TEMA 3
Aproximaci ´on de funciones:
interpolaci ´on y ajuste
Chelo Ferreira Gonz´alez
Isaac Newton (1643-1727)
1. Introducci ´on. Modelos matem´aticos
2. M´etodos num´ericos. Resoluci ´on de sistemas lineales y ecuaciones no lineales 3. Aproximaci ´on de funciones: interpolaci ´on y ajuste
4. Modelos discretos elementales. Ecuaciones en diferencias 5. Estad´ıstica descriptiva. An´alisis de datos
6. Variable aleatoria. Distribuciones de probabilidad 7. Distribuciones de probabilidad importantes
8. Estimaci ´on de par´ametros por intervalos de confianza
9. Contraste de hip ´otesis. Introducci ´on al an´alisis de la varianza 10. Correlaci ´on y regresi ´on. El modelo de regresi ´on simple
• Introducci ´on a la aproximaci ´on
• Interpolaci ´on polin ´omica de funciones
• Aproximaci ´on discreta por m´ınimos cuadrados
Clases estimadas para este tema: 2 clases
1.INTRODUCCION A LA APROXIMACI´ ON´
Objetivo: Utilidad de la aproximaci ´on. Ideas de interpolaci ´on, apro- ximaci ´on y ajuste. Polinomios de interpolaci ´on de una funci ´on. Apro- ximaci ´on de una funci ´on. Ajuste por m´ınimos cuadrados de una recta a una nube de puntos
Problema: concentraci ´on de inmunoglobulinas (IgG) en suero de corderos frente al di ´ametro del aro de precipitaci ´on del suero al reaccionar con el anti-IgG del gel.
4.0 mm 4.5 mm · · · · 11 mm
3380 mg/l 5780 mg/l · · · · 62600 mg/l interpolaci ´on
Problema: Computacionalmente a veces es conveniente aproximar f (x) = 1
σ√
πe−(x−µ)2/2σ2 ∼ f (x)e aproximaci ´on
Problema: ¿es razonable la tesis de nuestro compa ˜nero fisi ´ologo por la que establece que la disminuci ´on de hemoglobina est ´a rela- cionada linealmente con el aumento de la creatinina y el aumento del BUN en pacientes con insuficiencia renal cr ´onica?
hemoglobina (g/dl) 9 9.5 8.4 11.7 10.8 8.2 9.2 8.9 10.1 11.5 creatinina (mg/dl) 4.3 2.8 6.5 2.4 3.7 8.0 5.3 7.9 4.3 3.2
BUN (mg/dl) 42.6 30.1 57.9 33.4 36.0 58.7 43.8 65.6 48.9 40.5
ajuste
2.LA INTERPOLACION POLIN´ OMICA DE FUNCIONES´ {f (x), {x0, x1, . . . , xn}}
{(x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn)} p(x), p(xi) = f (xi) = yi p(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn 1, x, x2, . . . , xn
base
Problema de interpolaci ´on polin ´omica
→ sobre la existencia y unicidad de soluci ´on
Ejemplo. f (x) = cos x + x2, I = [0, π/2]. Obtener el polinomio de interpolaci ´on de grado 2 para {xi}={0, π/4, π/2}
Interpolaci ´on lineal
→ recta que pasa por dos puntos
→ estimaci ´on del error. Teorema de Rolle
Ejemplo. Obtener la recta de interpolaci ´on para la funci ´on anterior con {xi}={0, π/2}. Dar una estimaci ´on del error
datos: {x0, x1, . . . , xn} ∈ [a, b], f (xi), yi, ...
Polinomio de Lagrange:
→ condici ´on: p(xi) = f (xi) = yi, 0 ≤ i ≤ n p(x) =
n
X
i=0
f (xi)li(x), li(x) =
n
Y
j=0,j6=i
(x − xj) (xi − xj)
→ ´unico y de grado ≤ n
sobre el error de interpolaci ´on → teorema de Rolle Lagrange: fn+1(ξ), hn+1 ξ ∈ (a, b) h = m´ax
1≤i≤n|xi − xi−1|
Ejemplo. Obtener el polinomio de interpolaci ´on de Lagrange de gra- do dos para el ejercicio anterior. Dar una acotaci ´on del error de interpolaci ´on.
Si a ˜nadimos un nuevo punto ¿todos los c ´alculos?
Polinomio de Newton (*):
→ condici ´on: p(xi) = f (xi), 0 ≤ i ≤ n
→ diferencias divididas: progresivas, regresivas
Ejemplo. Obtener el polinomio de interpolaci ´on de Newton en los puntos: (−1, 6), (0, 1), (2, 3), (5, 66)
¿Mejorar ´a la interpolaci ´on si tomamos mayor n ´umero de puntos? fen ´omeno de Runge → interpolaci ´on a trozos
3.APROXIMACION LINEAL DISCRETA POR M´ ´INIMOS CUADRADOS
Objetivo: dado un conjunto de n datos experimentales (xi, yi), va- mos a estimar el valor de una funci ´on en puntos no tabulados, don- de es razonable una funci ´on lineal
¿qu ´e significa buena aproximaci ´on?
|funci ´on real − funci ´on estimada| m´ınimo
Objetivo: encontrar y = ax + b tal que la distancia anterior sea m´ınima. Se denomina ajuste de una recta a una nube de puntos seg ´un la distancia y la construcci ´on de f (x) m´ınimos cuadrados discretos
|funci ´on real − funci ´on estimada| =
n
X
i=1
(yi − byi)2 Por tanto, hay que buscar a y b que verifiquen
m´ın
n
X
i=1
(yi − ybi)2 = m´ın
n
X
i=1
(yi − (axi + b))2 Los valores de a y b que minimizan esta funci ´on:
∂
∂a
n
X
i=1
(yi − (axi + b))2 =
n
X
i=1
−2xi(yi − (axi + b)) = 0
∂
∂b
n
X
i=1
(yi − (axi + b))2 =
n
X
i=1
−2(yi − (axi + b)) = 0
reorganizando el sistema anterior obtenemos:
n
X
i=1
yi = nb + a
n
X
i=1
xi
n
X
i=1
xiyi = b
n
X
i=1
xi + a
n
X
i=1
x2i
⇒ resolver a y b
que son las ecuaciones normales de un problema de m´ınimos cuadrados.
Ejemplo. Ajustar por m´ınimos cuadrados discretos una recta a la siguiente tabla de datos. Obtener el error cuadr ´atico medio:
xi 2 4 6 8 yi 2 11 28 40