RELACIONES Y FUNCIONES FUNCIÓN

ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 1 RELACIONES Y FUNCIONES

FUNCIÓN , en matemáticas ,el término es usado para indicar la relación o

correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez

en 1637 por el matemático francés RENÉ DESCARTES para designar una potencia xn de la

variable x. En 1694 el matemático alemán GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ utilizó el término

para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán PETER

DIRICHLET. DIRICHLET entendió la función como una variable y, llamada variable

dependiente, cuyos valores son fijados o determinados de una forma definida según los valores que se asignen a la variable independiente x, o a varias variables independientes

x_1, x_{2, …, xk}..

Los valores, tanto de la variable dependiente, como de las variables independientes, son números reales o complejos. La expresión y = f(x), leída “y es función de x“ indica la interdependencia entre las variables x e y;

Cuando la matemática se aplica al estudio de las ciencias, bien sea de la naturaleza o del hombre y la sociedad, es necesario cuantificar y medir las diferentes magnitudes que intervienen en el estudio. Una magnitud esta compuesta por un valor numérico y su correspondiente unidad de medida, así la magnitud se mide en metros, el volumen en centímetros cuadrados y la corriente eléctrica en amperios.

Las magnitudes no se presentan sueltas o aisladas, sino que están relacionadas unas con otras. El área de un cuadrado depende de la longitud de los lados; el tiempo que gasta en recorrer cierta distancia, depende de la velocidad del móvil; la cantidad de pintura necesaria para pintar una casa depende del área de las paredes. El volumen de un gas depende de la presión a la que está sometido y de su temperatura.

En los ejemplos anteriores la palabra DEPENDE indica que una magnitud no toma valores arbitrariamente. Dichos valores dependen de otra magnitud, es decir, las magnitudes en cada

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objeto de estudio o fenómeno de la naturaleza toman una de estas dos alternativas: o son independientes o son dependientes.

VARIABLE INDEPENDIENTE: El sujeto que estudia le asigna el valor arbitrariamente.

VARIABLE DEPENDIENTE: Su valor depende del valor asignado a la variable

independiente.

La aparición de la teoría de conjuntos primero extendió, y luego alteró sustancialmente, el concepto de función. El concepto de función en las matemáticas de nuestros días queda ilustrado a continuación.

DEFINICIÓN 1. Si A y B son conjuntos cualesquiera, una función f de A en B es una

relación entre los elementos de A y B de tal manera que a cada elemento x de A le corresponde uno y solo un elemento y que pertenece a B.

DEFINICION2. Una función es un conjunto de parejas ordenadas de números ( x, y ) en

el cual dos parejas ordenadas distintas no tienen el mismo primer elemento. El conjunto de todos los valores posibles de x es el dominio de la función y el conjunto de todos los valores posibles de y se llama el rango de la función.

EJEMPLO 1. Sea A = Seres humanos , B = números naturales.

Una función f: A  B , es f(h) = Edad en años de h . es una función ya que a cada ser humano le corresponde una y solo una edad en años.

Ejemplo 2. A = Seres humanos , B = Seres humanos

f: A  B , es f( h) = Progenitora de h . es una función ya que a cada ser humano le corresponde una y solo una progenitora.

Ejemplo 3. A = Niños, B = mascotas.

f: A  B , es f(a) = mascota de a . no es una función ya pueden haber niños que tengas

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Ejemplo 4. A = seres humanos , B seres humanos.

f: A  B , es f( h ) = es amante de h . Será una función?

Una función tiene una interpretación dinámica, como una maquina donde los elementos del dominio entran, realizan un proceso dinámico mediante la definición de la función y sale como producto un valor que pertenece al recorrido de la función.

Evaluar una función en un punto x = a consiste en sustituir el valor x en la función y realizar las operaciones indicadas, con el fin de determinar el valor de la variable dependiente y.

Las funciones se representan de la siguiente manera:

1. verbal: cuando se hace un descripción de la regla que liga las variables dependiente e

independiente de la función. ejemplo : El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado.

2. Numérica: Cuando se da una tabla de valores que relacionan las variables

dependiente e independiente. Ejemplo . la siguiente tabla de valores muestra la relación entre el área y el lado de un cuadrado.

Lado 1 2 3 4 5

Área 1 4 9 14 25

3. Algebraica: cuando se describe mediante una expresión matemática la forma como

se relacionan las variables dependiente e independiente. Ejemplo, si x es el lado de un cuadrado. Su área es:

A

(

x

)



x

4. Visual: cuando se presenta un esquema grafico de las variables , ejemplo.

El siguiente grafico nos muestra la relación entre el lado de un cuadrado y su área.

Proceso: definido por la función Entrada : elementos del dominio Salida : elementos del recorrido ( imágenes)

ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 4 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y Lado Area ACTIVIDAD.

- Si g(x) es la función real definida por g(x)= 1-2x + x2 . Hallar :

a) g( -2 ) = b) g( ½ ) = c) g( x + y )=

- Si f(x) es la función real definida por f(x) = 2x – 1. Determine :

a) f( -1 ) = f( a  )= c) f( m + 1 ) – f( m) =

- Sea h(x) la función definida por h(x) = 2x2 – 1. Calcule :

a) h( 2 ) = c) h( y – z ) = b. h( y ) – h( z ) = d) Es h( y - z ) = h( y ) –h( z )

?

DOMINIO DE UNA FUNCION: El dominio de una función es el conjunto de todos los

valores que toma la variable independiente. Para determinar el dominio de una función se tienen en cuanta:

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- Si la función es racional, hallamos los valores de la variable independiente para los cuales

la función denominador se hace cero y los exceptuamos del conjunto de los números reales.

- Si la variable independiente forma parte de una radical de índice par, se buscan los

valores para los cuales la cantidad subradical se hace mayor o igual a cero.

CODOMINIO: es el conjunto de valores que toma la variable dependiente.

RANGO O RECORRIDO: Es el conjunto de valores que efectivamente toma la variable

dependiente.

Para determinar el rango:

- se expresa la variable independiente en términos de la variable dependiente.

- Se identifican los valores que puede tomar la variable dependiente, para que la variable independiente sea un numero real.

GRAFICA DE UNA FUNCION

Si f es una función, se define su gráfica como el conjunto de puntos ( x, f(x)) tales que x es

un elemento del dominio de f.

También se llama gráfica de la función a la representación del conjunto anterior en el plano cartesiano.

En una función y = f(x), a x se le acostumbra dar el nombre de variable independiente ya que puede tomar cualquier valor que este en el dominio de la función. Como el valor de y depende del valor que se le asigne a x, entonces a y se le llama variable dependiente. Para realizar la representación gráfica de una función se acostumbra a elaborar un tabla de valores, localizar las parejas ordenadas ( x, y ) en e l plano y luego mediante una línea visualizar el gráfico pedido. Así por ejemplo:

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Trazar el gráfico de la función: f(x) = x2 - 5x – 2

 F(x) = 2x2 – 4 F(x) = ( 3x + 5) / ( x –1 ) F(x) = x3 + 2x2 – 5 F(x) = 2x F(x ) = 1 / x

Algunas funciones son:





















































































por tramos

o

Segmentada

en

contenido

entero

mayor

o

entera

Parte

Racional

absoluto

Valor

a

Logaritmic

l

Exponencia

ricas

Trigonomet

general

en

Polinomica

Cubica

Cuadratica

Lineal

Constante

FUNCIONES

Especiales

tas

Trascenden

s

Polinomica

FUNCIÓN CONSTANTE: Toda función de la forma f(x) = k , donde k es una constante,

recibe el nombre de función constante. Esta función tiene la característica de que a todo numero real x del dominio, le asigna siempre el mismo valor de k. La gráfica de este tipo de función es una recta paralela al eje de las x.

Un ejemplo de la función constante es: f(x )

= 3 , la tabla de valores para la función es:

La gráfica es una recta paralela al eje de las X.

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FUNCION LINEAL ( de grafica lineal ) :

La familia de funciones de la forma f(x)= mx + b , tienen por representación gráfica una línea recta, es por ello que se les denominan funciones de gráfica lineal o función afín .

En ocasiones, cuando en un problema se hace referencia a una dependencia lineal, se trabaja con una función de la forma: f(x)= mx + b ,

FUNCION CUADRATICA. Un

función cuadrática es aquella función que tiene como forma general f(x)= ax2 +bx + c ,

donde a  0. Su grafica

corresponde a una parábola y su punto más alto o más bajo corresponde al vértice de la

parábola cuyas coordenadas

son: Vértice =

_





















 



a

b

f

a

b

2

,

2

ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 8 FUNCIÓN EXPONENCIAL: Si a > 0 y a  1 , entonces la función exponencial con base

a es la función definida por: f(x) = ax donde x toma cualquier valor real.

Son ejemplos de funciones exponenciales: F(x) = 2x ; f(x) = ( 2/3 )x ; f(x) = 3-x

Algunas representaciones gráficas de funciones exponenciales son:

Gráfica de f(x) =2x Gráfica de f(x)= ( 2/3 )x

En las gráficas anteriores se observan que las características de la función exponencial son:

 Es una función positiva, su gráfica esta orientada hacia el eje positivo de las y.

 Es una función continua

 Es creciente para valores de a > 1 ( gráfico de la izquierda )

 Es decreciente para los valores de a comprendidos entre 0 y 1

 La gráfica de la función siempre pasa por el punto ( 0 , 1 )

 La función exponencial no tiene ceros, es decir, su gráfico no corta al eje de las x.

Como la función exponencial es creciente o decreciente, entonces nunca toma el mismo valor dos veces, esto nos permite escribir esta propiedad como:

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Por otra parte, las gráficas de las funciones f(x) = ax y f(x) = bx sólo se intersecan cuando

x = 0 , lo cual nos permite afirmar que:

Si ax = bx para todo x  0 , entonces a = b

EL NUMERO e: de la definición de la función exponencial se tiene que la base a puede ser

cualquier numero positivo diferente de 1. Además , para cada valor de a hay una función exponencial diferente. Existe en particular un valor de a que es muy importante en matemáticas y finanzas. Este numero irracional , que se denota por la letra e , en honor a EULER se define como:

x x

x

Lim

e

















1

1

y se obtiene un valor aproximado de la constante de Euler cuando x toma valores muy grandes. La siguiente tabla muestra algunos valores:

x 1 2 10 100 1000 1000 0 10000 0 1000000 x x     1 1 2 2,2 5 2,5393 7 2,704 8 2,716 9 2,718 1 2,7182 2,71828

Si se siguen dando valores cada vez más grandes obtenemos un valor aproximado del número de Euler el es e = 2,718281786.

ALGUNAS APLICACIONES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.

La función exponencial tiene aplicación en una gran cantidad de problemas sobre crecimiento de una población, crecimiento de bacterias en un cultivo, desintegración radiactiva, determinación de la vida media de materiales radiactivos, calculo de intereses entre otras. Así, la función q(t) definida por q(t) = q0ekt con k > 0, en donde t es una

variable que representa el tiempo, es llamada un MODELO EXPONENCIAL DE

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variable independiente representa un instante de tiempo determinado, q0 representa la

cantidad inicial y q la cantidad de sustancia en cualquier instante de tiempo. Si K es negativa el modelo es de DECRECIMIENTO.

POR EJEMPLO: Un número de bacterias en un cultivo está dado después de t horas por el

modelo exponencial de crecimiento: q(t) = 50e0,7t .

1. Hallar el número inicial de bacterias con el que se inicio el cultivo:

El numero inicial de bacterias se obtiene cuando t = 0 q(0) = 50e0,7*0 = 50e0 =50 bacterias

2. Cuantas bacterias hay en cultivo después de 10 horas:

Después de 10 horas , se obtiene:

q(10) = 50e0,7*10 = 50e7 =50*(1096,6) = 54.380 bacterias.

EJEMPLO DOS: Una sustancia tiene una constante de decrecimiento del 5% por hora. Si

500 gramos se tienen inicialmente. ¿ Cuánta sustancia queda después de 4 horas?. El modelo de decrecimiento es: q(t) = q0e-kt . en donde:

q(0) = 500 y k= 5% = 0,05 ,

realizando sustituciones, el modelo es: q(t) = 500e-0,05t

después de 4 horas, se obtiene:

q(4) = 500e-0,05*4 = 500e-0,2 = 500*(0,8187) = 409,4 gr.

ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 11 A C T I V I D A D.

1. El numero de bacterias en un cultivo después de t horas está dado por q(t) = 200e0,25 t .

 Cuál e el número inicial de bacterias?

 Completar la siguiente tabla

t 1 3 5 7 8 10 12

q(t)

 Encontrar el número de bacterias en el cultivo después de 20 horas.

2. El número de bacterias en un cierto cultivo de bacterias después de t horas está dada

por q(t)=q0e0,05t .si 5000 bacterias están presentes después de 10 minutos, cuántos

bacterias están presentes inicialmente?

3. Una sustancia radiactiva tiene constante de desintegración radiactiva de 4% por hora. Si

1000 g están presentes inicialmente. Cuánta sustancia se tiene después de 10 horas?

4. Al comienzo de 1975 la población mundial era aproximadamente de 4 billones. Suponga

que el crecimiento de la población se rige por un modelo exponencial de crecimiento, y que la constante de crecimiento es de 2% por año. Dar aproximadamente la población mundial en año 2005

FUNCIÓN LOGARITMICA: Se llama logaritmo de un numero a en la base b y se indica

por logba, al exponente al que hay que elevar la base b para obtener como resultado el

numero a ( siempre que el exponente exista y sea único en el conjunto de los números reales).

Cuando se escribe x = logb a, se indica que x es el único numero real que verifica la

ecuación: bx = a.

Ejemplo: log5 625 = 4 puesto que 54 = 625.

Log2 32 = 5 puesto que 25 = 32

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Una función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Sea b un número positivo

diferente de 1. Se llama función logarítmica de base b a la función definida por f(x) = logb

x.

Gráfica de la función logarítmica. Graficar f(X) = log2 x

CARACTERISTICAS DE LA FUNCION LOGARITMICA.

1. si b>1, la función es positiva para todos los valores de x>1, pero es negativa para todos los valores de x comprendidos entre 0 < x < 1.

2. Si b< 1, la función es negativa para todos los valores de x>1 , pero es positiva para todos los valores de x comprendidos entre 0 < x < 1.

3. La función no esta definida para valores x < 0 o x = 0.

4. Si b>1 la función es creciente. Si b < 1 la función es decreciente.

5. La función tiene sólo un cero, en x = 1.

6. Gráficamente todas las curvas de la función logarítmica pasan por el punto ( b, 1 ).

FUNCION UNO A UNO – FUNCION INYECTIVA: una función es uno a uno cuando a elementos distintos del dominio le corresponden imágenes distintas en el codominio.

FUNCION SOBREYECTIVA O SOBRE: Una función es sobreyectiva cuando todos los elementos del codominio pertenecer al rango de la función.

X 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 13 I x1 x2 f(x1) f(x2) f(x)

I

FUNCION BIYECTIVA: Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

FUNCIÓN CRECIENTE. Una función f se dice que es

estrictamente creciente en un intervalo I, si para cualquier par de números x1 y x2 del intervalo I, tales que x1 < x2 , se

tiene que f(x1 ) < f(x2).

FUNCIÓN DECRECIENTE. Una función f se dice que es estrictamente decreciente en un intervalo I, si para cualquier par de números x1 y x2 del

intervalo I, tales que x1 < x2, se tiene

que f(x1) > f(x2).

FUNCION PAR: Una función f se dice que es simétrica respecto al eje Y o par, si para

cualquier ( x , y ) de la gráfica, (-x , y ) también es de gráfica. Es decir f es par si y solo si f(x) = f(-x). Para todo x en el dominio de f. El significado geométrico de un función par es que su grafica es simétrica con respecto al eje y. Esto significa que si hemos trazado la

gráfica de f para x  0, obtendremos la grafica con solo reflejar con respecto al eje y.

EJEMPLO: Demuestre que la función f(x) = 2x2 + 5 es una función par.

ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 14 f(-x) = 2(-x)2 + 5 = 2x2 + 5 = f(x)

Con lo que se demuestra que la función dada es par.

FUNCION IMPAR: Una función f se dice que es simétrica respecto al origen o es impar, si

para cualquier ( x, y ) de la gráfica, ( -x , -y ) también es de la gráfica. Es decir, f es impar si y sólo si f( -x ) = - f(x) para todo x en el dominio de f. La grafica de una función impar es simétrica con respecto al origen.

EJEMPLO: Demuestre que f(x) = 3x3 – 5x es una función impar.

Se debe comprobar que f(-x) = - f(x).

f(-x)= 3(-x)3 – 5(-x) = -3x3 + 5x = - (3x3 – 5x ) = - f(x). Con lo que queda demostrado que la función es impar.

FUNCIÓN PERIODICA. Una función f(x) se dice que es periódica de periodo k  0 si para todo X perteneciente al dominio de f(x), X + k también pertenece a su dominio y f( X + k ) = f(x).

FUNCIÓN COMPUESTA: Dadas las funciones f : A B y g : B C, la función

compuesta de f y g , denotada por g o f, es la función definida por : ( g o f )(x) = g(f(x))

el dominio de g o f es el conjunto de todos los elementos x del dominio de f para los cuales f(x) está en el dominio de g.

g o f

f g

Ejemplo : dadas las funciones f(x) = x2 + 1 y g(x) = x – 2. Deternime:

x

f(x)

ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 15 (g o f )(x) = g(f(x)) = g ( x2 +1 ) = (x2 + 1) – 2 = x2 – 1 ( f o g ) (x) = f(g(x)) = f( x – 2 ) = ( x – 2 )2 + 1 = x2 – 4x + 4 + 1 = x2 + 4x + 5 observe que ( g o f )(x) = ( f o g )(x) ( f o g )(2) = f(g(2))= f(2 – 2 ) = f(0) = 0 + 1 = 1 ( g o f )(3) = g(f(3)) = g( 32 +1) = g( 9+1)= g(10) =10 – 2 = 8 OPERACIONESENTRE FUNCIONES

Sean las funciones f y g : para dichas funciones se define las siguientes operaciones:

I. La suma , denotada por ( f + g ) , es la función definida por ( f + g ) (x) = f(x) +

g(x)

II. La diferencia, denotada por ( f – g ) , es la función definida por ( f – g ) (x)= f(x) –

g(x)

III. El producto, denotado por ( f  g), es la función definida por ( f  g)(x)= f(x)  g(x)

IV. El cociente, denotado por ( f/g) , es la función definida por ( f/g )(x)= f(x)/g(x)

En cada caso el Dominio de función resultante consiste de aquellos valores de x comunes a

los dominios de f y g ( Domf  Domg ), con excepción de que en el caso del cociente los

valores de x para los cuales g(x)=0 se excluyen.

ACTIVIDAD 1. Sea 2 2 3 5 ) ( ; 5 ) ( ; 1 ) (x x g x x h x x f       determinar.    ) )( )( ) )( )( ) )( )( x h g c x f h b x g f a   

ESP. DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 16 2. Sea                    3 2 5 3 1 4 5 5 ) ( 3 ) ( 4 3 ) ( 2 2 x si x x x si x x si x x g x x x h x x f Determinar : a) f ( -0,85 ) = c) g( 7) = d ) h(2,5) = b) f( 2) + g( -2) – h(1,5)= f) (g(6,4) + g( 0) )*(g(-5)) = c) h(2) – 3h(-1.5) = g) 2*f(2) – 3*h(5) + 1,5*g(-4) =                                                     8 , 15 8 1 , 7 1 , 6 ) ( 0 0 6 4 8 2 4 6 4 1 3 2 5 1 ) ( 2 2 2 x si x x si x si x x g x si x si x x x si x si x x si x x f Determine. a) f(2) + g(5). = f(-10) – g(-3). = b) f(0) *g(0).= f(5,2) / g(9).= c) ( f o g )(5) = ( f o g )(2)= d) ( f o g )(-3)= ( g o f )(-1)=