =72

EJEMPLO 12:

En el ejemplo 8 la duración media de la reacción, será.

[ ]

E ξ = x.f (x).dx

−∞ = 13

x. .dxx

4 =

3 3

1

x 12



 = 13 6

Propiedades:

1.- La esperanza matemática de una constante es la propia constante.

[ ] E k =k

2.- La esperanza matemática de una constante por una variable es igual a la constante por la esperanza matemática de la variable.

[ ] [ ]

E k.ξ =k E. ξ

3.- La esperanza matemática de la suma de variables es igual a la suma de las esperanzas matemáticas de cada una de las variables.

[ ] [ ] [ ]

E ξ µ+ =E ξ +Eµ

4.- La esperanza matemática es un operador lineal, consecuencia de las propiedades 2 y 3.

(15)

Variables Aleatorias

[ ] [ ] [ ]

E a.ξ+b.µ =a E. ξ +b E. µ

5.- La esperanza matemática de un producto de variables aleatorias es igual al producto de las esperanzas matemáticas de cada una de las variables, cuando éstas son independientes entre sí.

[ ] [ ] [ ]

Eξ η. =E ξ.Eµ

6.- Sea ξ una variable aleatoria, y g : R→ una función, tal que g(ξ) es una variable R continua con esperanza finita, entonces:

( ) ( )

E g g x f (x)dx

−∞

 ξ =

 

o

( ) ( )

i i

i 1

E g g x p(x )

=

ξ =

 

 

6.4. Momentos

6.4.1. Momentos de orden k respecto al origen

El momento de orden k respecto al origen se define como mk =E

[ ]

ξk en el caso de variables discretas: mk =E

[ ]

ξk = x P xik i

i n

. ( )

= 1

y si la variable es continua: mk =E

[ ]

ξk = x f x).dxk. (

−∞

La media o esperanza matemática es: m1=E

[ ]

ξ = µ 6.4.2. Momentos de orden k respecto a la media

El momento de orden k respecto a la media, µ , de la distribución se define como k

( )

k

k E  

µ =  ξ − µ  .

Entre estos tiene particular importancia la varianza que es el momento de segundo orden respecto a la media: σ =2 E 

(

ξ − µ

)

2

Si se trata de una variable discreta: 2

(

i

)

2 i i

x .P(x ) σ =

− µ

y en el caso de una variable continua: 2 (x ) .f (x).dx2 σ =

−∞ − µ

(16)

Variables Aleatorias

La raíz cuadrada positiva de la varianza se llama desviación típica σ

Seguidamente, veamos algunas propiedades de la varianza, consecuencia del operador

[ ]

Eξ .

σ =2 E

(

ξ − µ

)

2=Eξ − ξµ + µ =2 2 2E  ξ − µ ξ + µ =2 2 E

[ ]

2 E  ξ − µ2 2

• La varianza de una constante es cero.

• La varianza de una constante por una variable es igual al producto del cuadrado de la constante por la varianza de la variable.

[

(k. E

[ ]

k. )

]

E

[

(k. k.E

[ ]

)

]

k E

[

( E

[ ]

)

]

k .V( )

E ) k (

V ξ = ξ− ξ 2 = ξ− ξ 2 = 2 ξ− ξ 2 = 2 ξ

• La varianza de una suma o diferencia de variables es igual en ambos casos a la suma de las varianzas de las variables, cuando éstas son independientes.

) ( V ) ( V ) (

V ξ±η = ξ + η

EJEMPLO 13:

Si queremos calcular la varianza en el ejemplo 4. (al arrojar un dado).

Teníamos 1

[ ]

m E 7

= ξ =2, luego 2

(

i

)

2 i

i

x .P(x )

σ =

− µ =

2 2 2 2 2 2

7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 35

1 2 3 4 5 6

2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 12

           

= −  + −  + −  + −  + −  + −  = y, por consiguiente, la desviación típica 35

σ = 12

Si ξ es discreta. Si ξ es continua.

[ ] ( )

2

( )

2

2

i i

i 1

V E x ·P(x )

=

 

σ = ξ =  ξ − µ =

− µ 2 V

[ ]

E

( )

2

(

x

)

2f (x)dx

−∞

 

σ = ξ =  ξ − µ =

− µ

(17)

Variables Aleatorias

EJEMPLO 14:

La varianza de la reacción para el ejemplo 8, será: E

[ ]

13

ξ = 6 calculada.

4 3

2 2 3 2

1

1

x x

E x .f (x).dx x . .dx 5

4 16

−∞

 ξ = = =  =

 

∫ ∫

sin más que sustituir V( ) E 2

(

E

[ ] )

2 5 13 2 11

6 36

  ξ =   ξ − ξ = −  =

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