Avaliação do comportamento inelástico de colunas e pórticos metálicos com flexão em torno do eixo de menor inércia

(1)

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Revista

Internacional

de

Métodos

Numéricos

para

Cálculo

y

Diseño

en

Ingeniería

Avaliac¸ão

do

comportamento

inelástico

de

colunas

e

pórticos

metálicos

com

ﬂexão

em

torno

do

eixo

de

menor

inércia

G.A.

Gonc¸

alves

∗

,

A.R.D.

Silva

e

R.A.M.

Silveira

DepartamentodeEngenhariaCivil,UniversidadeFederaldeOuroPreto,EscoladeMinas,OuroPreto,MG,Brasil

informação

sobre

o

artigo

Historialdoartigo: Recebidoa20demarçode2014 Aceitea7dejulhode2014 On-linea24demarçode2015 Palavras-chave: Análiseinelástica

Métododoselementosﬁnitos Métododarótulaplásticareﬁnado Módulotangente

Eixodemenorinércia

r

e

s

u

m

o

Estetrabalhotemcomoobjetivoavaliarocomportamentoinelásticodesistemasestruturaismetálicos submetidosàflexãoemtornodoeixodemenorinércia.Consideram-seseçõestransversaiscompactas dotipoI.Nessasseções,aflexãoemtornodoeixomaisfracoapresentabenefíciosimportantescomo acapacidadededesenvolvertodaresistênciaplásticasemocorrênciadeflambagemlateralportorção. Adota-seumaformulaçãodeelementosfinitosreticuladosplanos,naqualoprocessodeplastificaçãodo açoéacompanhadoatravésdométododarótulaplásticarefinado.Nessemétodo,osefeitosdecorrentes doescoamentodomaterialsãocapturadosatravésdeumparâmetroquereduzarigidezdomembro estruturalemfunçãododesenvolvimentoderegiõesplásticas.Emprega-seaindanessemétodoomódulo tangenteparaconsideraradegradaçãodarigidezemfunçãodasforçasinternas.Efeitosdesegundaordem, tensõesresiduaiseimperfeiçõesgeométricastambémsãoconsideradosnasanálises.Comocritériopara definiroestadolimiteúltimoderesistênciadaseçãotransversaladotam-sesuperfíciesdeplastificação quedescrevemainteraçãoentreesforçonormalemomentofletor.Parasoluçãodasequaçõesnãolineares deequilíbrioestruturalusa-seométododeNewton-Raphsonacopladoaestratégiasdecontinuação. Colunasisoladasepórticosplanossãoanalisadoseosresultadosobtidossãocomparadosaosencontrados poroutrospesquisadores.Essascomparaçõespermitemconcluirqueastécnicasusadasnestetrabalho sãoeficazesenecessáriasparaumamelhorprevisãodocomportamentodasestruturascommembros submetidosàflexãoemtornodoeixodemenorinércia.

Evaluation

of

the

inelastic

behavior

of

steel

columns

and

frames

subjected

to

minor-axis

bending

Keywords:

Inelasticanalysis FiniteElementMethod Reﬁnedplastic-hingemethod Tangentmodulus

Minoraxisbending

a

b

s

t

r

a

c

t

Thisworkpresentsanevaluationoftheinelasticbehaviorofsteelstructuressubjectedtominor-axis bending.ProfilestypeIandcompactcross-sectionsareconsidered.Inthesesections,thebentaboutweak axispresentsimportantbenefits,suchastheabilitytodevelopalloftheirplasticresistancewithoutthe occurrenceoflateraltorsionalbuckling.Anonlinearbeam-columnelementformulationisadopted,in whichthesteelyieldingprocessisaccountedbytherefinedplastic-hingemethod.Inthismethodthe effectsofmaterialyieldingarecapturedbyaparameterthatreducesthestructuralmemberstiffness withthedevelopmentofcross-sectionplasticregions.Thetangentmodulusapproachisusedtoconsider thestiffnessdegradationcausedbytheincreaseininternalforces.Second–ordereffects,residualstresses andgeometricimperfectionsarealsoconsideredinanalysis.Todefinethecross-sectionstrengthultimate

∗ _Autor_para_{correspondência.}

Correioseletrónicos:gilneyafonso@gmail.com(G.A.Gonc¸alves),andreardsilva@em.ufop.br(A.R.D.Silva),ricardo@em.ufop.br(R.A.M.Silveira). http://dx.doi.org/10.1016/j.rimni.2014.07.002

(2)

limitstate,thestudyadoptsstrengthsurfacesthatdescribetheinteractionbetweeninternalforces— axialforceandbendingmoment.Thenonlinearequationsatthestructuralsystemlevelaresolvedusing theNewton-Raphsoniterativestrategycoupledwithpath-followingmethods.Isolatedsteelcolumnsand portalframesareanalyzed,andtheresultsobtainedarecomparedtothoseofotherinvestigators.The comparisonshowsthatthenumericalmethodologypresentedinthisworkiseffectiveandcanbeused forpredictingthebehaviorofsteelstructureswithmembersunderminor-axisbending.

1. Introduc¸ão

Paramelhorpreverocomportamentodeumaestruturadeac¸o,

osefeitosdainelasticidadedomaterial,desegundaordemetensões

residuaisdevemserconsiderados.Devidoaisso,aanáliseinelástica

avanc¸ada,naqualessesefeitossãoavaliados,vemsendotemade

muitosestudosnosúltimosanos[1–6].

No contexto do método dos elementos ﬁnitos ressaltam-se

2métodosdeanáliseinelásticaavanc¸ada:zonaplásticaerótula

plásticareﬁnado.Nométododazonaplástica[1,2]asec¸ão

trans-versaldecadaelementoﬁnitoédiscretizadaemﬁbras.Efeitosde

segundaordemetensõesresiduaispodemserconsiderados

dire-tamentenaanálise.Alémdisso,oestadodetensãopodeserobtido

emcada ﬁbra,o quepossibilitao acompanhamentogradualdo

escoamentonasec¸ãotransversal.Devidoàeﬁcáciadessemétodo,

suassoluc¸õessãotratadascomo«exatas»naliteratura[7].Porém,

ométododazonaplásticanãoéusadorotineiramentenos

escritó-riosdeengenharia,poisrequerumintensoesforc¸ocomputacional.

Porissosuaaplicac¸ãoémaisrestritaàsimulac¸ãodeestruturas

simples,queservirãodecomparac¸ãoe/oucalibrac¸ãoparao

desen-volvimentodeoutrosmodeloseformulac¸ões.

Nométododarótulaplásticareﬁnado[3,4],aconsiderac¸ãoda

plastiﬁcac¸ãodomaterialéconcentradanospontosnodaisdecada

elementoﬁnito.Nessesnóspodeocorrerformac¸ãoderótulas

plás-ticas,caracterizandoassimumasec¸ãototalmenteplastiﬁcada.Esse

métodoémaiseﬁcientecomputacionalmenteecapturademaneira

aproximadaoavançodaplastificaçãonasseçõesdoelementoantes

daformac¸ãodarótulaplástica.

Oobjetivo desteartigo épossibilitar, através do método da

rótulaplásticareﬁnado,umamodelagemadequadado

comporta-mentoinelásticodecolunasdeac¸ocomsec¸õescompactasdotipoI,

submetidasàﬂexãoemtornodoeixodemenorinércia.Embora

nãosejausual,colunascomﬂexãoemtornodesseeixoapresentam

benefíciosimportantescomoacapacidadededesenvolvertodaa

suaresistênciaplásticasemaocorrênciadaﬂambagemlateralpor

torc¸ão[8,9].Alémdisso,paraperﬁsdeabaslargas,ofatordeforma

éaproximadamente35%maiorqueoreferenteaoeixodemaior

inércia[10].Ressalta-seaindaqueaﬂexãoemtornodoeixomais

fraconãoéalvodemuitosestudoseumaanáliseinelásticanessa

situac¸ãorequertécnicasadequadas.Estetrabalhovemcontribuir

exatamentecomoestudodetaistécnicas.

Paraatenderao objetivoproposto, foiimplementadono

sis-temacomputacionalComputationalSystemforAdvancedStructural

Analysis(CS-ASA)[11]aequac¸ãoparaomódulotangentesugerida

porZiemianeMcGuire[5].Nessaequac¸ãoadegradac¸ãoda

rigi-dezdaseçãovariaemfunçãodoesforçonormal edomomento

ﬂetoremtornodoeixodemenorinércia.Tambémempregam-se

superfíciesderesistência[9,12,13]queavaliamdemaneira

ade-quadaainteraçãoentreesforçonormalemomentofletornoeixo

demenorinércia.Avalidac¸ãodessasestratégiaséfeitacoma

aná-lisedecolunasisoladasepórticoscommembrosﬂetidosemtorno

doeixodemenorinércia.Osresultadosobtidossãocomparados

comsoluc¸õesanalíticasousoluc¸õesnuméricasencontradascom

ométododazonaplástica.Nestetrabalho,osefeitosdesegunda

ordemsãosimuladosatravésdeequac¸õesdesacopladasderigidez

eametodologiadesoluc¸ãonãolinearébaseadanoempregodo

métododeNewton-Raphsonacopladoaestratégiasdecontinuac¸ão.

2. Métododarótulaplásticareﬁnado

Oobjetivo do métododa rótula plásticareﬁnado écapturar

oavançodaplastificaçãonaseçãotransversal desdeoiníciodo

escoamentoatésuaplastificaçãototalcomaformaçãodarótula

plástica.Paraatenderesseobjetivo,ométodopossuialgumas

estra-tégiasfundamentais.Asequac¸ões dassuperfíciesderesistência,

porexemplo,sãoresponsáveispordetectaraformac¸ãodasrótulas

plásticas.Omódulodeelasticidadetangente,porsuavez,captura

a degradaçãodarigidez da seçãotransversaldevido ao esforço

normal.Destacam-setambémasformulac¸õesadotadaspara

con-siderarosefeitosdesegundaordemeastensõesresiduais.Todas

essasestratégiassãodescritascommaisdetalhesnassubsec¸ões

seguintes.

2.1. Superfíciesderesistência

Nocontextodométododarótulaplásticareﬁnado,as

superfí-ciesderesistênciasãoresponsáveispordeﬁniroinstanteemque

ocorreaformaçãodarótulaplástica,ouseja,aplastificaçãototalda

seção.Essadefiniçãoéfeitaapartirdaavaliaçãodainteraçãoentre

asforçasinternas(esforçonormalemomentofletor)nasseções

transversais.Ocomportamento domembroestruturalquandoo

momento ﬂetor atua no eixo de menor inércia é ilustrado na

figura1a,naqualxindicaadeformaçãodevidoàflexão.

McGuireetal.[13]propuseramumasuperfícieválidaparaperﬁs

padrãoamericanodepesoleveamédioque,particularmentepara

oeixodemenorinércia,podeserexpressapor:

Mpry=Mpy

−3_p6₊

₉_p12₋₄₍_p2₋₁₎

_/₂ ₍₁₎

sendoMpry o momentoplásticoreduzidoeMpy omomentode

plastificação, ambosemrelaçãoaoeixodemenorinércia.Nessa

equação,péarelaçãoentre oesforçonormal atuanteea força

normaldeescoamento(p=P/Py).

AASCE[12],porsuavez,recomendaautilizac¸ãodaseguinte

expressão: Mpry=1.19

1− P Py

2 Mpy para P Py≥0.4 e Mpry=Mpy para P Py <0.4 (2)

Já a normabritânica BS 5950[9] fornece expressõespara o

momentoplásticoreduzido(Mpr)deperﬁscompactosdotipoIou

H,ecommesasiguais,napresençadeesforçonormal.Emrelação

aoeixodemenorinérciaessasequac¸õessãodadaspor:

Mpry=fy

Zy− A 2 4D

P Py

2 para P Py≤twD/A (3)

(3)

y y z x x M_y P

Δ

x

a

b

Mpry /Mpy P/Py McGuire et al. [13] BS 5950 [9] (W200x46) ASCE [12] D B_f t_w t_f 1 1 -1 -1

Figura1. a)Membroestruturalsubmetidoàﬂexãoemtornodoeixodemenorinércia;b)superfíciesderesistência.

Mpry=fy

A2 8tf

4Bftf A −1

+_PP y

×

1− P Py

para P Py >twD/A (4)

Nasequações(3)e(4),Aéaáreadaseçãodoperfil,twéa

espes-suradaalma,tféaespessuradamesa,BféalarguradamesaeD

éaalturadaseçãodoperfil,comomostradonafigura1b.Otermo

Zyéomóduloplásticodasec¸ãoemrelac¸ãoaoeixodemenor

inér-cia.Naﬁgura1btambémsãoilustradasassuperfíciesderesistência

obtidasconformeasequac¸õesapresentadasanteriormente.

2.2. Módulodeelasticidadetangente

Omódulodeelasticidadetangentecaptura,demaneira

aproxi-mada,areduçãodarigidezdaseçãodoelementodevidoaoesforço

normal.Asequac¸õesderesistênciaparacolunasdoAISC[8]deﬁnem

avariac¸ãodomódulotangentecomo:

Et E =1.0 para P≤0.39Py e Et E =−2.7243 P Pyln

P Py

paraP>0.39Py (5)

emqueEéomódulodeelasticidadedo material,Péoesforc¸o

normalatuante,ePy éoesforc¸onormal deescoamento.Nessas

equac¸õesestãoincluídososefeitosdasimperfeic¸õesiniciaise

tam-bémdastensõesresiduais.Noentanto,sósãoválidasparaesforc¸os

normaisdecompressão (P<0).Para esforc¸osnormaisdetrac¸ão

(P>0)podem-seutilizarasequac¸õesderesistênciaparacolunas

propostaspeloCRC[14],quesãodadaspor:

Et E =1.0 paraP≤0.5Py e Et E = 4P Py

1−_PP y

paraP>0.5Py (6)

Ressalta-se que as equac¸ões (5) e(6) consideram de forma

implícitaosefeitosdastensõesresiduais.ZiemianeMcGuire[5]

propuseramumamodificaçãonasequaçõespropostaspelo CRC

[14]naqualomódulodeelasticidadetangentevariaemfunc¸ão

doesforc¸onormale,também,domomentodeﬂexãoemtornodo

eixomaisfraco.Nessecaso,tem-se:

Et=E, emque,=min

1.0 (1+2p)

1−

p+ˇmy

(7) com: p=max(P/Py,(0.5−ˇmy)/2 emy= _MMy Py (8)

Nasequac¸õesanterioresotermo␤éumvalorempírico,que

emanálisesinelásticasdesegundaordeméconsideradoiguala

0,65paraaﬂexãoemtornodoeixodemenorinércia,comopropõe

ZiemianeMcGuire[5].Naequac¸ão(8)MyeMPysãoomomento

ﬂetoratuanteeomomentoplástico,ambosemrelac¸ãoaoeixode

menorinércia.

2.3. Tensõesresiduais

Conformemencionadonasec¸ãoanterior,osefeitos causados

pelastensõesresiduaissãoconsideradosdemaneiraimplícitano

cálculo do módulo de elasticidade tangente. Porém, essas

ten-sõestambémpodemserexpressasdeformaexplícita,seguindo

recomendac¸õesnormativas.OEuropeanConventionforConstruction

Steelwork(ECCS)[15],porexemplo,consideraumavariac¸ãolinear

datensãoresidualnasec¸ãotransversaldoperﬁl,como

apresen-tadonaﬁgura2a,equeseuvalormáximodependedarazãoentre

aalturaealarguradasec¸ão.Valedestacarqueestetrabalhosegue

asrecomendac¸õesde[15],porém,consideraqueosvalores

máxi-mosdatensãoresidualobedec¸amasrelac¸õesfr/fy=0,5(D/Bf≤1,2)

efr/fy=0,3(D/Bf>1,2),emquefréatensãoresidualefyéatensão

deescoamento[3].Comoserámostradoadiante,atensãoresidual

afetaráadeterminac¸ãodomomentodeiníciodeescoamentoda

sec¸ãoMer.AnormaAISC[8],porsuavez,recomendaquea

ten-sãoresidualdecompressãonasmesassejatomadaiguala30%da

tensãodeescoamentodoac¸outilizado.

2.4. Efeitosdesegundaordem

Quandoocorremgrandesdeslocamentos,adeﬂexãolateralde

ummembropode levaraoaparecimento demomentosﬂetores

adicionaisdevidoàpresenc¸adeesforc¸onormal,quedãoorigem

aosefeitosdesegundaordem.Nopresentetrabalho,parasimular

essesefeitosutilizam-seequac¸õesdesacopladasderigidez

oriun-dasdaformulac¸ãogeometricamentenãolinearpropostaporYang

eKuo[16].Autilizaçãodessasequaçõesserámostradanaseção

(4)

D B_f 0.5 0.5 0.5 + 0.5 0.5 0.5 + _ _ _ _ + _ 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 _ _ _ + + + + + 1.2 B_f 0.5 para D = ≤ f_y f_r fr fy=0.3 para DBf>1.2 a b i j P, δ Mj,θj Mi, θi _ψ i ψj

Figura2.a)Distribuic¸ãodastensõesresiduaisnosperﬁsrecomendadapeloECCS;

b)forc¸asedeslocamentosnodaisdoelementoﬁnitonosistemacorrotacional.

3. Modelagemnumérica

As análises estruturais realizadas neste trabalho foram

fei-tasatravésdo sistemacomputacionalCS-ASA[11].Paraatender

aos objetivos propostos, o código foi expandido com novas

implementac¸õesepossibilidadesdeanáliseestrutural.Nestasec¸ão

apresenta-seamodelagemnuméricaparaanáliseinelásticaeas

principaisintervenc¸õespropostasnestapesquisa.

3.1. Hipótesesassumidas

Asseguintes hipótesessão consideradas na modelagem das

estruturas:

•todoselementos são inicialmenteretos e prismáticos,e suas

sec¸õestransversaispermanecemplanasapósadeformac¸ão;

•osperﬁssãocompactosdeformaqueasec¸ãopossa

desenvol-vercapacidadetotalderotac¸ãoplásticasemquehajaﬂambagem

local;

•grandesdeslocamentoserotac¸õesdecorporígidosão

permiti-dos;

•encurtamento axial devido à curvatura oriunda de ﬂexão no

membroédesprezado;

•osefeitosdedeformac¸ãoporcortanteserãodesprezados.

Utiliza-seoelementoﬁnitodepórticoplanodelimitadopelos

pontosnodais iej,commolas ﬁctíciasnas extremidades.Esse

elementoéapresentadonaﬁgura2bconsiderandoosistema

cor-rotacional.Nessamesmaﬁgurapodeservistooparâmetro␺,que

estáassociadocomoníveldeplastiﬁcac¸ãonosnóseserádetalhado

aseguir.

3.1.1. Formulac¸ãoinelástica

Assume-sequeodesenvolvimentodaplasticidadenos

mem-brosestruturais sejasimuladoatravésdeumapseudomolacom

rigidezrotacionalvariável.Paraacompanharadegradac¸ãoda

rigi-dezdasec¸ãotransversalnospontosnodaisdoelementoutiliza-seo

parâmetro␺,queassumevalorunitárioquandooelementoestáno

regimeelásticoeseanulaquandoocorreaformac¸ãodeumarótula

plástica.Considerandoesseparâmetro,arigidezdamoladenotada

porSséexpressacomo:

Ss=6_LEI₁₋ (9) M_y/M_py 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 P/P y McGuire et al. [13] BS 5950 [9] (W200x46) ASCE [12] fr/fy = 0,5 Superfícies de resistência(Mpr/Mp) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 (Mer/Mp) Superfície de Início de escoamento

Figura3.Superfíciesdeiníciodeescoamentoederesistênciaplástica.

emqueEémodulodeelasticidade,IéomomentodeinérciaeLé

comprimentodoelementodeviga-coluna.

Aexpressãousadaparadeﬁnir␺é[3]:

=

Mpr−M

+

M−Mer

(10)

sendoMeromomentodeiníciodeescoamentoeMpromomento

deplastiﬁcac¸ão.Omomentodeiníciodeescoamentoédadopor:

Mer=

fy−fr−P/A

W (11)

noqualfyéatensãodeescoamento,fréatensãoresidual,Aéa

áreadasec¸ãoeWéomóduloelásticodasec¸ão.Atensãoresidual,fr,

deveseradotadaseguindorecomendac¸õesnormativas,conforme

foidescritonasubsec¸ão2.3.

Omomentodeplastificaçãoédefinidoconformeaescolhada

superfíciede resistênciaa ser utilizada.Assuperfíciesadotadas

nestetrabalhoforamdetalhadasnasubsec¸ão2.1esãoilustradas

emconjuntocomasuperfíciedeiníciodeescoamentonaﬁgura3.

Para o elemento ilustrado na figura 2b, a relação forç

a--deslocamentoéexpressapor:

⎧

⎨

⎩

P Msi Msj

⎫

⎬

⎭

=

⎡

⎢

⎣

EA/L 0 0 0 Ssi−S_si2(kjj+Ssj)/ˇ (SsiSsjkij)/ˇ 0 (SsiSsjkji)/ˇ Ssj−S2sj(kii+Ssi)/ˇ

⎤

⎥

⎦

⎧

⎨

⎩

ı si sj

⎫

⎬

⎭

ou fc=Kcuc (12)

sendoˇ=(Ssi+kii)(Ssj+kjj)−kjikij.Ossubscritosiejsão

(5)

Tabela1

Parâmetrosdaeq.(16)

Rótulaplástica Parâmetros

C1 C2 ␨1 ␨2

Extremidadei 0 1 ␦Mpr(i) ␦Mpr(i)(kc(3,2)/kc(2,2))

Extremidadej 1 0 ␦Mpr(j)(kc(2,3)/kc(3,3)) ␦Mpr(j)

Extremidadesiej 0 0 ␦Mpr(i) ␦Mpr(j)

decoordenadasutilizado;Aéaáreadasec¸ãotransversal;Léo

com-primentodoelemento;PeMsão,respectivamente,oesforc¸o

normaleomomentoﬂetorincrementais;␦e␪sãoos

incre-mentosdedeformac¸ãoaxialerotac¸ãonodais.

Ostermoskii,kij,kjiekjjsãoresponsáveisporsimularosefeitos

desegundaordemque,nestetrabalho,sãodeﬁnidoscomo[16]:

kii=kjj= 4E_LtI+2₁₅PL e kij=kji= 2E_LtI−PL₃₀ (13)

sendoIomomentodeinércia.Paraatenderoobjetivoproposto

nestetrabalhoforamutilizadasasequac¸õesparaomódulotangente

indicadasporZiemianeMcGuire[5],quedependemdoesforc¸o

nor-maletambémdomomentodeﬂexãoemtornodoeixodemenor

inércia.Como omomentoéavaliadonasextremidades iejdo

elementoﬁnito(ﬁgura2b),ostermosprovenientesdamatrizde

rigidezelásticanaequac¸ão(13)sãorecalculadosconsiderandoque

omódulotangentevarialinearmenteaolongodocomprimentodo

elementoﬁnito,ouseja:

Et(x)=

1−x_L

Et,i+Et,jx_L

(14)

comEt,ieEt,j representandoomódulo tangentemodiﬁcado nas

extremidadesiej,respectivamente.

Usandofunçõesdeinterpolaçãoapropriadas,oscoeficienteskii,

kij,kjiekjjtornam-se: kii=

3Et,i+Et,j

I L + 2PL 15; kij=kji=

Et,i+Et,j

I L − PL 30; kjj=

Et,i+3Et,j

I L + 2PL 15 (15)

Aequac¸ão(12)éválidaatéasforc¸asinternasatingirema

resis-tênciaplásticadaseção.Daíemdiante,comaseçãojáplastificada,

oaumentodeesforc¸onormal,porexemplo,fazcomquea

resistên-ciadasec¸ãosetornemenorqueasforc¸asquenelaatuam.Assim

sendo,umaalteraçãonarelaçãoforça-deslocamentoénecessária

paraqueasequac¸õesderesistênciaplásticadasec¸ãonãosejam

violadas.Essaalterac¸ãoéescritacomo:

⎧

⎨

⎩

P Mi Mj

⎫

⎬

⎭

=

⎡

⎣

EA/L 0 0 0 _C1K22 0 0 0 C2K33

⎤

⎦

⎧

⎨

⎩

ı i j

⎫

⎬

⎭

+

⎧

⎨

⎩

0 1 2

⎫

⎬

⎭

ou fc=Kchuc+fps (16) naqualK22=kc(2,2)−kc(2,3)kc(3,2)/kc(3,3)eK33=kc(3,3)−kc(2,3)kc(3,2)/

kc(2,2),sendokc(m,n) otermocorrespondenteàlinhameàcoluna

nnamatrizderigidezKc(equac¸ão12).Ovetorfpséovetorde

correçãodosesforçosinternoseoscoeficientesC1,C2,␨1e␨2são

deﬁnidosnatabela1deacordocomaextremidadeondeseforma

arótulaplástica.

Natabela1␦Mprindicaareduc¸ãonecessárianomomentoﬂetor

M,paraqueomesmoretorneàsuperfíciederesistência,mantendo

Tabela2

Notac¸ãoadotadaparaomódulodeelasticidadetangente

Notação Descrição/Equação

Et0 MódulodeelasticidadeE

Et1 AISC[8]eCRC[14]:equac¸ões(5)e(6)

Et2 CRC[14]:equac¸ão(6)

Et3 ZiemianeMcGuire[5]:equac¸ões(7)e(8)

oesforçonormalPfixo.Atransformaçãodasequações(12)e(16)

paraosistemaglobaldecoordenadasédetalhadaemSilva[11].

4. Soluc¸ãonumérica

Nocontextodo métododoselementosﬁnitos,acondic¸ãode

equilíbriodosproblemasestruturaisinelásticos estudadosneste

trabalhopodeserexpressacomo:

F_i(U_,P_, )∼₌F_r (17)

emqueFirefere-seaovetordeforc¸asinternas,queéumafunc¸ão

nãolineardosdeslocamentosnodaisU,etambémdependedos

esforc¸osnormaisnosmembros,P,edoparâmetroquecontrolaa

plastificaçãodaseção,␺.Oladodireitocaracterizaovetordeforças

externas, no qual ␭ éo parâmetro de carga e Fr éo vetor de

forc¸asexternasdereferência.

Asoluc¸ãodaequac¸ão(17)éobtidanestetrabalhoatravésde

umprocessoincrementaleiterativo.Esseprocessoéorganizado

em 2 etapas fundamentais: primeiramente, a partir da última

conﬁgurac¸ãodeequilíbriodaestrutura,monta-seamatrizde

rigi-deztangenteKeseleciona-seoincrementoinicialdecarga␭0_,

ondeseprocurasatisfazeralgumaequac¸ãoderestric¸ãoimpostaao

problema.Comovalorde␭0_,_determina-se_o_incremento_inicial

dosdeslocamentosnodais,U0_._Os_valores_de_␭0_e_U0

carac-terizamachamadasoluc¸ãopreditaque,aprincípio,nãosatisfaza

equac¸ão(17),poisFiéumafunc¸ãonãolineardosdeslocamentos.

Porisso,numasegundaetapa,éfeitaacorrec¸ãodessasoluc¸ão

pre-ditaatravésdoprocessoiterativodeNewton-Raphsonacopladoàs

técnicasdecontinuac¸ão,comoocomprimentodearco[17].

5. Exemplosnuméricos

Nestasec¸ãoavalia-seaeﬁcáciadasestratégiasnuméricas

ado-tadasnaanáliseinelásticadecolunasepórticosdeac¸ocomﬂexão

emtornodoeixodemenorinércia.Parafacilitaraapresentac¸ão

dosresultados,usa-seanotac¸ãosimpliﬁcadaindicadanatabela2

parasereferiraosdiferentesmodelosquedescrevemavariac¸ão

do módulo de elasticidade tangente com as forc¸as internas. O

usodomódulodeelasticidadeconstanteépossível,etambémestá

indicado.

5.1Colunaengastada-livre

Sejaacolunaengastada-livresubmetidaaumacargavertical

permanentePeumacargahorizontalvariávelHaplicadanoplano

dasec¸ãotransversal,perpendicularmenteaoeixodemenorinércia,

conformeilustraaﬁgura4a.Esseexemplotambémfoianalisadopor

Zubydan[6]paravalidarsuasformulac¸õesnuméricas.

Investigou-se o comportamento da coluna para 3 níveis do

carregamentopermanenteP:20%,40%e60%dacargaaxialde

esco-amento,Py.Controlandoodeslocamentohorizontalunotopoda

colunaforamobtidasastrajetóriasdeequilíbrioapresentadasna

ﬁgura4b.Osvaloresobtidosparaa cargahorizontaldecolapso

sãosumarizadosnatabela3paraosdiferentesmodelosdemódulo

tangenteeníveisdecarregamento.

Paravalidarosresultadosencontradossãoempregadassoluc¸ões

(6)

P H 3 m Perfil W12 x 106 E = 200000 MPa f_y = 275 MPa

a

b

0 0,04 0,08 0,12 0,16

Deslocamento horizontal u (m)

0 20 40 60 80 100 Ca rg a L a ter al H (kN ) Zubidan [6] E_t0 E_t1 E_t2 E_t3 P/Py = 0,2 P/Py = 0,4 P/Py = 0,6 Presente Trabalho P H u

Figura4.a)Colunaengastada-livre;b)trajetóriasdeequilíbrioparaacolunaengastada-livre.

Tabela3

ValoresobtidosparaacargahorizontaldecolapsoH

Módulodeelasticidadetangente CargadecolapsoH(kN) P/Py=0,2 P/Py=0,4 P/Py=0,6

Et0 88,50 61,44 29,72

Et1 88,50 61,44 28,18

Et2 88,50 61,44 28,18

Et3 81,88 41,97 9,69

tensões residuais foram estabelecidas seguindo o modelo de

variac¸ãorecomendadopelo EuropeanConventionfor

Construc-tionSteelwork(ECCS)[15].A superfíciede resistênciaproposta

porMcGuireetal.[13]foiescolhidaeosresultadosforamobtidos

variandoomodelorepresentativodomódulotangente.

Analisandoastrajetóriasencontradaseosvaloresobtidosna

tabela3, pode-seconcluirqueo módulo tangenteEt3 éo mais

eﬁcaznaprevisãodacargalimite.Osoutrosmodelos

superesti-mamacargalimite,principalmenteparaosvaloresmaiselevados

darelac¸ãoP/Py.Sendo assim,mantendoomódulo tangenteEt3

foifeitaoutraanálisevariando-seassuperfíciesderesistência.Os

resultadosobtidosestãorepresentadosnaﬁgura5.Comopodeser

constatado,osresultadossãobempróximosparaas3superfícies

deresistênciaestudadas.

5.2Colunabiapoiada

Nesteexemploavalia-seumacolunabiapoiadacomumacarga

axialpermanentePemomentoﬂetorvariávelatuandonas2

extre-midades,conformeilustraaﬁgura6a.Aﬂexãodacolunaocorreem

tornodoeixodemenorinércia.Dezelementosﬁnitossãousados

nadiscretizac¸ãodacoluna.Osdadosdomaterialedasec¸ão

trans-versaltambémsãomostradosnaﬁgura6a.Nasanálises,utiliza-se

asuperfíciederesistênciarecomendadapelanormaBS5950[9]

eéadotadaavariac¸ãolineardatensãoresidualindicadanoECCS

[15].

Ascurvasdeinteraçãoentremomentofletoreesforçonormal

obtidasparaessacolunasãoilustradasnaﬁgura6b.Oestudofoi

feitoconsiderandooparâmetrodeesbeltezL/ry(sendoLo

com-primentodacolunaery oraiodegirac¸ão)iguala 40,80e120.

Deslocamento horizontal u (m) 0 20 40 60 80 100 Ca rga L ate ral H (k N)

Zubidan [6]: zona plástica McGuire et al. [13] BS-5950 [9] ASCE [12] P/Py= 0,6 Presente trabalho P H u 0 0,04 0,08 0,12 0,16 P/Py= 0,4 P/Py= 0,2

Figura5.Trajetóriasdeequilíbrioparadiferentessuperfíciesderesistência.

SãofeitasanálisesadotandoosmódulostangentesEt1eEt3.Coma

ﬁnalidadedevalidarosresultados,empregam-sesoluc¸ões

analíti-casdesenvolvidasporKanchanalaieLu[10]esoluc¸õesnuméricas

indicadasporZubidan[6].Observa-seque,paraL/ry=120,aose

utilizaromódulotangenteEt1,obtém-seumacurvadeinterac¸ão

quasecoincidentecomasoluc¸ãoanalítica.Porém,para

parâme-trosdeesbeltezmenores,aresistênciadacolunaésuperestimada.

Porsuavez,omódulotangenteEt3,emtodasassituac¸ões,fornece

(7)

a

b

P L M M P M/M_p 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 P/P y

Kanchanalai e Lu [10]: solução analítica Zubidan [6]: zona plástica

E_t1 E_t3 L/r y = 40 Presente trabalho P M M P Perfil UC 305 x 305 x 158 E = 200000 MPa fy = 275 MPa L/r y = 80 L/r y = 120 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Figura6.a)Colunabiapoiada;b)curvasdeinterac¸ãodacolunabiapoiadacommomentonas2extremidades.

E = 200000 MPa fy = 345 MPa

W24x55

W 6x9 W8x40

Vigas: flexão em torno do eixo de maior inércia

Colunas: flexão em torno do eixo de menor inércia W 14x90 W30x99 W36x160 W 14x90 W14x90 W8x24 71,45λ KN/m 6,10 m 4,57 m W30x995 14,63 m 6,10 m 153,13λ KN/m

Figura7.Pórticode2andares:geometriaecarregamento.

quandocomparadasàsoluc¸ãoobtidaporZubidan[6],queusouo

métododazonaplástica.

5.3Pórticode2andares

Opórticode2andaresmostradonaﬁgura7foianalisadopor

ZiemianeMiller [18] através dos métodosda rótula plástica e

zonaplástica.Opórticoestásubmetidoacargasuniformemente

distribuídasqueatuamnasvigas.Informac¸õessobreageometria,

omaterialeosperﬁsutilizadostambémsãofornecidosnaﬁgura

indicada.Adotaram-se4elementosﬁnitosemcadamembro

estru-tural.

Naﬁgura8émostradaavariac¸ãododeslocamentohorizontalt

notopodaterceiracolunaàdireitacomocarregamento.

Adotou--seasuperfíciedanormaBS5950[9].Acomparac¸ãoéfeitacom

osresultadosobtidosporZiemianeMiller[18]comoprograma

NIFA[1].Ressalta-se,maisumavez,aeﬁciênciadomóduloEt3na

simulac¸ãodocomportamentoinelásticodopórticode2andares,

produzindoresultadosbastantepróximosdaquelesobtidoscomo

métododazonaplástica.Ofator decargalimiteencontradoem

cadacasoanalisadoéapresentadonatabela4.

UtilizandoomódulotangenteEt3tambémseobteveavariac¸ão

dasforçasinternas(esforçonormalemomentofletor)

desenvol-vidasnassec¸õestransversaisdaestruturaduranteoprocessode

carregamento,comoilustraa ﬁgura9.Assec¸õesescolhidas são

mostradasnessamesmaﬁgura.Analisandoosresultados,nota-se

quenasec¸ãoa(viga)apenasomomentoﬂetorépredominante.

Δt (cm) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Fator de carga ( λ )

NIFA (Clarke [1]): zona plástica

Et0 Et1 Et2 Et3 Δt Presente trabalho –10 –8 –6 –4 –2 0

Figura8.Trajetóriasdeequilíbriodopórticode2andares.

Tabela4

Fatordecargalimite(␭lim)

Módulo ␭lim Et0 0,981 Et1 0,981 Et2 0,981 Et3 0,868 Zonaplástica[1] 0,860

Na seção b (coluna) tanto o momento fletor quanto o esforço

normal contribuem,evidentemente,para odesenvolvimento da

plastificação.Emambososcasosnãoháaformaçãodarótula

(8)

a

Seção a 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 Mx/Mpx 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 P/P y Superfície de resistência BS 5950 (Perfil W24 x 55) seção a a b Seção b 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 P/P y Superfície de resistência BS 5950 (Perfil W8 x 24) seção b

b

My/Mpy Superfície de início de escoamento Superfície de início de escoamento

Figura9.Distribuiçãodeforçasinternasnasseçõesaebdopórtico.

5 m 5 m 8 x (5 m) = 40 m A B C D E F G H I 20λ KN 20λ KN 20λ KN 20λ KN 20λ KN 20λ KN 20λ KN

Figura10.Pórticotrelic¸ado:geometriaecarregamento.

5.4Pórticotrelic¸ado

Oúltimoproblemaaseranalisadoéilustradonaﬁgura10.

Trata--sedeumpórticotrelic¸adoqueseráreferido,aqui,simplesmente

comotrelic¸a,emboraosnóssejamrígidos.Ocarregamentoaplicado

eageometriadaestruturatambémsãomostradosnaﬁgura10.

Todososmembrosdatrelic¸aestãoorientadosnadirec¸ãodoeixode

menor inércia. Os perﬁs que a compõem, bem comoa tensão

de escoamento em cada um dos membros, são informados na

tabela5.Assume-seomódulodeelasticidadeiguala200.000MPa.

SeguindooestudofeitoporClarke[1]avalia-seatrelic¸a

geo-metricamenteimperfeita comtensões residuais. A deﬁnic¸ãoda

Tabela5

Propriedadesdosmembrosestruturaisdatrelic¸a

Membro Perﬁl Tensãodeescoamento

AeD 250UC72,9 250MPa BeC 200UC52,2 250MPa E,FeH 100UC14,8 260MPa GeI 150UC23,4 260MPa δ0 δ0 _δ₀ δ0 δ0 δ0 δ0 δ0 δ0 δ0/L = 1/1000 20λ KN 20λ KN 20λ KN 20λ KN 20λ KN 20λ KN 20λ KN

Figura11.Pórticotrelic¸adocomimperfeic¸õesgeométricasiniciais.

geometriaimperfeitadessesistemaestruturaltrelic¸adosegueo

modelo propostoporClark [1],em queé assumidauma ﬂecha

máxima␦0=L/1.000nocentrodecadamembroestrutural,como

ilustraa figura11.Destaca-se,entretanto,queessadefiniçãode

imperfeic¸ãolocalizada de cada barra não corresponde o modo

crítico de ﬂambagem do sistema estrutural em estudo.

Deve--setambémesclarecerquearepresentac¸ãodas imperfeic¸õesna

ﬁgura11estáexageradaparafacilitarasuavisualizac¸ão.Adota-se

acurvaderesistênciadanormaBS5950[9]eastensõesresiduais

seguindoavariac¸ãolinearrecomendadapeloECCS[15],citadana

subsec¸ão2.3.Astrajetóriasdeequilíbrioencontradassãoobtidas

controlandoodeslocamentovertical

v

donócentralinferior,como

mostraaﬁgura12.

Observa-seque,parafatoresdecargainferioresàunidade,as

trajetóriasobtidascomos4modelosdomódulotangente

coin-cidemeestãopróximasdacurvaencontradaporClarke[1].Para

valoressuperiores,oresultadoobtidocomomóduloEt3 comec¸a

adivergir,fornecendoumfatordecargamaisconservador.Aliás,

comoosmódulostangentesEt0,Et1eEt2forneceramcurvas

(9)

80 60 40 20 0 Deslocamento vertical, v (mm) 0 0,5 1 1,5 2 2.5 Fator de carga ( λ)

NIFA (Clarke [1]): zona plástica (λlim = 1,93)

Presente trabalho 20λ KN 20λ KN 20λ KN 20λ KN 20λ KN 20λ KN 20λ KN v Et0 (λlim = 1,90) Et1 (λlim = 1,90) E_t2(_λ_lim = 1,90) Et3 (λlim= 1,77)

Figura12. Trajetóriasdeequilíbriodopórticotrelic¸ado.

79 88 43 98 76 77 80 43 86 78 33 32 4 1 10 1 1 4 98 1

Figura13.Plastificaçãodaseçãotransversal.

nessasanálises.Assim,creditam-seosbonsresultadosobtidoscom

osmesmosàconsiderac¸ãoexplícitadastensõesresiduais.

Paraconcluir,avaliou-seograudeplastiﬁcac¸ãodosmembros

daestruturanoinstantedecolapso,comoilustradonaﬁgura13.

Ograudeplastificaçãoestabeleceumainformaçãoútilreferente

à localizac¸ão de sec¸ões críticas ou regiões com alto grau de

plastiﬁcac¸ãonossistemasestruturais[11].Esseíndiceécalculado

pelaseguinterelac¸ão:

p(%)=100

M−Mer Mpr−Mer

,paraMer≥M≥Mpr (18)

sendoMeromomentodeiníciodeescoamentoeMpromomento

plástico reduzido, já explicados na subsec¸ão 3.2. Na ﬁgura 13,

observa-seque atrelic¸a imperfeitaatingeacargacríticasemo

desenvolvimentoderótulasplásticas.Porém,hásec¸õesquesão

indicadasnoscírculoshachuradosqueapresentamaltoíndicede

plastiﬁcac¸ão.

6. Conclusões

No presente trabalho foram apresentadas metodologias

que permitem a modelagem do comportamento inelástico de

estruturas de ac¸o, com destaque para situac¸ões onde ocorre a

ﬂexãodo membroemtorno doeixo demenorinércia.Os

efei-tos de segunda ordem e das tensões residuais também foram

considerados.

Apósaanálisedasestruturasaquiapresentadas,conclui-seque

autilizac¸ãodesuperfíciesderesistênciaespecíﬁcaspara

represen-taroestadolimitedasec¸ãotransversal[9,12,13],emcombinac¸ão

com o módulo tangente proposto por Ziemian e McGuire [5]

(equação7),éeficienteenecessária.Essaafirmaçãosejustifica,

pois,emgeral,osresultadosobtidosestiveramemconcordância

comassoluc¸õesanalíticasounuméricasencontradasnaliteratura.

Os bonsresultados obtidoscomomódulo tangente

supraci-tado[5],quevariacomaforc¸anormalemomentoﬂetoremtorno

do eixo de menorinércia, ﬁcaram evidentes através daanálise

dastrajetóriasdeequilíbrioecurvasdeinterac¸ãodasestruturas

investigadas.Houveuma melhoriaconsiderável naprecisãodos

resultadosemrelac¸ãoàsanálisesfeitascomoutrosmodelospara

essemódulo,queemgeralsuperestimaramacargacríticada

estru-tura.

Porﬁm,oêxitonosresultadosobtidosgaranteapossibilidade

deserealizarumaanáliseinelásticaconﬁávelerealísticaseguindo

osprocedimentosnuméricospropostos.

Agradecimentos

Os autores agradecemàs agências defomento CNPq,CAPES

e FAPEMIG (estado de Minas Gerais) o apoio recebido para a

realizac¸ãodestetrabalho.

Bibliograﬁa

[1]M.J.Clarke,Plasticzoneanalysisofframes,in:W.F.Chen,S.Toma(Eds.), Advan-cedanalysisofsteelframes:Theory,software,andapplications,CRCPress,Boca Raton,1994,pp.259–319.

[2]A.R.Alvarenga,AsLigaçõesSemirrígidasnaAnáliseAvançadacomZonaPlástica dePortaisPlanosdeAço,TesedeDoutorado,ProgramadePós-Graduaçãoem EngenhariaCivil,Deciv/EM/UFOP,OuroPreto,MG,Brasil,2010.

[3]S.L.Chan,P.P.T.Chui,Non-linearStaticandCyclicAnalysisofSteelFrameswith Semi-RigidConnections,Elsevier,Oxford,2000.

[4]J.Y.R.Liew,D.W.White,W.F.Chen,Second-orderreﬁnedplastichingeanalysis forframedesign:Part1,J.Struct.Div.119(11)(1993)3196–3216.

[5]R.D.Ziemian,W.McGuire,Modiﬁedtangentmodulusapproach,acontribution toplastichingeanalysis,ASCE,J.Struct.Eng.128(10)(2002)1301–1307. [6]H.A.Zubydan,Inelasticsecondorderanalysisofsteelframeelementsﬂexed

aboutminoraxis,Eng.Struct.33(2011)1240–1250.

[7]W.F.Chen,S.E.Kim,LRFDSteelDesignusingAdvancedAnalysis,CRCPress,Boca RatonFlórida,1997.

[8]AISC,SpeciﬁcationforStructuralSteelBuildings.Chicago,2005.

[9]BS5950,StructuralUseofSteelworkinBuildings—Part1:Codeofpractice fordesign—Rolledandweldedsections.BritishStandardsInstitution,London, England,2000.

[10]T.Kanchanalai,L.W.Lu,Analysisanddesignofframedcolumnsunderminor axisbending,AISCEng.J.16(2)(1979)29–41.

[11]A.R.D.Silva,SistemaComputacionalparaaAnáliseAvanc¸adaEstáticae Dinâ-micadeEstruturasMetálicas,TesedeDoutorado,ProgramadePós-Graduac¸ão emEngenhariaCivil,Deciv/EM/UFOP,OuroPreto,MG,Brasil,2009.

[12]ASCE,PlasticDesigninSteel,AGuideandCommentary.ASCEManualNo.41 NewYork,1971.

[13]W.McGuire,R.H.Gallagher,R.D.Ziemian,Matrixstructuralanalysis,2ndEd., Wiley,NewYork,2000.

[14]T.V.Galambos,Guidetostabilitydesigncriteriaformetalstructures,in: Struc-turalStabilityResearchCouncil,4thedn.,JohnWiley&Sons,Inc,NewYork, 1998.

[15]ECCS,UltimateLimitStateCalculationofSwayFrameswithRigidJoints,Pub. no.33,EuropeanConventionforConstructionalSteelwork,1983.

[16]Y.B.Yang,S.B.Kuo,Theory&analysisofnonlinearframedstructures,Prentice Hall,1994.

[17]M.Ritto-Correa,D.Camotim,Onthearc-lengthandotherquadraticcontrol methods:Established,lessknownandnewimplementationprocedures, Com-put.Struct.86(2008)1353–1368.

[18]R.D.Ziemian,A.R.Miller,Inelasticanalysisanddesign:Frameswithmembers inminor-axisbending,ASCEJ.Struct.Eng.123(2)(1997)151–156.