Codificación y decodificación de los códigos cíclicos

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones

Codificaci´

on y decodificaci´

on de los c´

odigos c´ıclicos

Comparativa con otros c´

odigos

Cruz Enrique Borges Hern´

andez

Universidad de Cantabria

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones

Contenido

1

Motivaci´

on

2

Tipos de c´

odigos

Codificaci´

on

Decodificaci´

on

3

Conclusiones

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones

Contenido

1

Motivaci´

on

2

Tipos de c´

odigos

Codificaci´

on

Decodificaci´

on

3

Conclusiones

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones

Contenido

1

Motivaci´

on

2

Tipos de c´

odigos

Codificaci´

on

Decodificaci´

on

3

Conclusiones

Motivaci´on

Tipos de c´odigos Conclusiones

Necesidad de c´

odigos correctores de errores

Desarrollo de un nuevo sistema de comunicaci´

on

¿Podemos crear un c´

odigo que subsane los errores?

F´acil de codificar F´acil de decodificar

Motivaci´on

Tipos de c´odigos Conclusiones

Necesidad de c´

odigos correctores de errores

Desarrollo de un nuevo sistema de comunicaci´

on

¿Podemos crear un c´

odigo que subsane los errores?

F´acil de codificar F´acil de decodificar

Motivaci´on

Tipos de c´odigos Conclusiones

Necesidad de c´

odigos correctores de errores

Desarrollo de un nuevo sistema de comunicaci´

on

¿Podemos crear un c´

odigo que subsane los errores?

F´acil de codificar F´acil de decodificar

Motivaci´on

Tipos de c´odigos Conclusiones

Necesidad de c´

odigos correctores de errores

Desarrollo de un nuevo sistema de comunicaci´

on

¿Podemos crear un c´

odigo que subsane los errores?

F´acil de codificar

F´acil de decodificar

Motivaci´on

Tipos de c´odigos Conclusiones

Necesidad de c´

odigos correctores de errores

Desarrollo de un nuevo sistema de comunicaci´

on

¿Podemos crear un c´

odigo que subsane los errores?

F´acil de codificar F´acil de decodificar

Motivaci´on

Tipos de c´odigos Conclusiones

Necesidad de c´

odigos correctores de errores

Desarrollo de un nuevo sistema de comunicaci´

on

¿Podemos crear un c´

odigo que subsane los errores?

F´acil de codificar F´acil de decodificar

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Codificaci´

on

C´odigos en bloque

Un

c´

odigo en bloque

es una aplicaci´

on inyectiva:

C

:

[

k∈_N

A

k

→ B

n

C´

odigos en bloque

Excesivamente costoso

Desconocemos la

distancia m´ınima

Diccionario:

0

0000

4

1100

1

1001

5

0101

2

1010

6

0110

3

0011

7

1111

Mensaje

C´

odigo

3572

⇒

0011

0101

1111

1010

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Codificaci´

on

C´odigos en bloque

Un

c´

odigo en bloque

es una aplicaci´

on inyectiva:

C

:

[

k∈_N

A

k

→ B

n

C´

odigos en bloque

Diccionario

Excesivamente costoso

Desconocemos la

distancia m´ınima

Diccionario:

0

0000

4

1100

1

1001

5

0101

2

1010

6

0110

3

0011

7

1111

Mensaje

C´

odigo

3572

⇒

0011

0101

1111

1010

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Codificaci´

on

C´odigos en bloque

Un

c´

odigo en bloque

es una aplicaci´

on inyectiva:

C

:

[

k∈_N

A

k

→ B

n

C´

odigos en bloque

Diccionario

Excesivamente costoso

Desconocemos la

distancia m´ınima

Diccionario:

0

0000

4

1100

1

1001

5

0101

2

1010

6

0110

3

0011

7

1111

Mensaje

C´

odigo

3572

⇒

0011

0101

1111

1010

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Codificaci´

on

C´odigos en bloque

Un

c´

odigo en bloque

es una aplicaci´

on inyectiva:

C

:

[

k∈_N

A

k

→ B

n

C´

odigos en bloque

Diccionario

Excesivamente costoso

Desconocemos la

distancia m´ınima

Diccionario:

0

0000

4

1100

1

1001

5

0101

2

1010

6

0110

3

0011

7

1111

Mensaje

C´

odigo

3572

⇒

0011

0101

1111

1010

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Codificaci´

on

C´odigos en bloque

Un

c´

odigo en bloque

es una aplicaci´

on inyectiva:

C

:

[

k∈_N

A

k

→ B

n

C´

odigos en bloque

Diccionario

Excesivamente costoso

Desconocemos la

distancia m´ınima

Diccionario:

0

0000

4

1100

1

1001

5

0101

2

1010

6

0110

3

0011

7

1111

Mensaje

C´

odigo

3572

⇒

0011

0101

1111

1010

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Codificaci´

on

C´odigos lineales

Sea

K

q

un cuerpo de

q

elementos. Llamaremos

c´

odigo lineal

de

longitud

k

a un subespacio vectorial

C

de

K

nq

con

dim C

=

k

.

C´

odigos lineales

Desconocemos la

distancia m´ınima

G

=







g11

. . .

g1

n

..

.

..

.

g

k1

. . .

g

kn







Codificaci´

on

(

a

1

, . . . ,

a

k

)







g11

. . .

g1

n

..

.

..

.

g

k1

. . .

g

kn







= (

c

0

, . . . ,

c

n

)

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Codificaci´

on

C´odigos lineales

Sea

K

q

un cuerpo de

q

elementos. Llamaremos

c´

odigo lineal

de

longitud

k

a un subespacio vectorial

C

de

K

nq

con

dim C

=

k

.

C´

odigos lineales

Matriz Generatriz

Desconocemos la

distancia m´ınima

G

=







g11

. . .

g1

n

..

.

..

.

g

k1

. . .

g

kn







Codificaci´

on

(

a

1

, . . . ,

a

k

)







g11

. . .

g1

n

..

.

..

.

g

k1

. . .

g

kn







= (

c

0

, . . . ,

c

n

)

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Codificaci´

on

C´odigos lineales

Sea

K

q

un cuerpo de

q

elementos. Llamaremos

c´

odigo lineal

de

longitud

k

a un subespacio vectorial

C

de

K

nq

con

dim C

=

k

.

C´

odigos lineales

Matriz Generatriz

Desconocemos la

distancia m´ınima

G

=







g11

. . .

g1

n

..

.

..

.

g

k1

. . .

g

kn







Codificaci´

on

(

a

1

, . . . ,

a

k

)







g11

. . .

g1

n

..

.

..

.

g

k1

. . .

g

kn







= (

c

0

, . . . ,

c

n

)

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Codificaci´

on

C´odigos lineales

Sea

K

q

un cuerpo de

q

elementos. Llamaremos

c´

odigo lineal

de

longitud

k

a un subespacio vectorial

C

de

K

nq

con

dim C

=

k

.

C´

odigos lineales

Matriz Generatriz

Desconocemos la

distancia m´ınima

G

=







g11

. . .

g1

n

..

.

..

.

g

k1

. . .

g

kn







Codificaci´

on

(

a

1

, . . . ,

a

k

)







g11

. . .

g1

n

..

.

..

.

g

k1

. . .

g

kn







= (

c

0

, . . . ,

c

n

)

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Codificaci´

on

C´odigos lineales

Sea

K

q

un cuerpo de

q

elementos. Llamaremos

c´

odigo lineal

de

longitud

k

a un subespacio vectorial

C

de

K

nq

con

dim C

=

k

.

C´

odigos lineales

Matriz Generatriz

Desconocemos la

distancia m´ınima

G

=







g11

. . .

g1

n

..

.

..

.

g

k1

. . .

g

kn







Codificaci´

on

(

a

1

, . . . ,

a

k

)







g11

. . .

g1

n

..

.

..

.

g

k1

. . .

g

kn







= (

c

0

, . . . ,

c

n

)

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Codificaci´

on

C´odigos c´ıclicos

Sea

K

q

un cuerpo de

q

elementos y

S

un c´

odigo lineal de longitud

n

.

C

es un

c´

odigo c´ıclico

si y solo si (

c

0

, . . . ,

c

n

−

1)

∈

C

entonces

(

c

n−1

,

c

0

, . . . ,

c

n−2

)

∈

C

.

C´

odigos c´ıclicos

Desconocemos la

distancia m´ınima

Codificaci´

on

(

a

1

, . . . ,

a

k

)

G

= (

c

0

, . . . ,

c

n

)

G

=











g

0

g

1

. . .

g

n−k

0

. . .

0

0

g

0

. . .

g

n−k−1

g

n−k

. . .

0

..

.

..

.

. ..

..

.

..

.

. ..

0

0

0

. . .

g

0

g

1

. . .

g

n−k











Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Codificaci´

on

C´odigos c´ıclicos

Sea

K

q

un cuerpo de

q

elementos y

S

un c´

odigo lineal de longitud

n

.

C

es un

c´

odigo c´ıclico

si y solo si (

c0, . . . ,

c

n

−

1)

∈

C

entonces

(

c

n−1

,

c

0

, . . . ,

c

n−2

)

∈

C

.

C´

odigos c´ıclicos

Matriz Generatriz

Desconocemos la

distancia m´ınima

Codificaci´

on

(

a

1

, . . . ,

a

k

)

G

= (

c

0

, . . . ,

c

n

)

G

=











g

0

g

1

. . .

g

n−k

0

. . .

0

0

g

0

. . .

g

n−k−1

g

n−k

. . .

0

..

.

..

.

. ..

..

.

..

.

. ..

0

0

0

. . .

g

0

g

1

. . .

g

n−k











Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Codificaci´

on

C´odigos c´ıclicos

Sea

K

q

un cuerpo de

q

elementos y

S

un c´

odigo lineal de longitud

n

.

C

es un

c´

odigo c´ıclico

si y solo si (

c0, . . . ,

c

n

−

1)

∈

C

entonces

(

c

n−1

,

c

0

, . . . ,

c

n−2

)

∈

C

.

C´

odigos c´ıclicos

Matriz Generatriz

Desconocemos la

distancia m´ınima

Codificaci´

on

(

a

1

, . . . ,

a

k

)

G

= (

c

0

, . . . ,

c

n

)

G

=











g

0

g

1

. . .

g

n−k

0

. . .

0

0

g

0

. . .

g

n−k−1

g

n−k

. . .

0

..

.

..

.

. ..

..

.

..

.

. ..

0

0

0

. . .

g

0

g

1

. . .

g

n−k











Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Codificaci´

on

C´odigos c´ıclicos

Sea

K

q

un cuerpo de

q

elementos y

S

un c´

odigo lineal de longitud

n

.

C

es un

c´

odigo c´ıclico

si y solo si (

c0, . . . ,

c

n

−

1)

∈

C

entonces

(

c

n−1

,

c

0

, . . . ,

c

n−2

)

∈

C

.

C´

odigos c´ıclicos

Matriz Generatriz

Desconocemos la

distancia m´ınima

Codificaci´

on

(

a

1

, . . . ,

a

k

)

G

= (

c

0

, . . . ,

c

n

)

G

=











g

0

g

1

. . .

g

n−k

0

. . .

0

0

g

0

. . .

g

n−k−1

g

n−k

. . .

0

..

.

..

.

. ..

..

.

..

.

. ..

0

0

0

. . .

g

0

g

1

. . .

g

n−k











Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Decodificaci´

on

C´odigos en bloque

C´

odigos en bloque

Distancia m´ınima

Diccionario:

0

0000

4

1100

1

1001

5

0101

2

1010

6

0110

3

0011

7

1111

Recibido 1011 0101 1101 1010

Corregimos

→

0011 0101 1111 1010

Decodificamos

→

3572

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Decodificaci´

on

C´odigos en bloque

C´

odigos en bloque

Distancia m´ınima

Diccionario:

0

0000

4

1100

1

1001

5

0101

2

1010

6

0110

3

0011

7

1111

Recibido 1011 0101 1101 1010

Corregimos

→

0011 0101 1111 1010

Decodificamos

→

3572

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Decodificaci´

on

C´odigos en bloque

C´

odigos en bloque

Distancia m´ınima

Diccionario:

0

0000

4

1100

1

1001

5

0101

2

1010

6

0110

3

0011

7

1111

Recibido 1011 0101 1101 1010

Corregimos

→

0011 0101 1111 1010

Decodificamos

→

3572

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Decodificaci´

on

C´odigos en bloque

C´

odigos en bloque

Distancia m´ınima

Diccionario:

0

0000

4

1100

1

1001

5

0101

2

1010

6

0110

3

0011

7

1111

Recibido 1011 0101 1101 1010

Corregimos

→

0011 0101 1111 1010

Decodificamos

→

3572

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Decodificaci´

on

C´odigos en bloque

C´

odigos en bloque

Distancia m´ınima

Diccionario:

0

0000

4

1100

1

1001

5

0101

2

1010

6

0110

3

0011

7

1111

Recibido 1011 0101 1101 1010

Corregimos

→

0011 0101 1111 1010

Decodificamos

→

3572

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Decodificaci´

on

Algoritmo del l´ıder

Idea

Decodificamos por m´ınima distancia

Matriz de control

H

!!!!

GH

t

= 0 !!!!

El

s´ındrome

caracteriza el error (

l´ıder

) cometido

e

!!!!

s

(

y

) =

s

(

e

) =

Hy

!!!!

Decodificamos haciendo la resta:

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Decodificaci´

on

Algoritmo del l´ıder

Idea

Decodificamos por m´ınima distancia

Matriz de control

H

!!!!

GH

t

= 0 !!!!

El

s´ındrome

caracteriza el error (

l´ıder

) cometido

e

!!!!

s

(

y

) =

s

(

e

) =

Hy

!!!!

Decodificamos haciendo la resta:

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Decodificaci´

on

Algoritmo del l´ıder

Idea

Decodificamos por m´ınima distancia

Matriz de control

H

!!!!

GH

t

= 0 !!!!

El

s´ındrome

caracteriza el error (

l´ıder

) cometido

e

!!!!

s

(

y

) =

s

(

e

) =

Hy

!!!!

Decodificamos haciendo la resta:

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Decodificaci´

on

Algoritmo del l´ıder

Idea

Decodificamos por m´ınima distancia

Matriz de control

H

!!!!

GH

t

= 0 !!!!

El

s´ındrome

caracteriza el error (

l´ıder

) cometido

e

!!!!

s

(

y

) =

s

(

e

) =

Hy

!!!!

Decodificamos haciendo la resta:

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Decodificaci´

on

Algoritmo del L´ıder en c´odigos lineales

S´ındrome / L´ıder

000

0000000

110

0001000

100

1000000

101

0000100

010

0100000

011

0000010

001

0010000

111

0000001

Recibido 0011111 1111111 1101111 0000000

s(0011111) = 110→L´ıder 0001000→0011111−0001000 =0010111 s(1111111) = 000→L´ıder 0000000→1111111−0000000 =1111111 s(1101111) = 001→L´ıder 0010000→1101111−0010000 =1111111 s(0000000) = 000→L´ıder 0000000→0000000−0000000 =0000000

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Decodificaci´

on

Algoritmo del L´ıder en c´odigos lineales

S´ındrome / L´ıder

000

0000000

110

0001000

100

1000000

101

0000100

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Recibido 0011111 1111111 1101111 0000000

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Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Decodificaci´

on

Algoritmo del L´ıder en c´odigos lineales

S´ındrome / L´ıder

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Recibido 0011111 1111111 1101111 0000000

s(0011111) = 110 →L´ıder 0001000→0011111−0001000 =0010111 s(1111111) = 000 →L´ıder 0000000→1111111−0000000 =1111111 s(1101111) = 001 →L´ıder 0010000→1101111−0010000 =1111111 s(0000000) = 000 →L´ıder 0000000→0000000−0000000 =0000000

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Decodificaci´

on

Algoritmo del L´ıder en c´odigos lineales

S´ındrome / L´ıder

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Recibido 0011111 1111111 1101111 0000000

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Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Decodificaci´

on

Algoritmo del L´ıder en c´odigos lineales

S´ındrome / L´ıder

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Recibido 0011111 1111111 1101111 0000000

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Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

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on

Algoritmo del L´ıder en c´odigos c´ıclicos

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Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

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Algoritmo del L´ıder en c´odigos c´ıclicos

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Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

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Algoritmo del L´ıder en c´odigos c´ıclicos

S´ındrome

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Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

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on

Algoritmo del L´ıder en c´odigos c´ıclicos

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L´ıder

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Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000

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Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

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on

Algoritmo del L´ıder en c´odigos c´ıclicos

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Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

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on

Algoritmo del L´ıder en c´odigos c´ıclicos

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Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

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Algoritmo del L´ıder en c´odigos c´ıclicos

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Algoritmo del L´ıder en c´odigos c´ıclicos

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Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

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Algoritmo del L´ıder en c´odigos c´ıclicos

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Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

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Algoritmo del L´ıder en c´odigos c´ıclicos

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Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Decodificaci´

on

Algoritmo del L´ıder en c´odigos c´ıclicos

S´ındrome

L´ıder

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0000001

Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000

0101011 1001011 1100011 0000000 s(0101011) = 101 X s(1001011) = 000 X s(1100011) = 011X s(0000000) = 000 X s(1010101) = 001 X s(1100101) = 000 X s(1110001) = 110X s(0000000) = 000 X s(1101010) = 010 X s(1110010) = 000 X s(1111000) = 111X s(0000000) = 000 X s(0110101) = 100 ] s(0111001) = 000 X s(0111100) = 101X s(0000000) = 000 X s(0011010) = 000 X s(1011100) = 000 X s(0011110) = 001X s(0000000) = 000 X s(0001101) = 000 X s(0101110) = 000 X s(0001111) = 010X s(0000000) = 000 X s(1000110) = 000 X s(0010111) = 000 X s(1000111) = 100] s(0000000) = 000 X 0100011 1001011 0100011 0000000

Motivaci´on Tipos de c´odigos Conclusiones Codificaci´on Decodificaci´on

Decodificaci´

on

Algoritmo del L´ıder en c´odigos c´ıclicos

S´ındrome

L´ıder

100

0000001

Recibido 0101011 1001011 1100011 0000000

0101011 1001011 1100011 0000000 s(0101011) = 101 X s(1001011) = 000 X s(1100011) = 011X s(0000000) = 000 X s(1010101) = 001 X s(1100101) = 000 X s(1110001) = 110X s(0000000) = 000 X s(1101010) = 010 X s(1110010) = 000 X s(1111000) = 111X s(0000000) = 000 X s(0110101) = 100 ] s(0111001) = 000 X s(0111100) = 101X s(0000000) = 000 X s(0011010) = 000 X s(1011100) = 000 X s(0011110) = 001X s(0000000) = 000 X s(0001101) = 000 X s(0101110) = 000 X s(0001111) = 010X s(0000000) = 000 X s(1000110) = 000 X s(0010111) = 000 X s(1000111) = 100] s(0000000) = 000 X 0100011 1001011 0100011 0000000

Motivaci´on Tipos de c´odigos

Conclusiones

Conclusiones

N´

umero de operaciones aceptable

Espacio en memoria desproporcionado en caso lineal

Seguimos con el inconveniente de no conocer la distancia

m´ınima a priori

Calcular la distancia m´ınima de un c´

odigo es muy costoso

Motivaci´on Tipos de c´odigos

Conclusiones

Conclusiones

N´

umero de operaciones aceptable

Espacio en memoria desproporcionado en caso lineal

Seguimos con el inconveniente de no conocer la distancia

m´ınima a priori

Calcular la distancia m´ınima de un c´

odigo es muy costoso

Motivaci´on Tipos de c´odigos

Conclusiones

Conclusiones

N´

umero de operaciones aceptable

Espacio en memoria desproporcionado en caso lineal

Seguimos con el inconveniente de no conocer la distancia

m´ınima a priori

Calcular la distancia m´ınima de un c´

odigo es muy costoso

Motivaci´on Tipos de c´odigos

Conclusiones

Conclusiones

N´

umero de operaciones aceptable

Espacio en memoria desproporcionado en caso lineal

Seguimos con el inconveniente de no conocer la distancia

m´ınima a priori

Calcular la distancia m´ınima de un c´

odigo es muy costoso

Motivaci´on Tipos de c´odigos

Conclusiones

Conclusiones

N´

umero de operaciones aceptable

Espacio en memoria desproporcionado en caso lineal

Seguimos con el inconveniente de no conocer la distancia

m´ınima a priori

Calcular la distancia m´ınima de un c´

odigo es muy costoso