1 1 . . - - D D E E T T E E R R M M I I N N A A N N T T S S
1.1.- Introducció
1.2.- Càlcul de determinants I
1.3.- Propietats dels determinants
1.4.- Càlcul de determinants II
2 2 .- . - M M A A T T R R I I U U I I N N V V E E R R S S A A
3 3 . . - - C C À À L L C C U U L L D D E E L L R R A A N N G G D D ’ ’ U U N N A A M M A A T T R R I I U U
4 4 . . - - R R E E S S O O L L U U C C I I Ó Ó D D E E S S I I S S T T E E M M E E S S
4.1.- Mètode de la matriu inversa
4.2.- Mètode de Cramer
5 5 . . - - D D I I S S C C U U S S S S I I Ó Ó D D E E S S I I S S T T E E M M E E S S
5.1.- Sense paràmetres
5.2.- Amb paràmetres
1 1 . . - - D D E E T T E E R R M M I I N N A A N N T T S S
1.1.- Introducció
El determinant d’una matriu indica, a través d’un
número
, alguns aspectes importants d’una manera ràpida; entre molts d’altres, aquests: Podem calcular la matriu inversa d’una determinada matriu? Només quan el determinant sigui diferent de zero.
Hi ha alguna fila o columna que és combinació lineal d’alguna altra? És possible que hi hagi alguna equació d’un sistema que sigui redundant? Només quan el determinant és zero.
Per referir-nos al determinant de la matriu 11 12
21 22
a a
A a a
es pot fer de totes aquestes maneres:
det A 11 12
21 22
a a det a a
A 11 12
21 22
a a a a
NOTA: És important observar que els determinants només existeixen per a matrius quadrades.
1.2.- Càlcul de determinants I
D’
ORDRE1
: El càlcul és aquell mateix nombre amb el seu signe corresponent.11 11
a a
D’
ORDRE2
: El desenvolupament d’un determinant com aquest és: a ba d b c c d
exemple: 3 7 3 8 7 2 24 14 10 2 8
D’
ORDRE3
: S’aplica l’anomenadaregla de Sarrus
. Consisteix en el desenvolupament següent:11 12 13
21 22 23 11 22 33 13 21 32 12 23 31 13 22 31 12 21 33 11 23 32
31 32 33
a a a
A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
.
A la pràctica, la millor manera de fer memòria és recordant les imatges següents:
Signe + Signe -
exemple: Calcula
3 1 4 5 3 0 4 2 2
A .
Resolució:
3 1 4
5 3 0 3 3 2 1 0 4 5 2 4 4 3 4 1 5 2 0 2 3 18 0 40 48 10 0 0 4 2 2
IMPORTANT: També es pot desenvolupar un mètode molt similar a la regla de Sarrus.
1.- Es copien les dues primeres files i es col·loquen a sota del determinant.
3 1 4
5 3 0
4 3 1
2 2 4 5 3 0 A
2.- Els productes dels nombres es fan a partir dels nombres següents.
3 1 4 5 3 0 4
3 1 2 2
4 5 3 0 A
3 1 4 5 3 0 4
3 1 2 2
4 5 3 0 A
Productes amb signes positius Productes amb signes negatius
3.- El resultat final és la suma de tots els productes amb els seus signes corresponents:
3·3·2 + 5·2·4 + 4·1·0 - 4·3·4 - 3·2·0 - 5·1·2 = 18 + 40 + 0 – 48 – 0 -10 = 0
D’
ORDREnxn
: Els determinants majors de 3 tenen un desenvolupament que es complica d'una manera exagerada. La seva resolució la veurem al final del punt següent.
exercicis complementaris: 1.
1.3.- Propietats dels determinants
El determinant d'una matriu coincideix amb la de la seva transposada, per això podem fer extensiva les propietats de les files a les columnes i a l'inrevés.A partir d’ara parlarem de línia quan vulguem referir-nos a les files i/o columnes indistintament.
exemple: 2 3
4 1
A
2 3 2 12 14
4 1
A
2 4
3 1
AT
2 4 2 12 14
3 1
AT
Si una matriu té una línia de zeros el seu determinant és zero.exemple: 0 0 0 3 1
Si canviem dues línies d’una matriu, el determinant canvia de signe.exemple: 3 7 12 14 2 2 4 i
2 4 14 12 2
3 7
Si una matriu té dues línies paral·leles iguals (dues files o dues columnes), el seu determinant és zero.exemple: 3 4 12 12 0
3 4
Si multipliquem cada element d’una línia d’una matriu per un núm., el determinant queda multiplicat pel núm. en qüestió.exemple: 4 7 20 21 1 3 5 ;
5 4 5 7 4 7
100 105 5 5
3 5 3 5
Si una matriu té dues línies paral·leles proporcionals, el seu determinant és zero.exemple: 2 6 2 6 7 2 6 0
14 42 7 2 7 6 2 6 (per les propietats 4 i 5).
Si a una línia d’una matriu li sumem una altra línia paral·lela a l’anterior multiplicada per un núm., eldeterminant de la matriu no s’altera.
exemple: 4 7 4 7 5 7
3 11 3 11 5 11
S’anomena Menor d’una matriu al determinant que es forma després de seleccionar n files i ncolumnes de la matriu original. Com que sempre seleccionarem el mateix nombre de files que de columnes, el menor complementaris sempre es forma a partir d’una matriu quadrada.
El menors són determinants provenen sempre complementaris.
exemple: La matriu
5 5 2 10
3 7 11 6
0 1 0 9
2 3 16 7
A
té molts menors:
5 5 10 3 7 6 0 1 9 M
, 1 0
M 3 6
, ...
S’anomena Menor complementari d’un determinat element ai j al determinant format per la submatriu originada per l’eliminació de la fila i i la columna j. Ho simbolitzarem per i j .
exemple: El menor complementari del 16 (de la matriu anterior) és:
4,3
5 5 10
3 7 6 180
0 1 9 M
.
S’anomena Adjunt d’un element ai j al número
1iji j. Se simbolitza per A . i j Es calcula mitjançant a fórmula: Ai j
1ij i ji j és el menor complementari d’aquell element.
1ij és el signe del menor complementari. Es pot calcular de dues maneres. Formalment, aquest valor es calcula elevant a 1 la suma de la posició de la fila i la columna que ocupa el menor complementari.
Gràficament, el signe del menor complementari és:
exemple: L’adjunt de l’element a3,2 = 1 de la matriu
3 7 3 11
4 2 0 7
4 1 2 2
0 4 6 5
A
és ...
primer: El menor complementari de a3,2 = 1 és: 3,2
3 3 11 4 0 7 198 0 6 5
segon: El signe és: 3
1
13 2
15 1 2i j
i j
últim: càlcul de A3,3
13 2 32 A3,2 1·198198+ + + + +
11.
Si els elements d’una fila o columna es multipliquen pels seus respectius adjunts i se sumen els resultats, s’obté el determinant de la matriu inicial.11 12 13
21 22 23 11 11 21 21 31 31
31 32 33
a a a
A a a a a A a A a A
a a a
exemple: Calcula el determinant
3 1 17 4 13 2 1 6 3
, desenvolupa’l per una columna.
3 1 17
13 2 1 17 1 17
4 13 2 3 4 1 3 27 4 105 1 223 562
6 3 6 3 13 2
1 6 3
1.4.- Càlcul de determinants II
En el desenvolupament dels determinants majors de 3 s’aprofita varies propietats per tal de simplificar-lo al màxim.
MÈTODE A
: Aprofitant els menors complementaris.El determinant d’una matriu és igual a la suma dels productes dels elements d’una línia (fila o columna) pels seus adjunts.
11 12 1
21 22 2
11 11 21 21 1 1
1 2
...
... · · ... ·
...
n
n
n n
n n nn
a a a
a a a
A a A a A a A
a a a
exemple: Calcula el valor del determinant
3 1 0 2 1 5 4 2 3
.
Resolució:
Desenvoluparem el determinant per la primera columna.
1 1 1,1 1,1
1 2 1,2 1,2
1 3 1,3 1,33 1 0
2 1 5 1 · · 1 · · 1 · ·
4 2 3
B a a a a
1 5 1 0 1 0
1·3· 1 ·2· 1· 4 ·
2 3 4 3 1 5
3 · (7) 2 · (3) 4 · (5) = 21 + 6 + 20 = 5
MÈTODE B
: Aprofitant el Mètode de Gauss.1r) Es tracta de fer zeros en una columna qualsevol ( la que hi hagi un 1 i/o zeros, preferentment) a través del mètode Gauss. ( propietat 7)
2n) Es calcula el determinant de l’adjunt d’aquella columna, on només hi quedarà, si és possible, un 1 (propietat 8).
exemple: Calcula aquest determinant pel mètode de Gauss:
7 4 1 9 2 0 6 3 5 1 6 11
1 7 2 8 A
.
Resolució:
Aprofitarem la segona columna que ja té un zero i a més hi ha un 1.
7 4 1 9
2 0 6 3
5 1 6 11
1 7 2 8
1 4·3 4 7·3
a a
a a
13 0 23 35
2 0 6 3
5 1 6 11
36 0 40 69
3 213 23 35
1 · 2 6 3 1.628 36 40 69
exemple: Calcula aquest determinant
1 3 5 2 0
4 1 2 1 1
3 5 0 1 2
0 1 3 1 0
4 0 5 1 3
Sol: 1281
exercicis complementaris: 2 i 3.
2 2 . . - - M M A A T T R R I I U U I I N N V V E E R R S S A A
Hi ha dos mètodes:
Mètode Gauss-Jordan: Aquest mètode s’ha vist en el tema anterior. Mètode per determinants: és el que veurem en aquest apartat.
Pel càlcul de la matriu inversa (A-1 ) d’una matriu A, s’ha de fer:
1 Construir una matriu amb els menors complementaris de cada element. 2 Posar els signes corresponents per obtenir els adjunts de cada element. 3 Transposar la matriu dels adjunts.
4 Dividir cada element entre A, és a dir: A
A A
1 1
*
NOTA: Si no dividim pel A aconseguirem l’anomenada matriu adjunta d'A (A*).
exemple: Troba la matriu inversa de
3 2 1
0 1 4
1 2 3
.
Resolució:
1 Els menors complementaris.
3 3 2
0 1
11
12 4 0
1 3 12
13
4 1 1 2 9
21 2 1
2 3 8
22 3 1
1 3 10
23
3 2
1 2 4
31 2 1
1 0 1
4
0 4
1 3
32
11
1 4
2 3
33
2 Els adjunts.
1 111 1 · 11 1·3 3
A
1 212 1 · 12 1·12 12
A
1 313 1 · 13 1·9 9
A . . .
11 4 1
4 10 8
9 12 3
3 La transposició.
11 4 1
4 10 8
9 12 3
11 4 9
4 10 12
1 8 3
*
A (A* és la matriu adjunta)
4 inversa. A
A A
1 1
*
42
3
2
1
0
1
4
1
2
3
A
42 11 21
2 14
3 21
2 21
5 7
2 42
1 21
4 14
1
11 4 9
4 10 12
1 8 3 42 A 1 1
exemple: Calcula la matriu inversa de:
2 0 0
1 1 0
0 1 3
Sol: 1/3 1/3 1/6
0 1 1/2
0 0 1/2
Així, es parla de...
Matriu regular: són les matrius quadrades que A 0 es poden invertir. Matriu singular: són les matrius quadrades que A 0 NO es poden invertir.
Matriu ortogonal: Quan la matriu inversa i la seva transposada coincideixen: AT A1.
exercicis complementaris: 4.
3 3 . . - - C C À À L L C C U U L L D D E E R R A A N N G G D D ’ ’ U U N N A A M M A A T T R R I I U U
Hi ha dos mètodes:
- Mètode dels determinants: el veurem en el tema següent. - Mètode de Gauss (El més utilitzat i pràctic):
El rang d’una matriu es calcula buscant:
el determinant més gran que no és zero
.La metodologia és anar calculant els diferents determinants possibles, primer començant pels més grans i acabant pels més petits.
Atesa una matriu 44 ...
Primer: es fa el determinant més gran possible, és a dir, 4x4:
Si NO és zero, el rang de la matriu és 4. S’ha acabat l’exercici. Si és zero, el rang < 4 Seguirem el càlcul: és a dir, el segon pas:
Segon: es calculen tots els determinants 3x3 possibles:
El primer d’ells que NO sigui zero, ja sabem que el rang és 3. Final de l’exercici. Si tots són zero, el rang < 3. Seguirem el càlcul amb el tercer pas, però ara amb els determinants de 2x2.
I així successivament.
exemple: Troba el rang de la matriu
9 8 7
3 0 1
0 2 1
A .
Resolució:
Hi ha algun determinant d’ordre 1 que sigui no nul?
Sí, qualsevol nombre de la matriu, excepte els zeros com a mínim el r (A) = 1. Hi ha algun determinant d’ordre 2 que sigui no nul?
Sí, per exemple
0 1
2
1 com a mínim el r (A) = 2.
Hi ha algun determinant d’ordre 3 que sigui no nul?
No ja que l’únic que es pot construir té A 0 el r (A) = 2.
exercici: Troba el rang de la matriu
0 1 2 5
A 7 2 1 3
7 0 5 7
. (r(A) = 2)
exercicis complementaris: 5.
4 4 . . - - R R E E S S O O L L U U C C I I Ó Ó D D E E S S I I S S T T E E M M E E S S
4.1.- Mètode de la matriu inversa
Un sistema pot expressar-se en forma matricial de la manera següent:
n 2 1
n 2 1
2 nn n 1 n
n 2 22
21
n 1 12
11
c c c
x x x
a ... a a
.... ... .... ....
a ... a a
a ... a a
L’expressió es pot deixar com: A X· C
exemple: La forma matricial de:
6 z y x
9 z y x 2
12 z y 2 x 3
és:
6 9 12
z y x
1 1 1
1 1 2
1 2 3
on:
1 1 1
1 1 2
1 2 3
A
z y x
X
6 9 12 C
Si multipliquem A•X
z y x
1 1 1
1 1 2
1 2 3
z y x
z y x 2
z y 2 x 3
NOTA: Recorda que per poder multiplicar dues matrius és necessari que coincideixen les columnes de la 1a i les files de la 2a).
Si multipliquem l’expressió
A X · C
per la matriu A1 s’obté: A1·A X· A1·Ccom que: A1·AI (matriu identitat) tindrem: I X· A1·C
i atès que: I•XX, resulta que X A1·C ; que és una de les maneres de resoldre un sistema d’equacions.
NOTA: Fixa’t que és necessari que la matriu A tingui inversa.
exemple: Soluciona el sistema
6 9 12
z y x
1 1 1
1 1 2
1 2 3
pel mètode de la matriu inversa.
Resolució:
Primer hem de saber si la matriu A es pot invertir. Per això el seu determinant ha de ser diferent de zero:
0 3 1 1 1
1 1 2
1 2 3
A
Calculem la matriu inversa A1 (pel mètode de Gauss-Jordan):
1 0 0 1
2 3
0 1 0 1 1 2
0 0 1 1 1 1
1 0 3 4
1 0
0 1 2 1
1 0
0 0 1 1
1 1
1 1 1 3
0 0
0 1 2 1
1 0
0 0 1 1
1 1
3 1 3 1 3 1 1
0 0
3 1 3 4 3 0 5
1 0
0 0 1 1
1 1
3 1 3 1 3 1 1 0 0
3 1 3 4 3 0 5 1 0
0 1 1 0
0 1
3 1 3 1 3
1 3
1 3 4 3
51 1 0 A 1
1 2 3
12 9 6
•
3 1 3 1 3
1 3
1 3 4 3
51 1 0
z y x
x = 3, y = 2 i z = 1.
exemple: Resol el sistema
6 z y 2 x 7
1 z 4 y 5 x 3
4 z y x
pel mètode de la matriu inversa. (Sol: x = 1; y = 2 i z = 3)
4.2.- Mètode de Cramer
El valor de cada incògnita s’obté dividint el determinant que es forma de substituir pels termes
independents la columna que formen els coeficients de l'esmentada incògnita entre el determinant del sistema.
Operativament: x A
A
x 1
1 x
A A
x 2
2 x
A A
x 3
3
on
2 nn n n
n 2 22
2
n 1 12
1
x
a ... a c
.... ... .... ...
a ... a c
a ... a c A1
nn n n
2
n 2 2
21
n 1 1
11
x
a ... c a
.... ... .... ...
a ... c a
a ... c a
A2 ...
2 n n 1 n
2 22
21
1 12
11
x
c ... a a
.... ... .... ...
c ... a a
c ... a a A1
exemple: Resol aquest sistema
2 z 9 y 4 x
2 z 3 y 2 x
3 z y x
pel mètode de Cramer.
Resolució:
primer calculem 2
9 4 1
3 2 1
1 1 1
A
després: Ax
3 1 1
2 2 3
2 4 9
6 ; 2
9 2 1
3 2 1
1 3 1
Ay
i 2
2 4 1
2 2 1
3 1 1
Az
i per tant: x A A
x 6
2 3 y
A A
y 2
2 1 2 1
2 A
z Az
exemple: Resol per Cramer.
4 z y x 2
5 z y 3 x
4 z y 2 x
(Sol: x = 1; y = 1 i z = 1)
exercicis complementaris: 6 i 7.
5 5 . . - - D D I I S S C C U U S S S S I I Ó Ó D D E E S S I I S S T T E E M M E E S S
5.1.- Sense paràmetres
Es planteja el problema d’un sistema de la forma general, és a dir, un sistema amb m equacions lineals i n incògnites:
Per a l’estudi de la compatibilitat hem de definir dues matrius i els seus rangs:
A, la matriu m n, formada pels coeficients de les incògnites.
mn 2
m 1 m
n 2 22
21
n 1 12
11
a ... a a
.... ... .... ....
a ... a a
a ... a a A
A+, la matriu ampliada: és la matriu anterior on s’incorporen, a més, els termes independents dels
sistema.
m mn 2
m 1 m
2 n 2 22
21
1 n 1 12
11
c a ... a a
... .... ... .... ....
c a ... a a
c a ... a a A
Sigui r el rang d’A i sigui r+ el rang de A+. L’expressió més habitual és:
A rr i r
A rTeorema de Roché-Fröbenius:
Si les matrius A i A+ obtingudes del sistema tenen diferent rang, l'última columna de la matriu A no és combinació lineal de les columnes anteriors, és a dir, el sistema no admet cap solució, és incompatible. Explicació ...
En el cas que r
A r
A el sistema és compatible; si r
A n totes les incògnites quedaran en el primer terme i la solució és única, però si r
A n hi haurà més incògnites que equacions el sistema tindrà infinites solucions.
at indetermin determinat
n
r
r
n
r
r
r
r Sistema compatible
r
r Sistema incompatible
exemple:
0 y x
2 y
x ( m = n = 2 )
Resolució:
Les dues matrius que hem de buscar són:
1 1
1
A 1
1 1 0
2 1 A 1
Com que 2 0
1 1
1
A 1 El rang de A és 2 (r = 2). (El sistema és de Cramer) També podem
veure que r+ = 2. Només cal que agafem la matriu anterior que està inclosa en l’ampliada.
el sistema és compatible i determinat: r = r+ = 2.
exemple: Discuteix el sistema següent:
3 z 2 y
3 y z 2
0 z x
2 z y x
( m = 4, n = 3 )
Resolució:
El rang de A el calcularem a través del mètode de fer zeros.
2 1 0
0 1 2
1 0 1
1 1 1
A
2 1 0
2 1 0
2 1 0
1 1 1
0 0 0
0 0 0
2 1 0
1 1 1
r = 2.
3 2 1 0
3 0 1 2
0 1 0 1
3 1 1 1
A
3 2 1 0
3 2 1 0
3 2 1 0
1 3 2 1
0 0 0 0
0 0 0 0
3 2 1 0
1 3 2 1
2 r
Observa que si r = r+ < n el sistema és compatible i indeterminat.
exemple: El sistema
1 z y x
2 z 5 y 4 x 2
7 y x 3
és ... Sol: r = r* = 2 < n C. indet.
5.2.- Amb paràmetres
Discutir i estudiar un sistema amb paràmetres consisteix en classificar el sistema; és a dir, veure si és compatible o incompatible, i en cas que sigui compatible esbrinar si és determinat o indeterminat en funció d’aquell paràmetre.
Els paràmetres se solen simbolitzar amb lletres diferents de les utilitzades per a les variables del sistema. Les més comunes són: a, k, m, , , etc.
Hi ha diversos mètodes:
Mètode dels rangs o Roché-Fröbenius
. Els rangs es poden determinar per Gauss o per determinants.Rangs per Gauss: per a mi, el millor.
Avantatges: és el que estem acostumats a fer sempre. Serveix per a qualsevol tipus de sistema. Inconvenients: a vegades se’ns pot escapar algun valor.
Si hi ha molts paràmetres es fa força difícil
per fer aquest ja s’hagués pogut fer el mètode de Gauss directa.
Rangs per determinants: és el “lleig”. Avantatges: crec que cap.
Sempre és igual de difícil.
Inconvenients: és molt pesat anar calculant els diferents determinants que, en alguns casos en poden ser molts.
Mètode de Gauss
: molt semblant al Rangs per Gauss. Avantatges: és el que estem acostumats a fer sempre.Serveix per a qualsevol tipus de sistema. Inconvenients: a vegades se’ns pot escapar algun valor.
Si hi ha molts paràmetres es fa força difícil.
a vegades és difícil explicar correctament la justificació de perquè és un tipus o un altre.
Mètode de Cramer
: és el que us agradarà més. Avantatges: és molt mecànic i fàcil de recordar.Inconvenients: només serveix per a sistemes quadrats: 2x2, 3x3, 4x4, etc..
exemple: Discuteix el sistema
1 z 4 y 5 kx
3 z 2 y x
1 z y 2 x 3
.
Resolució:
En ser un sistema 3x3, es pot fer per qualsevol mètode. En aquest cas optarem pel mètode de Gauss.
4 5 k
2 1 1
1 2 3
A
k 5 4
1 1 2
3 2 1
12 k 3 0
7 3 0
3 2 1
k 12 = 7 k = 5
Si k = 5 r = 2, però si k 5 r = 3.
Per una altra part:
1 4 5 k
3 2 1 1
1 1 2 3
A
k 4 5 1
1 2 1 3
3 1 2 1
3 k 3 3 0
8 5 7 0
3 1 2 1
r 3
Resumint: si k = 5 r = 2 i r+ = 3 incompatibles
k 5 r = r+ = n = 3 compatible i determinat.
exemple: Determina el valor de a perquè el sistema
0 1 ay x a
0 a y ax
0 a y a x
2
2 2
sigui compatible.
Resolució:
Observa que no es tracta d’un sistema homogeni, sinó que...
1 ay x a
a y ax
a y a x
2
2 2
(3 equacions 2 incògnites).
En haver dues incògnites ...
No es pot resoldre per Cramer; per tant, el farem per Rangs + determinants (el lleig).
Calcularem el determinant de la matriu ampliada: a 2a 1 0 a 1 1
a a
a 1 a
a a 1
3 6 2
2
Observa que en col·locar la solució de a tenim que una de les equacions és combinació lineal de les altres. Les matrius queden:
1 1
1 A 1
1 1
1 1
1 1
A r (A) = 2
1 1 1
1 1 A 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
A r (A+) = 2
Resumint: si a = 1 r = 2 i r+ = 2 compatible i determinat.