Algebra Lineal XI: Funciones y Transformaciones Lineales
Jos´
e Mar´ıa Rico Mart´ınez
Departamento de Ingenier´ıa Mec´
anica
Facultad de Ingenier´ıa Mec´
anica El´
ectrica y Electr´
onica
Universidad de Guanajuato
email: [email protected]
1. Funciones.
En estas notas definiremos funciones y transformaciones lineales.
Definici´on de funci´on, transformaci´on o mapeo. Sean A y B dos conjuntos de elementos o “puntos”. Una funci´on, transformaci´on o mapeo F de A en B se define como una relaci´on o regla de correspondencia1tal que para cada elementoa∈Ahay asociadoun ´unicoelementob∈B.
El s´ımboloF :A→B se usa para indicar queF es un mapeo deAenB.
La figura 1 muestra una funci´on entre el conjunto{a, b, c, d, e}y el conjunto{1,2,3,4,5}.
Figura 1: Funci´on entre el conjunto{a, b, c, d, e}y el conjunto{1,2,3,4,5}.
Definici´on de igualdad entre mapeos. Dos mapeos F : A → B y G : A → B son iguales, denotadoF =Gsi, y s´olo si,
F(a) =G(a) ∀a∈A.
Las figuras 2 y 3 muestran relaciones que no son funciones. La relaci´on de la figura 2 no es una funci´on del conjunto {a, b, c, d, e, f} al conjunto {1,2,3,4,5} pues f ∈ {a, b, c, d, e, f} no tiene imagen bajo la relaci´on.
La relaci´on de la figura 3 no es una funci´on del conjunto{a, b, c, d, e}y el conjunto{1,2,3,4,5}pues para c ∈ {a, b, c, d, e} existen dos elementos asociados, 2 y 3. Es decir la relaci´on contiene dos parejas ordenadas (c,2) y (c,3), dondec es el primer elemento de la pareja ordenada.
Definici´on del dominio de un mapeo. El dominio,D, de un mapeoF sobre un subconjunto de un conjuntoA es el conjunto formado por aquellos elementos, enA, para los cuales F est´a definido; es decir
D={a|a∈A y F(a) est´a definida}
Figura 2: Una relaci´on que no es funci´on
Figura 3: Otra relaci´on que no es funci´on
Ciertamente, siFest´a definida sobre todo el conjuntoA, el dominio deFes todoA, la notaci´onF :A→B
se reserva para el caso en el cual el dominio de F es todoA.
Definici´on del rango de un mapeo.SeaF :A→B un mapeo, el rango deF, denominadoRF, y tambi´en conocido comocodominio, est´a definido como
RF ={b|b∈B y b=F(a) para alg´un a∈A}
La figura 4 muestra el rango de una funci´on del conjunto{a, b, c, d, e}y el conjunto{1,2,3,4,5,6,7,8}, es evidente queRF ={1,2,3,4,5}.
El elementoba menudo se denota comob=F(a) y se denomina laimagen o el valordeF ena. Si
C⊆A, entonces la imagen de CbajoF, denominadoF(C), est´a dado por
F(C) ={b|b∈B y b=F(c) para alg´un c∈C⊆A} Ejemplo.Considere la funci´on real de variable real, dada por
F :D⊂(−∞,+∞)→(−∞,+∞) F(x) =√x
El dominioDde la funci´onFes el conjunto de valores para los cuales lo ra´ız cuadrada arroja un resultado real, puesto que la funci´on es real. Por lo tanto
DF ={x|x≥0}= [0,+∞)
De manera semejante, el rango o codominio de la funci´onF es el conjunto de las im´agenes del domino,
DF bajo la funci´on. Es decir
Figura 4: El rango de una funci´onF :{a, b, c, d, e} → {1,2,3,4,5,6,7,8}
Definici´on de un mapeo inyectivo. Sea F : A → B un mapeo del conjunto A al conjunto B.
F se denomina inyectiva, ouno a unoen A, siempre que a1, a2 ∈A satisfacen la condici´ona1 =a2
implica que F(a1) =F(a2). En palabras, un mapeo es inyectivo si diferentes elementos de A mapean
sobre diferentes elementos deB. En particular, el mapeo mostrado en la figura 4 es inyectivo.
Ejemplo.Considere la funci´on real de variable real, dada por
F:D⊂(−∞,+∞)→(−∞,+∞) F(x) =√x.
La funci´onF es inyectiva. Suponga queF(x1) =F(x2), entonces√x1=√x2, sin embargo, en el dominio de definici´on de la funci´on,DF ={x|x≥0}= [0,+∞)., se tiene que
√
x1=√x2⇒x1=x2
Definici´on de un mapeo inverso. SeaF :A→B un mapeo inyectivo del conjuntoAal conjunto
B y seaRF el rango del mapeo F. El mapeo inversoF∗ es el mapeo deRF a Adefinido como F∗:RF →A F∗(b) =a, donde a∈Aes el ´unico elemento deAF(a) =b
Por lo tanto, el dominio deF∗ es el rango deF y el rango deF es el dominio de F∗.
Ejemplo.El mapeo inverso de la funci´onF del ejemplo anterior est´a dado por
F∗: [0,+∞)→[0,+∞) F∗(x) =x2.
Definici´on de mapeo sobreyectivo. Sea F : A → B un mapeo del conjunto A al conjunto B.
F se llamasobreyectivo, o sobreB, si el rango de F es todo el conjuntoB. En particular, el mapeo mostrado en la figura 4 no es sobreyectivo.
Ejemplo.Considere la funci´on real de variable real, dada por
F : [0,+∞)→(−∞,+∞)F(x) =√x.
no es sobreyectivo, pues no hay x ∈ [0,+∞) tal que F(x) ∈ (−∞,0). Sin embargo, si se define otra funci´on real de variable real, como
G: [0,+∞)→[0,+∞) G(x) =√x
Entonces la funci´on, adem´as de ser inyectiva, es tambi´en sobreyectiva.
Definici´on de mapeo biyectivo. Sea F :A→B un mapeo del conjuntoA al conjuntoB que es a la vez inyectivo y sobreyectivo. Entonces la funci´on se denomina biyectiva o que establece una
relaci´on uno a uno entre los conjuntos A y B. En particular, el mapeo mostrado en la figura 1 es biyectivo.
2. Transformaciones Lineales
En esta secci´on se introducir´a el concepto de transformaci´on lineal.
Definici´on de transformaci´on lineal. Sean V y V dos espacios vectoriales sobre un campo K. Unatransformaci´on linealo mapeo linealdeV a V es un mapeo T :V→V tales que satisfacen dos propiedades. Para todov1, v2∈Vy para todo λ∈K.
1. Aditiva
T(v1+v2) =T(v1) +T(v2).
2. Homog´enea
T(λv1) =λT(v1)
Nada impide que el espacio vectorialVsea igual aV. En este caso la transformaci´on linealT :V→V
se denomina una transformaci´on lineal deV sobre si mismo.
Teorema.Una condici´on necesaria para que un mapeoT :V→V sea una transformaci´on lineal es queT(0) =0. En otras palabras, siT es una transformaci´on lineal, entoncesT(0) =0.
PruebaSe sabe que0 = 0v, donde 0∈Kyv∈Ves arbitrario. Entonces
T(0) =T(0v) = 0T(v) =0
pues, por los primeros teoremas de espacios vectoriales, la multiplicaci´on por el escalar 0 de cualquier vector es el vector0.
Definici´on mapeoZ. Sea Vun espacio vectorial sobre un campoK. El mapeoZ se define como
Z:V→V Z(v) =0 ∀v∈V. Teorema.El mapeoZ es una transformaci´on lineal.
Teorema. Considere una transformaci´on lineal T : V → V y sea B = {v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V. Entonces la transformaci´on lineal T se determina de manera ´unica por las imagenes de los elementos de la baseB con respecto al mapeo T. Estos elementos est´an dados por
T(v1), T(v2), . . . T(vn). La unicidad significa que si hay dos mapeos “distintos”T yT tales que
T(v1) =T(v1), T(v2) =T(v2), . . . , T(vn) =T(vn)
entonces T=T.
Prueba:Seav∈Vun elemento arbitrario, puesto queB={v1, v2, . . . vn}es una base deV,entonces
existen escalares ´unicosλ1, λ2, . . . λn tales que
v=λ1v1+λ2v2+. . .+λnvn
Entonces, aplicando las propiedades aditivas y homog´eneas de la transformaci´on lineal, se tiene que
T(v) = T(λ1v1+λ2v2+. . .+λnvn) =T(λ1v1) +T(λ2v2) +· · ·+T(λnvn) = λ1T(v1) +λ2T(v2) +. . .+λnT(vn).
Por lo tanto, el mapeo est´a bien definido y la imagen dev∈Vbajo la transformaci´on lineal es ´unica. Considere ahora los mapeosT yT que satisfacen la condici´on dada por la ecuaci´on (1) y seav∈V
T(v) = T(λ1v1+λ2v2+· · ·+λnvn) =λ1T(v1) +λ2T(v2) +· · ·+λnT(vn)
= λ1T(v1) +λ2T(v2) +· · ·+λnT(vn) =T(λ1v1) +T(λ2v2) +· · ·+T(λnvn)
= T(λ1v1+λ2v2+· · ·+λnvn) =T(v) Por lo tanto
T(v) =T(v) ∀v∈V
y las dos transformaciones lineales son iguales.
Este resultado implica que las transformaciones lineales son mapeos especiales en cuanto que para conocer la transformaci´on se requiere ´unicamente las im´agenes, bajo la transformaci´on, de los elementos de una de las bases del espacio vectorial.
Teorema.SeanVyV espacios vectoriales y seaB={v1, v2, . . . , vn} una base del espacio vectorial V y sean{v1, v2, . . . , vn}nelementos arbitrarios deV.Entonces, existe una y solo una transformaci´on
linealT :V→V tal que
T(vi) =vi ∀i= 1,2, . . . , n
Esta transformaci´on mapea
i=n i=1 aivi en i=n i=1 aivi
3. Problemas
Problema 1.Considere las siguientes funcionesF :R2→Vdetermine si las funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. F(x, y) = (y, x), aqu´ı V=R2 F(x, y) = (x−1, y−1), aqu´ı V=R2 F(x, y) = (2x−y, x+y, x−3y), aqu´ı V=R3 F(x, y) =x+ 3y, aqu´ı V=R F(x, y) =x·y, aqu´ı V=R
Problema 2.De las funciones del problema 1, determine cuales de ellas son transformaciones lineales.
Problema3. Considere la funci´on derivada que mapea el espacio vectorial funciones continuas y diferenciables en el intervalo (−∞,+∞) sobre el espacio vectorial de funciones continuas en el intervalo (−∞,+∞). Ambos espacios est´an definidos dobre el campo de los n´umeros reales.
F :C1(−∞,+∞)→C0(−∞,+∞) F[f(x)] = df(x)
dt
¿Es, esta funci´on una transformaci´on lineal?.
Problema 4. Considere el espacio vectorial de todos los polinomios de una variable x de grado arbitrario, sobre el campo de los n´umeros reales. Las siguientes funciones mapean ese espacio vectorial sobre si mismo. Cuales de ellas son transformaciones lineales.
T[p(x)] =q(x), donde q(x) =p(2x). T[p(x)] =q(x), donde q(x) = [p(x)]2.
Problema 5.Determine si la siguiente informaci´on acerca de una transformaci´on lineal T:R3=V
determina, o define, de manera ´unica la transformaci´on lineal y, si este es el caso, encuentre la regla de correspondenciaT(x, y, z).
T(1,0,0) = (1,1,1), T(1,1,0) = (1,1,0), T(1,1,1) = (1,0,0)
T(1,2,3) = (3,2,1), T(0,0,1) = (1,0,1), T(1,2,0) = (2,2,0)