CAS Cálculo simbólico con GeoGebra

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CAS

Cálculo simbólico

con

GeoGebra

Agustín Carrillo de Albornoz Torres

Universidad de Córdoba Instituto GeoGebra de Andalucía

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Cálculo simbólico con GeoGebra

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Cálculo simbólico con GeoGebra

Factorización de números y polinomios. Resolución de ecuaciones.

Resolución de sistemas de ecuaciones. Discusión de sistemas.

Cálculo diferencial. Cálculo integral. Cálculo de límites.

Sumas y productos de series.

Simplificación de expresiones trigonométricas. Vectores y matrices.

(6)

Barra de herramientas propia.

Las operaciones y resultados aparecen numerados por filas.

Vista CAS - Cálculo simbólico

(7)

Evalúa Enter Conserva entrada Alt-Enter Valor numérico Ctrl-Enter

(8)

Vista CAS - Cálculo simbólico

En una fila en blanco:

= Repite la entrada previa.

) Repite la entrada previa encerrada entre paréntesis.

(9)

Establece el número de cifras decimales para los valores numéricos o cálculos aproximados.

(10)

(11)

Referencias entre filas

Estáticas: # salida previa #n salida fila n ## entrada previa ##n entrada fila n Dinámicas: $ salida previa $n salida fila n $$ entrada previa $$n entrada fila n

(12)

+

-

*

/

^

espacio Alt - n

Operadores matemáticos

Alt – i unidad imaginaria

Alt – p pi Número Pi

(13)

(14)

Primeras operaciones: factorizar

Factoriza(expresión, variable) Factoriza(número)

Factoriza(expresión)

(15)

Máximo común múltiplo y mínimo común divisor

Divisores

MCD Máximo común divisor MCM Mínimo común múltiplo

División {cociente, resto}

Divisores

(16)

Actividad

Con ayuda de un deslizador, determina la lista de divisores de los números menores que 100 para establecer cuáles son

primos y cuáles no.

(17)

Números primos

(18)

Primeras operaciones: desarrollo y sustitución

Sustituye[expresión, variable, valor]

(19)

Actividad

Aplica el teorema del resto para determinar las raíces enteras del polinomio:

Comprueba los resultados hallando la descomposición en factores del polinomio.

2 x x 2 x x P( )  3  2  

Asignación a una variable:

:=

(20)

Actividades

1. Determinar si 1+i, es una raíz del polinomio:

2 4

5

3z4  z3  z 

2. Comprobar que a es una raíz del polinomio p(x).

5 3

2

a    p(x)  x8 40x6 352x4 960x2 576

3. Si a y b son dos números naturales consecutivos, entonces la siguiente expresión es un cuadrado perfecto.

2 2 2

)

(

a

b

a



(21)

Resolución de ecuaciones

(22)

Resolución de ecuaciones

(23)

(24)

Resolución de ecuaciones

Raíces[ecuación, valor inicial, valor final] Raíz[ecuación, valor inicial, valor final]

(25)

Resolución de ecuaciones

Soluciones[ecuación] Resuelve[ecuación]

(26)

Resolución de ecuaciones

Soluciones[ecuación] Resuelve[ecuación] Resuelve Soluciones[ecuación,variable] Resuelve[ecuación,variable]

(27)

Actividad

Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:

0 7 7 2 3     x x x x4 3x2 4  0

(28)

Factorización de polinomios

Factores

Factoriza

FactorC

(29)

Raíces complejas

SolucionesC

(30)

Resolución numérica de ecuaciones

Resolver la ecuación polinómica 6  ₂  ₀

x x

(31)

Resolución numérica de ecuaciones

SolucionesN

ResoluciónN

SolucionesN[ ecuación, variable]

SolucionesN[ecuación, variable=valor inicial]

ResoluciónN[ ecuación, variable]

(32)

Resolución de sistemas de ecuaciones

Los mismos comandos utilizados en la resolución de ecuaciones.

Soluciones[{ecuación₁,ecuación₂,…},{x, y, z, …}] Resuelve[{ecuación₁,ecuación₂,…},{x, y, z, …}]                4 5 4 3 2 3 1 3 2 3 z y x z y x z y x

(33)

(34)

Actividad

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:



























4

3

2

1

3

2 z

y

x

z

y

z

y

x

































2

3

2

1 t

z

y

x

t

z

y

x

t

z

y

x

(35)

Actividad

Discutir y resolver, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:



























2

1

4 a

z

y

x

z

y

a

x

z

y

x

a

(36)

Actividad

Discutir y resolver, según los valores de los parámetros a y b, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

       6 4 2 ay x b y x

(37)

Actividad

Resolver los sistemas de ecuaciones siguientes:















3

5

2 2

y

x

y

x















0

2 cos

1 cos

y

sen

x

y

sen

x

¿Puedes resolver alguno de los sistemas anteriores utilizando la Vista algebraica y la gráfica?

(38)

Aplicaciones al análisis y al cálculo. Derivadas

Desde la vista algebraica

Derivada[expresión] Derivada[expresión,variable] Derivada[expresión,orden]

(39)

Aplicaciones al análisis y al cálculo. Derivadas

Derivada Derivada[expresión] Derivada[expresión,variable] Derivada[expresión,variable,orden] DerivadaImplícita[f(x,y)]

(40)

Actividad

Estudia la función polinómica:

5 12 3 ) (x  x3  x2  x f

(41)

Actividad

¿Qué relación existe entre los puntos críticos de las funciones f, f’ y f’’?

Comprueba los resultados para la función:

2

3 )

(

3 4









x

f

(42)

Integración

Integral

Integral[expresión]

Integral[expresión,variable]

Integral[expresión, valor inicial, valor final]

(43)

Actividad

Calcular:

dx

x

1 0



4 x 2x dx 0 2



 cos

(44)

Actividad

Hallar el área encerrada entre las dos curvas siguientes:

6

2

x

y



9

27

2





x

y

(45)

Actividad

Hallar el área encerrada entre las dos curvas siguientes:

6

2

x

y



9

27

2





x

y

IntegralEntre[f(x),g(x),a,b]

(46)

Cálculo de límites

Límite[función, valor]

Límite[función, variable, valor]

x x x lim x     3 2 1 1 2 x 2 0

2 cos

1 x

x

lim

x



 x x lim 3 x 2 x         

(47)

Límites laterales

Por la izquierda LímiteInferior Por la derecha LímiteSuperior

(48)

Actividad

Hallar los límites laterales de la función f en el punto x = 0, siendo: x

x

=

f(x)

1

)

2 (



(49)

Actividad

Hallar los límites laterales de la función f en el punto x = 0, siendo: x

x

=

f(x)

1

)

2 (



(50)

Comando Asíntota[función]

Asíntotas

(51)

Actividades

(52)

Actividades

(53)

Actividades

(54)

Actividades

(55)

Actividades

(56)

Álgebra matricial

Definición de vectores

En la vista algebraica u=(a,b) En la vista CAS u:=(a,b)

(57)

Álgebra matricial

Definición de matrices En la vista algebraica A={{a₁₁,a₁₂,…},{a₂₁,a₂₂,…},…} En la vista CAS A:={{a₁₁,a₁₂,…},{a₂₁,a₂₂,…},…}

(58)

Álgebra matricial

Operaciones con vectores

ProductoEscalar

(59)

Actividad

Dados los vectores a y b.

Hallar k para que sean perpendiculares.

)

3 ,

,

1 (

k

=

a



)

1 ,

2 ,

2 (

k

=

b





(60)

Actividad

Dados los vectores a y b.

Hallar k para que sean perpendiculares.

)

3 ,

,

1 (

k

=

a



)

1 ,

2 ,

2 (

k

=

b





(61)

Álgebra matricial

(62)

Actividad

Calcula A2_{, A}3_{, A}4_{y A}5_.           0 1 1 1 0 1 1 1 0 = A

(63)

Álgebra matricial

Dimensiones de una matriz Dimensión

Matriz identidad de orden n: Identidad[n]

Determinante de una matriz: Determinante

Inversa de una matriz: Inversa

Transpuesta de una matriz: Traspone

(64)

Actividad

Calcula el rango de la siguiente matriz:

              13 -3 9 4 -1 4 2 6 3 -1 1 3 9 5 -2 5 1 3 2 -1

(65)

Actividad

Calcula el rango de la siguiente matriz:

              13 -3 9 4 -1 4 2 6 3 -1 1 3 9 5 -2 5 1 3 2 -1

La forma escalonada de la matriz se obtendrá con la función EscalonadaReducida

(66)

Actividad

Determina los valores de x para los cuales la matriz A es singular. Halla la matriz inversa para x=1.

            1 0 1 2 1 0 1 x x A

(67)

Actividad

Sean a y b dos números reales. Hallar para que valores de a y b, la matriz A es singular.

Determinar la inversa de A para cada valor de a y de b para los cuales la matriz es invertible.

                 b b b b b b a A 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0

(68)

Actividad

Para cada número natural n, se define la matriz cuadrada A_n.

Deduce cuál es el valor del determinante de A_n.

      j i si j i si j i A_n 1 0 ) , (

(69)

Actividad

Calcular el determinante de las matrices:

¿Es posible deducir una fórmula para el determinante de las matrices anteriores de orden n?

Comprobar la expresión obtenida para los determinantes de orden 6, 7 y 8.                   1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 2 2 2 x x x x x x x x x x                      1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x

(70)

Actividades

(71)

Actividades

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Agustín Carrillo de Albornoz Torres