PRÁCTICA Nº 3. CAMPO ELÉCTRICO

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Laboratorio de Física II

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 1 PRÁCTICA Nº 3. CAMPO ELÉCTRICO

OBJETIVO

Establecer la variación del campo y del potencial eléctrico con respecto a las coordenadas espaciales para la caracterización del modelo electrostático bajo estudio

FUNDAMENTO TEÓRICO

La electrostática es una rama de la Física que estudia el comportamiento de la carga eléctrica en la materia, es decir, estudia la carga eléctrica presente en los cuerpos y los fenómenos asociados a dichas cargas en reposo.

La carga eléctrica constituye una propiedad fundamental de la materia. Se manifiesta a través de fuerzas electrostáticas que son las responsables de los fenómenos eléctricos. Su influencia en el espacio se describe a partir del campo eléctrico.

El campo eléctrico Eproducido por objetos cargados puede determinarse por medio de dos procedimientos equivalentes: la Ley de Coulomb y la Ley de Gauss, y ésta última facilita en muchos casos el cálculo cuando existe simetría en la distribución de carga. La energía es un concepto útil e importante en muchas situaciones y describir el campo eléctrico en términos del potencial eléctrico hace fácil calcular las implicaciones energéticas del mismo; además es una herramienta que permite resolver problemas con mayor sencillez para la mayoría de los casos, comparado con el enfoque de fuerza y campo eléctrico.

Un campo es una magnitud física que se puede asociar a cada región del espacio. El modelo de campo supone que el espacio que rodea una carga está lleno de algo

(2)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 2 llamado Campo Eléctrico E, que no ocupa sólo un punto individual sino que existe en todos los puntos del espacio de manera simultánea. El campo eléctrico se visualiza como una característica del espacio debida a la presencia de una distribución de carga. La carga que se utiliza para determinar el campo debe ser bastante pequeña como para que la fuerza que ejerza no interfiera en la distribución de carga responsable del campo. El campo existe aunque no localicemos la carga en dicho punto. El vector campo eléctrico en un punto del espacio se define como la fuerza eléctrica que actúa sobre una carga de prueba positiva situada en ese punto dividida por la magnitud de dicha carga. La intensidad del campo se expresa en N

C. 0

F

E

q





(1)

En cualquier punto del espacio, el campo eléctrico total debido a un conjunto de cargas es igual al vector suma de los campos generados por cada una de las cargas individuales (principio de superposición).

En la expresión (1) el campo eléctricoE es un vector porque la fuerza eléctricaF lo es, ya que la carga q0 es una cantidad escalar. La dirección de E



en un punto del espacio dado es la misma dirección de F, es decir, la dirección en la cual tendería a moverse una carga positiva en reposo que se colocara en dicho punto. La fuerza sobre una carga negativa, tal como un electrón, es por consiguiente, opuesta a la dirección del campo, como se muestra en la figura 3.1.

Figura 3.1. Sentido de la fuerza producida por un campo eléctrico sobre una carga positiva y sobre una carga negativa.

+ + + + + + + + E Fq E F q E + -

(3)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 3 Líneas de Fuerza

Una ayuda para visualizar los patrones de campo eléctrico es dibujar líneas que apunten en la misma dirección que el vector campo eléctrico en cualquier punto. Estas líneas, llamadas líneas de campo eléctrico, se relacionan con el campo como se detalla a continuación:

El campo es tangente a la línea en cada punto.

Salen de una carga positiva y terminan en una negativa.

El número de líneas por unidad de área transversal es proporcional a la magnitud del campo.

Ninguna línea de campo puede cruzarse o tocarse.

(4)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 4 Seguidamente se ilustran los campos de algunos modelos electrostáticos a través de líneas de fuerza.

Figura 3.3. Representación de los campos de algunos modelos electrostáticos por líneas de fuerza.

Potencial Eléctrico

Cuando una carga de prueba q₀ se coloca en un campo eléctrico creado por algún otro objeto cargado, la magnitud de la fuerza eléctrica que experimenta es igual a q E0 .

Cuando q0se mueve cuasiestaticamente desde el punto Ax y z, ,  hasta el punto

B

x y z, ,  dentro del campo eléctrico por efecto de un agente externo, el trabajo hecho por el campo sobre la carga es igual al negativo del trabajo hecho por el agente externo que produce el desplazamiento. + + + + + + + + + + + + + + + + +

Carga negativa Carga positiva Cargas de diferente

magnitud y signo

Dipolo eléctrico Dos cargas de igual signo

(5)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 5 Figura 3.4. Trayectoria de una carga dentro de un campo eléctrico generada por el

agente externo.

De la 3er Ley de Newton la fuerza eléctrica es igual y opuesta a la fuerza del agente externo, por lo tanto:

F

ext

 

q E

0



, así el trabajo realizado por el agente externo para mover la carga desde el punto A hasta el B a lo largo de la trayectoria

C

mostrada en la figura 3.4, en un estado de cuasiequilibrio es:

0 B B ext AB A A

W





F dl







 

q



E dl







(2)

La energía que posee q₀es igual al trabajo positivo o negativo que debe ser realizado para moverla dentro del campo, en oposición a las repulsiones y atracciones del mismo. Es claro que el trabajo realizado por el agente externo dependerá del punto inicial donde se encontraba originalmente la misma. Considere entonces que el punto inicial

x y z, , 

A estará en una posición tan alejada de la región donde existe el campo que las fuerzas repulsivas o atractivas del mismo sean cero (el infinito). Adoptando este punto como inicial, se define el potencial eléctrico V__{x y z}_{, ,} _ como el trabajo por unidad de carga

A B q_o

dl



e

F



ext

F



A

C

(6)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 6 que debe realizar un agente externo sobre un cuerpo cargado para llevarlo desde el infinito hasta el punto

B

__{x y z}_{, ,} _, es decir,

0 B

W

V

q



(3)

Sustituyendo la ecuación (2) en (3) queda: B

V

E dl



 









(4)

Esta ecuación nos permite calcular el potencial V en cualquier punto, si se conoce el campo eléctricoE en dicha región del espacio donde se define la trayectoria.

El trabajo realizado para llevar la carga q0 desde el infinito al punto

B

x y z, ,  no depende de la trayectoria seguida por la carga, puesto que las fuerzas electrostáticas son conservativas, es decir, que el trabajo que realiza el agente externo para llevar la carga desde el infinito al punto

B

__{x y z}_{, ,} _ (en contra del campo eléctrico) puede ser recuperado si dicho agente deja en libertad la carga q₀. Si el potencial del punto

B

__{x y z}_{, ,} _ dependiera de la trayectoria, dicho punto no tendría un potencial eléctrico único y el concepto de potencial sería de utilidad restringida.

Diferencia de Potencial

Es importante no confundir la diferencia de potencial con la energía potencial. La diferencia de potencial es proporcional al cambio de energía potencial. Igualmente, la diferencia de potencial es una característica escalar del campo eléctrico, independientemente de las cargas que se coloquen dentro del campo.

Se define como el cambio en la energía potencial electrostática (trabajo realizado por el agente externo) por unidad de carga que resulta cuando una partícula de prueba qo

(7)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 7

0 0 ext AB B A

W

U

V

q



 



(5)

La ecuación (5) nos permite calcular el potencial del punto B con respeto a A. Como el trabajo realizado por el agente externo puede ser positivo, negativo o nulo, el potencial eléctrico en B será mayor, menor o igual que el potencial en A.

Para calcula el potencial en un punto dado se puede tomar como punto de referencia el infinito donde se considera que el potencial es cero. En forma semejante se hubiera podido escoger como posición de referencia el valor de – 100 Voltios o cualquier otro punto en que se conviniera. En muchos problemas de circuitos se toma la “tierra” como referencia de potencial y se le asigna el valor cero.

Superficies Equipotenciales

Es el lugar geométrico de todos los puntos que tienen el mismo potencial eléctrico. Utilizar una familia de superficies equipotenciales permite dar una descripción general del campo eléctrico en una cierta región del espacio, correspondiendo cada superficie a un valor diferente de potencial.

No se requiere utilizar trabajo para mover una carga de prueba entre dos puntos cualesquiera en una de las superficies equipotenciales. Esto se deduce de la ecuación

0

q W V

VB  A  AB , porque como en la superficie cualesquiera dos puntos tienen el

mismo potencial



V_BV_A



, entonces W_AB debe ser nulo. Esto es válido, debido a que la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria. La figura 3.5 muestra una familia arbitraria de superficies equipotenciales.

(8)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 8 Figura 3.5. Porciones de cuatro superficies equipotenciales.

En la figura anterior, el trabajo necesario para mover una carga siguiendo las trayectorias I y II es cero porque todas esas trayectorias comienzan y terminan en la misma superficie equipotencial. Para la trayectoria I’ y II’ el trabajo para mover una carga de una superficie a otra, es el mismo y diferente de cero para ambas trayectorias porque los potenciales inicial y final son idénticos ya que las dos trayectorias unen el mismo par de superficies equipotenciales.

Las líneas de campo eléctrico y pon ende el campo eléctrico son siempre perpendiculares a las superficies equipotenciales, y éstas generalmente son curvas. En el caso especial de un campo uniforme, en el cual las líneas de campo son rectas paralelas espaciadas entre sí de forma uniforme, las superficies equipotenciales son planos perpendiculares a las líneas de campo. Para una carga puntual, su equipotencial son esferas concéntricas con ella.

Relación entre el vector campo eléctrico y el potencial eléctrico

Consideremos dos puntos A__{x y z}_{, ,} _ y

B

__{x y z}_{, ,} _, en una región donde existe un campo eléctrico. La diferencia de potencial en ambos puntos con respecto al infinito será:

,

A B A B

V

E dl

V

E dl

 

 









 









I I’ II’ II

(9)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 9 Figura 3.6. Trayectoria de una partícula cargada entre dos puntos próximos dentro de

un campo eléctrico.

Calculando ahora la diferencia de potencial entre B y A queda:

B A B A

V

E dl

 



 





 











B B A A

V



V

 



E dl







(6)

Si ahora los puntos B y A fueran dos puntos muy próximos entre sí, de modo que la distancia entre ellos corresponda a un desplazamiento infinitesimal dl

 . Donde ˆ ˆ ˆ dl dx idy j dz k 

. Así la diferencia de potencial entre ellos sería:

x y z

dV E dl E dx E dy E dz (7)

Anteriormente se dijo que la diferencia de potencial entre dos puntos B y A es independiente de la trayectoria, lo que es equivalente a decir que existe una función

x y z, , 

V de tal modo que:

B B B A A A

V

 



E dl







 



dV V

 

V

dl



E



A

(10)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 10 Para que esto ocurra es necesario que dV E dl

 

sea una diferencia exacta, o sea, que: V V V dV dx dy dz x y z          Por lo tanto: ( _x _y _z ) V V V dx dy dz E dx E dy E dz x y z            

Para que esta relación sea siempre válida es necesario que:

, , x y z V V V E E E x y z            

Así el vector campo eléctrico calculado a partir del potencial, se definiría como:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ V V V E i j k i j k V x y z x y z           _   _ _   _            (8)

Se define como un operador diferencial, llamado gradiente de una función escalar, donde:

ˆ

i

j

k

x

y

z



 





(9)

Por lo tanto, las ecuación (8) se puede escribir como:

E



 

V

(10)

El módulo del gradiente de potencial da el valor máximo de la variación direccional del potencial en un punto dado. El signo negativo en la ecuación (10) indica que el vector campo eléctrico siempre apunta en la dirección opuesta al máximo cambio del potencial eléctrico.

(11)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 11 Es de hacer notar que el gradiente de potencial se expresa en voltio

metro, mientras que el campo eléctrico se expresa en Newton

Coulomb. Ahora bien:

Joule

voltio

_Coulomb

Newton metro

Newton

metro

Coulomb metro

Coulomb







Por lo que voltio

metro y NewtonCoulomb son unidades equivalentes.

Cuba Electrolítica

Está formada por una cuba de vidrio de 40cm40cm5cm en cuyo fondo se ha colocado un vidrio deslustrado, con una red milimétrica para fijar los puntos a ensayar. La cuba se encuentra constituida por dos electrodos de acero inoxidable (para evitar ser atacados por el paso de la corriente, pues de otro modo se podrían producir perturbaciones en la marcha del campo) y agua corriente como electrolito. Los electrodos internos y externos tienen forma de cilindro plano hueco y cilindro plano sólido, respectivamente, colocados concéntricamente. La diferencia de potencial aplicada a los electrodos será suministrada por una fuente de voltaje DC.

Figura 3.7. Cuba Electrolítica.

V B

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Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 12 MATERIALES Y EQUIPO REQUERIDOS

Cuba electrolítica. Sondas.

Fuente DC. Multímetro digital.

Cables para conexiones.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

1. Complete la tabla mostrada a continuación. Tabla 3.1

Etapa Descripción

Título

Preguntas de investigación

Objetivos

2. Realice el montaje indicado en la figura 3.7. Coloque la fuente de voltaje en ____ Voltios.

3. Utilizando la punta móvil del multímetro, toque diferentes puntos del electrodo interno. ¿Qué voltaje indica el voltímetro?, ¿Cambia el voltaje sobre el electrodo al

(13)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 13 tocar los diferentes puntos del mismo?, ¿Será el electrodo interno una superficie equipotencial?

4. Mueva la punta móvil del voltímetro y toque diferentes puntos del electrodo externo. ¿Qué voltaje indica el voltímetro?, ¿Le parece lógico el valor medido?, ¿Será el electrodo externo una superficie equipotencial?

5. Mida el radio del electrodo interno

 

r

Ei y el radio interno del electrodo externo

 

r

Ee

__________ ____________

Ei Ee

r

_

cm

r

_

cm

6. En la tabla 3.2 registre las coordenadas de los puntos que se encuentran en la misma superficie equipotencial.

Tabla 3.2

V1 = 20V V2 = 17V V3 = 14V V4 = 11V V5 = 8V V6 = 5V V7 = 2V

X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 X4 Y4 X5 Y5 X6 Y6 X7 Y7

7. Calcule el radio promedio para cada superficie equipotencial. Registre los resultados en la tabla 3.3.

(14)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 14 Tabla 3.3 2 2 i i i r  X Y n r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 1 2 3 4 5 6 n p r r n 



8. En un papel milimetrado y tomando como origen de coordenadas en centro del papel, represente las coordenadas de los puntos de la tabla 3.2. Utilice un compás con abertura equivalente al radio promedio y trace mediante líneas punteadas la superficie equipotencial correspondiente a cada radio promedio. Coloque el respectivo valor del potencial a cada línea. Trace las líneas de fuerza del campo.

9. Anote los valores del radio promedio para cada superficie equipotencial en la tabla 3.4.

Tabla 3.4 V

(voltios) 20 17 14 11 8 5 2

rp (m)

(15)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 15 Tabla 3.5

Título

Preguntas de investigación

Objetivos

11. Grafique los datos de la tabla 3.4 en papel milimetrado y semilogaritmico. Determine la ecuación de la recta, la cual representará la relación entre el voltaje y el radio, mediante una función V  f r( ).

Nota: Para la gráfica realizada en papel milimetrado debe tener presente el comportamiento del potencial en el electrodo interno, tal como lo determinó en el paso Nº 2. La gráfica se realizará desde r = 0 hasta r = 12 cm. Cuando realice la gráfica en papel semilogaritmico, coloque el voltaje en la escala lineal (eje de las ordenadas) y el radio promedio en la escala logaritmica (eje de las abscisas).

12. Analice las gráficas obtenidas.

13. Halle la ecuación del campo eléctrico E V V r   _{   }   _      , utilizando la ecuación ( )

V  f r obtenida en el paso anterior.

14. Considerando la ecuación de campo eléctrico encontrada anteriormente, asigne valores al radio comprendidos entre 0 y 12cm. y calcule en valor del campo eléctrico

(16)

Profa. Lismarihen Larreal de Hernández 16 para cada uno de ellos. Registre los resultados en la tabla 3.6. Grafique en papel milimetrado E vs. r; recordando considerar el comportamiento del potencial en el electrodo interno tal como lo determinó en el paso Nº 2.

Tabla 3.6 E

 

V E m ( ) r m

15. Analice la gráfica obtenida en el paso anterior.

16. De acuerdo a lo observado en las gráficas realizadas en el paso anterior, ¿Cuánto vale el potencial y el campo eléctrico para radios comprendidos entre 0 y 1cm.?, ¿Por qué estos valores?

17. ¿A qué distancia radial se anula el potencial y a qué distancia radial se anula el campo eléctrico?

18. A partir de las ecuaciones determinadas para el potencial y el campo eléctrico en función del radio, identifique el modelo electrostático estudiado.