Optimización del cálculo por Monte Carlo de la Dosis en Radioterapia: Producción de Pares

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Optimización del cálculo por Monte Carlo de la Dosis en

Radioterapia: Producción de Pares

J. Massa1, R. Wainschenker, J. Doorn

E-mail: jmassa@exa.unicen.edu.ar

Abstract. El cálculo de la dosis en radioterapia es de suma importancia para realizar la planificación de un tratamiento. La optimización del cálculo de alta precisión es indispensable para lograr tiempos compatibles con la práctica médica. Es posible optimizar este problema en varios aspectos: en el modelo físico subyacente, en el método de cálculo o a través de métodos globales. En este trabajo se presenta una mejora del método de cálculo, específicamente para la interacción Producción de Pares. La estrategia utilizada se basa en un método de reemplazo de la función de rechazo por un método que utiliza la inversa de la función de densidad de probabilidades acumuladas. Respecto de la calidad de los resultados, se conservó la calidad de los modelos tomados como referencia. Los resultados obtenidos consisten en una optimización en un factor 10 respecto del método de rechazo utilizado en las soluciones tomadas como referencia.

1.Introducción

El objetivo de este trabajo es contribuir a la reducción del tiempo de cálculo por Monte Carlo aplicado al cálculo de la dosis en radioterapia. Si bien el método se ha desarrollado específicamente para reducir el tiempo de cálculo de la interacción de fotones con la materia denominada producción de pares, la estrategia puede utilizarse para el cálculo de otras magnitudes de forma directa aplicando el método de Monte Carlo en general.

El cálculo de la dosis en radioterapia es de gran relevancia debido a que es una herramienta esencial en la planificación de tratamientos de radioterapia y el interés por la optimización del cálculo se origina debido a que actualmente los tiempos de cálculo mediante los métodos más precisos son demasiado grandes para los condicionamientos de la práctica médica. Este problema de optimización puede ser tratado desde varios aspectos según diferentes puntos de vista: es posible realizar optimizaciones sobre el modelo físico principalmente con el fin de evitar el cálculo de ciertas magnitudes consideradas no relevantes para la solución. Este tipo de optimizaciones debe considerarse con cuidado ya que pueden acarrear una pérdida de precisión de los resultados si no se consideran con cuidado las estrategias que permiten cambiar el modelo físico. Pueden realizarse otro tipo de optimizaciones, sobre la estrategia o algoritmo de cálculo aplicado sobre el modelo físico, éste trabajo pertenece a esta categoría. Estas optimizaciones intentan obtener un modelo probabilístico directo entre los números al azar y las magnitudes que se desean calcular.

En este trabajo se obtuvo un método directo de cálculo para la energía del par electrón-positrón (energía reducida) en la interacción producción de pares, como parte del cálculo general de dosis.

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INTIA, Fac. Cs. Exactas, UNICEN, Campus, Tandil, Argentina

XVIII Congreso Argentino de Bioingeniería SABI 2011 - VII Jornadas de Ingeniería Clínica Mar del Plata, 28 al 30 de septiembre de 2011

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El método de cálculo desarrollado toma como base el modelo probabilístico del problema. A través de la integración de las funciones de densidad de probabilidades que relaciona la energía reducida con la sección eficaz (probabilidad de interacción), se obtuvo una forma directa para realizar el cálculo.

Se aproximó la inversa de la función de densidad de probabilidades acumuladas mediante polinomios algebraicos para diferentes energías y finalmente se encontró la relación de los coeficientes de los polinomios. Con estas relaciones y la energía del fotón incidente se construyó un nuevo polinomio de ajuste que permite, dado un número al azar, obtener directamente la energía reducida.

La comparación en tiempo de cálculo de este nuevo método con el utilizado en los programas de alta precisión tomados como referencia indica que se han logrado reducciones del orden de 9 veces, manteniendo el error relativo en el cálculo de las magnitudes involucradas por debajo del 1% en el peor de los casos. Esto es relevante, ya que se intenta que el error general en el cálculo de la dosis no supere el 3%.

En la sección 2 se presenta una introducción al fenómeno de producción de pares, los modelos teóricos adecuados para el cálculo de este efecto, junto con el algoritmo clásico de cálculo que utiliza la función de rechazo. En la sección 3 se presenta el método propuesto de ajuste polinomial, mientras que en la sección 4 se presentan los resultados hallados relativos a la precisión del cálculo y la reducción temporal. Finalmente las conclusiones y el trabajo futuro se detallan en la sección 5.

2. Estado del Arte

La interacción producción de pares puede verse como la transformación de un fotón en un par electrón-positrón en el campo Coulombiano de un átomo. En la figura 1, se puede observar un esquema simplificado de esta interacción.

Figura 1. Esquema de Producción de Pares

La creación de pares es el fenómeno más probable para energías de fotones superiores a las decenas de MeV. Para crear el par, el fotón debe tener al menos una energía igual a 2moec2. En el caso de simulaciones para tratamientos de radioterapia tiene sentido su cálculo a partir de los 4 o 5 MeV, dependiendo también del elemento con el cual se produzca la interacción.

Desde el punto de vista físico, Dirac en 1928 plantea la existencia de este efecto. Los experimentos con cámaras de niebla que se realizaron posteriormente mostraron la aparición de un fenómeno conocido como producción de triplas, que resultó ser el mismo fenómeno en el caso particular en que el fotón interactúa con un electrón del átomo en lugar de con el campo del núcleo atómico [1].

2.1 Modelos teóricos para el cálculo de Producción de Pares

Respecto del cálculo del este efecto, Oppenheimer y Plesset establecieron las probabilidades teóricas del proceso, confirmando la dependencia sobre el cuadrado del número atómico (Z). Posteriormente, Bethe y Heitler realizaron un desarrollo en el cual consideraron con más detalle las correcciones para altas energías del fotón incidente. Este modelo derivado de la aproximación de Born [2] permite

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calcular las secciones eficaces diferenciales DCS (derivada de la probabilidad de interacción respecto de la energía reducida) para fotones incidentes de energía E. La Ec. (1) muestra la expresión para este modelo que incluye además, una corrección similar a la Coulombiana para bajas energías, una corrección radiativa para altas energías, corrección por formación de triplas y adecuación para el cálculo por Monte Carlo con función de rechazo [3].

)] ( ) ( ) 2 1 ( 2 [ 3 2 ] [ 2 ₁ ₂ 2

_α

_η

_ε

_φ

_ε

_φ

_ε

ε

σ

+ − + = e r pp C Z Z r d d (1) Donde

ε

=

(

E

₋

+

m

_e

c

2

)

/

E

es la energía reducida,

2 e r

es el cuadrado del radio clásico del electrón,

α

_{la constante de estructura fina, Z el número atómico del elemento,}

η

_{representa la contribución por} creación de triplas, Cr es el factor de la corrección radiativa,

φ

1

(

ε

)

_y

φ

2

(

ε

)

_{se definen de acuerdo a las} ecuaciones (2) y (3) con

g

1_,

g

2_y

g

0_{definidos en las ecuaciones (4), (5) y (6) respectivamente.}

) ( ) ( ) ( ₁ ₀ 1

ε

=g b +g k

φ

(2) ) ( ) ( ) ( ₂ ₀ 2

ε

=g b +g k

φ

₍₃₎ )] 1 ln( 3 ) arctan( 4 4 [ ) arctan( 6 ) 1 ln( 2 3 7 2 1 2 1 2 1 b b b b b b b g = − + − − − − − − + (4) )] 1 ln( 3 ) arctan( 4 4 [ 2 1 ) arctan( 3 ) 1 ln( 2 6 11 2 1 2 1 2 2 b b b b b b b g = − + − − + − − − + (5)

)

,

(

)

(

4 )

/

ln(

4

₀ 0

Rm

c

fc

Z

F

k

Z

g

=

_e

h

−

+

₍₆₎

Donde Rmec/h_{es el radio de apantallamiento reducido,}

fc

(

Z

)

_{es la corrección de alta energía} Coulombiana de Davies, Bethe y Maximon y F0(k,Z)_{es otro factor de ajuste.}

El modelo presentado estima con precisión la DCS para altas energías del fotón incidente, pero subestima los valores para bajas energías cerca del límite inferior. Posteriormente se introdujeron otras mejoras en la expresión que determina la DCS para bajas energías, que permiten estimarlas con mayor precisión. Estas fueron compiladas en tablas por Hubbel, Gimm y Oberbo utilizando las correcciones empíricas Coulombianas en el rango de 5 a 50 MeV, así como los cálculos exactos de la aproximación de Born de Onda Distorsionada para otros rangos [4].

Las mejoras de precisión en la estimación de las secciones eficaces posteriores a la presentada por Motz,Olsen y Koch [2] deben ser consideradas en contexto, ya que la disminución del error se produce para energías en la zona entre 1,5 y 5 MeV, en la que el efecto de producción de pares es aproximadamente 1000 veces menos probable que el efecto Compton. Estas correcciones proveen entonces una reducción del error del orden de 5*10-4. Es por esta razón que en todo lo que sigue se utiliza el formalismo presentado en las ec. (1) a ec. (6).

En la figura 2 se observa un gráfico de las secciones eficaces de las interacciones de fotones con la materia, donde en la parte derecha se pueden ver las zonas donde las interacciones Compton y Producción de Pares son importantes.

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Figura 2. Secciones eficaces de interacciones de fotones con la materia.

2.2 Cálculo de Producción de Pares por Monte Carlo

Respecto a los algoritmos de cálculo empleados, en los sistemas de alta precisión utilizados como referencia PENELOPE [3], GEANT y EGS[5] comparten un modelo propuesto por Baró [6] basado en la función de rechazo. En este, la expresión que determina la DCS es separada en dos partes, una de ellas es monótona creciente y se encuentra normalizada por lo que es posible aplicar la función de densidad de probabilidades acumulada. Sin embargo, parte de la ecuación se utiliza como función de rechazo para validar los resultados obtenidos en la primera.

Específicamente, la ecuación (1) puede ser escrita de la forma que se muestra en la ecuación (7), donde

π

i(

ε

)_{son monótonas crecientes y normalizadas a 1 y}Ui(

ε

)_{son positivas y normalizadas, por} lo tanto son funciones de rechazo válidas.

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

ε

u

₁

U

₁

ε

π

₁

ε

u

₂

U

₂

ε

π

₂

ε

P

_pp

=

+

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Sobre este modelo se implementó un algoritmo de rechazo cuyos pasos se muestran a continuación: (i) Sortear un valor entero i (=1,2) de acuerdo a:

2 1 1 ) 1 ( u u u p + = y 2 1 2 ) 2 ( u u u p + =

(ii) Muestrear un valor de

ε

utilizando

π

_i

(

ε

)

con las fórmulas de la ecuación (8) en el caso de i igual a 1 o 2 respectivamente           = = − + − − + = 2 1 ) 2 )( 1 2 1 ( 1 ) 1 2 )( 1 2 1 ( 2 1 1/3 i i k k k ξ ξ ε (8)

(iii) Generar un nuevo número aleatorio

ξ

para el uso en la función de rechazo. (iv) Si

ξ

>

U

i

(ε

)

volver al paso (i)

(v) Retornar

ε

Respecto de la eficiencia del cálculo por este método de función rechazo, es del orden del 70% en energías bajas y crece hasta el 95% en altas energías. Las energías utilizadas para comprobar esta eficiencia corresponden al rango bajo-medio de esta interacción, como las utilizadas en el cálculo de dosis en tratamientos de radioterapia.

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3. Método Propuesto

Para la optimización del tiempo de cálculo del fenómeno Producción de Pares se ha utilizado una estrategia que evita el uso de la función de rechazo, a través de la aplicación de un método directo para acceder a la energía reducida a través de un número al azar, dada la energía del fotón incidente y conociendo el Z del átomo con el cual se produce la interacción.

La idea general del método consiste en construir una aproximación a la función de densidad de probabilidades acumulada que facilite su uso en un programa de cálculo. Esta aproximación se construyó tolerando errores muy por debajo de los provistos por el modelo. En tal sentido se encontraron seis polinomios algebraicos de ajuste de grado 4 que permiten conocer los coeficientes del polinomio algebraico de grado 5 de aproximación a la función inversa.

3.1 Obtención de la función inversa

Como modelo de base se utilizó el expresado en la ecuación (1). Si bien se podría obtener la expresión analítica de la integral de esta ecuación para luego obtener la función inversa, se utilizó esta ecuación para obtener las integrales numéricas para diferentes valores de energías y números atómicos respecto de la energía reducida. Esta integral se realizó en forma acumulada ajustando el espaciado de manera de trabajar con la precisión requerida. De esta manera se pudo obtener una función de densidad de probabilidades acumulada monótona creciente y normalizada a 1. En la figura 3 se muestra la DCS y su correspondiente integral acumulada para distintas energías de fotón incidente.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Energía Reducida D C S y D C S A cu m N o rm a li z a d a s 5 MeV 10 MeV 20 MeV

Figura 3. Funciones DCS para diferentes energías y sus correspondientes funciones de densidad de probabilidad acumulada.

Si bien con los datos de la integral numérica es posible obtener una tabla inversa aplicando un método como el de búsqueda binaria de modo de poder utilizar el método de precálculo para dado un número al azar obtener vía una técnica de interpolación la magnitud deseada, de la forma en que se aplicó para el efecto fotoeléctrico y Compton [7][8], se optó por otro método que se describe a continuación.

i) Se obtuvo la energía reducida como función de la densidad de probabilidades acumulada, para un rango de energías desde 5 a 20 MeV, con una separación de 2.5 MeV, para los elementos con número atómico desde 1 hasta 20 con presencia significativa en el cuerpo humano. En la figura 4 se muestran (por simplicidad) algunas de estas funciones para energías de fotón incidente de 5,15 y 20 MeV.

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ii) Se obtuvo un conjunto de polinomios de ajuste de la inversa de la Probabilidad Acumulada desde 0 hasta un valor de energía reducida, llamados PIPAE,Z(

ξ

).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 DCS Acum Normalizadas E n e rg ía R e d u ci d a 15 MeV Acum 20 MeV Acum 5 MeV Acum

Figura 4. Inversa de las funciones de densidad de probabilidad acumuladas para las energías 5, 15 y 20 MeV.

iii) Se graficaron los coeficientes de estos polinomios de ajuste como función de la inversa de la energía y del número atómico. Se observa que estos coeficientes de cada grado pueden ser ajustados con suficiente precisión mediante ecuaciones de cuarto grado. Estas ecuaciones, forman los polinomios de ajuste de coeficientes PACi(E,Z).donde cada uno ajusta el coeficiente de grado i del polinomio PIPAE,Z(

ξ

). Esto puede observarse en la figura 5.

Figura 5. Polinomios de ajuste de coeficientes.

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Se destaca nuevamente que la incidencia de la variación de los números atómicos Z que componen la mayoría de los tejidos del cuerpo humano no altera en forma apreciable los coeficientes de la Tabla 1 para las energías con las que se trabaja en la práctica.

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4.2 Precisión de los resultados.

En figura 6 se observan los errores calculados como la diferencia relativa entre los valores obtenidos por los polinomios PIPAE,Z(

ξ

) y los valores de la inversa de la integral calculados por el modelo teórico utilizado. Para poder mostrar los errores, se los aumenta en un factor 10 y se observa que en los peores casos, donde estadísticamente las energías reducidas asociadas son las menos probables, el error alcanza el 2%. Cabe destacar que en el rango de mayor probabilidad el error se mantiene por debajo del 1 por mil.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 DCS Acum Normalizadas E n e rg ía R ed u ci d a y s u s er ro res rel a ti v o s 5 MeV Acum 15 MeV Acum 20 MeV Acum 5 Mev Errores 20 Mev Errores 15 MeV Errores

Figura 6. Errores aumentados en 10. Se observan valores máximos del 2%.

4.3 Cálculo de la optimización temporal.

Con el fin de comparar el tiempo de cálculo de las diferentes alternativas tratadas en este trabajo, se construyó un programa para el cálculo de las energías reducidas por los métodos de rechazo, el método propuesto en este trabajo y un método de interpolación sobre las tablas como el utilizado en los trabajos anteriores para la optimización del cálculo del efecto fotoeléctrico [8].

Se consideró el cálculo de 1*106 valores para disminuir el efecto de la dispersión entre los diferentes equipos en los que se realizaron las pruebas. Además, la medición de tiempos se realizó asegurando que la frecuencia principal del microprocesador se mantenga fija durante la ejecución del programa. Los resultados medidos en tiempo promedio, factor de optimización respecto al método de rechazo y la cantidad de números al azar utilizados promediados se presentan en la tabla 2.

Tabla 2. Valores de coeficientes.

Interpolación Bilineal

Método de ajuste

polinomial Método de rechazo

Tiempo Promedio (s) 0.70 2.83 26.40

Factor de Optimización temporal respecto a

Método de Rechazo 37.2 9.3 1

Cantidad de números al azar promedio 1 1 2

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5. Conclusiones y Trabajo Futuro

• Se desarrolló un método que aproxima la inversa de la función de densidad de probabilidades acumulada y se la aplicó para el cálculo del efecto de producción de pares. Esto evita el uso de expresiones complicadas que si bien son conceptualmente válidas, son innecesarias en el caso de la utilización en un programa de cálculo.

• El método implementado permitió reducir el tiempo de cálculo del efecto Producción de Pares en un factor de 9.3 veces. Si bien la implicancia que esta reducción tiene en el cálculo total de la dosis en radioterapia es desconocida aún, debido a que no se dispone del modelo completo, es acumulable y combinable con otras optimizaciones ya realizadas o a realizar. • El método hallado permite obtener los valores de energía reducida necesarios para el cálculo

de la interacción producción de pares sin involucrar el manejo del gran volumen de información que supone el trabajo con tablas para implementar el método de interpolación bilineal.

5.1 Trabajos Futuros.

Se espera completar este trabajo integrándolo junto con las optimizaciones ya realizadas para los efectos Fotoeléctrico y Compton [7], entre otras [8].

Además, se planifica realizar el estudio de sensibilidad para la implementación de Interpolación Bilineal con la idea de evaluar la posible implementación de un modelo mixto según la disponibilidad de recursos (memoria vs. capacidad de cálculo).

6. Referencias bibliográficas

[1] Hubbell J.H. “Electron-positron pair production by photons: A historical overview”. Radiation Physics and Chemistry, Vol. 75, pp. 614-623, 2006

[2] Motz J.W., Olsen H.A., Koch H.W. “Pair production by photons”. Rev. Mod Phys., Vol 41, pp. 581-639, 1969

[3] F. Salvat, J. Fernández Varea, J Sempau, “PENELOPE-2008, A Code System for Monte Carlo Simulation of Electron and Photon Transport,” Workshop Proc., Barcelona, Spain, ISBN: 978-92-64-99066-1, 2008

[4] Hubbell J.H., Gimm H.,Overo I.. “Pair, triplet, and total atomic cross sections (and mass attenuation coeffcients) for 1 MeV-100 GeV photons in elements Z = 1 to 100", J. Phys. Chem. Ref. Vol 9, 1023-1147. 1980

[5] Kawrakow I., Rogers D. “The EGSnrc Code System: Monte Carlo Simulation of Electron and Photon Transport”, Ionizing Radiation Standards, National Research Council of Canada, Nov 7, 2003, NRCC Report PIRS-701, 2003

[6] Sempau J. et al. “An algorithm for Monte Carlo simulation of couped electron-photon transport”. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, B. 132, pp 377-390, 1997 [7] Massa J., Wainschenker R., Doorn J., Caselli E., “Time improvement of photoelectric effect

calculation for absorbed dose estimation”, IOP Publishing, Journal of Physics: Conference Series 90, doi:10.1088/1742-6596/90/1/012048, 2007

[8] Massa, J.M.; Doorn, J.H.; Wainschenker, R.S. “Low-coupled parallel strategy for Monte Carlo radiation dose calculation” . Engineering in Medicine and Biology Society (EMBC), 2010 Annual International Conference of the IEEE, August 2010, pp. 1771 – 1774, 2010