Análisis de Ruido en Reactores PWR

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(1)Universidad Politécnica de Madrid Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Minas y Energía. Análisis de Ruido en Reactores PWR TESIS DOCTORAL. Juan Antonio Bermejo Piñar Licenciado en Ciencias Físicas 2015.

(2) Departamento de Energía y Combustibles Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Minas y Energía. Análisis de Ruido en Reactores PWR Juan Antonio Bermejo Piñar Licenciado en Ciencias Físicas Directores Cristina Montalvo Martín Doctor Ingeniero de Minas Universidad Politécnica de Madrid. César Queral Salazar Doctor en Ciencias Físicas Universidad Nacional de Educación a Distancia. 2015.

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(4) A mi Madre.

(5) Agradecimientos El germen de esta tesis hay que buscarlo en el otoño de 2008. Uno de aquellos días nuestro responsable en Iberdrola I&C, Pepe Melara, nos propuso, a mí y a otros compañeros, la posibilidad de empezar el doctorado. Era una oportunidad única que no se debía rechazar. El siguiente paso fue ponernos en contacto con el Dr. César Queral, quien acepto de buen grado ser mi director de tesis. En 2009 comencé a cursar las asignaturas del programa de doctorado en Ingeniería de los Recursos Minerales, Materiales, Energía y Medio Ambiente. Una de las asignaturas, Herramientas para el Análisis de Señales y Ruidos en Procesos Físicos, la impartía la Dra. Cristina Montalvo, junto con sus compañeros de departamento, los doctores Agustín García-Berrocal y Miguel Balbás. En esos momentos yo me acababa de incorporar como apoyo al Departamento de Combustible de las centrales nucleares Almaraz-Trillo (CNAT), capitaneado entonces por Manolo Novo. Allí me di cuenta de que el ruido neutrónico empezaba a ser un tema complejo de alto interés para la operación de los reactores y además se me animó a profundizar en el asunto. Dado que era previsible que la cuestión generara gran cantidad de trabajo e información en los años siguientes, y encantado con todo lo que había aprendido en las estupendas clases de Cristina, Agustín y Miguel sobre el Análisis de Ruido, comencé a tener claro el tema sobre el que iba a versar mi tesis doctoral. Cuando le expuse la idea a Cesar me dijo que el Análisis de Ruido no se encontraba entre sus especialidades y me propuso hablar con Cristina para ver si ella aceptaba ser codirectora de la tesis. Cristina aceptó y desde ese momento empecé a trabajar con el apoyo de este excelente equipo de codirectores. Cristina me ayudaría con la parte de ruido y Cesar con la parte de ingeniería nuclear. A todas las personas mencionadas en esta pequeña historia les tengo que reconocer y agradecer su contribución, así como el tiempo dedicado para que esta tesis sea hoy una realidad. También hay otras personas que han contribuido de diferentes maneras a la realización de este trabajo y les debo dar las gracias. En este grupo destacan Arturo López y Alberto Ortego. Al primero por sus conocimientos sobre ruido neutrónico y por sus ganas de compartirlos y al segundo por promover mi asistencia a congresos y por colaborar en la publicación de la I.

(6) mayoría de los artículos que han sido producidos a partir de los trabajos sobre ruido que hemos llevado a cabo en CNAT. No puedo dejar de mencionar a todos los compañeros de Combustible, tanto de Iberdrola I&C como de CNAT, que hacen que el ambiente de trabajo en ambos centros sea muy agradable y que las cosas difíciles se vuelvan mucho más fáciles. Ya en el plano personal, quiero incluir en estos agradecimientos a mi familia: mi Padre, mi hermana Marta, mi pareja Laura y, a la última en llegar, nuestra hija Julia. A todos por estar ahí siempre, a Laura también por encargarse de cuidar a Julia cuando tenía que trabajar en la tesis y a Julia por transmitir la alegría que muchas veces nos falta a los adultos.. II.

(7) Resumen Esta tesis se ha llevado a cabo persiguiendo dos objetivos principales: uno de ellos es el desarrollo y la aplicación de modelos para el mantenimiento predictivo de sensores en centrales nucleares, y el otro es profundizar en el entendimiento de los fenómenos que tienen influencia en el ruido de la señal de los detectores de neutrones de los reactores de agua a presión con ayuda de herramientas de simulación 3D. Para el desarrollo de los trabajos se ha contado con medidas de ruido de reactores PWR actualmente en operación registradas en el curso de la tesis. El análisis de estas medidas ha permitido desarrollar los modelos de los sensores a partir de sus señales reales y comparar lo obtenido en las simulaciones con la realidad. El estudio de los sensores y la elaboración de los modelos se han llevado a cabo mediante la aplicación de técnicas autorregresivas a las señales tomadas en planta. Para la reproducción de los fenómenos que tienen lugar en el núcleo del reactor y que pueden influir en el ruido neutrónico se ha contado con códigos neutrónicos ampliamente utilizados en la industria y con modelos actualizados y validados de las plantas.. III.

(8) Abstract There are two goals in this thesis. The first one is the development of models and its application for predictive maintenance of sensors in nuclear power plants. The second one is to improve the understanding of the phenomena that influence the neutron noise in pressurized water reactors by using 3D simulators. Real plant measurements recorded during this thesis have been used to achieve such goals. The information provided by the data led the development of the models and the comparison of the results provided by the computational simulations. Sensor models were obtained by applying autorregresive techniques to the signals recorded in the plant. Wide known codes in the nuclear industry as well as updated and validated models have been used for the reproduction of the phenomena that take place in the core an may influence the neutron noise.. IV.

(9) Índice 1. Introducción.. 1. 2. Fundamentos matemáticos del análisis de ruido.. 4. 2.1. El ruido en las señales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.2. Propiedades estadísticas del ruido . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 2.2.1. Probabilidad y función de densidad de probabilidad. . .. 7. 2.2.2. Valor medio y desviación típica. . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.2.3. Coeficiente de correlación. . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.3. Dominio del tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.1. Sistemas lineales invariantes en el tiempo. . . . . . . . 10 2.3.2. Función Delta de Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.3. Correlación cruzada y autocorrelación. . . . . . . . . . 13 2.4. Dominio de la frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4.1. Transformada de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4.2. Función de transferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4.3. Transformada Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.4. Transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.5. Densidad espectral de potencia . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.6. Transformada discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . 28 2.4.7. Coherencia y Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5. Series temporales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3. Experiencias del análisis de ruido en CC.NN.. 37. 3.1. Vigilancia de vibraciones de componentes mecánicos. . . . . . 38 3.2. Estimación del Coeficiente de reactividad del Moderador. . . . 43 3.3. Estimación de la velocidad del refrigerante que pasa por el núcleo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4. Análisis de ruido en reactores PWR-KWU. . . . . . . . . . . . 53 3.5. Estabilidad en reactores BWR. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.6. Técnicas de análisis de ruido avanzadas . . . . . . . . . . . . . 59 V.

(10) 4. Aplicación de las técnicas de análisis de ruido a la vigilancia de sensores en centrales nucleares 60 4.1. Seguimiento del tiempo de respuesta en sensores. . . . . . . . 61 4.1.1. Principales características de los sensores analizados. . 61 4.1.1.1. Detectores de neutrones internos . . . . . . . 62 4.1.1.2. Termopares a la salida del elemento combustible 63 4.1.1.3. Detectores de neutrones externos del rango de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.1.2. Campañas de medida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.1.3. Obtención de los modelos autorregresivos para el calculo del tiempo de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.1.4. Discusión de los resultados obtenidos . . . . . . . . . . 68 4.1.4.1. Análisis de sensibilidad de la frecuencia de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.1.4.2. Resultados desde el punto de vista estadístico y temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2. Vigilancia avanzada de RTDs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.2.1. Respuesta dinámica de las RTDs. . . . . . . . . . . . . 77 4.2.2. Modelo autorregresivo y polos del sistema . . . . . . . 81 4.2.3. Aplicación para RTDs de una planta PWR . . . . . . . 83 4.3. Conclusiones del capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.4. Publicaciones del capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5. Ruido neutronico de baja frecuencia. 92. 5.1. El fenómeno de aumento de la desviación típica del ruido neutrónico en los reactores KWU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.2. El caso de la central de Diablo Canyon. . . . . . . . . . . . . . 104 5.3. Análisis de fluctuaciones termohidraulicas a la entrada del núcleo con simuladores neutrónicos 3D. . . . . . . . . . . . . . . 110 5.3.1. SIMULATE-3K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.3.2. RELAP-PARCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.3.3. Validación de los modelos de S3K y RELAP-PARCS . 114. VI.

(11) 5.3.4. Fluctuaciones sinusoidales de temperatura. Sensibilidad a la amplitud de la fluctuación . . . . . . . . . . . 117 5.3.5. Fluctuaciones sinusoidales de temperatura. Sensibilidad a la frecuencia de la fluctuación . . . . . . . . . . . 121 5.3.6. Fluctuaciones sinusoidales de caudal. Sensibilidad a la frecuencia de la fluctuación . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.3.7. Fluctuaciones aleatorias. Influencia del anillo mezclador de caudal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.3.8. Fluctuaciones aleatorias. Dependencia espacial del ruido.138 5.4. Estudio de un modelo sencillo para análisis de ruido en reactores PWR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.4.1. Modelo de 6 ecuaciones para analisis de ruido neutrónico148 5.4.2. Comparacion con los resultados de S3K. . . . . . . . . 152. 5.5. Concusiones del capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.6. Publicaciones del capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6. Ruido neutronico en reactores PWR.. 158. 6.1. Densidades espectrales de potencia. . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.2. Coherencias y desfases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.2.1. Coherencias y desfases entre detectores opuestos . . . . 166 6.2.2. Coherencias y desfases entre detectores contiguos . . . 173 6.2.3. Coherencias y desfases entre detectores de la misma posición radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 6.2.4. Interpretación de la fenomenología de la zona 0-1 Hz . 185 6.3. Magnitud del ruido neutrónico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 6.4. Conclusiones del capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6.5. Publicaciones del capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7. Conclusiones. 196. VII.

(12) A. Instrumentación nuclear en reactores PWR.. 201. A.1. Instrumentación nuclear externa. . . . . . . . . . . . . . . . . 202 A.1.1. Detectores de rango fuente . . . . . . . . . . . . . . . . 204 A.1.2. Detectores de rango intermedio . . . . . . . . . . . . . 206 A.1.3. Detectores de rango de potencia . . . . . . . . . . . . . 207 A.1.4. Localización de la instrumentación externa . . . . . . . 208 A.2. Instrumentación nuclear interna fija. . . . . . . . . . . . . . . 211 A.2.1. Detectores de neutrones . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 A.2.2. Termopares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 A.3. Instrumentación nuclear interna móvil. . . . . . . . . . . . . . 214 A.3.1. Cámaras de fisión en PWR Westinghouse . . . . . . . . 214 A.3.2. Sistema de neumobolas en PWR KWU y EPR . . . . . 214 Referencias. 221. VIII.

(13) Índice de figuras 1.. Ruido asociado a una señal [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.. Funciones gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 3.. Funcion Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. 4.. Funcion autocorrelación de una señal aleatoria . . . . . . . . . 14. 5.. Respuesta al escalón de un sistema de primer orden . . . . . . 19. 6.. Respuesta al escalón de un sistema de segundo orden para varios amortiguamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 7.. Densidad espectral de potencia de la señal de un detector de neutrones externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. 8.. Coherencia y fase de dos detectores de neutrones externos situados en zonas opuestas del núcleo. . . . . . . . . . . . . . . 31. 9.. Valores de AIC en función del orden del modelo para la señal cuya PSD se muestra en la figura 10. . . . . . . . . . . . . . . 35. 10.. PSD de un detector de neutrones calculada y ajustada mediante un modelo autorregresivo. . . . . . . . . . . . . . . . . 36. 11.. Puntos de medida de vibraciones en el primario de un reactor PWR-KWU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. 12.. Señales típicas de los sensores del sistema VMS de C.N. Trillo [50]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40. 13.. Señal de un detector excore de CN Palisades [55]. . . . . . . . 40. 14.. PSD de los detectores externos para 5 reactores PWR [125]. . 41. 15.. Coherencia y fase entre dos detectores externos opuestos N5 y N6 de la central de Palisades [55]. . . . . . . . . . . . . . . . . 41. 16.. Desprendimiento del Barrilete en la central de Palisades [40]. . 42. 17.. Transporte de una perturbación entre dos detectores de neutrones [75]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. 18.. Fase de los detectores entre los niveles 1 y 6 de la posición B07 de un reactor PWR [102]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48. 19.. Anomalías de caudal causadas por depósitos de CRUD en la unidad 2 de la central nuclear de Paks [90]. . . . . . . . . . . . 50. IX.

(14) 20.. Distribución de velocidades de refrigerante en la central nuclear de Paks en las posiciones de los SPND (izquierda) y extrapoladas a todos los canales (derecha)[90]. . . . . . . . . . 50. 21.. Coherencia de los detectores entre los niveles 1 y 6 de la posición B07 de un reactor PWR [102]. . . . . . . . . . . . . . . . 51. 22.. Coherencia entre los detectores entre los niveles 5 y 3 operando a dos y tres lazos [89]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. 23.. Coherencia entre los detectores entre los niveles 5 y 1 operando a dos y tres lazos [89]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. 24.. Ilustración de la Razón de decaimiento. . . . . . . . . . . . . . 54. 25.. Oscilación de potencia del reactor nuclear de Laguna verde I (24-1-1995) [49]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55. 26.. Oscilación de potencia del reactor nuclear Oskarshamn en 1999) [10]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56. 27.. Mapa de Operación y camino de subida a potencia en el ciclo 18 de C.N. Cofrentes [99]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57. 28.. Posiciones de los detectores de neutrones en C.N. Trillo [51]. 29.. Modelo AR y PSD del PDD de la posición B7 nivel 3[21]. . . . 66. 30.. Modelo AR y PSD de un detector externo del cuadrante 2 [21]. 67. 31.. Modelo AR y PSD de un termopar de la posición E4 [21]. . . . 67. 32.. Ilustración del tiempo de respuesta a la rampa. . . . . . . . . 68. 33.. Tiempo de respuesta en función de la frecuencia de muestreo para los SPND [21]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69. 34.. Tiempo de respuesta en función de la frecuencia de muestreo para los detectores externos [21]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 70. 35.. Tiempo de respuesta en función de la frecuencia de muestreo para los termopares [21]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70. 36.. Tiempos de respuesta de los SPND [21]. . . . . . . . . . . . . 73. 37.. Evolución de los tiempos de respuesta de los SPND [21]. . . . 74. 38.. Tiempos de respuesta de los detectores externos de neutrones [21]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74. 39.. Evolucion de los tiempos de respuesta de los detectores externos de neutrones [21]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75. 40.. Tiempos de respuesta de los termopares [21]. . . . . . . . . . . 75 X. . 62.

(15) 41.. Evolucion de los tiempos de respuesta de los termopares [21]. . 76. 42.. Modelo de tres nodos de una RTD. . . . . . . . . . . . . . . . 79. 43.. PSD de la señal de dos RTDs situadas en la rama fría a la entrada de la vasija de un reactor PWR. . . . . . . . . . . . . 84. 44.. A la izquierda la PSD de una RTD y su modelo autorregresivo y a la derecha el modelo AR y dos lineas mostrando el cambio de la pendiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84. 45.. PSD de la señal de la RTD 1 y su modelo AR de orden 2. Frecuencia de muestreo 10 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88. 46.. PSD de la señal de la RTD 2 y su modelo AR de orden 2. Frecuencia de muestreo 12.5 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . 88. 47.. Densidad espectral de potencia de la señal de un detector de neutrones externo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93. 48.. Principales acoplamientos que intervienen en el ruido en reactores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94. 49.. Evolución de la amplitud del ruido durante 20 ciclos [86]. . . . 97. 50.. Evolución de la NRMS en los ciclos 2 a 6 del reactor de C.N. Grohnde en función del CTM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99. 51.. Evolución de la NRMS de la señal de un detector excore de C.N Trillo en función del CTM [110]. . . . . . . . . . . . . . . 99. 52.. Señal de los detectores excore de dos canales. [110]. . . . . . . 100. 53.. Señal de un detector excore superior y otro inferior de un mismo cuadrante [58]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101. 54.. Fase y coherencia entre un detector excore superior y otro inferior de un mismo cuadrante [58]. . . . . . . . . . . . . . . . 102. 55.. Comportamiento del filtro desarrollado por KWU ante una fluctuación sinusoidal [52]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. 56.. Ruido de la señal de los detectores externos de la C.N. Diablo Canyon [64]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105. 57.. Posición de los detectores de neutrones y termopares en un reactor PWR Westinghouse de 4 lazos. . . . . . . . . . . . . . 106. 58.. Coherencia y fase entre el termopara TE-56 y el detector NI-41 de la C.N. Diablo Canyon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106. 59.. Coherencia y fase entre el termopara TE-10 y el detector NI-41 de la C.N. Diablo Canyon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 XI.

(16) 60.. Coherencia y fase entre los termopares TE-10 y TE-56 de la C.N. Diablo Canyon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107. 61.. Relación de fase entre los detectores de neutrones y los termopares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108. 62.. Ilustración del efecto de desplazamiento del caudal. . . . . . . 109. 63.. Diagrama de un generador de vapor con (izquierda) y sin economizador (derecha). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110. 64.. Ejemplo de distribución de temperaturas a la salida de un GV con economizador [61]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111. 65.. Modelado de fluctuaciones con simuladores 3D [109]. . . . . . 112. 66.. Posición en el núcleo de las barras N-07 y J-03 [88]. . . . . . . 115. 67.. Esquema de la localización axial de los detectores internos y externos [88]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115. 68.. Resultados de la prueba de caída de la barra N-07 [19]. . . . . 116. 69.. BC N-07 Respuesta detector interno. Lanza O-09 nivel 4 [92]. 116. 70.. BC J-03 Respuesta detector externo. Redundancia 3 superior [92]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117. 71.. Distribución homogénea del caudal por el núcleo en el modelo de S3K [109]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118. 72.. Evolución de la potencia ante una fluctuación sinusoidal de la temperatura de entrada de 0.5 K y 0.5 Hz [109]. . . . . . . . . 118. 73.. Evolución de la potencia ante una fluctuación sinusoidal de la temperatura de entrada de 1.5 K y 0.5 Hz [109]. . . . . . . . . 119. 74.. Evolución de la potencia ante una fluctuación sinusoidal de la temperatura de entrada de 2.5 K y 0.5 Hz [109]. . . . . . . . . 119. 75.. Amplitud de la oscilación de potencia vs. amplitud de la fluctuación sinusoidal de la temperatura de entrada [109]. . . . . . 120. 76.. Amplitud de la oscilación de potencia vs. frecuencia de la fluctuación de la temperatura de entrada de amplitud 1 K [109]. . 122. 77.. Amplitud de la oscilación de la temperatura del moderador vs. frecuencia de la fluctuación de la temperatura de entrada de amplitud 1 K [109]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123. 78.. Amplitud de la oscilación de la temperatura del combustible vs. frecuencia de la fluctuación de la temperatura de entrada de amplitud 1 K [109]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 XII.

(17) 79.. Amplitud de la oscilación de potencia vs. frecuencia de la fluctuación de la temperatura de entrada de amplitud 1 K. Comparación S3K-RELAP/PARCS [92]. . . . . . . . . . . . . . . . 124. 80.. Amplitud de la oscilación de la temperatura del moderador vs. frecuencia de la fluctuación de la temperatura de entrada de amplitud 1 K. Comparación S3K-RELAP/PARCS [92]. . . 124. 81.. Evolución de la potencia ante una fluctuación sinusoidal del caudal de entrada del 1 % y 0.35 Hz [109]. . . . . . . . . . . . 126. 82.. Amplitud de la oscilación de potencia en función de la frecuencia para una fluctuación del 1 % de caudal [109]. . . . . . . . . 126. 83.. Amplitud de la oscilación de la temperatura del moderador en función de la frecuencia causada por una fluctuación del 1 % de caudal [109]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127. 84.. Amplitud de la oscilación de la temperatura del combustible en función de la frecuencia para una fluctuación del 1 % de caudal [109]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127. 85.. Diagrama de una vasija KWU con anillo distribuidor de caudal.128. 86.. Diagrama de una vasija KWU con taburete soporte del núcleo. 129. 87.. Pesos del lazo 1 en cada canal. Modelo sin distribuidor de caudal [110]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131. 88.. Pesos del lazo 2 en cada canal. Modelo sin distribuidor de caudal[110]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132. 89.. Pesos del lazo 3 en cada canal. Modelo sin distribuidor de caudal [110]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132. 90.. Pesos del lazo 1 en cada canal. Modelo con distribuidor de caudal [110]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133. 91.. Pesos del lazo 2 en cada canal. Modelo con distribuidor de caudal[110]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133. 92.. Pesos del lazo 3 en cada canal. Caso con distribuidor de caudal [110]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134. 93.. Fluctuación de temperatura simulada en el lazo 1. . . . . . . . 135. 94.. Fluctuación de caudal simulada en el lazo 1. . . . . . . . . . . 135. 95.. Posiciones de los detectores de neutrones en C.N. Trillo [110] . 139. 96.. Dependencia espacial del ruido neutrónico. Fluctuación de la temperatura de entrada [110] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 XIII.

(18) 97.. Dependencia espacial del ruido neutrónico. Fluctuación del caudal de entrada al núcleo [110] . . . . . . . . . . . . . . . . 141. 98.. Dependencia espacial del ruido neutrónico. Fluctuación combinada de caudal y temperatura [110] . . . . . . . . . . . . . . 142. 99.. Dependencia espacial del ruido neutrónico. Medida en el ciclo 24 de CNT (PWR)[110] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143. 100. Dependencia espacial del ruido neutrónico. 3 Medidas en el ciclo 3 de Grohnde (lanza C4). [81] . . . . . . . . . . . . . . . 144 101. Dependencia espacial del ruido neutrónico. 3 Medidas en el ciclo 5 de Grohnde (lanza J6). [81] . . . . . . . . . . . . . . . 144 102. Posiciones de los detectores de neutrones en C.N. Gronhde [81] 145 103. Dependencia espacial del ruido neutrónico. Medida en Lingen en 1972 (BWR). [79] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 104. Respuesta del modelo puntual de 6 ecuaciones ante una fluctuación aleatoria de la temperatura de entrada [22]. . . . . . . 151 105. Amplitud de la oscilación de potencia en función de la frecuencia de la fluctuación de temperatura de entrada al núcleo. Resultados modelo puntual de 6 ecuaciones (RPM) y S3K. [22].153 106. Amplitud de la oscilación de la temperatura del moderador en función de la frecuencia de la fluctuación de temperatura de entrada al núcleo. Resultados modelo puntual de 6 ecuaciones (RPM) y S3K. [22]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 107. Amplitud de la oscilación de potencia en función de la frecuencia de la fluctuación de caudal de entrada al núcleo. Resultados modelo puntual de 6 ecuaciones (RPM) y S3K. [22]. . . . . . . 154 108. Amplitud de la oscilación de la temperatura del moderador en función de la frecuencia de la fluctuación de caudal de entrada al núcleo. Resultados modelo puntual de 6 ecuaciones (RPM) y S3K. [22]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 109. Bandas de frecuencia en las que se encuentran algunas oscilaciones propias de los componentes de un reactor tipo PWR [64]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 110. Diagrama simplificado de los modos de vibración del barrilete [14]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 111. PSD de un detector excore y un incore de tres reactores KWU de 4 lazos y 1350 MWe [121]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 XIV.

(19) 112. Representación de los modos de oscilación de un elemento combustible [118]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 113. PSD de los detectores excore inferiores y superiores. Reactor KWU-3L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 114. PSD de los detectores excore de la zona superior del núcleo. Reactor W. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 115. PSD de dos detectores excore de la zona superior del núcleo de un reactor Westinghouse [96]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 116. PSD de los detectores excore de un cuadrante del núcleo de un reactor KWU-4L [118]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 117. PSD de los detectores excore de varios reactores PWR americanos [40]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 118. Coherencia y fase entre detectores opuestos. Reactor KWU-3L. 167 119. Coherencia y fase de entre dos detectores externos opuestos. Reactor KWU-3L [110]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 120. Señal de los detectores excore opuestos. Reactor KWU-3L. [110].168 121. Coherencia y fase de entre dos detectores externos opuestos. Reactor KWU-4L. [58]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 122. Coherencia y fase de entre dos detectores externos opuestos. Reactor W-1[64]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 123. Coherencia y fase de entre dos detectores externos opuestos en la zona 0-1Hz. Reactor W-2[29]. . . . . . . . . . . . . . . . 170 124. Coherencia y fase de entre dos detectores externos superiores opuestos. Reactor W-3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 125. Coherencia y fase de entre dos detectores externos superiores opuestos. Reactor W-4 [47]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 126. Coherencia y fase de entre dos detectores externos inferiores opuestos. Reactor W-4 [47]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 127. Coherencia y fase de entre dos detectores externos inferiores opuestos. Reactor KWU-3L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 128. Coherencia y fase entre detectores contiguos. Reactor KWU-3L.173 129. Coherencia y fase de entre un detector externo y un detector interno vecino. Reactor KWU-3L [110]. . . . . . . . . . . . . . 174 130. Coherencia y fase entre detectores contiguos. Reactor W-3. . . 175 XV.

(20) 131. Coherencia y fase entre detectores contiguos. Reactor W-5. . . 175 132. Coherencia y fase de entre dos detectores externos de la posición radial N43. Reactor W-4 [47]. . . . . . . . . . . . . . . . . 176 133. Coherencia y fase de entre dos detectores externos de la posición radial N41. Reactor W-3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 134. Coherencia y fase de entre dos detectores externos de la posición radial N42. Reactor W-3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 135. Coherencia y fase de entre dos detectores externos de la posición radial X3. Reactor KWU-3L. Ciclo A. . . . . . . . . . . . 179 136. Coherencia y fase de entre dos detectores externos de la posición radial X1. Reactor KWU-3L. Ciclo B. . . . . . . . . . . . 179 137. Coherencia y fase de entre los dos detectores externos de varias posiciones radiales. Reactor KWU-4L [83]. . . . . . . . . . . . 180 138. Coherencia y fase de cada detector de una lanza con el del nivel mas alto (nivel 1). Reactor KWU-3L. Ciclo A. . . . . . . 181 139. Coherencia y fase de cada detector de una lanza con el del nivel mas alto (nivel 1). Reactor KWU-3L. Ciclo B. . . . . . . 181 140. Coherencia y fase de los detectores de los niveles 1, 2 y 3 con el del nivel 5 de la lanza J6 durante el alargamiento del ciclo. Reactor KWU-4L [83]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 141. Señal de los 6 detectores internos y un termopar de una misma lanza de instrumentación fija. Reactor KWU de tres lazos [110].184 142. Representación 2D y 3D del modo fundamental [54]. . . . . . . 187 143. Representación 2D y 3D del primer modo [54]. . . . . . . . . . 187 144. Representación 2D y 3D del segundo modo [54]. . . . . . . . . 187 145. Señal temporal de 4 detectores externos. Reactor W-4L. [107]. 189 146. Plano frontal de los materiales del núcleo de un reactor PWR. 190 147. Diagrama de los internos de la vasija de un reactor W [30]. . . 192 148. Rangos de medida de los detectores externos. Reactor EPR [13].203 149. Rangos de medida de los detectores externos. Reactor PWR-W.203 150. Diagrama de funcionamiento de un contador proporcional [30]. 204 151. Diagrama de funcionamiento de una cámara de ionización con compensación [130]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206. XVI.

(21) 152. Diagrama de funcionamiento de una cámara de ionización sin compensación [30]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 153. Posición radial de los detectores externos. Reactor EPR [13]. . 208 154. Posición axial de los detectores externos. Reactor EPR [13].. . 208. 155. Posición radial de los detectores externos. Reactor PWR-W [30].209 156. Posición axial de los detectores externos. Reactor PWR-W [30].209 157. Reacciones nucleares que tiene lugar en un detector SPND de cobalto. [98]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 158. Dimensiones de un detector de neutrones interno. Reactor PWR-EPR [12]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 159. Instrumentación nuclear del reactor de Trillo (PWR-KWU) [51].212 160. Posición radial de los detectores móviles y de los termopares. Reactor PWR-W [30]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 161. Acceso al núcleo y accionamiento de las cámaras de fisión móviles. Reactor PWR-WES [30]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 162. Detalle del transporte neumático de las bolas. Reactor PWREPR/KWU [98]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 163. Bolas de acero-vanadio. Reactor PWR-EPR/KWU. . . . . . . 217 164. Esquema del transporte neumático de las bolas. Reactor PWREPR/KWU [12]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 165. Etapas de una medida de neumobolas. Reactor PWR-EPR/KWU [12]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 166. Mesa de medida del sistema de neumobolas. Vista lateral. Reactor PWR-EPR/KWU [12]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 167. Mesa de medida del sistema de neumobolas. Vista frontal. Reactor PWR-EPR/KWU [12]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 168. Detector de semiconductor utilizado en la mesa de medida del sistema de neumobolas. Reactor PWR-EPR/KWU [12]. . . . . 220. XVII.

(22) Índice de tablas 1.. Características de los SPND. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. 2.. Características de los termopares. . . . . . . . . . . . . . . . . 64. 3.. Características de los detectores externos de neutrones. . . . . 64. 4.. Tiempos de respuesta estimados de dos RTDs en tres ciclos de combustible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85. 5.. Constantes de tiempo obtenidas con las simulaciones para cada frecuencia de muestreo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86. 6.. Constantes de tiempo de los polos obtenidos para las RTDs 1 y 2 en el ciclo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87. 7.. Constantes de tiempo de los polos obtenidos para las RTDs 1 y 2 en el ciclo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87. 8.. Caracteristicas de las fluctuaciones analizadas [110] . . . . . . 134. 9.. Resultados para fluctuaciones de temperatura [110] . . . . . . 137. 10.. Resultados para fluctuaciones de caudal [110]. 11.. Resultados para fluctuaciones combinadas [110] . . . . . . . . 137. 12.. Caracteristicas de las fluctuaciones analizadas [110] . . . . . . 138. XVIII. . . . . . . . . . 137.

(23) 1.. Introducción.. El ser humano siempre ha tenido interés en realizar predicciones. Se ha tratado de hacer predicciones en prácticamente todos los ámbitos de la vida y la naturaleza. En unos casos con mayor éxito que en otros. La realización de predicciones también es uno de los grandes objetivos de la ciencia. Cuando no se conoce como funciona o actúa algo se tienen que realizar suposiciones y predicciones que posteriormente se enfrentan contra la experiencia. Cuando se dispone de un conjunto de ideas capaces de describir un determinado sistema, o proceso, las cuales permiten realizar predicciones correctas sobre su comportamiento o evolución temporal, lo que se posee es el conocimiento de dicho sistema o proceso. Generalmente, para tratar de entender un sistema lo que se hace es estudiar la información que genera. Esta información se puede denominar señal. De esta forma el sistema emite señales que proporcionan mensajes determinados. En muchos casos, la señal vendrá acompañada de ruido, entendido este como la información adicional a la que es relevante para la comprensión del problema, que, procediendo de otras fuentes, acompaña al mensaje principal enmascarando la señal real y haciendo que no se interprete correctamente la información subyacente. Si no se separa adecuadamente la señal del ruido, se corre el riesgo de describir (o modelar) de manera equivocada el sistema y que las predicciones que se lleven a cabo sean erróneas. En la actual Era de la Información el volumen de datos almacenados crece de forma exponencial. De hecho, la mayor parte de la información disponible se ha generado en los últimos años [119]. Existe tanta información que, para un problema dado, la mayoría es ruido que entorpece su entendimiento. Sin embargo, en muchos casos, el ruido que acompaña a la señal también contiene información que puede contribuir al entendimiento del sistema y que merece la pena estudiar. Normalmente se trata solo de una pequeña pare del ruido global que hay que identificar y aislar En esta tesis, se analizan diversos problemas desde esta perspectiva. Se estudia el ruido de manera que permita abordar problemas determinados y realizar predicciones en el ámbito de los reactores nucleares de agua a presión. El análisis de ruido ha sido aplicado con éxito en muchos otros campos más allá de los reactores nucleares. Se pueden encontrar aplicaciones en áreas tan diversas como las tecnologías de la información, la industria química, la economía y la medicina. A este respecto, y como anécdota curiosa, cabe reproducir aquí un fragmento del primer libro de J.A. Thie sobre ruido en reactores, referencia [126], 1963, en relación con las aplicaciones en la 1.

(24) medicina: “It may be fortuitous that there is a striking similarity between the electroencephalogram (i.e., brain-wave recording) of a subject prone to epilepsy and the recording of the power fluctuations of a boiling reactor having an unestable tendency. Various aids in analysis of encephalogram records are avalaible to the physician. These include an atlas of electroencephalograms showing patterns characteristic of many brain malfunctions, a spectrum of the recording, and a cross-correlator for obtaining the degree of correlation between two brain probes. It is interesting to note that physicians skilled in electroencephalography can make accurate diagnoses merely by visual inpection of these recordings. It remains to be seen whether an analogous proficiency will ever develop for diagnosing reactor malfunctions by mere inspection of noise recordings.” Aunque aún hoy es muy difícil realizar un diagnostico adecuado del mal funcionamiento de un reactor nuclear por “mera inspección” de los espectros del ruido, se puede afirmar, sin lugar a dudas, que las técnicas de análisis de ruido en reactores han avanzado enormemente y son cada vez mas utilizadas. La tesis se puede dividir en cuatro partes principales, en la primera parte, constituida por los Capítulos 2 y 3 se introducen los fundamentos del análisis de ruido y algunas de las experiencias previas mas interesantes. Por un lado, en el Capítulo 2, se describen las bases matemáticas del estudio del ruido y por otro, en el Capítulo 3, se exponen desarrollos teóricos y observaciones empíricas que permiten aplicar las bases matemáticas al estudio de problemas físicos reales en CC.NN. En la segunda parte, Capítulo 4, se abordan problemas de vigilancia y monitorización de sensores. Este es uno de los campos mas extensos y con mas aplicaciones prácticas del análisis de ruido en CC.NN [66], [118], [38]. Se comienza presentando una aplicación sistemática de los modelos autorregresivos (AR) de series temporales para la estimación del tiempo de respuesta de diversos sensores de la central nuclear de Trillo en varios momentos de su ciclo de operación. En la segunda parte se desarrolla un método de vigilancia avanzada de termorresistencias y se presenta su aplicación al estudio del comportamiento de los medidores de temperatura de la rama fría de un reactor de agua a presión (PWR) comercial. La tercera parte de la tesis, el Capítulo 5, trata la zona de baja frecuencia del ruido de la señal de flujo neutrónico registrada por los detectores internos y externos al núcleo. La teoría del ruido neutrónico fue investigada inicialmente en 1948 haciendo oscilar un absorbente de neutrones introducido en una pila crítica a potencia zero [95]. Como se verá, esta zona del espectro 2.

(25) de ruido neutrónico juega un papel importante en la operación de las plantas y ha generado algunos problemas en los últimos años. Aunque esta zona del espectro de ruido neutrónico ha sido ampliamente investigada desde los inicios del análisis de ruido aplicado a reactores nucleares, sigue presentando algunas cuestiones teórico-practicas pendientes de resolver que son de interés para muchas de las plantas comerciales en operación. Así, muy recientemente se han publicado artículos que continúan profundizando en la cuestión [95], [70]. Después de presentar dos problemas reales de cómo el ruido neutrónico de baja frecuencia puede afectar a la operación de los reactores, se realizan una serie de simulaciones con códigos avanzados de cálculo nuclear en tres dimensiones y de un modelo mas sencillo. Posteriormente se extraen conclusiones y se plantean hipótesis para explicar algunas de las cuestiones abiertas. El cuarto bloque lo constituye el Capítulo 6, donde se trata de recopilar, ordenar y sintetizar las observaciones experimentales mas importantes que se han realizado durante el desarrollo de la presente tesis y la consulta de la literatura relacionada con el ruido neutrónico en los reactores PWR. Se analiza el ruido neutrónico de los reactores PWR comparando entre distintos diseños y se usa la información extraída para volver a abordar la problemática del ruido de baja frecuencia introducida en el Capítulo 5. Para completar y ordenar la información aportada en el cuerpo de la tesis sobre instrumentación nuclear, se incluye el Anexo A que describe con detalle la instrumentación nuclear. Las descripciones se corresponden con reactores de tipo PWR de generación II (KWU y Westinghouse) y generación III (EPR de AREVA y AP1000 de Westinghouse).. 3.

(26) 2.. Fundamentos matemáticos del análisis de ruido.. El análisis del ruido de una señal se puede llevar a cabo tanto desde una perspectiva temporal como desde una perspectiva frecuencial. Las señales tienen propiedades temporales características del sistema del que proceden y, a su vez, están formadas por componentes de diversas frecuencias, también características del sistema. Por este motivo, generalmente se suelen separar los análisis en el dominio del tiempo de los que se realizan en el dominio de la frecuencia. Mediante las transformadas de Fourier y Laplace es posible pasar las señales de un dominio a otro. Dependiendo del dominio en el que se trabaje se dispondrá de unas herramientas matemáticas o de otras. También hay técnicas que son utilizadas en ambos dominios. Este es el caso de las series temporales, que se introducen en el Apartado 2.5. Para introducir los fundamentos matemáticos del análisis de ruido, se ha optado por estructurarlos de manera similar a Joseph A. Thie en su libro “Power Reactor Noise” [125]. Thie realiza una clasificación sencilla que permite obtener una visión global de las matemáticas implicadas en el análisis de ruido. Este libro fue uno de los primeros publicados sobre el tema, en los años 60, y aun hoy constituye una obra de referencia para los técnicos que trabajan en el análisis de ruido en reactores nucleares. Aunque la organización del capitulo se corresponde, en lo principal, con la del libro de Thie, las definiciones y los conceptos incluidos en cada categoría así como la manera en que estos son introducidos se ha llevado a cabo mediante el análisis y la consulta de otras fuentes que también se citan en el capítulo. El contenido del capítulo se estructura en cinco secciones. En la Sección 2.1 se introduce el concepto de ruido de una señal y en la Sección 2.2 se explican sus principales descriptores estadísticos. A continuación, en las secciones 2.3 y 2.4 se detallan los conceptos matemáticos que se utilizan en el análisis de ruido, tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia. Finalmente, en la Sección 2.5, se tratan las series temporales, que también son una herramienta muy útil al estudiar el ruido en señales.. 4.

(27) 2.1.. El ruido en las señales.. Todas las señales contienen fluctuaciones de diversa índole denominadas ruido (Figura 1). Aunque en general lo que se pretende es eliminar el ruido de la señal para mejorar su calidad, es bien sabido que estas fluctuaciones contienen información acerca de los procesos que están teniendo lugar en el sistema del que proceden.. Figura 1: Ruido asociado a una señal [7] Las señales dependientes del tiempo pueden clasificarse en deterministas y estocásticas. Las señales deterministas pueden representarse analíticamente de manera explícita obteniendo funciones que permiten reproducirlas con exactitud. En cambio, las señales estocásticas se pueden describir mediante las herramientas típicas de la estadística. Las señales estocásticas se dividen en estacionarias y no estacionarias. Las señales estacionarias se dividen a su vez en señales ergódicas y no ergódicas (en breve se introduce el concepto de ergodicidad). Las señales con las que se trabaja consisten en registros, o series, de una duración determinada T , compuestos de un número N de muestras, recogidas con un intervalo de tiempo ∆t denominado tiempo de muestreo. La inversa. 5.

(28) del tiempo de muestreo es la frecuencia de muestreo f . f=. 1 ∆t. (2.1). Cuanto mayor detalle se desee obtener de la señal y de sus fluctuaciones (ruido) menor deberá ser el tiempo de muestreo (y mas alta la frecuencia). Generalmente para hacer análisis de ruido se elimina la componente continua de la señal y se trabaja únicamente con la componente alterna (ruido). De esta forma los valores medios de las series de datos utilizadas son cero. Para eliminar la componente continua se puede restar a cada valor de la serie el valor medio de la serie completa o utilizar filtros adecuados para ello.. 6.

(29) 2.2.. Propiedades estadísticas del ruido. En esta Sección se definen las principales propiedades estadísticas del ruido. A partir de la idea de probabilidad se introduce el concepto de densidad de probabilidad. Después se define el valor medio, la desviación típica y el coeficiente de correlación entre dos señales. Estos descriptores estadísticos son ampliamente utilizados para caracterizar el ruido y se utilizan en multitud de ocasiones a lo largo de esta tesis. En este sentido cabe destacar la importancia del concepto de desviación típica en el desarrollo de los capítulos 5 y 6, donde se hace uso de ella para cuantificar la magnitud del ruido de las señales. 2.2.1.. Probabilidad y función de densidad de probabilidad.. La probabilidad p de ocurrencia de un evento x es: p=. número de veces que ocurre el evento x número de eventos ocurridos. (2.2). La función densidad de probabilidad define la probabilidad p(x, t) que corresponde a cada evento x en cada instante de tiempo t. Puesto que en la mayoría de los casos el análisis de ruido se realiza sobre procesos y señales estacionarias, la función de probabilidad resultante es independiente del tiempo p(x). Los procesos ergódicos se caracterizan por que su función de densidad de probabilidad es la misma para una muestra muy larga (idealmente para la muestra completa, algo imposible de obtener en la práctica) que para todas las muestras de iguales características pero de menor longitud contenidas en la muestra larga [125]. La función de densidad de probabilidad mas utilizada es la distribución normal o gaussiana. Esto es debido a que, cuando los resultados de un experimento dependen de muchas causas independientes que suman sus efectos, la función de densidad exacta del proceso se aproxima con poco error a una gaussiana (Figura 2). La expresión matemática de una distribución gaussiana es la siguiente: (x−µ)2. e− 2σ2 f (x) = √ 2πσ. 7. (2.3).

(30) Figura 2: Funciones gaussianas Donde µ es el valor esperado, o valor medio, y σ es su desviación típica, que da información de la anchura de la distribución. Por definición, el área encerrada bajo la función densidad de probabilidad es igual a la unidad, ya que representa la probabilidad de que ocurra uno entre todos los sucesos posibles. Matemáticamente: Z. ∞. p(x)dx = 1. (2.4). −∞. En muchos casos, cuando se realiza vigilancia de sensores por medio del análisis de ruido, lo que se hace es controlar el nivel de ajuste a una distribución gaussiana de la señal procedente del sensor, como por ejemplo en [93] y en [64]. El hecho del que la distribución de los valores se desvíe de la de Gauss se asocia con una ausencia de linealidad en el comportamiento del sensor indicando posibles defectos o malfunciones. 2.2.2.. Valor medio y desviación típica.. Tanto el valor medio µ como la desviación típica σ poseen diversas definiciones matemáticas que son equivalentes. Los estudios y análisis de ruido se realizan sobre señales discretas y los registros son de una duración determinada que contienen un número N de muestras. En este contexto los. 8.

(31) estimadores mas adecuados y útiles para los parámetros son las siguientes: N 1 X xi µ=x= N i=1. (2.5). v u N u1 X t σ= (xi − µ)2 N i=1. (2.6). Para la caracterización cuantitativa del nivel de ruido de una señal se utilizan principalmente la desviación típica o la desviación típica normalizada (referida al valor medio), también denominados RMS (Root Mean Square) y NRMS (Normalized Root Mean Square): RM S = σ. N RM S =. σ µ. (2.7). (2.8). El cuadrado de la desviación típica se denomina varianza o valor cuadrático medio. 2.2.3.. Coeficiente de correlación.. En caso de disponer de dos o mas señales, se puede definir el coeficiente de correlación normalizado como:. cxy =. N 1 X (xi − x)(yi − y) N σx σy i=1. (2.9). El coeficiente de correlación vale uno cuando las señales son iguales y cero cuando las señales son aleatorias una respecto de la otra (cuando no tienen ninguna relación entre si).. 9.

(32) 2.3.. Dominio del tiempo.. En esta sección se introducen los sistemas lineales invariantes en el tiempo, la función Delta de Dirac y los conceptos de autocorrelación y correlación cruzada entre dos señales. Como se verá en los capítulos 3 y 6, la correlación cruzada es una herramienta muy útil a la hora de aplicar el análisis de ruido a la interpretación de vibraciones y oscilaciones de los componentes mecánicos de los reactores nucleares. 2.3.1.. Sistemas lineales invariantes en el tiempo.. Un sistema puede considerarse como un proceso en el cual las señales de entrada son transformadas por el sistema o provocan que este responda de alguna forma, lo que da como resultado otras señales como salidas del sistema [106]. Los sistemas se pueden representar de diversas maneras. Siendo la entrada al sistema x(t) y la salida y(t), una forma de representar un sistema sería la que se muestra a continuación:. [!ht] También se suele usar mucho la siguiente notación: x(t) → y(t) Se dice que un sistema es lineal si cumple con el llamado principio de superposición, por el cual, si se tiene un sistema tal que: x1 (t) → y1 (t) x2 (t) → y2 (t). 10.

(33) Se cumple que: k1 x1 (t) + k2 x2 (t) → k1 y1 (t) + k2 y2 (t). (2.10). Siendo k1 y k2 constantes arbitrarias. Por otro lado, un sistema es invariante en el tiempo si la respuesta del mismo no depende del momento en que es excitado. Formalmente: x(t) → y(t) ⇒ x(t − t0 ) → y(t − t0 ). (2.11). A los sistemas que cumplen estas dos condiciones se les denomina sistemas lineales invariantes en el tiempo, denotándose normalmente como sistemas LTI (Linear Time Invariant). En la mayoría de los casos, cuando se realiza el análisis de un sistema por medio de técnicas de ruido se considera que es de tipo LTI. 2.3.2.. Función Delta de Dirac.. Una distribución muy útil en el análisis de señales es la Delta de Dirac δ(x), también llamada impulso unitario, que se define según sigue:. δ(t) =.   ∞ si t = 0 . 0. (2.12). si t 6= 0. Para la Delta de Dirac se cumple que: Z. ∞. δ(x)dx = 1. (2.13). −∞. La respuesta de un sistema a un estímulo tipo Delta de Dirac se denomina respuesta al impulso. En la Figura 3 se muestra una representación gráfica de la función δ(x). Una propiedad de la Delta de Dirac, importante en este contexto, es la propiedad de selección, por la cual: Z. ∞. x(t)δ(t − τ )dt = x(τ ) −∞. 11. (2.14).

(34) Figura 3: Funcion Delta de Dirac Haciendo uso de la propiedad de selección es posible definir las señales como sumas de impulsos. De esta forma en el caso de una señal continua x(t) se tiene que: Z. ∞. x(τ )δ(t − τ )dτ. x(t) =. (2.15). −∞. Que en el caso de una señal discreta sería: ∞ X. x[n] =. x[k]δ[n − k]. (2.16). k=−∞. Las ecuaciones (2.15) y (2.16) representan la superposición (según se define en 2.10) de respuestas al impulso para el caso continuo y para el caso discreto respectivamente. Teniendo esto en cuenta se puede concluir que es posible evaluar la respuesta de un sistema como suma de las respuestas a impulsos unitarios. Si h(t) es la respuesta de un sistema lineal a una entrada de tipo impulso unitario se puede expresar la respuesta y(t) de dicho sistema mediante la siguiente integral: Z. ∞. x(τ )h(t − τ )dτ. y(t) =. (2.17). −∞. Cuyo equivalente para señales discretas es: y[n] =. ∞ X. x[k]h[n − k]. (2.18). k=−∞. La integral en (2.17) tiene aplicaciones en muchos campos de la ingeniería y las matemáticas y se denomina integral de convolución. 12.

(35) 2.3.3.. Correlación cruzada y autocorrelación.. La función correlación cruzada relaciona una señal x en el instante t con otra señal y en el instante t + τ (τ se denomina retraso o lag). En cierto modo, da una medida de la similitud o afinidad estadística entre dos señales. Normalmente se usa para analizar si existe alguna relación causa efecto en los procesos generadores de las señales. Su expresión matemática para señales discretas Se puede estimar para el caso de señales discretas de longitud N de la siguiente manera: N 1 X [x(ti ) − x̄][y(ti + τ ) − ȳ] Cxy (τ ) = N i=0. (2.19). Donde Cxy (τ ) tendrá 2N − 1 valores. La autocorrelación es un caso particular de la correlación cruzada en el que se relaciona una señal x en el instante t consigo misma en el instante t + τ . Esta función indica si, en un instante determinado, el valor de la señal x(t) determina el valor de esa misma señal en un instante posterior x(t + τ ). Lógicamente también tendrá 2N − 1 valores. Se estima por medio de: N 1 X Cxx (τ ) = [x(ti ) − x̄][x(ti + τ ) − x̄] N i=0. (2.20). Un ejemplo intuitivo de estos conceptos consiste en estimar la función de autocorrelación de una señal aleatoria. En este caso se obtiene una función tipo Delta de Dirac, ya que la señal solo estará correlacionada consigo misma para τ = 0, siendo cero el valor de la función para el resto de valores de τ . En la figura 4 se muestra un ejemplo de autocorrelación para una señal aleatoria, ambas generadas con MATLAB. Siguiendo con el ejemplo, es interesante introducir ahora el concepto de ruido blanco, definiéndolo como un proceso estocástico consistente en una secuencia o serie de variables aleatorias no correlacionadas entre si. La autocorrelación de un ruido blanco es también una Delta de Dirac como la de la Figura 4.. 13.

(36) Figura 4: Funcion autocorrelación de una señal aleatoria. 2.4.. Dominio de la frecuencia.. De acuerdo con el teorema de Fourier, en la mayoría de los casos las funciones temporales pueden ser aproximadas mediante una superposición de funciones seno o coseno con las frecuencias, amplitudes y fases apropiadas. En base a esto, es posible caracterizar los sistemas en función del contenido frecuencial de las señales que proporcionan. Las herramientas matemáticas que permiten pasar las señales del dominio del tiempo al de la frecuencia y viceversa se denominan transformadas, siendo las mas conocidas las de Fourier y Laplace. La transformada de Laplace permite definir la función de transferencia de un sistema, que, como se verá, constituye una herramienta de gran utilidad en el estudio de sistemas complejos. Una vez en el espacio de frecuencias, hay disponibles funciones como la densidad espectral de potencia, la coherencia y la fase que permiten caracterizar y relacionar señales, y por tanto, los procesos que las generan. La mayoría de los conceptos introducidos en esta Sección son aplicados a lo largo de esta tesis. En el Capítulo 4 se obtienen funciones de transferencia de diversos sensores y en el Capitulo 6 se usan las PSD, las coherencias y las fases para caracterizar el ruido de diversos diseños de reactores PWR. 14.

(37) 2.4.1.. Transformada de Laplace.. La transformada de Laplace es una de las técnicas matemáticas que permiten pasar funciones de un espacio a otro. En este caso, se transforman las funciones dependientes del tiempo en otras dependientes de la variable compleja s = σ + jω (donde σ y ω son las partes real e imaginaria respectivamente). Se trata de una herramienta muy útil para resolver ecuaciones diferenciales de manera sencilla. La transformada de Laplace de una función f (t) se define de la siguiente forma: L{f (t)} = F (s) =. ∞. Z. e−st f (t)dt. (2.21). 0. En los casos en los que existe la transformada de Laplace de una función, es posible hallar la transformada inversa según se indica a continuación: L {F (s)} = f (t) = −1. Z. ∞. est F (s)dt. (2.22). 0. Una propiedad de la transformada de Laplace, muy útil en el análisis de ruido, es que la transformada de la convolución de dos funciones es igual al producto de las transformadas de dichas funciones. Es decir, para la integral de (2.17) se tiene que:. L{y(t)} = Y (s) = L. Z. ∞. x(τ )h(t − τ )dτ. = L{x(t)}L{h(t)} = X(s)H(s). −∞. (2.23) Esto quiere decir que una convolución en el dominio del tiempo es equivalente a una multiplicación en el dominio de la transformada de Laplace. La resolución de las integrales de convolución suele ser bastante complicada y la transformada permite hacerlo de forma sencilla, lo que la hace muy útil en el análisis de señales. También es muy útil la transformada de Laplace de la derivada enésima de una función f (t) cuyo valor y derivadas en t = 0 son cero: L{. dn f (t) } = sn L{f (t)} = sn F (s) dtn. (2.24). Como se puede ver, la transformada de Laplace también convierte una derivada en un producto lo que facilita mucho la resolución de ecuaciones diferenciales. 15.

(38) La transformada de Laplace, así como la de Fourier, que se verá mas adelante, permiten transformar un problema complicado en otro más fácil de resolver, para luego obtener la solución del problema original como la transformada inversa de la solución del problema transformado. 2.4.2.. Función de transferencia.. Como se ha visto en la sección anterior, la relación entre la entrada y la salida de un sistema en términos de la transformada de Laplace se puede escribir de la siguiente forma: Y (s) = X(s)H(s) ⇒ H(s) =. Y (s) X(s). (2.25). El término H(s) es la transformada de Laplace de la respuesta al impulso h(t) del sistema y se denomina función de transferencia. Por ejemplo, haciendo uso de este concepto y de la transformada de la derivada de una función, que se introdujo en la sección anterior, se puede obtener la función de transferencia H(s) de un oscilador armónico de masa m, rigidez k y amortiguamiento c, que relaciona la respuesta del oscilador con la fuerza excitadora aplicada. Este sistema se puede representar en el dominio del tiempo mediante la siguiente ecuación diferencial: m. dy(t) d2 y(t) + c + ky(t) = x(t) dt2 dt. (2.26). Si se realiza la transformada de Laplace de la ecuación anterior se obtiene: ms2 Y (s) + csY (s) + kY (s) = X(s). (2.27). Y dividiendo la salida entre la entrada se llega a: Y (s) 1 = = H(s) 2 X(s) ms + cs + k. (2.28). Las ecuaciones diferenciales y las funciones de transferencia permiten caracterizar los sistemas en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia respectivamente, idea que se podría representar con el siguiente diagrama:. 16.

(39) La función de transferencia relaciona la entrada y la salida de un sistema de una forma sencilla simplificando mucho el tratamiento algebraico de los sistemas dinámicos. Una expresión general de la función de transferencia H(s) es: H(s) =. N (s) ak sk + ak−1 sk−1 + ... + a0 = l l−1 bl s + bl−1 s + ... + b0 D(s). (2.29). Donde N (s) es el numerador de la función de transferencia y D(s) es el denominador. Los polinomios N (s) y D(s) pueden factorizarse en k y l raíces respectivamente, que podrán ser complejas o conjugadas. Las raíces de N (s) se denominan ceros de la función de transferencia y las de D(s) polos. Un sistema es estable si, para cualquier entrada finita, la respuesta es también finita. Es el caso de las funciones de transferencia, su estabilidad o inestabilidad depende del signo de la parte real de las raíces del denominador (de sus polos). Si la raíz es real pura o imaginaria con parte real negativa (semiplano izquierdo del plano complejo) entonces la función de transferencia será estable. En caso contrario será inestable. Fijándose en la ecuación (2.27) es fácil ver que los polos son combinaciones de los coeficientes de la ecuación diferencial del sistema. Los polos tienen unidades de inversa de tiempo (s−1 ) y se interpretan como la inversa de los tiempos característicos del sistema. Aplicando lo anterior a la ecuación (2.25) se ve que los polos de la tranformada de Laplace de la señal de salida Y (s) pueden proceder de los polos de la función de transferencia H(s), de la transformada de la función de entrada X(s) o de ambas. La contribución debida a los polos de H(s) constituye la respuesta natural del sistema y la parte debida a X(s) la respuesta forzada. La estabilidad de la transformada de la salida del sistema también dependerá de los polos de X(s) y H(s). Como ocurre con la ecuación (2.26) y la función de transferencia H(s) de (2.28), el orden de la ecuación diferencial que representa el sistema es igual al número de polos de la función de transferencia de dicho sistema. En este caso se trata de un sistema de segundo orden o de orden dos. 17.

(40) La mayor parte de las veces, los sistemas que se estudian en el ámbito del análisis de ruido se pueden describir mediante ecuaciones físicas de orden uno o dos. Un ejemplo típico de sistema de primer orden, sobre el que se volverá en el Capítulo 4, lo constituye un termómetro que se puede describir mediente la siguente ecuación diferencial [16]: kA(TM − TT ) = C. dTT dt. (2.30). Donde: TT es la temperatura a la que se encuentra el termómetro. TM es la temperatura del medio en el que se quiere medir. A es la superficie de transmisión del calor. k es el coeficiente de transferencia térmica. C es la capacidad calorífica del termómetro. Llevando acabo el mismo proceso que para el oscilador armónico de la ecuación (2.26), se puede obtener la función de transferencia del termómetro como [16]: H(s) =. 1 +1. C s kA. (2.31). La respuesta los sistemas dinámicos ante las entradas o excitaciones externas está intrínsecamente relacionada con el orden de la ecuación diferencial que lo describe. Las entradas mas habituales son la entrada impulsiva, la entrada en forma de escalón, las entradas armónica en forma de senos y cosenos y el ruido blanco [16]. En el caso de la función de transferencia de (2.31) haciendo un poco de álgebra y hallando la transformada inversa puede escribirse la evolución temporal de la respuesta como: y(t) = 1 − e. kAt C. (2.32). Donde se puede definir el parámetro τ : τ=. C kA. 18. (2.33).

(41) Que debe tener dimensiones de tiempo para que el cociente t/τ sea adimensional. En la Figura 5 se representa la respuesta de un sistema de primer orden cuando la entrada es una función escalón. Se trata de un caso genérico sin cuantificar en el que se observa como la señal de salida o respuesta parte de un estado inicial en (t=0) y crece hasta llegar a un valor constante, que dependerá del tamaño del escalón introducido como entrada al sistema.. Figura 5: Respuesta al escalón de un sistema de primer orden Al cabo de un tiempo t = τ se habrá alcanzado el 63,2 % de la respuesta final, mientras que después de un tiempo t = 5τ se llega al 99.3 % del escalón [16]. El parámetro τ determina, de esta forma, el tiempo de respuesta del sistema de primer orden descrito por la ecuación (2.30). A partir de la respuesta al escalón es por tanto posible obtener el tiempo de respuesta del sistema que se está analizando. Como se verá en el Capítulo 4, la posibilidad de obtener el tiempo de respuesta de un sensor aplicando estos conceptos al análisis de ruido permite vigilar el adecuado funcionamiento de algunos elementos de la instrumentación de los reactores nucleares. En los trabajos que se presentarán se modelan diversos sensores en funcionamiento en un reactor PWR comercial mediante las técnicas autoregresivas que se introducen en la Sección 2.5. A continuación se obtienen sus tiempos de respuesta simulando la respuesta a una entrada tipo rampa (que al igual que la entrada tipo escalón permite definir un tiempo de respuesta τ ). 19.

(42) Volviendo al caso de los sistemas de segundo orden como el de la ecuación (2.26), en la Figura 6 se muestra la respuesta al escalon de uno de estos sistemas para distintos valores del coeficiente de amortiguamiento (definido en la (2.26) como c). En este caso se trata de un escalón de valor 1 y el eje de abscisas se representa en términos del periodo del caso de amortiguamiento cero.. Figura 6: Respuesta al escalón de un sistema de segundo orden para varios amortiguamientos Si el coeficiente de amortiguamiento (ξ, en la Figura 6) es mayor que uno el sistema está sobreamortiguado y su repuesta no se equiparará al escalón de entrada. Si el coeficiente es menor que uno el sistema oscilara un tiempo en torno a la respuesta final antes de estabilizarse. Como se verá en la Sección 3.5, las oscilaciones de potencia que se producen en los reactores BWR también pueden ser estudiadas a partir de la dinámica de los sistemas de segundo orden que se acaba de describir. 2.4.3.. Transformada Z.. La transformada Z es el equivalente a la transformada de Laplace para señales discretas. Una señal continua x(t) puede aproximarse a su equivalente discreta mediante un muestreo, obteniéndose así la señal discreta x[n]. Una forma de 20.

(43) representar matemáticamente esta idea sería la que sigue: x(t) → x(n∆t) → x[n]. (2.34). De esta forma se obtiene una señal discreta con n valores tomados cada intervalo de tiempo ∆t denominado intervalo o tiempo de muestreo. En este caso la integral que define la transformada de Laplace pasa a ser un sumatorio: Z F (s) =. ∞. e−st f (t)dt → Z{f (n∆t)} = F [z] =. 0. ∞ X. f [n]z −n. (2.35). n=0. Siendo la relación entre la variable z y la variable s: z = es∆t. (2.36). También se puede definir la transformada Z inversa: Z−1 {F [z]} = f [n]. (2.37). De la misma forma que la transformada de Laplace es muy útil a la hora de resolver ecuaciones diferenciales, la transformada Z lo es para las ecuaciones diferenciales discretas, es decir, en diferencias finitas. Partiendo del desarrollo en serie de Taylor y despreciando los términos de orden mayor a 2 se pueden aproximar las derivadas primera y segunda de una función y(t) a las siguientes expresiones: dy(t) dt d2 y(t) dt2. t=n. ≈ t=n. y[n + 1] − y[n − 1] 2∆t. (2.38). y[n + 1] − 2y[n] + y[n − 1] 2∆t2. (2.39). ≈. A partir de estas aproximaciones se puede discretizar la ecuación 2.26 y transformarla en una ecuación en diferencias finitas. Simplificando la notación anterior, escribiendo yn en lugar de y[n], e introduciendo las aproximaciones anteriores en la ecuación 2.26 se llega a: xn+1 = m. yn+1 − 2yn + yn−1 yn+1 − yn−1 +c + kyn 2 2∆t 2∆t 21. (2.40).

(44) Reordenando términos y agrupando coeficientes, la expresión anterior se puede escribir de forma que la respuesta del sistema en un instante quede en función de los valores del sistema en instantes anteriores y del valor de entrada en ese momento: yn = a1 yn−1 + a2 yn−2 + κxn. (2.41). Los coeficientes a1 , a2 y κ son combinación de los valores m, c y k por lo que también definen las propiedades del sistema. La ecuación (2.41) es una ecuación autorregresiva de segundo orden es decir, un modelo AR de segundo orden (se verá con más detalle en la Sección 2.5). Como se verá, a partir de aquí es posible llegar de forma sencilla a una función de transferencia que describa el sistema en términos de la variable z. Para ello hay que introducir previamente la idea de operador retardo. Según esta idea, la variable compleja z se puede interpretar como un operador que introduce un retardo unitario. Desarrollando el sumatorio de 2.35 para una función discreta de n valores, f [n], se tiene:. f [n] = (x0 , x1 , x2 , ..., xn ) → Z{f [n]} = = x0 + x1 z + x2 z 2 , ..., xn z n = F [z]. (2.42). Si dicha función se empieza a muestrear en un instante anterior se tiene en cambio:. f [n − 1] = (x−1 , x0 , x1 , x2 , ..., xn ) → Z{f [n − 1]} = = x−1 + x0 z + x1 z 2 + x2 z 3 , ..., xn z n+1 = zF [z]. (2.43). Y si se hace en un instante posterior:. f [n + 1] = (x1 , x2 , ..., xn , 0, x0 ) → Z{f [n − 1]} = = x0 z −1 + x1 + x2 z, x2 z 2 , ..., xn z n−1 = z −1 F [z]. (2.44). En general: Z{f [n − k]} = z k F [z] 22. (2.45).

(45) Se ve por tanto que las transformadas Z de señales discretas, procedentes de un mismo sistema o experimento, son el producto de la transformada Z de una señal cualquiera (en un instante dado), por la variable z elevada a una potencia k, que depende del número de instantes que separan ambas señales (número de intervalos ∆t que hay entre el inicio del muestreo de una señal y de la otra). Teniendo en cuenta lo anterior, si se realiza la transformada Z a ambos lados de la ecuación 2.41 se obtiene: Y (z) = a1 z −1 Y (z) + a2 z −2 Y (z) + κX(z). (2.46). Y dividiendo la salida entre la entrada se llega a la función de transferencia en z del sistema discreto: κ Y (z) = = H(z) −1 X(z) 1 − a1 z − a2 z −2. (2.47). Una vez obtenida la función de transferencia es entonces posible hallar los polos, que como se ha indicado anteriormente, proporcionarán información sobre el comportamiento dinámico del sistema. A la hora de trabajar con señales se deben utilizar transformadas discretas por lo que, en la práctica, es la transformada en Z la que se usa para este fin. 2.4.4.. Transformada de Fourier.. La transformada de Fourier se puede considerar un caso particular de la transformada de Laplace en el que la variable s es imaginaria pura, es decir s = jω. En este caso la expresión 2.21 se transforma en: F{f (t)} = F (ω) =. ∞. Z. e−jωt f (t)dt. (2.48). 0. Que es la transformada directa de Fourier. La transformada inversa es entonces: F {F (ω)} = f (t) = −1. Z. ∞. ejωt F (ω)dω. (2.49). 0. Al igual que ocurre con la transformada de Laplace, la transformada de Fourier de un producto de convolución de dos funciones es igual al producto 23.