Comunicaciones por Satélite Curso 2009/10. Mecánica orbital

(1)

CSAT 1

Comunicaciones por Sat Comunicaciones por Saté élite lite

Curso 2009/10 Curso 2009/10

Comunicaciones por Satélite. Curso 2009/10. ©Ramón Martínez, Miguel Calvo

Mecá Mec á nica orbital nica orbital

Ramón Martínez Rodríguez-Osorio Miguel Calvo Ramón

CSAT 2

Objetivos Objetivos

• Conocer los principales parámetros orbitales de las órbitas empleadas en satélites de comunicaciones

• Comprender el impacto de la órbita en los parámetros del sistema de comunicaciones

• Determinar los ángulos de apuntamiento hacia un satélite, el tiempo de visibilidad y la cobertura

• Relacionar los diferentes tipos de órbitas con los servicios de comunicaciones por satélite

• Comprender el efecto de las perturbaciones que afectan a la órbita del satélite

• Introducir los principios que rigen el lanzamiento y

puesta en órbita de un satélite

(2)

CSAT 3

• Introducción histórica

• Parámetros de la órbita geoestacionaria

• Mecánica orbital – Leyes de Kepler

– Ecuaciones de la órbita genérica

• Posición del satélite en su órbita. Anomalías

• Posición de un satélite respecto de un punto en la superficie terrestre. Calendario

• Parámetros orbitales. Efemérides

• El punto subsatélite y su traza

• Procedimiento para determinar la posición de un satélite

• Determinación de los ángulos de visión. Elevación y acimut

• Órbitas empleadas en comunicaciones

Índice Í ndice

Introducci

Introducció ón hist n histó órica rica

• Aristarco de Samos (310 -230 AC) – Primera teoría heliocéntrica

• Ptolomeo: sistema geocéntrico (s. II d.C.) – La Tierra es el centro del Universo – El Sol gira alrededor de la Tierra

• Copérnico (1473-1543): sistema heliocéntrico

– De revolutionibus orbium caelestium (1543): “Los planetas giran en órbitas circulares alrededor del Sol”

• Tycho Brahe (1546-1601)

– Cuestionó la teoría heliocéntrica de Copérnico

– Gran observador astronómico: descubrió nuevas estrellas, dedujo las órbitas elípticas de los cometas

– Sus observaciones son la base de los trabajos de Kepler

• Galileo Galilei (1564-1642)

– Reforzó la concepción copernicana del sistema solar (primeras observaciones telescópicas)

– “La Tierra se mueve alrededor del Sol…”

(3)

CSAT 5

Introducci

Introducció ón hist n histó órica rica

• Kepler (1571-1630): descubre por observación tres leyes que determinan el movimiento de los planetas alrededor del Sol

1) Los planetas se mueven en un plano y las órbitas describen elipses con el Sol en uno de sus focos (1602)

2) Ley de las áreas (1605)

3) La magnitud T ² /a ³ es igual para todos los planetas (1618)

• Newton: enuncia la Ley de la Gravitación Universal (1667) y demuestra las leyes de Kepler

– m _s <<M _T , y la Tierra es esférica y homogénea – Espacio libre

¾ Extiende el trabajo de Kepler para incluir perturbaciones en la órbita

CSAT 6

Definici Definició ó n n

• La Mecánica Orbital se encarga de estudiar, conocer y determinar el movimiento de los cuerpos celestes en torno al Sol …

• … y en particular el movimiento de los satélites artificiales alrededor de la Tierra.

• Utilidad:

– Diseño orbital (Análisis de Misión): optimización de los requisitos del sistema (tiempo de visibilidad, requisitos de la carga útil, ventana de lanzamiento, etc.)

– Determinación orbital: conocimiento de la posición del satélite en todo momento y correcciones orbitales

• La órbita determina la misión espacial, … y viceversa

(4)

CSAT 7

¡ Al incrementar la velocidad inicial aumenta el alcance !

V=0 V= 10 km./h

V= 100 km./h

Puesta en

Puesta en Órbita (1) Ó rbita (1)

¡ Con una velocidad inicial suficiente el objeto entra en órbita !

1000 Km/h

10000 Km/h 30000 Km/h

Puesta en

Puesta en Órbita (2) Ó rbita (2)

(5)

CSAT 9

( )

v h T r

h r v Gm

G h r

m m h r

v m

F F

e e

e s e

s g c

= +

= + +

=

π 2

2 2

r r

( )

Km seg v

Km h

r

seg T

Gm h T r

e

s m h

e e

074 . 3 35779

42157

86164 4

56 23 2

3 =

=

= +

=

= π +

Ecuaciones

Ecuaciones Ó Órbita Geoestacionaria rbita Geoestacionaria

km 6377 :

terrestre Radio

s km 10 98601352 . 3 :

Kepler de Constante

s kg m 10 6.67 :

l n Universa Gravitació

de Constante

kg 10 98 . 5 :

Tierra la de Masa

2 5 3

2 11 3 - 24

=

×

=

× ⋅

=

×

=

e T

e e T

r r

Gm k

G m

m

r _e h

CSAT 10

s m h 56 4 25 23

. 366

25 . 24 365 sidéreo día 1

días 25 . 365 solar o n~

a 1

horas 24 solar día 1

=

Verano

Invierno Ángulo de la eclíptica

23g 27m

Primavera

Otoño Radio medio SOL

250x10

⁶

km

Movimiento de la Tierra entorno al Sol

D D ía solar y d í a solar y dí ía sid a sidé éreo reo

(6)

CSAT 11

Aproximaciones:

– Tierra y satélite son masas puntuales

– Sólo acción fuerzas gravitacionales Tierra-satélite – Sólo órbitas terrestres

( )

2 2

2 ˆ

dt r m d a m F

r r G Mm F

c g

r r r r

=

−

=

ˆ 0

2 2

2 + =

⇒

=

r r k dt

r F d

F _g _c r r r

Z

Y

X

M

m

F r g

F r c

Cá C á lculo de la Ó lculo de la Órbita rbita

r r

k GM ₁₄ sg m ³ 3 99 10 2

= ≅ . × Constante de Kepler

Resulta ^d

dt r dr dt

r r

⎡ ×

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = 0 y por tanto r ^r dr ^r ^{r r} ^r dt r v h

× = × = (cte)

r r r r r r r r

r h ⋅ = ⋅ × = ⋅ × ≡ r r ( v ) v r ( r ) 0 → r h ^{r r} ⊥

Por tanto, la órbita está en un plano perpendicular a h y que pasa por el centro de masas de la Tierra.

Teniendo en cuenta que: ^d

dt r dr dt

dr dt

dr

dt r d r dt

r r r r

r r

⎡ ×

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = × + ×

²₂

0 La ó La ó rbita es plana rbita es plana

Haciendo el producto vectorial ( × ): ^r ^r ^{d r} ^r

× dt

²₂

= 0

r r

(7)

CSAT 13

La ó La ó rbita es plana rbita es plana

x _o y _o

r r

v r v m

r h r r r

×

=

x _o y _o

r r

v r v m

r h r r r

×

=

CSAT 14

Se elige un sistema de coordenadas orbitales (x _o , y _o , z _o =0).

El vector velocidad es tangente a la trayectoria y conviene usar polares (r, φ) para describir la posición.

r r

v dr dt

d

dt rr r dr dt r dr

= = ( $) = $ + dt $

Pero ^dr

dt r r

dr dt

r d dt

$ = ∂ $ + $ = $

∂

∂φ

φ ∂

∂φ φ

0 Además ^r ^$ ⁼ ^x ^{$ cos} ^φ ⁺ ^ysin ^$ ^φ => _∂φ ^∂ ^r ^$ ^{= −} ^xsin ^$ ^φ ⁺ ^y ^{$ cos} ^{φ φ} ⁼ ^$ Por tanto: ^v ^r ^dr

dt r r d

= $ + dt φ φ $ x _o

y _o

r φ

z _o

$r v r φ ^ˆ

Sistema de Coordenadas Orbitales (Sistema

Sistema de Coordenadas Orbitales (Sistema perifocal) perifocal )

(8)

CSAT 15

El vector aceleración será: ^a ^r ^{d r} ^r ^r

dt dv

=

²₂

= dt

y teniendo en cuenta que ^d

dt d dt r d

dt

$ $

φ ∂φ $

∂φ

φ φ

= = −

resulta: ^a ^r ^r ^{d r}

dt r d

dt r

d dt r d

= − ⎛ dt

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣ ⎢

⎢

⎤

⎦ ⎥

⎥ + ⎛

⎝⎜

⎞

$

²

$ ⎠⎟

2

1

2

φ φ φ

Con ello la ecuación vectorial del movimiento del satélite resulta en el sistema de ecuaciones escalares:

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

=

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

0 1 0

2 2

2 r k dt

r d dt

r d

dt r d dt

d r

φ

φ Componente angular en θˆ

rˆ en radial Componente

Ecuaciones Escalares Ecuaciones Escalares

La primera ecuación indica que: ^r ^d

dt cte

2

φ =

y teniendo en cuenta que ^h ^r ⁼ ^r ^r ^× ^v ^r ⁼ ^r

²

^d _dt ^φ resulta: ^h ⁼ ^r

²

^d _dt ^φ ⁼ ^cte

Como además: ^dA ⁼ ¹ ₂ ^{r d}

²

^φ => ^dA

dt = 1 h = cte 2

Que es la expresión matemática de la 2ª ley de Kepler:

“Áreas barridas en tiempos iguales son iguales”

Que es la expresión matemática de la 2ª ley de Kepler:

“Áreas barridas en tiempos iguales son iguales”

x _o y _o

r

dφ dA rdφ

·

Segunda Ley de

Segunda Ley de Kepler Kepler

(9)

CSAT 17

“Áreas barridas en tiempos iguales son iguales” “Áreas barridas en tiempos iguales son iguales”

Segunda Ley de

Segunda Ley de Kepler Kepler

CSAT 18

Eliminamos t : ^dr dt

dr d

d dt

dr d

h

r h du

= = = − d

φ φ

φ ² φ

d r dt

d

dt h du

d h u d u

d

2 2

2 2 2

= ⎛ − 2

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = − ⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

φ φ

Del resultado anterior obtenemos: r d

dt cte r d dt

h r

2

2 2

3

φ = ⇒ ⎛ ⎝⎜ φ ⎞

⎠⎟ =

y de la 2ª ecuación del sistema: ^{d r} dt

h r

k r

2 2

2 3 2 0

− + =

u r du dr

= 1 ⇒ = − r con el cambio 2

Resulta por tanto: ^{d u}

d u k

h

2 2 2

φ + =

Primera Ley de

Primera Ley de Kepler Kepler (1) (1)

(10)

CSAT 19

La solución de la ecuación diferencial ^{d u}

d u k

h

2 2 2

φ + =

es: ^u ^k

h C _o

= ₂ + cos( φ φ − )

Deshaciendo el cambio de variable y eligiendo el eje x _o de manera que φ _o = 0 resulta:

r p

= e +

1 cos φ siendo p h

k e pC

= ² ,, =

Para e < 1 la ecuación anterior es la de una elipse, y es la expresión matemática de la 1ª ley de Kepler.

Primera Ley de

Primera Ley de Kepler Kepler (2) (2)

Secciones c

Secciones có ó nicas nicas

Ecuación de la trayectoria:

e=0: circunferencia e<1: elipse

e>1: hipérbola e=1: parábola

Sólo para e<1 se tienen trayectorias cerradas, de interés para satélites de

comunicaciones. Para e≥1, la trayectoria del satélite escapa a la atracción

terrestre (sondas espaciales, cometas).

(11)

CSAT 21

Para el caso de órbita elíptica: _dA ₌ ¹ _hdt _⇒ _ab ₌ _hT 2

1 π 2 siendo T el período de rotación.

T a

k

= 2

3 2 1 2

π Sustituyendo h resulta:

que es la expresión matemática de la 3ª ley de Kepler.

Tercera Ley de

Tercera Ley de Kepler Kepler

CSAT 22

Leyes de Kepler:

1º Las órbitas son planas y el satélite describe una elipse con un foco en el centro de masas de la Tierra.

2º El radio vector describe áreas iguales en tiempos iguales.

3º Los cuadrados de los periodos orbitales de dos satélites tienen la misma relación que los cubos de sus distancias medias al centro de la Tierra.

Apogeo

Perigeo a

b

C

ae

a(1+e) a(1-e)

M r

φ m

X

₀

Y

0

r a e

= e −

+

( )

cos 1 1

2 ϕ

v k

r a

= ⎛ −

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2 1

Sistema perifocal de coordenadas

Resumen

(12)

CSAT 23

Ejemplos Ejemplos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 10

⁴

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

Radio de la órbita [km]

P e ri odo [ m inut os]

Tercera Ley de Kepler

ISS 400 km, 92 min

MetOp-A 821 km, 101 min

GPS 20220 km, 718 min

Intelsat

35779 km, 1440 min

Ejemplo: la ISS Ejemplo: la ISS

h

_perigeo

=348km

h

_apogeo

=351km

(13)

CSAT 25

Variaci

Variació ón de la altura de la ISS n de la altura de la ISS

CSAT 26

Sistema perifocal de coordenadas

Resumen Resumen

Apogeo

Perigeo

a

b

C ae

a(1+e) a(1-e)

M

r φ

m

X

₀

Y

₀

( ) ( )

ϕ ϕ

cos e

e r a

+

= − 1

1 ²

(14)

CSAT 27

Y

₀

X

₀

b

ae a(1-e)

a r M

E θ

Y

₀

X

₀

b

ae a(1-e)

a r M

E ^φ θ

P P’

B

Posici

Posició ón del Sat n del Saté élite en la lite en la Ó Órbita. Anomal rbita. Anomalí í as as

Órbita Circunferencia de radio el semieje mayor a (inscribe a la órbita)

M: anomalía media E: anomalía excéntrica φ: anomalía verdadera

O B

P P’

r

E θ

O F B

P P’

r

E θ

F φ

Objetivo: determinar la posición del satélite en función del tiempo → r(t)

2 2

0 0 2 0

2

r

pk r

v r r h r

h dt

d φ = = = =

re r cos p cos e

r p ⇒ = −

= + φ

φ 1

dt dr er

p dt sen ⋅ d = − ⋅

−

2

φ φ

₂

[ ^a

²

^e

²

( ^a ^r )

²

]

ar k dt

dr = ⋅ − −

Posici

Posició ón del Sat n del Saté élite en la lite en la Ó Órbita (1) rbita (1)

Y

0

X

0

b

ae a(1-e)

a r M

E θ

Y

0

X

0

b

ae a(1-e)

a r M

E θ φ

φ φ c r cos cos

r ae E cos

a = + = +

( e cos E ) a

E r cos

e E r cos ae E cos

a ⇒ = −

− + −

= 1

1 E cos e esenE a

k dt senE dE dt ae

dr

−

⋅ ±

=

⋅

= 1

( t t

_p

)

a esenE k

E − = ⋅ −

3

φ φ cos e

cos E e

cos +

= +

1 cos E

e E cos cos

−

= −

φ 1

Por geometría:

(15)

CSAT 29

Anomalía media M es el ángulo que formaría el semieje del perigeo de un satélite que se moviera a velocidad constante η

0

por la circunferencia de radio a que inscribe la órbita elíptica:

( t t

_p

)

a esenE k

E − = ⋅ −

3

(

p

) ( t t

p

)

a t k t

M = ⋅ − = ⋅ −

0 3

η

esenE E

M = −

O B

P P’

r

E θ

O F B

P P’

r

E θ

F

F ' OP B

' OP B

'

FP

Área Área

Área = −

E se calcula con métodos iterativos, p.e., Newton-Raphson (E

_ini

=M, π):

( ) ( )

( ) ( ) E ^...

' f

E E f E E

cos e E ' f

M esenE E E

f ⇒ = − =

⎭ ⎬

⎫

−

=

−

= 1

Posici

Posició ón del Sat n del Saté élite en la lite en la Ó Órbita (2) rbita (2)

CSAT 30

1a) El periodo de rotación del satélite es: T a

=2 π k ^{3 2} ₁₂

1b) La velocidad angular media es: η π

= 2 = 1

T a

k a

2) Conocido t y el tiempo de paso por el perigeo t _p , podemos calcular la anomalía media M o la anomalía excéntrica E:

M = η( t − t _p ) = E − esinE

3) A partir de E se obtienen r y ϕ (polares):

r a e E

e

a e

r

= −

= ₋ − −

( cos )

cos [ ( ( )

)]

1 1 1 1

1 2

ϕ

4) Y también: x _o = r cos ϕ , , y _o = rs in ϕ Procedimiento para determinar Procedimiento para determinar la posici

la posició ón del sat n del saté élite en la lite en la ó órbita rbita

Y

₀

X

₀

b

ae a(1-e)

a r M

E φ

(16)

CSAT 31

- Punto vernal o primer punto de Aries ( γ ): une el centro de la Tierra con el del Sol en el equinoccio de Primavera (21 de Marzo). COORDENADAS INERCIALES

Ω : ascensión recta nodo ascendente i : inclinación de la órbita

ω : argumento del perigeo

Sistema de Coordenadas Inerciales Sistema de Coordenadas Inerciales

γ Ω

Plano Ecuatorial ω

Plano Orbital

Perigeo X

₀

Nodo Ascendente Nodo

Descendente

i Inclinación

• Objetivo: determinar la posición del satélite respecto de la superficie terrestre

– Longitud y latitud

– Estimación de los ángulos de visión del satélite – Estaciones terrenas

• Procedimiento: transformación de coordenadas orbitales a rotatorias

– Hay que deshacer los giros de coordenadas para, a partir de (Xo,Yo,Zo=0), obtener las coordenadas inerciales (Xi,Yi,Zi)

– Matrices de giro

Determinaci

Determinació ón de la posici n de la posició ón del sat n del saté élite lite

respecto de un punto de la superficie terrestre

(17)

CSAT 33

Paso 1: Giro alrededor de Zo (perpendicular a la órbita) para situar el eje Xo en el plano ecuatorial (- ω)

X Y Z

s i n s i n

X Y Z

1 1 1

0 0 0

0 0

0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥

=

⎡ −

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥ c o s

c o s

ω ω

Transformaci

Transformació ó n C.O n C.O. .- -C.I C.I. (1) . (1)

X

_i

Y

_i

Ω ω

i Z

_i

Z

₀

Y

₀

X

₀

Nodo Ascendente Satélite

Perigeo

CSAT 34

Paso 2: Giro alrededor de X1 para situar el plano X1’-Y1’ sobre el plano ecuatorial (i). El eje Z se convierte en el eje polar

X Y Z

i s i n i

s i n i i

X Y Z

1 1

1

1 1 1

1 0 0

0 0

' ' '

c o s

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥

= −

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥

Transformaci

Transformació ó n C.O n C.O. .- -C.I C.I. (2) . (2)

X

_i

Y

_i

Ω ω

i Z

_i

Z

₀

Y

0

X

₀

Nodo Ascendente Satélite

Perigeo

(18)

CSAT 35

Paso 3: Giro alrededor del eje polar Z1’ para alinear el eje Xi en la dirección del punto vernal (Ω)

X Y Z

s i n s i n

X Y Z

i i i

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥

=

⎡ −

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥ c o s

c o s

' ' '

Ω Ω

0 0

0 0 1

1 1

1

Transformaci

Transformació ó n C.O n C.O. .- -C.I C.I. (3) . (3)

X

_i

Y

_i

Ω ω

i Z

_i

Z

₀

Y

₀

X

₀

Nodo Ascendente Satélite

Perigeo

1) Giro de (-ω) respecto a Z

o

:

X Y Z

s i n s i n

X Y Z

1 1 1

0 0 0

0 0

0 0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥

=

⎡ −

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥ c o s

c o s

ω ω

2) Giro de (i) respecto a X

₁

:

X Y Z

i s i n i

s i n i i

X Y Z

1 1

1

1 1 1

1 0 0

0 0

' ' '

c o s

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥

= −

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥

3) Giro de (Ω) respecto a Z’

1

=Z

_i

:

X Y Z

s i n s i n

X Y Z

i i i

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥

=

⎡ −

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥ c o s

c o s

' ' '

Ω Ω

0 0

0 0 1

1 1

1

Transformaci

Transformació ón n C.O C.O. .- -C.I C.I. (4). Resumen . (4). Resumen

(19)

CSAT 37

Finalmente, haciendo los productos sucesivos, resulta:

( ) ( )

X Y Z

i i i

X Y Z

i i i

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥

=

− − −

+ − + −

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥ cos cos sen cos sen cos sen sen cos cos sen sen sen cos cos cos sen sen sen cos cos cos cos sen

sen sen sen cos cos

Ω Ω Ω Ω Ω

ω ω ω ω

ω ω

0 0 0

Matriz de transformación de coordenadas orbitales a inerciales

Transformaci

Transformació ón n C.O C.O. .- -C.I C.I. Resumen . Resumen

CSAT 38

A partir de las coordenadas inerciales (Xi,Yi) se obtienen las coordenadas rotacionales (Xr,Yr).

Velocidad de rotación de la Tierra Ω _e :

36525 2415020

10 8708 3 7689 36000 6909833 99

25068447 0

2 4

) JD

T (

T .

T . .

) TU o GMT (min t .

T

c

c c

o , g

o , g e e

= −

⋅

⋅ +

=

⋅ +

= Ω α

−

α

JD: día Juliano

T _c : tiempo en siglos Julianos

α _g,o : ascensión recta del meridiano cero Tiempo transcurrido desde que Xr≡Xi Τ _e :

Coordenadas Rotacionales Coordenadas Rotacionales

Xi

Ω

_e

T

_e

Yi

Xr Yr

Zi ≡Zr

Meridiano de

Greenwich

Ω

_e

(20)

CSAT 39

• JD: Día juliano

• 2415020: JD del 31/12/1899 a las 12 h del mediodía

• A: Año cuyo JD se desea calcular

• DTA: Días transcurridos del año A

• NAB1900: número de años bisiestos transcurridos desde 1900

• TU: Fracción del día en tiempo universal en horas

( ) 0 5

1900 24 1900

365 2415020 TU .

NAB DTA A

JD = + × − + + + −

• Ejemplo: Calcular el JD del 1 de enero de 2000 a las 12 a.m.

– A=2000 – DTA=1 – NAB1900=24 – TU=12

( ) 0 5 2451545

24 24 12 1 1900 2000 365

2415020 + × − + + + − =

= .

JD

Cá C álculo del d lculo del dí ía Juliano a Juliano

Calendario Calendario

• Sol Medio (movimiento ficticio uniforme)

• Año tropical (tiempo de una órbita Tierra al Sol)

• Día solar medio, referido al Sol medio, 24 h

• Día sidéreo (1 rotación Tierra): 23h 56m 4.09s

• Año tropical: 365.2422 días medios

• Año civil: 365 días

• Julio Cesar introdujo el año bisiesto (1 día más cada 4 años y se compensan 0.25)

• Para compensar los 0.0088 el calendario Gregoriano elimina como bisiestos los que terminan en 00 salvo los divisibles por 400.

• TU o GMT tiempo referido al meridiano de Greenwich – Ahora sustituido por el UTC (relojes atómicos)

• Día Juliano cero: 12 mediodía del 1 Enero del 4713 AC

(21)

CSAT 41

Para pasar de las coordenadas geocéntricas inerciales al sistema rotatorio hay que girar (Xi,Yi,Zi) un ángulo Ω _e T _e respecto al eje Zi:

X Y Z

T T

X Y Z

r r

r

e e e e

i i

i

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥

= −

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥

cos sen

sen cos

Ω Ω

0 0

0 0 1

Transformaci

Transformació ón n C.I C.I. .- -C.R C.R . .

Xi

Ω

e

T

_e

Yi

Xr Yr

Zi ≡Zr

Meridiano de Greenwich Ω

e

CSAT 42

Para especificar las coordenadas inerciales de un satélite en el instante t, se suele emplear el siguiente conjunto de seis parámetros:

1) Excentricidad (e) 2) Semieje mayor (a)

3) Ascensión recta del nodo ascendente (Ω)

4) Inclinación del plano orbital (i) 5) Argumento del perigeo (ω) 6) Tiempo de paso por el perigeo (t _p )

Comunicaciones por Satélite Curso 2009/10. Mecánica orbital

CSAT 1

Comunicaciones por Sat Comunicaciones por Saté élite lite

Curso 2009/10 Curso 2009/10

Mecá Mec á nica orbital nica orbital

Ramón Martínez Rodríguez-Osorio Miguel Calvo Ramón

CSAT 2

Objetivos Objetivos

• Conocer los principales parámetros orbitales de las órbitas empleadas en satélites de comunicaciones

• Comprender el impacto de la órbita en los parámetros del sistema de comunicaciones

• Determinar los ángulos de apuntamiento hacia un satélite, el tiempo de visibilidad y la cobertura

• Relacionar los diferentes tipos de órbitas con los servicios de comunicaciones por satélite

• Comprender el efecto de las perturbaciones que afectan a la órbita del satélite

• Introducir los principios que rigen el lanzamiento y

puesta en órbita de un satélite

CSAT 3

• Introducción histórica

• Parámetros de la órbita geoestacionaria

• Mecánica orbital – Leyes de Kepler

– Ecuaciones de la órbita genérica

• Posición del satélite en su órbita. Anomalías

• Posición de un satélite respecto de un punto en la superficie terrestre. Calendario

• Parámetros orbitales. Efemérides

• El punto subsatélite y su traza

• Procedimiento para determinar la posición de un satélite

• Determinación de los ángulos de visión. Elevación y acimut

• Órbitas empleadas en comunicaciones

Índice Í ndice

Introducci

Introducció ón hist n histó órica rica

• Aristarco de Samos (310 -230 AC) – Primera teoría heliocéntrica

• Ptolomeo: sistema geocéntrico (s. II d.C.) – La Tierra es el centro del Universo – El Sol gira alrededor de la Tierra

• Copérnico (1473-1543): sistema heliocéntrico

– De revolutionibus orbium caelestium (1543): “Los planetas giran en órbitas circulares alrededor del Sol”

• Tycho Brahe (1546-1601)

– Cuestionó la teoría heliocéntrica de Copérnico

– Gran observador astronómico: descubrió nuevas estrellas, dedujo las órbitas elípticas de los cometas

– Sus observaciones son la base de los trabajos de Kepler

• Galileo Galilei (1564-1642)

– Reforzó la concepción copernicana del sistema solar (primeras observaciones telescópicas)

– “La Tierra se mueve alrededor del Sol…”

CSAT 5

Introducci

Introducció ón hist n histó órica rica

• Kepler (1571-1630): descubre por observación tres leyes que determinan el movimiento de los planetas alrededor del Sol

1) Los planetas se mueven en un plano y las órbitas describen elipses con el Sol en uno de sus focos (1602)

2) Ley de las áreas (1605)

3) La magnitud T 2 /a 3 es igual para todos los planetas (1618)

• Newton: enuncia la Ley de la Gravitación Universal (1667) y demuestra las leyes de Kepler

– m s <<M T , y la Tierra es esférica y homogénea – Espacio libre

¾ Extiende el trabajo de Kepler para incluir perturbaciones en la órbita

CSAT 6

Definici Definició ó n n

• La Mecánica Orbital se encarga de estudiar, conocer y determinar el movimiento de los cuerpos celestes en torno al Sol …

• … y en particular el movimiento de los satélites artificiales alrededor de la Tierra.

• Utilidad:

– Diseño orbital (Análisis de Misión): optimización de los requisitos del sistema (tiempo de visibilidad, requisitos de la carga útil, ventana de lanzamiento, etc.)

– Determinación orbital: conocimiento de la posición del satélite en todo momento y correcciones orbitales

• La órbita determina la misión espacial, … y viceversa

CSAT 7

¡ Al incrementar la velocidad inicial aumenta el alcance !

V=0 V= 10 km./h

V= 100 km./h

Puesta en

Puesta en Órbita (1) Ó rbita (1)

¡ Con una velocidad inicial suficiente el objeto entra en órbita !

1000 Km/h

10000 Km/h 30000 Km/h

Puesta en

Puesta en Órbita (2) Ó rbita (2)

CSAT 9

( )

( )

v h T r

h r v Gm

G h r

m m h r

v m

F F

e e

3) La magnitud T ² /a ³ es igual para todos los planetas (1618)

– m _s <<M _T , y la Tierra es esférica y homogénea – Espacio libre

r _e h

r _e h