CAPITULO VII
DIFUSIVIDAD Y EL MECANISMO
DE TRANSPORTE DE MASA
7.1 Difusión de concentración
de masa
• La transferencia de masa. Diferencia en la concentración de alguna especie o componente químico en una mezcla.
• Transferencia de calor. Diferencia de temperaturas en un cuerpo. • La transferencia de masa es la masa en tránsito como resultado de
una diferencia en la concentración de especies en una mezcla.
• El gradiente de concentración de especies en una mezcla proporciona el potencial de impulso para el transporte de esas componentes o especies. Se entiende la transferencia de masa, cuando existen gradientes de concentración (vapor de H2O a aire seco o SO liberados al ambiente), y no al flujo de masa debido a un equipo mecánico (bomba, ventilador).
7.1 Difusión de concentración
de masa (continuación)
• Figura 7-1. Transferencia de masa en una
mezcla de gas binaria.
7.1 Difusión de concentración
de masa (continuación)
• La difusión de masa puede darse en:
• En gases.-
óxido nitroso, ON en aire del
escape de un automóvil.
• En líquidos.- oxígeno disuelto en agua.
• En sólidos.- helio en Pirex.
• Composición de una mezcla:
• Mezcla: consiste en dos o mas constituyentes
químicos (especies), y la cantidad de cualquier
especie
i
se puede cuantificar en términos de su
densidad de masa o su concentración
molar
.
• Así pues
iρ
(
3)
kg m(
3)
i C kmol m7.1 Difusión de concentración de masa
(continuación)
i
M C
i i7.1 Difusión de concentración
de masa (continuación)
• En la ecuación anterior
•
peso molecular de la especie
i
,
•
masa por unidad de volumen de la especie
i
, siendo
el volumen el de la mezcla
•
densidad de la mezcla.
• El número total de moles por unidad de volumen de
mezcla es
• La fracción de masa, , se define como la cantidad de la
especie
i
en una mezcla, esto es:
i
M
iρ
(
kg kmol)
i i ρ =∑
ρ i M i i M ρ ρ = i i C =∑
C7.2 Ley de Fick para la difusión
• Para la difusión de masa la transferencia de la
especie
A
en una mezcla binaria
A
y
B
se puede
expresar:
•
flujo de masa de la especie
A
,
• Esta expresa la cantidad de
A
que se transfiere
por unidad de tiempo y por unidad de área
perpendicular a la dirección de transferencia y
proporcional a la densidad de masa de la
mezcla
A AB Aj
ρ
D
m
→= −
∇
Aj
→ 2kg
s m
⋅
A B ρ ρ= + ρ(
3)
kg m7.2 Ley de Fick para la difusión
(continua)
•
coeficiente de difusión binaria o difusividad de
masa.
• La ecuación anterior también se puede expresar como
función molar o base molar,
•
• O de la fracción molar
• También de las ecuaciones anteriores se tiene
AB
D
A A m ρ ρ = * A J → 2 kmol s m ⋅ * AB A A J CD m x → = − ∇ i i C X C = 1 i i m =∑
i 1 i X =∑
7.2 Ley de Fick para la difusión
(continua)
• Para una mezcla de gases ideales la
densidad de masa y la concentración
molar de cualquier constituyente esta
relacionada con la presión parcial del
constituyente mediante la ley del gas
ideal. Esto es:
i i i
p
R T
ρ
=
i ip
C
RT
=
7.2 Ley de Fick para la difusión
(continua)
•
flujo molar de la especie
A
.
•
; concentración molar total de la mezcla en,
•
; fracción molar de la especie
A
.
• Condiciones restrictivas inherentes a la ecuación de
difusión.
• La
difusión
es
ordinaria.
El
potencial
de
impulso
dominante es el gradiente de concentración.
• Los flujos se mueven o miden con respecto a un sistema
de coordenadas que se mueven en la velocidad promedio
de la mezcla.
* J → A B C =C +C A A C X C =(
3)
kmol m7.2 Ley de Fick para la difusión
(continua)
• Condiciones restrictivas inherentes a la
ecuación de difusión.
• La difusión es ordinaria. El potencial de
impulso dominante es el gradiente de
concentración.
• Los flujos se mueven o miden con
respecto a un sistema de coordenadas
que se mueven en la velocidad promedio
de la mezcla.
7.3 Velocidades y flujo de masa
• Sea una mezcla binaria
A
y
B
el flujo de masa
relativo a un sistema fijo de coordenadas se
relaciona con la velocidad absoluta de la
especie.
•
, velocidad promedio de todas las partículas
de A en un pequeño elemento de volumen
alrededor del punto.
" A
n
→ " A A An
ρ
V
→ →=
A V7.3 Velocidades y flujo de
masa (continua)
• De igual modo para la especie
B
• Se sigue que la velocidad de masa promedio
para la mezcla es
• O bien
" B B B n ρ V → → = " " " B A B A A B n ρV ρ V ρ V n n → → → → → → = = + = + A A B B V = m V + m V7.3 Velocidades y flujo de
masa (continua)
• están
definidos
como
cantidades
absolutas:
•
Las velocidades
,
,
•
Los flujos
,
,
• De modo que el flujo de masa de la
especie
A
con relación a la velocidad de
masa promedio de la mezcla queda
A V → B V → V → " A
n
→ " Bn
→ "n
→ A A A j ρ V V → → → = − 7.3 Velocidades y flujo de
masa (continua)
•
, flujo relativo o difusivo de la especie,
y es el movimiento de la especie en
relación con el movimiento promedio de la
mezcla.
• Por otro lado
• De modo que
A j → " " " A AB A A A B n ρD m m n n → → → = − ∇ + + 7.3 Velocidades y flujo de
masa (continua)
• De igual modo para la especie
B
.
• El flujo de masa de
B
relativo a la velocidad de masa
promedio de la mezcla (flujo difusivo) es
•
siendo
• De las ecuaciones anteriores se sigue que
•
•
ya que
B B B j ρ V V → → → = − jB ρDBA mB → = − ∇ A B j j → → = − A B m m ∇ = −∇m
A+
m
B=
1
AB BA D = D7.3 Velocidades y flujo de
masa (continua)
• Así pues el flujo absoluto de la especie
B
se puede
expresar como
• En base molar se tiene
•
y
•
y una velocidad promedio para la mezcla,
" " " B AB B B A B n ρD m m n n → → → = − ∇ + + " A A A N C V → → = " B B B N C V → → = " " " * A B A B A B N N N CV C V C V → → → → → → = + = = + *
V
→ * A B A B V X V X V → → → = +7.3 Velocidades y flujo de
masa (continua)
• El flujo molar difusivo (relativo) de A es:
• Y como el caso para la difusión de masa se tiene
• O bien • De igual modo * * A A J C V V → → → = − " * * A A A N J C V → → → = + " " " A AB A A A B N CD X X N N → → → = − ∇ + + * * 0 A B J J → → + =
7.3 Velocidades y flujo de
masa (continua)
• Un caso especial es cuando un flujo absoluto de una especie es igual al flujo difusivo, medio estacionario, en este caso se tiene
• En términos de unidades molares y
• Con este caso especial se da la analogía entre la transferencia de calor.
• Con este caso especial se da la analogía entre la transferencia de calor. " A A j n → → = * " A A J N → → = * 0 V → =
7.3 Velocidades y flujo de
masa (continua)
• “El flujo de masa de alguna especie que entra a un volumen de control, menos el flujo de masa de esta especie que sale del volumen de control, es igual al flujo de masa de la especie que se almacena”.
• La generación de especies ocurre cuando se presentan reacciones químicas en el sistema, por ejemplo reacciones de disociación (AB→A+B).
, , , ,
o o o o
A
A ent A gen A sale A alm
dM
M M M M
dt
7.4 Ecuación de difusión
de masa
• Esta ecuación es análoga con la ecuación de difusión de calor, la que se expresa como
2 2 2 2 2 2 1 o p T T T q T T C x y z k ρ t α t ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ p k C α ρ =
7.4 Ecuación de difusión
de masa
• De acuerdo a la figura anterior, se tiene
• En x:
• En y:
• En z:
• Generación debido a reacciones químicas
volumétricas (homogéneas). Lo que se
tiene
" " A x A x x n n y z +∆ − ∆ ∆ " " A y A y y n n x z +∆ − ∆ ∆ " " A z A z z n n x y +∆ − ∆ ∆ 0 0 , A gm AM
=
n
∆ ∆ ∆
x y z
7.4 Ecuación de difusión
de masa
• razón de aumento de la masa de la especie A por unidad de volumen de la mezcla,
• El cambio de la especie almacenada A dentro del volumen de control, esta dada por:
• Agrupando tenemos:
• Dividiendo entre y haciendo , se llega a:
0 A
n
(
3)
kg m 0 , A A alm M x y z t ρ ∂ = ∆ ∆ ∆ ∂ 0 " " " " " " A A x x A x A y y A y A z z A z n n y z n n x z n n x y n x y z +∆ +∆ +∆ − − ∆ ∆ − − ∆ ∆ − − ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ = A x y z t ρ ∂ ∆ ∆ ∆ ∂ x y z ∆ ∆ ∆ ∆ ∆x, y y ∆ →z 0 " " " 0 A A A A A n n n n x y z t ρ ∂ ∂ ∂ ∂ − − − + = ∂ ∂ ∂ ∂7.4 Ecuación de difusión
de masa
• Para un medio estacionario, la velocidad de
masa promedio , de modo que
y también:
Queda
0 V → = n"A jA → → = 0 " , , A A x A x AB m n j D x ρ ∂ = = − ∂ 0 " , , A A y A y AB m n j D y ρ ∂ = = − ∂ 0 " , , A A z A z AB m n j D z ρ ∂ = = − ∂ 0 A A A A A AB AB AB m m m D D D n x x y y z z t ρ ρ ∂ ρ ∂ ρ ∂ ∂ ∂ + ∂ + ∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂7.4 Ecuación de difusión
de masa
• En términos de concentración molar
•
• Si y , son constantes se tiene:
• O si y son constantes
A A A A AB AB AB A x x x C CD CD CD N x x y y z z t ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ + ∂ + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ &ρ
AB D 2 2 2 2 2 2 1 A A A A A AB AB N x y z D D t ρ ρ ρ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ & ABD
C
2 2 2 2 2 2 1 A A A A A AB AB C C C N C x y z D D t ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ &7.4 Ecuación de difusión
de masa
• Observe aquí que y lo que ocurre para la temperatura con la ecuación de difusión de calor.
• Tiempo inicial
• 1. La concentración de las especies en la superficie se mantienen a un valor constante, .
• 2. Existe un flujo consistente de especies en la superficie y con el uso de la ley de Fick, se tiene:
• Para la superficie impermeable