QÜESTIONS i PROBLEMES D ESTADÍSTICA (PRIMERA PART)

UNIVERSITAT DE VALÈNCIA

DIPLOMATURA EN CIÈNCIES EMPRESARIALS

QÜESTIONS i PROBLEMES D’ ESTADÍSTICA

(PRIMERA PART)

ESTADÍSTICA (PRIMER CURS)

GRUPS O, P, Q, S,SS, V

CURS 2001/2002

Tema 2: Análisis de Datos Unidimensionales

2.1.- En una empresa se desea realizar un estudio sobre las condiciones de trabajo, por lo que se somete a los empleados a una encuesta. Para ello se ordenan de menor a mayor antigüedad y se decide dividirlos en dos grupos, por un lado el 50% más antiguos y por otro el 50% menos antiguos. Sabiendo que la media de años trabajados es de 25 y que la mediana es de 18 años, ¿cuál de estas dos cifras se utilizará para dividir los dos grupos y por qué?

2.2.- Una empresa tiene clientes en las tres provincias de la Comunidad Valenciana. El Departamento de Contabilidad comunica a la Dirección que a los 100 clientes de la provincia de Valencia se les ha facturado una media mensual de 50 millones, a los 50 de Alicante 40 millones y a los 35 de Castellón, 55 millones. ¿Cuál es la facturación media mensual del conjunto de clientes de la Comunidad?

2.3.- En una determinada región la renta per cápita es de 100.000 pts, mientras que en otra que cuenta con el doble de población es de 85.000 pts. Determinar la renta per cápita del conjunto de las dos regiones.

2.4.- La edad media de los votantes a dos partidos políticos A y B es de 40 años. Se sabe que la edad media de los votantes del partido A es de 45 años y que éste cuenta con el doble de votantes que el partido B. Calcúlese la edad media de los votantes de B.

2.5.- Un empresario es propietario de una cadena de tiendas de ropa, dos de ellas están situadas en una misma ciudad, pero en dos zonas diferentes. ¿Cómo puede analizarse en qué tienda hay mayor regularidad en las ventas diarias? Escribir la expresión del indicador propuesto.

2.6.- Una multinacional tiene tres empresas una en Alemania, una en el Reino Unido y otra en Suecia. Los costes medios de producción expresados en dólares son aproximadamente iguales. Las desviaciones típicas son, respectivamente, 76 miles de marcos alemanes, 30 miles de libras esterlinas y 40 miles de coronas suecas. Explicar, sin realizar ningún cálculo numérico, cómo procedería a comparar la representatividad de los costes medios de las tres empresas.

2.7.-Se ha estudiado el coste del m2 de las viviendas en las localidades A y B. En A se ha obtenido una media de 180 miles de pta y una desviación típica de 30 miles de pta, mientras que en B la media y la desviación típica han sido de 120 miles de pta y de 20 miles de pta, respectivamente. En base a esta información se pide: a) Comparar la variabilidad relativa del coste del m2 de las viviendas en las dos

localidades.

b) Si el número de viviendas censadas en A y en B es de 12000 y de 4000, respectivamente, obtener el coste medio del m2 para las viviendas del conjunto de las dos localidades.

2.8.- Las gasolinas que se vendieron en España durante los últimos cuatro meses registraron un precio medio de 138 pesetas/litro con una desviación típica de 8 pesetas/litro. En el mismo período el precio del barril de petróleo tuvo una media de 24 dólares con una varianza de 4 dólares2. ¿En cuál de los dos mercados, el precio presenta una dispersión relativa mayor?.

2.9.- En una fábrica se han realizado dos estudios sobre la productividad de la misma. La primera investigación asegura que la producción sufrirá un aumento del 15% en el año próximo, mientras que la segunda investigación afirma que el aumento de la producción será de 10.000 unidades sobre el año actual. Sabiendo que la producción media de este año ha sido de 35.000 unidades con una desviación típica de 5.000, indicar qué cambios sufrirán estas cantidades con cada una de las previsiones realizadas.

2.10.- Indicar la utilidad de la tipificación de datos estadísticos y aplicarla a la siguiente situación. Se hace un estudio del peso de las truchas en dos piscifactorías A y B. En la piscifactoría A el peso medio de las truchas es de 220 gr. y la desviación típica 40 gr., mientras que en la piscifactoría B el peso medio es de las truchas es de 273 gr. y su desviación típica de 82 gr. Se coge una trucha de la piscifactoría A, siendo su peso de 300 gr., y otra de la B, siendo su peso de 360 gr., ¿qué trucha tiene menor peso relativo respecto a la población de la que provienen?

2.11.- Se ha estudiado el coste del m2 de las viviendas en las localidades A y B (medido en miles de pesetas). En A se ha obtenido una media de 180 y una desviación típica de 30, mientras que en B la media y la desviación típica han sido de 120 y de 20, respectivamente. Además, se ha escogido una vivienda de tres habitaciones en cada localidad, siendo el coste del m2 de 190 para la de A y de 140 para la de B. En base a esta información se pide: ¿qué vivienda de tres habitaciones presenta un coste del m2 relativo más elevado, la de A o la de B? Justificar la respuesta.

2.12.- ¿Qué medida se puede utilizar para comparar el grado de desigualdad de la distribución de los salarios de los trabajadores del sector privado con respecto a los trabajadores del sector público? ¿Qué se puede concluir en relación con el objetivo anterior si el valor de dicha medida es de 0,476 para los trabajadores del sector privado y 0,279 para los trabajadores del sector público?.

2.13.- En la distribución salarial de una empresa se sospecha de la existencia de poca uniformidad en el reparto ¿Qué coeficiente utilizarías para medir el grado de concentración de dicho reparto?. El valor de este coeficiente para esta empresa es de 0,6; mientras que en otra empresa del mismo sector el valor del coeficiente es de 0,2. ¿En cuál de las empresas la distribución del salario es más equitativa? Razonar la respuesta.

2.14.- Dada la distribución unidimensional (x_i ,n_i) con las siguientes características: N = 50 ; x = 7 ; S2_x =3 4. ; g₀( )x =0 2634.

Obtener dichas medidas para: a) La distribución (x_{i + 2 ; ni}). b) La distribución (20 x_{i ; ni}). c) La distribución (3x_{i -1 ; ni}).

2.15.- Dadas dos distribuciones simétricas y campaniformes, disponemos de la siguiente información de cada una de ellas:

Distribución A Distribución B Me=15 36 S2 A = Mo=20 36 S2 B =

Determínese cuál de las dos distribuciones presenta una mayor variabilidad.

2.16.- La distribución de la renta en un determinado país es la siguiente: Los ricos, que son el 20% de la población, ganan el 65% de la misma y los pobres, el 20% de la población ganan el 3%. Obtener una medida de la concentración de la renta en ese país.

2.17.- Suponiendo que en una empresa hay tres categorías de salarios diferentes y que el 50% de los trabajadores están en la categoría inferior y reciben sólo el 30% del dinero total, mientras que los de los salarios intermedios, que son el 40% del total de trabajadores, reciben el 40% del dinero y los que más cobran reciben el dinero restante, calcular una medida del grado de concentración de este reparto salarial e interpretar el valor obtenido.

2.18.- Se ha observado los ingresos anuales, expresados en miles de Euros, de 20 familias, obteniendo los siguientes valores:

18, 20, 22, 19, 18, 20, 18, 19, 21, 20 20, 21, 18, 20, 21, 19, 20, 21, 18, 20 Se pide:

a) La correspondiente distribución de frecuencias

b) La media, Mediana, moda y cuartiles de la distribución c) Una medida de la dispersíon de la distribución

2.19.- A partir de la siguiente distribución de valores agrupados en intervalos del tramo de renta, en miles de pta, de un grupo de 210 contribuyentes del I.R.P.F., obtener: Intervalos n_i 900-1100 60 1100-1300 20 1300-1500 40 1500-1700 35 1700-1900 35 1900-2100 20

a) La media, la mediana y la moda.

b) La zona centrada que contiene la mitad de las observaciones. c) Una medida de la dispersión de la variable.

2.20.- Dada la siguiente distribución de datos agrupados de las ventas anuales, en millones de pta, de 1000 empresas de un sector. Se pide:

Intervalos n_i 0-50 100 50-100 250 100-200 400 200-400 200 400-800 50

a) Media, Mediana, moda y cuartiles de la distribución b) Una medida de la dispersíon de la distribución

2.21.- En un examen final de estadística, la puntuación media de un grupo de 150 estudiantes fue de 78 y la desviación típica fue 8. En álgebra, sin embargo, la media del grupo fue de 73 y la desviación típica de 7,6.

a) ¿En qué asignatura hubo mayor dispersión absoluta?

b) ¿En cuál de las dos asignaturas hubo menor dispersión relativa?

c) Si un alumno obtuvo una calificación de 75 en estadística y de 71 en álgebra, ¿en qué asignatura fue superior su puntuación relativa?

Sol: a) estadística b) estadística c) álgebra

2.22.- Una multinacional norteamericana posee una planta de producción en España y otra en Francia. En la española hay 9 operarios que ganan 100.000 pesetas mensuales cada uno y un jefe de planta que cobra 150.000 pesetas mensuales. En la francesa hay 18 operarios que perciben 6.000 francos mensuales cada uno y dos técnicos que cobran 9.000 francos mensuales.

Suponiendo el cambio 1 franco = 20 pesetas:

a) ¿En qué planta son más elevados los salarios medios? b) ¿Qué planta presenta menor dispersión salarial?

c) Considerando la totalidad de trabajadores de las dos plantas, estudiar la concentración en el reparto de la masa salarial total, realizando el cambio de francos a pesetas.

Sol: a) planta francesa b) igual c) IG = 0,06

2.23.- El reparto salarial de la empresa A ha sido fruto de largas negociaciones entre sindicatos y patronal, no así el de la empresa B, conseguido tras fuertes movilizaciones de los trabajadores.

Salario (en miles pts) Empresa A Empresa B ] 500, 1500] ]1500, 2000] ]2000, 3000] ]3000, 4000] 50 20 16 4 30 20 12 8

Se pide solucionar los siguientes problemas de los sindicatos:

a) Los representantes de los trabajadores están interesados en saber en cuál de las dos empresas se ha conseguido mayor uniformidad- concentración salarial, que era una de sus reivindicaciones.

b) Los representantes sindicales también están preocupados por saber si respecto a media salarial se ha igualado o no, entre las empresas A y B, la dispersión salarial.

Sol: a) IG_A < IG_B b) g_o(B) > g_o(A)

2.24 Un centro universitario no dispone de suficientes plazas para atender todas las peticiones de ingreso, de tal forma que ha establecido no admitir al 25% de estudiantes que menos puntuación haya obtenido en las pruebas de acceso a la Universidad. La distribución de frecuencias de las puntuaciones de los 1000 estudiantes que han solicitado ingresar en dicho centro son:

Puntuación 5-5,3 5,3-5,5 5,5-6 6-6,5 6,5-7 7-7,5 7,5-8,5 8,5-10

ni 130 120 230 190 140 90 75 25 1000

¿Qué medida estadística indicaría la puntuación a partir de la cuál un estudiante es admitido en dicho centro? Calcular esta medida para esta distribución.

Sol: Primer cuartil. q1=5'5

2.25.- La distribución de ingresos en millones de pesetas de un conjunto de 1000 ciudadanos aparece en la tabla adjunta.

Ingresos Menos de 1'8 1'8 a 3 3 a 4'5 4'5 a 6 Más de 6

Ciudadanos 210 190 350 200 50

Si sólo aquellos cuyos ingresos superen los 3'5 millones tienen obligación de declarar a Hacienda. ¿Qué porcentaje de ciudadanos debe presentar la declaración?

Sol: 51'67%

2.26.- El gasto telefónico de las familias españolas presenta una media de 8000 pesetas al mes con una desviación típica de 4000 ptas/mes. En Francia, por su parte, el gasto familiar medio es de 500 francos y una desviación típica de 300 francos mensuales. La familia García tiene un gasto entorno a 10000 ptas mensuales, mientras la familia Dupond de 650 francos. ¿Cuál de las dos familias tiene un gasto relativamente mayor?.

Tema 3: Análisis de Datos Multidimensionales

3.1.- A partir de la distribución de frecuencias conjunta del número de unidades vendidas de los artículos X e Y se ha obtenido un coeficiente de correlación lineal entre ambas variables igual a 0,6. Sabiendo que el precio de cada artículo es p1 y

p2, respectivamente, ¿cuál sería el valor del coeficiente de correlación lineal entre

las variables que recogen los ingresos por ventas de ambos artículos? Justificar la respuesta.

3.2.- El coeficiente de correlación lineal entre el número de horas que tarda un fontanero en realizar una reparación y el importe de los materiales utilizados es de 0,7. Si el fontanero cobra cada hora de trabajo a 3000 pts. más 500 pts. fijas por desplazamiento, ¿cuál sería el valor del coeficiente de correlación lineal entre el importe por mano de obra y el importe de los materiales? Justificar la respuesta.

3.3.- Si a partir de la distribución de frecuencias conjunta de dos variables estadísticas se calcula el coeficiente de correlación lineal, ¿qué se podría concluir acerca de la existencia o no de independencia entre estas variables? ¿Habría alguna otra forma de obtener conclusiones más determinantes acerca de la independencia? En caso afirmativo indicar cuál.

3.4.- ¿Cómo se podría medir el grado de dependencia o relación entre una variable que indica el tipo de vivienda (piso, apartamento, casa unifamiliar) y otra variable que indica la clase social a la que pertenece la familia (baja, media, alta)?

3.5.- Cinco estudiantes de un grupo se han ordenado en función de las notas obtenidas en Estadística y en Matemáticas. ¿Cómo se podría medir la relación existente entre ambas ordenaciones?

3.6.- Considérese la siguiente estadística bidimensional referida a diez familias:

Familias 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X 100 200 100 300 300 200 100 200 300 100

Y 0 1 1 2 2 2 0 0 1 1

La variable X se refiere a la renta o ingresos mensuales familiares en miles de pesetas, mientras que la variable Y indica el número de automóviles propiedad de la familia. Se pide:

a) Obtener la distribución conjunta de frecuencias, las distribuciones marginales y las distribuciones condicionadas.

b) Calcular el vector de valores medios y la matriz de covarianzas de (X,Y)

c) Calcular el coeficiente de correlación lineal entre X e Y. ¿Cómo sería dicho coeficiente si consideramos los valores de X en pesetas en lugar de miles de pesetas? Sol: b)         6 , 0 40 40 6900 = S 1 190 = mr c) rXY =0,62

3.7.- El propietario de dos restaurantes A y B, sabe que los ingresos medios obtenidos en la última semana fueron 80 y 100 miles de pesetas, respectivamente, siendo sus desviaciones típicas respectivas 20 y 25 miles de pesetas y la covarianza 50 (miles de pesetas)2.

a) Calcular la media y la varianza de la suma de los ingresos de ambos restaurantes.

b) Calcular la media y la varianza de la diferencia de los ingresos de ambos restaurantes.

Sol: a) 180 y 1125 b) -20 y 925

3.8.-Una empresa de informática vende semanalmente una media de 20 ordenadores de un modelo y 10 impresoras, siendo las desviaciones típicas de las ventas de ambos productos iguales a 5 y 2, respectivamente, y asimismo, se ha detectado una relación entre las ventas de ambos productos, cuantificada por un coeficiente de correlación lineal igual a 0.8. El precio unitario al que se venden los ordenadores es de 100 unidades monetarias y el de las impresoras es de 50 unidades monetarias, siendo los costes fijos en los que incurre la empresa de 1000 unidades monetarias. Si definimos BENEFICIO=INGRESOS - COSTES, obtener la media y la varianza del beneficio semanal de la empresa por la venta de ambos productos.

Sol: 1500 y 340.000

3.9.- Con los siguientes datos de dos categorías de rentas y dos valoraciones de la opinion acerca de la reforma del I.R.P.F.:

Renta/Valoración Positiva Negativa o_indiferente

Hasta 200000 pts./mes 5 10

Más de 200000 pts./mes 13 21

a) ¿qué coeficiente que mide el grado de asociación se puede calcular? b) interpretar dicho coeficiente.

Sol: a) Cp = 0,0468

3.10. La ordenación de la contribución al PIB nacional de cinco comunidades autónomas fue: Comunidades 1989 1999 A 1ª 2ª B 3ª 5ª C 2ª 4ª D 4ª 1ª E 5ª 2ª

¿Podría medirse la graduación del cambio habido en este período? En caso afirmativo, calcular y analizar el coeficiente correspondiente. Explicar las operaciones previas a su cálculo.

Sol: rs = - 0,275

3.11 De un colectivo de 100 personas se ha observado que 30 de ellas están en paro. Los padres de 11 de estas personas tampoco tienen empleo. Estúdiese si el paro es un fenómeno que se reproduce dentro de las familias, teniendo en cuenta que de las 100 personas observadas, 40 tienen padres en situación de desempleo.

Tema 4: Regresión Lineal

4.1.- ¿Qué medida estadística se debería utilizar para saber si vale la pena o no plantear un modelo de regresión lineal entre dos variables? Justificar la respuesta.

4.2.- Indicar razonadamente si es correcta la siguiente afirmación: en un ajuste lineal mínimo-cuadrático el coeficiente de correlación lineal coincide con la medida de bondad de ajuste.

4.3.- En un ajuste lineal mínimo-cuadrático se ha obtenido una varianza residual igual a 0. ¿Qué implicaciones tiene este resultado sobre la bondad del ajuste efectuado y sobre el coeficiente de correlación lineal? Justificar la respuesta.

4.4.- En una distribución bidimensional (X,Y), la recta de regresión mínimocuadrática de Y respecto a X es Y*=3+bX, el coeficiente de determinación es R2_{=0, el vector de medias y la matriz de varianzas-covarianzas son,}

respectivamente: m =r 2 y V = 9    _       S S xy xy 16

. Obtener el valor de la pendiente b, completar el vector de medias y la matriz de varianzas-covarianzas e indicar qué se puede afirmar acerca de la correlación lineal entre ambas variables. ¿Se puede afirmar que son independientes ambas variables?

4.5.- Se ha ajustado un modelo de regresión lineal por el método mínimo-cuadrático a unos datos estadísticos y a partir de dicho modelo se ha realizado una predicción, ¿a qué estaría sujeta la fiabilidad de dicha predicción?

4.6.- Un traductor duda entre facturar su trabajo por el número de páginas traducidas o por el número de horas invertidas en la traducción. Revisando los trabajos del año anterior, ha obtenido las siguientes medidas descriptivas:

varianza (importe facturado)=36

varianza (nº de páginas)=25 covarianza (importe facturado,nº de páginas)=28 varianza (nº de horas)=16 covarianza (importe facturado, nº de horas)=22 ¿Qué regresión lineal minomocuadrática se ajustaría mejor al importe de los trabajos, la que utiliza como variable explicativa el número de horas invertidas o la que utiliza el número de páginas?

4.7.- En una zona de gran atracción turística se pretende realizar una regresión lineal mínimo cuadrática, Y*= a+bX, del gasto familiar en alquiler mensual (Y, en miles de pesetas) respecto de la renta familiar (X, en miles de pesetas).

Comentar el significado estadístico que tendría la obtención de una pendiente negativa e indicar si dicho resultado sería razonable desde un punto de vista económico.

4.8 De una distribución bidimensional (X,Y) se conoce su vector de medias y su matriz de varianzas-covarianzas         25 10 10 16 = S 1 10 = mr

Dos estudiantes A y B han realizado ajustes minimocuadráticos de Y sobre X. El estudiante A ha efectuado un ajuste lineal y B ha ajustado una parábola, Y

*

¿Qué ajuste es mejor, el lineal de A o el parabólico de B?

4.9.- Durante los últimos cuatro años, los gastos en publicidad y las ventas de una empresa ( en millones de pesetas) han sido:

Gastos Ventas

1 100

1.3 126

1.7 180

2 210

a) realizar un ajuste lineal minimocuadrático de las ventas de la empresa en función de los gastos en publicidad.

b) si en el quinto año la empresa ha previsto tener unos gastos de 2,17 millones de pesetas, y suponiendo que las condiciones de mercado no se alterarán, ¿qué ventas obtendrá dicha empresa?

c) ¿con qué fiabilidad debe esperarse el resultado anterior?

d) ¿qué porcentaje de las variaciones en las ventas no se debe a los gastos en publicidad? Sol: a) i * X 113,45 + 16,175 -= i Y b) 230.106 pta c) 99,37% d) 0,63%

4.10.- De la distribución bidimensional de la superficie estándar (en m2) y del precio (en miles de pesetas por m2) de las viviendas para diferentes ciudades se conoce que su vector de medias y su matriz de varianzas-covarianzas son:

r m

=

=

















a) Obtener la regresión lineal mínimo-cuadrática de la superficie estándar en función del precio de las viviendas.

b) ¿Qué superficie estándar se obtendría para una ciudad en la que el precio de las viviendas fuese de 95 miles de pesetas por m2? ¿Con qué fiabilidad debe esperarse este resultado ?

Sol: a) * _i X 0,4343 -137,77 = i Y b) 96,511 m2 fiabilidad del 86,14%

4.11.- El número de operarios necesarios para lavar un coche viene representado por una variable X, y el tiempo en minutos que se tarda por una variable Y, siendo el vector de medias y la matriz de varianzas-covarianzas

    = 20 5 mr y S =     − − 12 7 7 6 . a) Obtener la recta de regresión mínimo-cuadrática del tiempo que se tarda en lavar un coche en función del número de operarios. Dar una medida de la bondad del ajuste realizado e interpretar el resultado.

b) ¿Cuánto tiempo se tardará en lavar un coche si se utilizan 4 operarios?.

Sol: a) i * X 1,167 -25,83 = i Y 68% b) 21,162 m

4.12.- De la distribución bidimensional de los ingresos mensuales y de los gastos mensuales (ambos en miles de pesetas) de un colectivo de hogares se conoce que su vector de medias y su matriz de varianzas-covarianzas son:

            8100 10500 10500 14400 215 255 = S = mr

a) Calcular la media y la varianza de la variable que representa el ahorro mensual (ingresos menos gastos) de un hogar.

b) ¿Qué predicción de gastos mensuales tendría un hogar cuyos ingresos mensuales son de 300.000 pesetas? ¿Con qué fiabilidad debe esperarse este resultado?

Sol: a) 40 y 1500...b) 247'814. R2=0'9452

4.13.- En una distribución bidimensional (X,Y) se pretende obtener la regresión lineal de Y/X. Un investigador ha concluido que las variables son independientes. ¿Tiene sentido realizar una regresión lineal?. ¿Y una no lineal?. Justificar la respuesta.

Tema 5 : Tasas de Variación e Indicadores

5.1.-A partir de los siguientes precios y cantidades de dos productos A y B para los años 1991 y 1992:

PRODUCTO A PRODUCTO B

p q p q

1991 5 6 4 3

1992 6 7 6 4

Obtener el valor de los índices de cantidades y de precios de Laspeyres y de Paasche para los años 1991 y 1992 con base 1991.

5.2.- Las rentas salariales de una familia y los correspondientes valores del índice de precios de Paasche fueron:

Años Rentas I.P. Paasche

1995 1.000.000 110

1996 1.200.000 115

1997 1.400.000 130

a) Transformar la serie en otra de precios constantes de 1995.

b) ¿En qué período se produjo el mayor incremento nominal salarial? ¿En qué período se produjo el mayor incremento real?

5.3.- En el año 1997 el salario medio de los trabajadores de una empresa del sector textil fue de 95000 pesetas, mientras que en el año 1998 fue de 97000 pesetas. A partir de la evolución de precios y cantidades de los productos más representativos del sector textil se han calculado los siguientes índices de precios:

Años I.P. Laspeyres I.P. Paasche

1997 110 111

1998 113 115

¿Cuál debería haber sido el salario medio en 1998 para que los trabajadores hubiesen mantenido el mismo poder adquisitivo que en 1997? Razonar la respuesta.

5.4.-Dada la siguiente estadística:

AÑO SALARIO (pts. corrientes) I.P.C. BASE 1983

1997 125.000 125%

1998 129.000 130%

a) Calcular los salarios reales en pesetas de 1997.

b) ¿Cuál debería haber sido el salario de 1998 para haber mantenido el mismo nivel de vida que en 1997?

5.5.- La siguiente tabla contiene: el valor de la producción industrial del sector del caucho (en pesetas corrientes) durante el período 1995-1997; la evolución de los precios durante ese mismo período a partir del IPC; y el índice de precios de Paasche de los productos más representativos del sector del caucho:

Año Producción industrial (miles pta.) IPC (base 1995) I.P. Paasche (base 1993) 1995 3.500.000 100 108 1996 4.250.000 110 123 1997 5.350.000 125 134

Expresar el valor de la producción industrial en pesetas constantes del año 1995. Justificar la elección de uno de los índices de precios para deflactar.

5.6.- La tabla 1 recoge los precios (p) y cantidades (q) de los artículos A,B y C. TABLA 1 A B C p q p q p q 1994 1 2 1 3 2 2 1995 2 3 3 3 4 5 1996 4 4 4 5 5 6

Dicha tabla supone la base para la obtención del índice necesario para deflactar la serie de la tabla 2 que representa el consumo de una determinada comunidad.

TABLA 2

Años Millones ptas

1994 46500

1995 50000

1996 55000

Obtenga la serie de la tabla 2 expresada en pesetas constantes de 1994.

Sol: 1994: 46.500 1995: 22.857,143 1996: 17.499,761

5.7.- La siguiente tabla presenta el PIB en pesetas corrientes y el deflactor del mismo, según los datos de la contabilidad nacional de España con base en 1970.

AÑO PIB a p.m (1012 ptas) Deflactor (1970=100) 1980 15,2 408,8 1981 17,3 464,5 1982 19,9 528,0 1983 22,7 590,7 1984 25,4 657,4

a) ¿Cuál fue el crecimiento del PIB en España en pesetas corrientes, en 1981 y en 1984?. ¿Y en términos reales?

b) ¿Cuánto creció el PIB durante los períodos 1980-82 y 1980-84 en pesetas corrientes?. ¿Y en términos reales?

Sol: a) 1981: 13,81% y 0,16% 1984: 11,89% y 0,54% b) 1980-82: 30,92% y 1,36% 1980-84: 67,1% y 3,91%

5.8.- El gasto público en educación en pesetas corrientes para el período 1987-1992 fue el siguiente: Años Gasto en 109 ptas 1987 1988 1989 1990 1991 1992 10 14 15 16 18 20

Además, los índices de precios para este mismo período han sido: Años Indice Indice

(base 1987) (base 1990) 1987 1988 1989 1990 1991 1992 100 115 120 125 100 110 130

En un debate electoral, el candidato del partido en el gobierno afirma que durante el período 1987-1992 el gasto en educación se ha incrementado en un 100% ¿Ha sido éste el porcentaje de incremento, en términos reales, para dicho período?

Sol: No, ha sido del 23,08%

5.9.- El propietario de un apartamento tiene pactado en 1993 un alquiler con su inquilino de 40.000 pesetas mensuales. Si en 1996 quiere revisarle el alquiler en base a los incrementos en esos años del IPC para la subclase vivienda en alquiler, cuyos índices han sido:

Años

IPC vivienda en alquiler (base 1992)

1993 108,75

1994 115,041

1995 121,298

1996 136,351

¿Cuál será el nuevo alquiler mensual?

Tema 6 : Series Temporales

6.1.- En una serie temporal sobre reservas de hotel en una ciudad, ¿qué significa que el índice de variación estacional en el mes de diciembre tome el valor de 0,40?.

6.2.- Un estudiante observa la evolución de una serie temporal acerca del desempleo mensual en los últimos diez años y aprecia como crece durante los períodos de julio-agosto y diciembre-enero. El estudiante califica estas variaciones como cíclicas. ¿Es correcta esta afirmación?

6.3.- De una serie cronológica se conoce la recta de tendencia anual

t

Y_t* =12000+288 , donde Y=ventas anuales, t = años, con origen en 1960.

También se conocen los índices trimestrales de variación estacional, de carácter multiplicativo:

Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre 4

0,7 0,9 1,3 1,1

Se pide:

a) Transformar la tendencia anual tomando como origen el año 1970.

b) Expresar la tendencia trimestral tomando como origen el trimestre central del año 1960.

c) Dar una predicción corregida por estacionalidad, para el cuarto trimestre del año 1981. Sol: a) * ' 288 14880 ' t Y_t = + b) *' '' 18 3000 '' t Y_t = + c) 4992,9

6.4.- El valor de las ventas globales de una fábrica que produce varios productos sigue una recta de tendencia Vt 10000 2000t

* = +

, siendo V = Ventas anuales y t=años. Se sabe que el valor de las ventas en 1988 fue 12000. Se dispone, además, de los índices de variación trimestrales:

Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre 4

0,8 1,1 1,4 0,7

A partir de la anterior información, dar una predicción de las ventas trimestrales corregidas por estacionalidad para el primer trimestre de 1991.

Sol: 3450

6.5.- El valor añadido bruto anual en una rama productiva sigue una tendencia lineal según el modelo: VAB* = 30000 + 2000 t, siendo las unidades de t años y las de VAB miles de pesetas corrientes. Sabiendo que el año 1988 el valor de tendencia del VAB (en pesetas corrientes) es de 32000 , y teniendo en cuenta la información sobre la evolución de precios y cantidades de los productos representativos de la rama, que se recoge en la siguiente Tabla, dar una predicción en pesetas constantes del VAB para el año 1990.

A B

p q p q

1988 2 10 4 8

1989 4 10 6 4

1990 4 12 10 2

Sol: 16941,176 en pesetas constantes de 1988.

6.6.-A partir de las observaciones semestrales correspondientes a las ventas de una empresa (en millones de pesetas), se ha obtenido la recta de tendencia anual con origen el año 1990, Y_t* =6+8t

.

a) Realizar una predicción, en pesetas corrientes, de las ventas anuales en 1993. b) Hallar una predicción, en pesetas corrientes y corregida por estacionalidad, de las ventas en el segundo semestre de 1993, conociendo los índices de variación estacional:

SEMESTRE 1 SEMESTRE 2

0.9 ?

c) Hallar una predicción, en pesetas constantes de 1990, de las ventas anuales en 1993 a partir de la siguiente información:

AÑO I.P. PAASCHE I.P. LASPEYRES

1990 120 90

1991 130 100

1992 140 110

1993 160 130

Sol: a) 30.106 ptas b) 17,6.106 ptas c) 22,5.106 ptas

6.7.- A partir de una serie temporal se ha obtenido la siguiente ecuación de tendencia anual con origen en 1990, Y*_t =10+16t. Se sabe que S2_t = 2 y S2_Y = 600 y se conocen los índices de variación estacional (IVE) semestrales, correspondientes a la evolución de la serie Yt (suponiendo un esquema multiplicativo) :

SEMESTRE I SEMESTRE II

Se dispone, asímismo, de información acerca de la evolución de los precios y cantidades referentes a los productos A y B que componen la variable Y:

PRODUCTO A PRODUCTO B

p q p q

1990 2 5 3 6

1991 3 6 5 8

1992 4 6 6 9

a) Proporcionar una medida de la representatividad de la ecuación de tendencia anual obtenida e interpretar el resultado.

b) Hallar una predicción, en pesetas corrientes, para la variable Y en el año 1992. c) Hallar una predicción corregida por estacionalidad para el segundo semestre de

1993.

d) Hallar una predicción, en pesetas constantes de 1990, para la variable Y en el año 1992.

OTROS PROBLEMAS DE LOS TEMAS 4, 5 y 6

4.5.6.1.- El volumen de ventas anuales de una empresa exportadora de frutas (en millones de pesetas) tiene la siguiente recta de tendencia anual Y_t* =10+4t, con origen en el año 1992.

a) El gerente de la empresa quiere realizar un estudio de la evolución de las ventas de la empresa. Uno de sus puntos de interés es la comparación de la predicción de las ventas de los años 1999 y 2000 en pesetas constantes. Para este fin se dispone de información sobre las previsiones de la evolución futura de los índices de precios:

Año I. P. Paasche I. P. Laspeyres

1999 100 100

2000 110 105

¿En qué año se pueden esperar unas ventas mayores, en pesetas constantes?. b) Otro objetivo del gerente es obtener predicciones semestrales. Conociendo los índices de variación estacional, obtener una predicción en pesetas corrientes y corregida por estacionalidad para el segundo semestre del año 2001

I II

0,8 ?

Sol: a) año 2000 b) 28’2

4.5.6.2.- La evolución anual de los beneficios obtenidos en una filial de una multinacional (en miles de pesetas) viene dada por la siguiente recta de tendencia

t

Yt 20 32

* = +

, con origen en 1995.

a) El director de esta filial quiere hacer una previsión de los beneficios que puede obtener en este año. Con la siguiente información:

Año I. P. Paasche I. P. Laspeyres

1997 110 105

1999 125 115

obtener la predicción de los beneficios para el año 1999 en pesetas constantes de 1997.

b) Conociendo los índices de variación estacional trimestrales:

I II III IV

0,8 1,1 ? 0,6

obtener una predicción corregida por estacionalidad para el tercer trimestre del 2000.

4.5.6.3.- A partir de un estudio estadístico sobre la evolución de las ventas de una empresa importadora de un tipo especial de productos, se ha obtenido la siguiente información conjunta de la variable bidimensional (t, Y):

t =0 _{Y =120} S_t2=4 S_Y2=80 S_tY=16

siendo t la variable tiempo, correspondiendo el valor t = 0 al año 1987 e Y la variable que mide las ventas anuales en millones de pesetas.

Sobre la evolución de los precios (en miles de pesetas) y de las cantidades vendidas de los dos productos más representativos de la empresa, disponemos de la información contenida en la siguiente tabla:

Producto A Producto B

Años p q p q

1990 175 250 75 80

1991 185 300 80 85

1992 190 350 90 95

Los índices de variación estacional (IVE) trimestrales correspondientes a la serie de ventas, son:

trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre 4

0.3 1.6 ? 0.2

Se pide:

a) La ecuación de tendencia anual con origen en 1987.

b) Una medida de la bondad de la ecuación de tendencia obtenida e interpretar el resultado.

c) Hallar una predicción, en pesetas constantes de 1990, para la variable Y en el año 1992.

d) Obtener una predicción, corregida por estacionalidad, para el tercer trimestre de 1993, suponiendo un esquema multiplicativo.

Sol: a) Y*=120+4t b) R2=0’8 c) 127’55 d) 68’6375

4.5.6.4.- El estudio de la evolución de los ingresos por publicidad que genera un programa de televisión, que empezó a emitirse en 1980 (t = 0), ha permitido disponer de la siguiente información conjunta de las variables t (tiempo) e Y (ingresos por publicidad, en millones de pesetas):

Y =510 t =10 S_t2

=9 S_Y2

=1000 S_tY=-90

Por otra parte, es conocida la existencia de variaciones estacionales en los ingresos por publicidad como lo demuestra la bajada de ésta en el segundo semestre. Concretamente los I.V.E. semestrales son los siguientes:

SEMESTRE I II

I.V.E. 1.2 0.8

Además, la evolución del índice de precios al consumo en los últimos años queda recogido en la tabla siguiente:

Año Índice (base 1991) Índice (base 1994)

1991 100 1992 110 1993 115 1994 120 100 1995 130 1996 140 1997 150

a) Determinar la recta de tendencia anual, valorando la bondad del ajuste.

b) Dar una predicción de los ingresos anuales por publicidad para el año 1997 en pesetas corrientes y en pesetas constantes del año 1991.

b) Calcular la recta de tendencia semestral de la serie de ingresos por publicidad con origen el primer semestre de 1990.

c) Dar una predicción para el primer semestre de 1997 corregida por estacionalidad.

Sol: a) Y*=610-10t; R2=0’9 b) 244’44 c) Y=256’25-2’5t d) 265’5

4.5.6.5. Una empresa multinacional de seguros ha encargado un estudio para

conocer cuál es la evolución de las indemnizaciones pagadas en concepto de accidentes de automóviles. A partir de la información disponible se ha obtenido para la distribución bidimensional (t,Y), el vector de medias y la matriz de varianzas-covarianzas siguientes:     14 ' 8 0     45 ' 8 71 ' 5 4

siendo Y la variable que mide las indemnizaciones pagadas en millones de pesetas y t la variable tiempo, correspondiendo el valor t=0 al año 1995.

Se sabe que el IPC de los últimos tres años es:

AÑOS IPC (base 1992)

1997 121’56

1998 123’79

1999 126’65

Los Índices de Variación Estacional (IVE) trimestrales correspondientes a la serie de indemnizaciones son:

Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre 4

Se pide:

a) La ecuación de tendencia anual con origen en 1995.

b) Una medida de la bondad de la ecuación de tendencia obtenida e interpretar el resultado.

c) ¿Cuál ha sido la tasa de variación, en pesetas constantes de 1997, de las indemnizaciones en el período 97-99?.

d) Obtener una predicción corregida por estacionalidad para el tercer trimestre del año 2001, suponiendo un esquema multiplicativo.

Sol: a) Yt*= 8’14+1’43t b) R 2

=0’9646 c) 20’92% d) 8’02

4.5.6.6.A partir de la evolución temporal de los ingresos de una cadena hotelera se

ha obtenido la recta de tendencia anual Y_t* =−8+4t

, donde la variable t representa el tiempo (siendo t=0 en el año 1990), e Y los ingresos, expresados en cientos de millones de pesetas. Además se conocen los siguientes resultados:

t =4´5 St

2

=8 SY

2

=150

Los índices de variación estacional (IVE) trimestrales correspondientes a la serie de ingresos son:

trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre 4

0’4 1’5 ? 0’3

Además, la evolución del índice de precios al consumo, desde el año 1995 hasta 1999, ha sido la siguiente:

Año IPC (base 1992)

1995 114’6 1996 118’7 1997 121’0 1998 123’3 1999 126’1 Se pide:

a) Completar el vector de valores medios y la matriz de varianzas-covarianzas de la variable bidimensional (t,Y).

b) Obtener la ecuación de tendencia anual con origen en 1997 y dar una medida de la representatividad de dicha ecuación, interpretando el resultado. c) Hallar una predicción de los ingresos de la cadena hotelera para el año 1999,

en pesetas constantes de 1995.

d) Obtener una predicción, corregida por estacionalidad, para el tercer trimestre del año 2000, suponiendo un esquema multiplicativo.

4.5.6.7.- Se dispone de la siguiente información sobre la variable bidimensional (t,Y): 4 t= S2t =32 84 Y= 2=9000 Y S StY=512

donde la variable t representa el tiempo (siendo t=0 en el año 1992), e Y los ingresos de una empresa, expresados en millones de pesetas.

Considerando los ingresos trimestrales de la empresa, se obtienen los siguientes índices de variación estacional (IVE):

trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre 4

0’6 1’4 1’5 ?

Además, se dispone de la evolución del índice de precios de consumo desde el año 1997 hasta el 2000:

Año IPC (base 1992)

1997 121’6

1998 123’8

1999 126’7

2000 131’0

Se pide:

a) Obtener la recta de tendencia anual para la serie de ingresos de la empresa, tomando como origen el año 1997.

b) Dar una medida de la representatividad de la ecuación obtenida en el apartado anterior, interpretando el resultado.

c) Hallar una predicción, en pesetas constantes de 1997, de los ingresos de la empresa para el año 2000.

d) Obtener una predicción, corregida por estacionalidad para el último trimestre del año 2001, suponiendo un esquema multiplicativo.