TEMA 6: La valoración de opciones y futuros

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Documentación académica. Ref: sq1102002

Esquemas _{Fundamentos de Finanzas}

Teoría

TEMA 6: La valoración de opciones y futuros

Índice 1. Introducción

2. Definición de futuros y opciones

2.1. Elementos en un contrato de opciones 2.2. Tipos de opciones

3. Funcionamiento de las opciones 3.1. Call: opción de compra 3.2. Put: opción de venta

4. Determinantes del valor de las opciones 5. Modelos de valoración de opciones

5.1. Modelo de valoración de opciones en 2 etapas 5.2. Valoración neutral al riesgo

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Teoría

Bibliografía básica

Hull, J.C. (1996): Introducción a los mercados de futuros y opciones. Prentice Hall, Hemel Hempstead.

Bibliografía complementaria

Bishop, M. (2009): Economics. An A–Z Guide. The Economist, London.

Brealey, R.A. y Myers, S.C. (2003): Principios de finanzas corporativas. McGraw-Hill, Madrid.

Constantinides, G.M.; Harris, M. y Stulz, R.M. (2003):

Handbook of the Economics of Finance. Volume 1B Financial Markets and Asset Pricing. Elsevier, Amsterdam.

Fabozzi, F.J. (1995): Investment Management. Prentice Hall International, New Jersey.

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Teoría

Hillier, D.; Ross, S.; Westerfield, R.; Jaffe, J. y Jordan, B. (2010): Corporate Finance. European Edition. McGraw-Hill, Maidenhead.

Martín Marín, J.L. y Trujillo Ponce, A. (2004): Manual de mercados financieros. Thomson, Madrid.

Suárez Suárez, A.S. (2005): Decisiones óptimas de inversión y financiación en la empresa. Ediciones Pirámide, Madrid.

Sharpe, W.F.; Alexander, G.J. y Bailey, J.V. (1995):

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Teoría

1. Introducción

→ Opciones y futuros son derivados: instrumentos cuyos precios dependen de otras variables subyacentes.

• Ej.: Precio de una opción sobre acciones depende del valor de la acción subyacente.

• Ej.: Precio de futuros sobre una mercancía depende del valor del producto subyacente.

→ Los contratos de opciones llevan menos tiempo negociándose que los contratos de futuros.

→ Orígenes de los mercados de futuros: Edad Media.

Creados para satisfacer demandas de agricultores y comerciantes.

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Teoría

Ejemplo: Situación de incertidumbre de agricultor y comerciante en el mes de abril.

Riesgos ante variaciones en precios del cereal

Escenario Agricultor Comerciante

Escasez Precio alto Precios exorbitantes Abundancia Precio bajo Precios favorables

→ Cosecha del cereal en junio y se desconoce precio de la cosecha ahora.

→ Agricultor y comerciante deberían acordar en abril (o antes) precio del cereal => contrato de futuros, que reducirá riesgo de un precio futuro del cereal incierto.

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Teoría

2. Definición de futuros y opciones

→ Contrato de futuros: acuerdo para comprar o vender un activo en una fecha futura a un precio cierto.

→ Contrato de opciones: otorga a su titular el derecho (no obligación) a comprar o vender un activo en una fecha determinada a un precio establecido.

Caso de las opciones: emisor de una opción de compra (call) deberá vender las acciones al dueño de la call cuando éste desee ejercitar su derecho. Emisor de una opción de venta (put) está obligado a comprar las acciones al dueño de la put siempre que éste decida ejercitar su derecho.

=> La obligación […] => El derecho [...]

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Teoría

Diferencias entre opciones y futuros

→ Titular de un contrato de futuros a l/p […];

Mientras que el titular de una opción de compra […]

→ Suscribir un contrato de futuros no cuesta nada (excepto requisitos de garantías);

Sin embargo, para suscribir un contrato de opciones el inversor deberá pagar precio de adquisición o prima.

2.1. Elementos en un contrato de opciones

1. Fecha de vencimiento o de ejercicio. 2. Precio de ejercicio.

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Teoría

2.2. Tipos de opciones

1. En función del período de ejercicio (criterio temporal):

→ Americanas

→ Europeas

2. En función del activo subyacente:

→ Sobre mercancías (commodities)

→ Sobre instrumentos financieros: a) Acciones

b) Divisas c) Índices

d) Tipos de interés e) Futuros

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Teoría

3. En función del mercado donde se negocian:

→ En mercados organizados

→ OTC (over-the-counter)

4. En función del derecho que confieren:

→ Opción de compra (call)

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Teoría

3. Funcionamiento de las opciones

3.1. Call: opción de compra

→ Un inversor compra opciones de compra (call) europeas para adquirir 100 acciones de Movistar.

• Precio de ejercicio = 40€

• Precio actual de las acciones = 38€

• Vencimiento = 4 meses

• Precio de adquisición de la opción de compra = 5€ => Inversión inicial o prima = […]

→ En fecha de vencimiento:

• Precio acción < 40€ => […]

• Precio acción > 40€ => […]

Ej.: precio acción = 55€. Inversor compra 100 acciones a 40€/acción => Bo bruto = […] y Bo neto = […]

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Teoría

Ej.: precio acción = 42€/acción. Entonces […]

→ En la fecha de vencimiento, opciones de compra deben ejercerse si […]

Beneficio de una opción de compra

Precio de ejercicio 40€

Precio actual de cada acción 38€ Precio de 1 opción para comprar 1 acción 5€

Precio de adquisición o prima: […]

Resultado de la operación:

Precio por acción = 55€ => […] Beneficio bruto = […]

Beneficio neto = […]

Precio por acción es < a 40€ => […] Pérdida bruta = pérdida neta = […] Precio por acción = 42€ => […]

Beneficio bruto = […] Pérdida neta = […]

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Teoría

Gráfico: Comprador de call

Características del comprador de call:

→ Paga la prima.

→ Obtiene derecho a comprar al precio de ejercicio.

→ Riesgo máximo = […] → Rentabilidad máxima = […] -10 0 10 20 30 0 10 20 30 40 50 60 70 Beneficio (€) Precio de la acción en t+1 (€)

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Teoría

Gráfico: Vendedor de call

Características del vendedor de call:

→ Cobra la prima.

→ Se compromete a vender al precio de ejercicio.

→ Riesgo máximo = […] → Rentabilidad máxima = […] -30 -20 -10 0 10 0 10 20 30 40 50 60 70 Beneficio (€) Precio de la acción en t+1 (€)

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Teoría

3.2. Put: opción de venta

→ Un inversor compra opciones de venta (put) europeas para vender 100 acciones de Repsol

• Precio actual por acción = 65€

• Vencimiento = 3 meses

• Precio de una opción de venta de = 7€ => Inversión inicial = […]

→ En fecha de vencimiento:

• Precio acción < 70€ => […]

• Precio acción > 70€ => […]

Ej.: precio acción = 55€. Inversor compra 100 acciones a 55€/acción y, con opción de venta, vende a 70€/acción => Bo bruto = […] y Bo neto = […]

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Teoría

→ En la fecha de vencimiento, las opciones de venta deben ejercerse si […]

=> Comprador de call espera que precio de acciones […]; comprador de put espera que precio […]

Beneficio de una opción de venta

Precio de ejercicio 70€

Precio actual de cada acción 65€ Precio de 1 opción para vender 1 acción 7€

Precio de adquisición o prima: […]

Resultado de la operación:

Precio por acción = 55€ => […]

Beneficio bruto = (70 – 55) x 100 = […] Beneficio neto = 1.500 – 700 = […] Precio por acción es > a 70€ => […]

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Teoría

Gráfico: Comprador de put

Características del comprador de put:

→ Paga la prima.

→ Obtiene derecho a vender al precio de ejercicio.

→ Riesgo máximo = […]

→ Rentabilidad máxima = […]; Bo neto máximo = […]

-15 0 15 30 45 60 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Beneficio (€) Precio de la acción en t+1 (€)

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Teoría

Gráfico: Vendedor de put

Características del vendedor de put:

→ Cobra la prima.

→ Se compromete a comprar al precio de ejercicio.

→ Riesgo máximo = […] (pda. bruta); riesgo máximo = […] (pda. neta). → Rentabilidad máxima = […] -70 -55 -40 -25 -10 5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Beneficio (€) Precio de la acción en t+1 (€)

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Teoría

Tabla resumen

Decisión del comprador de opciones

Tipo de opción _Pr. Relación

Mercado/Pr.Ejercicio Decisión

Call Pr.Mercado > Pr.Ejercicio […]

Pr.Mercado ≤ Pr.Ejercicio […]

Put Pr.Mercado ≥ Pr.Ejercicio […]

Pr.Mercado < Pr.Ejercicio […] Resultado de la operación Call: Pr.Mercado > Pr.Ejercicio […] Put: Pr.Mercado < Pr.Ejercicio […]

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Teoría

4. Determinantes del valor de las opciones

→ ¿Cómo se determina el valor de mercado de una opción (no al vencimiento)?

Límite inferior – Opción de compra (call)

→ Ej.: opción de compra (americana) que se encuentra “dentro de dinero” (“in the money”) antes de la fecha de vencimiento.

• Precio de la acción = 60€

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Teoría

→ ¿Qué sucedería si la opción se vende a 9€?

Fecha Transacción (€)

Hoy (1) Compra de la call. […] Hoy (2) Ejercicio de la _{subyacente al precio de ejercicio).}call (compra del activo […] Hoy (3) Venta de la acción al precio de mercado. […] Bo del

arbitraje […]

→ Un beneficio de arbitraje no se puede dar regularmente en mercados financieros que funcionan correctamente.

→ Exceso de demanda de estas opciones hará que su precio […]

→ Probablemente precio opción > 10€. Ej.: precio = 12€ => valor intrínseco de la opción = 10€; valor restante = 12€ – 10€ = 2€ = prima del tiempo (cantidad adicional que inversor está dispuesto a pagar por posibilidad de

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Teoría

Límite superior – Opción de compra (call)

→ ¿Existe un límite superior al precio de las opciones?

→ Límite superior del precio de una opción = precio del activo subyacente.

→ Intuición: La acción proporciona resultado mejor que la opción. Ej.: Si en el vencimiento, precio de la acción > precio de ejercicio => valor de la opción = […]. Si precio de la acción < precio de ejercicio => valor de la opción = […], pero propietario de la acción posee aún un título con valor.

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Teoría

Determinantes del valor de una opción

→ Pueden clasificarse en dos grupos:

• Relacionados con características del contrato de la opción.

• Relacionados con características del título y del mercado.

1. El precio de ejercicio

→ Cuando el precio de ejercicio ↑, el valor de la opción de compra (call) […]. (Intuición: adquirimos un derecho a comprar más caro).

→ Cuando el precio de ejercicio ↑, el valor de la opción

de venta (put) […]. (Intuición: adquirimos un derecho a vender más caro).

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Teoría

2. El período de tiempo hasta el vencimiento

→ El valor de las opciones de compra (call) y venta (put) americanas ↑, cuando el período de vencimiento […]. (Intuición: se otorga a propietarios mismos derechos y > flexibilidad para ejercerlos).

→ Relación […] no necesariamente cierta en caso de opciones de compra y venta europeas.

3. El precio de la acción

→ Si precio de la acción ↑, valor de la opción de compra

(call) […]. (Intuición: adquirimos derecho a comprar a precio fijo un título que es más caro en el mercado).

→ Si precio de la acción ↑, valor de la opción de venta

(put) […]. (Intuición: adquirimos derecho a vender a precio fijo un título que podríamos vender a precio > en

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Teoría

4. La volatilidad o riesgo del activo subyacente

→ Cuando volatilidad del activo subyacente ↑, valores de

la opción de compra (call) y de venta (put) […].

Ejemplo:

→ Justo antes de la fecha de vencimiento:

• Precio de la acción = 100€ con prob. = 50%

→ ¿Valor de la call con precio de ejercicio = 110€?

• […]

→ ¿Qué sucede con un precio de la acción más variable? (Añadimos y descontamos 20€ a los escenarios).

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Teoría

→ Variabilidad en precio de la acción ↑, pero valor esperado de la acción es el mismo:

[…]

→ ¿Valor de la call con precio de ejercicio = 110€?

• Ahora […]

Importante: diferencia entre “poseer una opción sobre un activo subyacente” vs. “poseer activo subyacente”

→ Si los inversores son adversos al riesgo, un ↑ en variabilidad del título ↓ su valor de mercado.

→ Pero, propietario de una call obtiene un Bo de la cola positiva de la distribución de probabilidad => un ↑ en la variabilidad del título subyacente ↑ valor de mercado de la call.

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Teoría

5. Tipos de interés

→ Cuando tipos de interés ↑, valor de la call […]. (Intuición: la posibilidad de diferir el pago es más valiosa cuando los tipos de interés son elevados).

→ Cuando tipos de interés ↑, valor de la put […]. (Intuición: posibilidad de vender acción a un precio de ejercicio fijo en algún momento futuro es menos valiosa si el valor actual del precio de ejercicio se reduce por un tipo de interés alto).

Supongamos: tenemos opción que será canjeada por una acción => somos hoy propietarios de la acción pero no tenemos que pagar precio de ejercicio hasta más tarde.

a) Compra de opción = compra de acción financiada con deuda (préstamo = valor actual del precio ejercicio). b) Valor de la call = […]

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Teoría

Importante: inversores que adquieren acciones a través de una opción de compra lo hacen “a crédito”.

→ Este pago aplazado es más valioso cuando tipos de interés son altos y opción tiene un período de vencimiento largo.

=> Valor de la call […] con: a) tipos de interés y

b) período de vencimiento. 6. Dividendos

→ Dividendos ↓ precio acción en fecha ex-dividendo. Esto afecta […] al valor de opción de compra y […] al valor de opción de venta.

→ Es decir, valor de la call […], cuando valor de los dividendos anticipados ↑; pero valor de la put […], cuando valor de los dividendos anticipados ↑.

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5. Modelos de valoración de opciones

5.1. Modelo de valoración de opciones en 2 etapas

→ Supongamos que:

• Valor de mercado de acción en t0 = 50€

• Valor de mercado en t1 puede ser = 60€ o 40€

• Call sobre esta acción con vencimiento = 1 año y precio ejercicio = 50€

• Inversor puede endeudarse a tipo de interés = 10% => ¿Cuál es el valor de la opción de compra?

→ Vamos a analizar dos estrategias:

• Estrategia 1. […]

• Estrategia 2. […]: a) […], y

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Teoría

Flujos de caja Estrategia 1 = Flujos de caja Estrategia 2

→ Como flujos de caja son equivalentes => estamos duplicando opción de compra con segunda estrategia

→ Al final del año (en t1), los pagos son:

Pagos futuros en t + 1

Estrategia inicial _{acción = 60€}Precio de la _{acción = 40€}Precio de la

1. Comprar una call […] […]

2. Comprar acción ordinaria […] […] Tomar dinero prestado […] […] Total de la estrategia acciones ordinarias + endeudamiento […] […]

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Teoría

→ Estrategia “opción de compra” = estrategia “acción ordinaria y endeudamiento” (en estructura de pagos futuros) => Con cualquier estrategia un inversor acabaría con […]€ si precio de acción ↑ y […]€ si precio de acción ↓. Ambas estrategias son equivalentes.

→ ¿Qué relación debería existir entre sus costes iniciales? […]

→ Coste inicial en estrategia de compra de acciones ordinarias y endeudamiento:

Comprar acción ordinaria => € Tomar dinero prestado => €

Desembolso a realizar €

→ Como opción de compra proporciona mismos pagos que estrategia de compra de acciones ordinarias y endeudamiento => valor de la call (en mercado sin

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Teoría

→ Quedan 2 cuestiones por aclarar: 1. Delta

→ ¿Cómo calculamos el porcentaje de acción que es preciso comprar en la estrategia equivalente?

• Precio de la call al final del año = […]

• Precio de la acción = […]

• Dispersión de precios de opción = […]

• Dispersión de precios de acción = […]

𝑫𝒆𝒍𝒕𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒐𝒑𝒄𝒊ó𝒏

= 𝑫𝒊𝒔𝒑𝒆𝒓𝒔𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒐𝒑𝒄𝒊ó𝒏_{𝑫𝒊𝒔𝒑𝒆𝒓𝒔𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒄𝒄𝒊ó𝒏}

→ Delta => variación en precio acción de 1€ origina variación en precio opción de ½€. (Intuición: riesgo de ½ acción ordinaria = riesgo de 1 opción compra).

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Teoría

2. Préstamo

→ ¿Qué cantidad de dinero debemos tomar prestada?

• Si compramos ½ acción ordinaria => obtenemos […] a la fecha de vencimiento

• Si compramos 1 opción de compra => obtenemos […] en la fecha de vencimiento

=> La diferencia es la misma en ambos escenarios: […]

→ Para replicar compra de la call mediante compra de acciones ordinarias => préstamo que suponga devolver 20€ de principal e intereses:

[…]

Podemos expresar valor de la opción como:

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Teoría

5.2. Valoración neutral al riesgo

→ ¿Por qué debe venderse opción de compra por 6,82€?

→ Al decir precio de una opción = 6,82€, no es necesario saber nada sobre posición del inversor frente al riesgo.

→ Si inversor es indiferente al riesgo, tasa de rentabilidad esperada de la acción = tipo de interés libre de riesgo:

→ Las acciones pueden subir un 20% o bajar un 20%. => Prob. de un ↑ de precios en mundo neutral al riesgo:

Rentabilidad esperada = [prob. aumento x 20%] + [(1–prob. aumento) x –20%] = 10%

→ Tras resolver esta ecuación:

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Teoría

→ Prob. de 3/4 no es verdadera prob. de ↑ en precio de acciones => como inversores son adversos al riesgo requerirán rentabilidad esperada de acciones > a tipo de interés libre de riesgo => verdadera prob. es > 3/4.

→ Sabemos que:

• Si precio acción ↑ => opción de compra valdrá […]€

• Si precio acción ↓ => opción de compra valdrá […]€

→ Si inversores son neutrales al riesgo => valor esperado de la opción de compra es:

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑜𝑝𝑐𝑖ó𝑛 =

Conclusión: 2 formas de calcular valor de una opción 1. Encontrar combinación entre acciones ordinarias y

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Teoría

2. Simular que inversores son indiferentes al riesgo, con lo que tasa de rentabilidad de la acción = tipo de interés. Calcular valor esperado futuro de la opción en este mundo neutral al riesgo y descontarlo al tipo de interés libre de riesgo.

5.3. Modelo de valoración Black–Scholes

→ Fórmula final que obtuvieron Black y Scholes es:

𝑪 = 𝑺𝑵(𝒅_𝟏) − 𝑬𝒆−𝑹𝒕𝑵(𝒅_𝟐)

donde

𝑑₁ = ln(𝑆 𝐸⁄ ) + (𝑅 + 𝜎2/2)𝑡

√𝜎2_𝑡

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Teoría

→ 5 parámetros determinan valor de la call (C):

• S = precio actual de la acción

• E = precio de ejercicio de la opción

• R = tasa de rentabilidad anual libre de riesgo

• σ2_{= varianza de rentabilidad de precio acción}

• t = período de tiempo hasta fecha de vencimiento

→ También aparece en la fórmula la función estadística:

• N(d) = […]

Ejemplo de Black–Scholes

Consideremos la compañía X. El 4 de octubre del año X0, la opción de compra de esta compañía con fecha de vencimiento el 21 de abril (precio ejercicio = 49€) tenía un valor de 4€. La acción se estaba vendiendo a 50€. El 4 de octubre, la opción tenía un período de vencimiento de 199

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Teoría

→ Esta información nos proporciona 3 variables: 1. Precio de la acción (S) = […]

2. Precio de ejercicio (E) = […]

3. Tasa de rentabilidad libre de riesgo (R) = […]

→ Además, la fecha de vencimiento (t) en años es: 4. Fecha de vencimiento (t) = […]

Problema: […] ¿Por qué? Solución

→ En nuestro ejemplo, suponemos que inversor ha obtenido una estimación de la varianza:

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Teoría

Con estos 5 parámetros, podemos calcular valor de la opción de compra de una acción de la empresa X mediante la fórmula de Black–Scholes en tres pasos:

Paso 1: Calcular d1 y d2

→ Calculamos estos valores de un modo directo:

𝑑₁ = �ln�_𝐸�𝑆 + �𝑅 + 𝜎₂2� 𝑡� �𝜎_� 2_𝑡

= �ln�50₄₉� + �0,07 + 0,09₂ � × 199₃₆₅� �� 0,09 × 199₃₆₅ = 0,0202 + 0,0627_0,2215 = 𝟎,𝟑𝟕𝟒𝟐

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Teoría

Paso 2: Calcular N(d1) y N(d2)

→ Mejor manera de comprender valores de N(d1) y N(d2)

es examinando gráfica de una función normal: Gráfica de la distribución normal

→ Figura representa una distribución normal con media esperada = 0 y desviación típica = 1 => distribución normal estandarizada.

-2 -1 0 1 2

Probabilidad

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Teoría

→ ¿Cuál es la prob. de que representación de la función normal estandarizada se encuentre por debajo de un valor?

P. ej.: ¿Prob. de que la representación esté por debajo de 0? […]

→ En nuestro caso concreto:

N(d₁) = N(0,3742) = […]

N(d2) = N(0,1527) = […]

• 1er valor => […]% de prob. de que distribución normal estandarizada sea < 0,3742

• 2o valor => […]% de prob. de que distribución normal estandarizada sea < 0,1527

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Teoría

→ Forma más sencilla de calcular N(d1) y N(d2) es con la

función DISTR.NORM.ESTAND de Microsoft Excel.

→ En nuestro ejemplo: DISTR.NORM.ESTAND(0,3742) = […] DISTR.NORM.ESTAND(0,1527) = […] Paso 3: Calcular C → Tenemos lo siguiente: 𝐶 = 𝑆 × 𝑁(𝑑₁) − 𝐸𝑒−𝑅𝑡 × 𝑁(𝑑₂) = [50€ × 𝑁(𝑑1)]− [49€ ×𝑒−0,07×�199395� × 𝑁(𝑑2) = (50€ × 0,6459) − (49€ × 0,9626 × 0,5607) = 32,295€ − 26,447€ = 5,85€

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Teoría

¿Intuición detrás de la fórmula de Black–Scholes?

→ Estrategia compra acción ordinaria + endeudamiento.

→ La ecuación de Black–Scholes es:

𝐶 = 𝑆𝑁(𝑑₁) − 𝐸𝑒−𝑅𝑡𝑁(𝑑₂)

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑜𝑝𝑐𝑖ó𝑛

= 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 × 𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎 − 𝑃𝑟é𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜

=> El modelo nos dice: es posible replicar opción de compra:

a) Comprando […] acciones ordinarias b) Tomando prestado […]