Cálculo: Polinomio de Taylor

C´alculo: Polinomio de Taylor

Curso 04/05

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El polinomio de Taylor

Nos detendremos especialmente en el teorema de Taylor, justificando la introducci´on del polinomio de Taylor como la mejor aproximaci´on lineal, cuadr´atica, y en general polin´omica de una funci´on en un punto. Hare-mos ver qu´e consecuencias te´oricas y pr´acticas tiene el teorema de Taylor. Como ejemplo de las consecuencias te´oricas deduciremos el criterio sobre m´aximos y m´ınimos, y desde un punto de vista m´as pr´actico aproximare-mos el valor de algunas funciones acotando el error cometido. Enunciareaproximare-mos las propiedades m´as importantes sobre los polinomios de Taylor y propon-dremos y calcularemos los polinomios de Taylor de las funciones usuales.

Sif es derivable en ase tiene

lim x→a

f(x)−(f(a) +f0(a)(x−a))

x−a = 0

en particular lim

x→af(x)−(f(a) +f

0_{(a)(x−a)) = 0}

As´ı pues si x'aentoncesf(x)'f(a) +f0_(a)(x−a)

1.1 Ejemplo:

f(x) =ex_,f0_{(x) =e}x_{. Tomemos el puntoa= 0.}

f(0) =f0(0) =e0= 1

x'0 f(x)'f(0) +f0(0)(x−0) ex'1 + 1(x−0) = 1 +x Si tomamos por ejemplox= 0.01

Fij´emonos que en realidad estamos aproximando una funci´on f por un polinomio de grado 1, p(x) = b0 +b1(x −a)(= a0 +a1x si lo queremos

expresar en la forma habitual que es centrado en 0 en lugar de a, donde a₀ =f(a)−f0_(a)aya

1=f0(a)x). Este polinomiop viene caracterizado por

la siguiente propiedad: p tiene grado 1, pcoincide con el valor de f en a, y la derivada dep,p0_{, coincide con el valor de la derivada de f,f}0_{, en a.}

p(x) =f(a) +f0(a)(x−a) p0(x) =f0(a) p(a) =f(a) p0(a) =f0(a)

Evidentemente sif es derivable dos veces y f00_{(a) 6= 0 la segunda derivada}

de p no puede coincidir con la de f en a ya que al ser p de grado 1, todas sus derivadas son nulas a partir de 2

p00(x) = 0 =p000(x) =· · ·=p(i)(x) i≥2

Podr´ıamos sin embargo pensar en aproximar f por un polinomio de grado 2, en lugar de hacerlo con uno de grado 1. Es esperable que la aproximaci´on sea mejor si le pedimos que se ” parezca m´as ” af exigiendo adem´as que p00_{(a) =f}00_(a).

¿C´omo debe ser este polinomio? Ser´a de la formap(x) =a0+a1x+a2x2

para ciertos coeficientes ai ∈R y deber´a cumplir que p(a) = f(a), p0(a) = f0_{(a) y p}00_{(a) = f}00_{(a). Por facilidad para el c´alculo de los coeficientes lo}

expresamos centrado en el puntoa, esto es, en la formap(x) =b0+b1(x−

a) +b2(x−a)2 y buscamos determinar los coeficientesbi. Como se tiene que p(x) =b₀+b₁(x−a) +b₂(x−a)2⇒p(a) =b₀

p0(x) =b1+ 2b2(x−a)⇒p0(a) =b1

p00(x) = 2b2 ⇒p0(a) = 2b2

para que se cumplan las condiciones sobre las primeras derivadas, los coefi-cientes deben ser

p(a) =f(a)⇒b0 =f(a)

p0(a) =f0(a)⇒b₁ =f0(a) p00(a) =f00(a)⇒b2 = f

00_(a)

2 Por tanto el polinomio es

p(x) =f(a) +f0(a)(x−a) +f00(a)

2 (x−a)

Observemos que los polinomios de grado 0,1 y 2 que coinciden ena conf, conf y la derivada def, y conf la derivada def y la segunda derivada de f, son respectivamente

p0(x) =f(a), p1(x) =f(a) +f0(a)(x−a)

p2(x) =f(a) +f0(a)(x−a) +

f00_(a)

2 (x−a)

2

1.2 Ejemplo:

f(x) = logx, f0(x) = 1_x,f00(x) =−_x12. Tomemos el punto a= 1. si x est´a

cerca de 1, logx'0 logx'0 + (log)0(1)(x−1) = 0 + 1(x−1) =x−1 logx'0 + (x−1) +1 2(log) 00_(1)(x−1)2_{= (x−1)−}1 2(x−1) 2 ₌ = (x−1)− 1 2(x 2_{−2x+ 1) =x−1−} 1 2x 2_+x−1 2 =− 1 2x 2_{+ 2x−}3 2 Podemos pensar en aproximar por polinomios de grado mayor, 3, 4, o en general de un grado cualquiera y es esperable que cuanto m´as se ”parezca” a la funci´on, mejoren sean las aproximaciones. As´ı pues la pregunta que nos hacemos es:

¿C´omo debe ser un polinomio de grado n para que coincidan en a sus derivadas, con todas las derivadas def hasta ordenn?

Debe ser p(a) =f(a) p0(a) =f0(a) p00(a) =f00(a) .. . p(n)(a) =f(n)(a)

Si expresamos centrado en a, el polinomio y sus derivadas son

p(x) =b₀+b₁(x−a) +b₂(x−a)2+b₃(x−a)3+· · ·+b_n(x−a)n p0(x) =b1+ 2b2(x−a) + 3b3(x−a)2+· · ·+nbn(x−a)n−1

p00(x) = 2b₂+ 3·2b₃(x−a) +· · ·+n·(n−1)b_n(x−a)n−2 p000(x) = 3·2b₃+· · ·+n·(n−1)·(n−2)b_n(x−a)n−3 .. . p(n)(x) =n·(n−1)·(n−2)· · ·2·1bn Evaluando en a p(a) =b0 p0(a) =b1 p00(a) = 2b2 p000(a) = 3·2b3 .. . p(n)(a) =n·(n−1)·(n−2)· · ·2·1bn=n!bn Igualando b0 =f(a) b1 =f0(a) b2= f 00_(a) 2 b3= f 000_(a) 3! .. . bn= f (n)_(a) n! El polinomio es

p(x) =f(a)+f0(a)(x−a)+f

00_(a) 2 (x−a) 2₊f000(a) 3! (x−a) 3_{+· · ·+}f(n)(a) n! (x−a) n que podemos expresar como

n X i=0 f(i)_(a) i! (x−a) i siendof(0)_=f,f(1)_=f0_,f(2) _=f00_,f(3) _=f000_{, etc.}

1.3 Definici´on:

Al polinomio as´ı construido que coincide conf y todas sus derivadas hasta el ordennen el punto x=a, se denomina polinomio de Taylor de ordenn de la funci´onf en el punto a. Lo escribimos como Tn,f,a(x)

T_n,f,a(x) = n X i=0 f(i)_(a) i! (x−a)

i_=f(a)+f0_(a)(x−a)+f00(a)

2 (x−a)

2_{+· · ·+}f(n)(a)

n! (x−a) n

La notaci´on se puede simplificar si se entiende por el contexto quien es el punto, la funci´on y el orden y podremos escribir

Tn,f,a=Tn,f =Tn=T 1. Aproximarf(x) en el punto x=a

f(x)'Tn,f,a(x)

2. ¿Qu´e error se comete al aproximarf?

R_n,f,a(x) =f(x)−T_n,f,a(x)

Si una funci´on es derivable se tiene que

lim x→a f(x) −T1(x) z }| { −f(a)−f0(a)(x−a) x−a = 0 o lo que es lo mismo R1(x) z }| { f(x)−T1(x) x−a x→a −→0, lim x→a R1(x) x−a = 0

Intuitivamente esto puede ser interpretado como que para valores dex muy cercanos a a, el errorR₁(x) es menor que la diferencia entrex ya, ya que para que el l´ımite sea 0 apartir de un lugar el numerador debe ser menor que el denominador. El siguiente resultado, que generaliza el hecho anterior, nos dice que cuanto mayor sea el orden la aproximaci´on ser´a mejor.

1.4 Teorema:

Sif esnveces derivable ”cerca de a”(en un entorno de a) entonces,

lim x→a

Rn,f,a(x) (x−a)n = 0

Suponiendo solo un poco m´as podemos podemos incluso dar una esti-maci´on del resto

1.5 Teorema:

Sif es (n+ 1) veces derivable cerca de a, entonces 1. (Lagrange) Rn(x) = f (n+1)_(c) (n+ 1)! (x−a) n+1 _{centre x ya} 2. (Cauchy) Rn(x) = f (n+1)_(c) n! (x−c) n_{(x−a) c entrex ya} 3. (Integral) Rn(x) = Z _x a f(n+1)_(t) n! (x−t) n_dt 1.6 (I) Consecuencia: Si|f(n+1) _{|≤K entre ayx, entonces} |Rn(x)|≤ _{(n+ 1)!}K |x−a|n+1 1.7 Ejemplo:

Calculemos cos 36o _{con error menor que 10}−4_.

36o _{=π/5rad, consideramos cosxen el punto x=π/5}

Tenemos

0 =a ≤ x=π/5 ≤ 1

f(4)(x) = cosx f(5)(x) =− senx f(6)(x) =−cosx f(7)(x) = senx· · · f(0) = 1 f0(0) = 0 f00(0) =−1 f000(0) = 0 f(4)(0) = 1 f(5)(0) = 0 · · · T2n,cosx,0(x) =f(0)+f0(0)(x−0)+f 00₍₀₎ 2 (x−0) 2₊f000(0) 3! (x−0) 3_{+· · ·+}f(2n)(0) (2n)! (x−0) 2n T2n,cosx,0(x) = _|{z}1 (n=0) +−1 2 x 2 | {z } (n=1) + 1 4x 4 |{z} (n=2) +· · ·+ (−1)n x2n (2n)! T2n,cosx,0(x) = 1−x 2 2 + x4 4! − x6 6! + x8 8! − · · ·+ (−1) n x2n (2n)! f(π/5)'T2n(π/5) f(π/5) =T_2n(π/5) +R_2n(π/5) |R2n(π/5)|=| (cosx) 2n+1_(c) (2n+ 1)! (π/5−0) 2n+1 _|≤ 1 (2n+ 1)!(π/5) 2n+1_≤ 1 (2n+ 1)! ¿ 1 (2n+ 1)! <10 −4 _? 1 (2n+ 1)! <10 −4 _{⇐⇒ (2n+ 1)!>10}4 Sin= 4, 9!>8! = 40.320>104_. n= 4 cosπ/5 =T8(π/5) +²con² <10−4 cosπ/5 = 1−(π/5)2 2 + (π/5)4 4! − (π/5)6 6! + (π/5)8 8! +²

1.8 (II) Consecuencia:

Sif es (n+ 1) veces derivable cerca de ay si

f0(a) =f00(a) =· · ·=f(n−1)(a) = 0, y f(n)(a)6= 0 Entonces:

1. Sines par yf(n)_{(a)>0 =⇒ aes un m´ınimo local.}

2. Sines par yf(n)_{(a)<0 =⇒ aes un m´aximo local.}

3. Sines impar =⇒ aes un punto de inflexi´on.

1.9 Propiedades: α, β∈R,f yg funciones. (1) Tn(αf+βg) =αTn(f) +βTn(g) (2) Tn(f ·g) =Tn(f)·Tn(g)−{t´erminos de orden > n} (3) T_n(f /g) = Tn(f) Tn(g)

”haciendo divisi´on larga hasta n”

(4) Tn(f ◦g) =Tn(f)◦Tn(g)−{t´erminos de orden > n} (5) [Tn(f)]0=Tn−1(f0) (6) Z _x a T_n(f)(t)dt=T_n+1( Z _x a )f(t)dt (6)’ Z T_n(f) =T_n+1( Z f) +K, K∈R. 1.10 Algunos ejemplos:

Vamos a calcular los polinomios de Taylor de: ex, senx,cosx, 1

1−x,−log(1−x),log(1−x),log(1 +x), 1

1 +x2, arctag (x), senh (x),cosh(x) (enx= 0)

Inmediato Tn,ex_,0(x) = 1 +x+x 2 2! + x3 3! +· · ·+ xn n! senx

f(x) = sen x f0(x) = cosx f00(x) =−senx f000(x) =−cosx

0 1 0 −1 fiv fv fvi fvii fviii fix · · · T2n+1,sen,0(x) =x−x 3 3! + x5 5! − x7 7! +· · ·+ (−1) n x2n+1 (2n+ 1)! cosx Ya lo hemos hecho. Veamoslo de otra forma.

[Tn(f)]0 =Tn−1(f0) T_2n(cos(x)) = (T_2n+1( sen (x))0 = (x−x3 3! + x5 5! − · · ·+ (−1) n x2n+1 (2n+ 1)!) 0 ₌ = 1−x 2 2 + x4 4! − x6 6! +· · ·+ (−1) n x2n (2n)! 1 1−x Tn(1) = 1, Tn(1−x) = 1−x Tn(₁₋1_x) = _TTn(1)

n(1−x) ” por divisi´on larga hastan”

1 | 1−x −(1−x) 1 +x+x2_{+· · ·+x}n_| x −(x−x2₎ x2 −(x2_−x3₎ x3 _{· · · x}n −(xn_−xn+1₎

xn+1

T_n, 1

1−x,0(x) = 1 +x+x

2_{+· · ·+x}n 1/(1 +x)

Se puede hacer por divisi´on larga. Hagamoslo de otra forma:

R (−−→x) R (1/−→(1−x)) R x 7→ −x 7→ 1/(1−(−x)) = ₁₊1_x | ↑ ( 1 1 +x) = ( 1 1−x)◦(−x) Tn(1/(1 +x)) =Tn(1/(1−x))◦Tn(−x) =Tn(1/(1−x)(Tn(−x)) = =T_n(1/(1−x)(−x) = 1 + (−x) + (−x)2+· · ·+ (−x)n= = 1 +−x+x2−x3+· · ·+ (−1)nxn −log(1−x) (log(1−x))0 = −1

1−x, por tanto (−log(1−x))

0 ₌ 1 1−x Al ser Z Tnf =Tn+1 Z f +K, tomandof(x) = 1 1−x T_n+1(−log(1−x)) = Z T_n(1/(1−x)) = Z 1 +x+x2+· · ·+xn= =x+ x2 2 + x3 3 +· · · xn+1 n+ 1+K

Como el t´ermino independiente del polinomio de Taylor deg en a esg(a), se tiene queK = 0, de donde

T_n(−log(1−x)) =x+x2 2 + x3 3 +· · · xn n log(1−x)

T_n(αf) = αT_n(f), α ∈ R, f una funci´on. Si tomamos α = −1 y f =−log(1−x), se tiene Tn(log(1−x)) =−x−x 2 2 − x3 3 − · · · − xn n log(1 +x) R (−−→x) R log(1−−→x) R x 7→ −x 7→ log(1−(−x)) = log(1 +x) | ↑

T_n(log(1 +x)) =T_n(log(1−x))◦T_n(−x) =T_n(log(1−x))(−x)

Tn(log(1 +x)) =−(−x)−(−x) 2 2 − (−x)3 3 +· · ·+− (−x)n n = =x−x2 2 + x3 3 +· · ·+ (−1) n+1xn n 1/(1 +x2)

Se puede hacer como Composici´on,

R −→(x2) R 1/−→(1+x) R

x 7→ x2 _7→ 1

1+x2

| ↑

o por ”Divisi´on larga”

1 | 1 +x2

En cualquier caso se obtiene: T_2n, 1

1+x2,0

(x) = 1−x2+x4−x6+x8+· · ·+ (−1)nx2n

arctag (x) Integrando el resultado anterior, y salvo una constante C se tiene: T_{2n+1,arctagx,0}(x) +C =x−x3 3 + x5 5 − x7 7 + x9 9 +· · ·+ (−1) n x2n+1 2n+ 1 Por ser arctag (0) = 0 =⇒ C= 0.

senhx= ex−e−x 2 coshx= ex+e−x 2 Tex = 1 +x+x 2 2! + x3 3! + x4 4! +· · ·+ xn n! T_e−x = 1−x+ x2 2! − x3 3! + x4 4! +· · ·+ (−1) nxn n! T_2n+1,senhx,0(x) =x+x3 3! + x5 5! +· · ·+ x2n+1 (2n+ 1)! T2n,coshx,0(x) = 1 + x2 2 + x4 4! +· · ·+ x2n (2n)!