DINÁMICA Y ESTÁTICA DE LA PARTÍCULA

TEXTO Nº 5

DINÁMICA Y ESTÁTICA

DE LA PARTÍCULA

Conceptos Básicos

Ejercicios Resueltos

Ejercicios Propuestos

Edicta Arriagada D. Victor Peralta A

Diciembre 2008

Introducción

Este material ha sido construido pensando en el estudiante de nivel técnico de las carreras de INACAP. El objetivo principal de este trabajo es que el alumno adquiera y desarrolle la técnica para resolver problemas diversos de la unidad de Dinámica y estática de la partícula. En lo particular pretende que el alumno logre el aprendizaje indicado en los criterios de evaluación (referidos al cálculo de variables) del programa de la asignatura.

El desarrollo de los contenidos ha sido elaborado utilizando un lenguaje simple que permita la comprensión de los conceptos involucrados en la resolución de problemas. Se presenta una síntesis inmediata de los conceptos fundamentales de la dinámica y estática de la partícula, seguida de ejemplos y problemas resueltos que presentan un procedimiento de solución sistemático que va desde un nivel elemental hasta situaciones más complejas, esto, sin saltar los pasos algebraicos que tanto complican al alumno, se finaliza con problemas propuestos incluyendo sus respectivas soluciones.

DINAMICA Y ESTATICA

La dinámica y estática son dos ramas de la física mecánica, la dinámica estudia las fuerzas como causa del movimiento de los cuerpos y la estática estudia las fuerzas en equilibrio, es decir los efectos causados por fuerzas que actúan sobre un cuerpo se neutralizan entre sí.

La fuerza es una magnitud vectorial que se define como la causante del movimiento de los cuerpos, de las aceleraciones y retardaciones, de los cambios de dirección, de la deformación y por último de la ruptura de los cuerpos.

Como toda magnitud vectorial, la fuerza se representa gráficamente por un vector, y en el se debe distinguir; punto de aplicación, magnitud, dirección y sentido.

RINCIPIOS DE NEWTON

Principio de inercia

“Todo cuerpo permanece en su estado de movimiento a no ser que un agente exterior lo obligue a modificar dicho estado”. Es decir, si un cuerpo está en reposo, continuará en reposo

indefinidamente y si está en movimiento, continuará con movimiento rectilíneo y uniforme.

Principio de masa

“Si sobre un cuerpo de masa m actúa una fuerza

F, este adquiere una aceleración acuya magnitud es proporcional a la magnitud de la fuerza, e inversamente proporcional a la masa del cuerpo”, este principio matemáticamente se expresa por: F =m⋅a o F=m⋅a

Cuando sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, entonces la fuerza resultante queda determinada por la suma vectorial de diferentes fuerzas, es decir:

n n i i F F F F F =

∑

 =  +  + +  = ... 2 1 1

Por lo tanto el principio se expresa por:

a m F n i i   ⋅ =

∑

=1

Siendo a la aceleración resultante.

Principio de acción y reacción

“A toda acción (fuerza), se le opone otra igual en magnitud y dirección pero de sentido contrario llamada reacción”, Debe dejarse en claro que acción y reacción no actúan en el mismo cuerpo.

Se recuerda que las unidades de medición de fuerza fueron estudiadas en el capitulo Nº 1.

Diferencia entre masa y peso

Masa y peso no son el mismo concepto. Para nuestros fines de estudio práctico, la masa de un cuerpo se puede definir como una magnitud escalar, siempre positiva, correspondiente a una cantidad de materia constante que matemáticamente equivale al producto entre el volumen y la densidad del cuerpo, es decir: ρ ⋅ =V m Donde M = masa V = volumen ρ = densidad

El peso en cambio es una fuerza, en particular, es la fuerza con que la tierra atrae a los cuerpos que están en su campo gravitatorio. Como el peso es una fuerza entonces cumple con la segunda ley de Newton, es decir el peso de un cuerpo corresponde al producto entre su masa y la aceleración, en este caso corresponde a la aceleración de gravedad g y por lo tanto se tiene que:

g m ) w ( Peso = ⋅ x y z mg

Se debe recordar que la aceleración de gravedad g varía de acuerdo a la posición geográfica y cuyo valor aproximado es 980 [cm/s2] en el sistema CGS., 9,8 [m/s2] en el sistema M.K.S. y 32,16 pie/s2 en el sistema técnico ingles. Como la aceleración de gravedad es un vector dirigido verticalmente hacia el centro de la tierra, el peso de un cuerpo también está dirigido verticalmente hacia el centro de la tierra.

Ejemplo: determinar el peso de un cuerpo de 80 [kg] de masa (utilizar g = 9,8 m/s2).

Solución:

Como el peso de un cuerpo queda determinado por: w = m g

Entonces solo se debe reemplazar los valores de masa m y aceleración de gravedad g, esto es:

[ ]

[

2

]

s / m 8 , 9 Kg 80 w = ⋅

Multiplicando se obtiene el peso del cuerpo, recordar que ⋅ 2 = /s m

kg N, es

decir:

Para expresar el resultado en Dinas, se multiplica por 105, es decir:

[ ]

d

10 784

w = ⋅ 5

Para expresar el resultado en Kp, (kilopondio), los Newton se dividen por 9,8 es decir:

[ ]

N

[ ]

Kp

[

Kgf

]

w 80 80 8 , 9 784 = = =

Observando estos resultados, vemos que masa y peso tienen un mismo valor numérico (80), pero no en la misma unidad. 80 [kg] expresa la masa del cuerpo y 80 [Kp] o 80 [Kgf], expresa el peso del cuerpo.

[ ]

N 784

Cuerpos en contacto

Cuando se tiene superficies de cuerpos en contacto, se producen dos nuevas fuerzas estas son:

(a) = Fuerza normal (N) (b) = Fuerza de roce (f) Fuerza normal ( N )

Es la fuerza que actúa perpendicular a la superficie de contacto, corresponde a la reacción que ejerce una superficie sobre la otra.

En el esquema indicado la fuerza normal (N), corresponde a la reacción que se produce desde la superficie hacia el cuerpo que produce la acción debida a su peso.

Fuerza de roce ( f )

Es la fuerza que se opone al deslizamiento de una superficie con respecto a otra, actúa paralelamente a las superficies en contacto, el roce siempre tiende a oponerse al movimiento jamás tiende a crear movimiento.

El roce en algunos casos es provechoso como por ejemplo para el frenado de los cuerpos, pero con mayor frecuencia el roce da como resultado la

disipación de energía y la erosión gradual del material sobre el cual actúa. La fricción y, por lo tanto, el desgaste pueden reducirse por el método de lubricación, en que las superficies que tienen movimiento relativo (movimiento de una respecto a otra) están separadas por una película de fluido.

N

Leyes de la fricción seca

Las leyes que a continuación se indican se basan principalmente en

observaciones experimentales. Estas leyes no son de ninguna manera exactas en parte porque las superficies secas no se encuentran en la práctica, y en otra porque las mismas leyes tienden a simplificar el problema. Sin embargo son útiles y suficientes para la mayoría de las aplicaciones generales.

Superficie seca se define como aquella, que ha sido limpiada de toda contaminación, es decir libre de polvo y sin humedad.

1. Cuando las fuerzas externas tienden a hacer que una superficie deslice sobre otra, se establece una Reacción de fricción, que actúa en forma tangencial a las superficies, y presentan una oposición al movimiento. 2. Existe un valor límite de la fuerza de fricción mas allá del cual no puede

elevarse. Si las fuerzas que tienden a producir el movimiento relativo exceden este valor, empieza el deslizamiento de una respecto a la otra. 3. La fuerza necesaria para iniciar el movimiento relativo es mayor que la

que se necesita para mantenerlo. La fricción estática es mayor que la fricción cinética

4. El valor límite de la fuerza de fricción es completamente independiente del área de contacto.

5. El valor límite de la fuerza de fricción cinética es independiente de la velocidad del deslizamiento.

6. El valor límite de la fuerza de fricción mantiene una relación constante a la reacción norma ( N ) entre las superficies. Esta relación constante recibe el nombre de fricción límite y se indica por medio de µ.

Esta ley da origen a la siguiente ecuación.

N f = µ⋅

Donde

µ = Coeficiente de fricción N = Fuerza normal.

Si el cuerpo permanece en reposo entonces, el roce se llama estático y se anota:

N

f = µ_e⋅ µ_e = Coeficiente de roce estático.

Cuando el cuerpo se encuentra en movimiento, el roce se llama cinético y se anota:

N

f = µ_k⋅ µe = Coeficiente de roce Cinético.

7. El coeficiente de fricción límite depende de la naturaleza de las

superficies en contacto. Esto se refiere a la geometría de la superficie, a la contaminación de la misma y a las propiedades físicas de los

materiales involucrados.

Ecuaciones dinámicas

Por el segundo principio de Newton, se tiene que la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo queda determinada por:

a m F = ⋅ ∑ ⇒ x x m a F = ⋅ ∑ y y m a F = ⋅ ∑ z z m a F = ⋅ ∑

En nuestro estudio consideraremos sólo las fuerzas en el plano, luego el 2º principio de newton se puede expresar:

a m F = ⋅ ∑ ⇒ x x m a F = ⋅ ∑ y y m a F = ⋅ ∑

Si el cuerpo permanece en reposo o se mueve a velocidad constante, entonces la aceleracióna=0 y por lo tanto la ecuación anterior resulta:

0 =

∑

F ⇒ 0 =

∑

Fx  0 =

∑

Fy 

Ecuación que corresponde al equilibrio de la partícula, en dos dimensiones .

Diagrama de cuerpo libre (DCL)

El diagrama de cuerpo libre consiste en representar gráficamente todas las fuerzas que actúan en un cuerpo considerado partícula. A continuación se presentan algunos casos comunes de D.C.L.

a) Superficie Horizontal Rugosa

( ιι ) Fuerza F formando una dirección α respecto a la horizontal (respecto al cero grado)

b. Superficie rugosa, inclinada un ángulo θ respecto a la horizontal. ( ι ) Fuerza F paralela a la superficie inclinada.

( ιι ) Fuerza F formando un ángulo α respecto a la superficie inclinada.

( ιιι ) Fuerza F actuando en dirección horizontal respecto de la superficie inclinada.

Ejercicios Resueltos de volumen, masa y peso

1. Calcular en kg la masa de la pieza de acero del dibujo, considerando una densidad del material de ₃

dm kg 85 , 7 =

ρ . Se debe tener en cuenta que la pieza esta en mm.

Considerando que la pieza esta en mm y se necesita obtener un volumen, se deberá primero a transformar de mm a dm, y luego hacer el calculo del volumen.

32 mm = 0, 32 dm

32,5 mm = 0, 325 dm

6 mm = 0, 06 dm

Cálculo de Volumen V

Multiplicando largo, ancho y alto se tiene:

dm dm dm V = 0,32 ⋅ 0,325 ⋅ 0,06 3 3 10 24 , 6 dm V = ⋅ − Cálculo de masa

Por definición se tiene que:

ρ ⋅ =V m

3 3 3 dm kg 85 , 7 dm 10 24 , 6 m = ⋅ − ⋅

Multiplicando y cancelando la unidad de dm3 resulta el valor de la masa que se pide calcular: 2 10 90 , 4 m= ⋅ − kg

2. Un perfil de aluminio tiene una masa de 2,484 kg y una densidad de 2,7

3

dm kg

, calcular:

a. El volumen en dm3 del perfil b. La longitud del lado L.

Las dimensiones de la pieza están dadas en mm.

Solución (a) cálculo de Volumen en dm3

La Pieza al igual que el caso anterior, tiene las dimensiones en mm, y como la densidad esta en dm3 es preferible transformar los mm en dm.

30 mm = 0,30 dm

4 mm = 0,04 dm

20 mm = 0,20 dm

Como se conoce la masa y la densidad del perfil, se debe despejar volumen de la ecuación:

ρ ⋅ =V m

ρ

m V =

Reemplazando valores correspondientes a la masa y densidad:

3 7 , 2 484 , 2 dm kg kg V =

Dividiendo y cancelando la unidad de kg:

Solución (b) cálculo de longitud L

Como se tiene el volumen del cuerpo, se puede calcular la longitud L indicada en la figura.

El volumen total de la pieza se puede obtener por medio de una suma o resta de los volúmenes de sus partes, es decir:

Se ha elegido la resta entre el paralelepípedo mayor y el paralelepípedo menor, es decir: menor pedo paralelepi mayor pedo paralelepi V V V = −

Reemplazando valores correspondientes:

(

dm dm L

) (

dm dm L

)

V = 0,30 ⋅ 0,20 ⋅ − 0,26 ⋅ 0,16 ⋅

(

dm dm dm dm

)

L V = ⋅ 0,30 ⋅ 0,20 − 0,26 ⋅ 0,16

(

dm dm dm dm

)

V L 16 , 0 26 , 0 20 , 0 30 , 0 ⋅ − ⋅ = 3 92 , 0 dm V = L = 50 dm

3. Una barra de acero circular, tiene 60 mm de longitud y una densidad ρ = 7,85 ₃

dm kg

, determine cual es su masa, considere las medidas del dibujo en mm. Datos φ = 20 mm = 0,20 dm L = 60 mm = 0,60 dm ρ = 7,85 3 dm kg Solución:

La masa de un cuerpo queda determinada por: ρ ⋅ =V

m (1)

La densidad es conocida y el Volumen de la barra se puede determinar aplicando la formula:

V = π r2 h (2)

En esta oportunidad se reemplazará la expresión del volumen en la formula de la masa, es decir, se reemplazará la ecuación (2) en ecuación (1):

ρ ⋅ ⋅ ⋅ π = r h m 2

La altura del cilindro corresponde a su largo, por lo tanto: ρ ⋅ ⋅ ⋅ π = r L m 2

( )

3 2 2 dm kg 85 , 7 dm 6 , 0 dm 1 , 0 14 , 3 m = ⋅ ⋅ ⋅

4. El tubo del dibujo tiene la siguientes dimensiones:

D = 28 mm = 2,8 cm d = 20 mm = 2 cm h = 50 mm = 5 cm

a) Calcular el volumen de la pieza en cm3 y dm3

b) Sabiendo que su masa es de 0,128 kg, determine la densidad del tubo en kg/cm3 y kg/dm3.

Solución (a) cálculo de volumen

Como el tubo es un cilindro hueco, su volumen corresponde a una resta entre el volumen del cilindro exterior y el volumen del cilindro interior, es decir:

d D

Total V V

V = −

Volumen cilindro mayor VD

( )

r h V_D = π⋅ _D 2⋅ ⇒ V_D = 3,14⋅(1,4)2 cm2⋅5cm 3 3 031 , 0 788 , 30 cm dm V_D = ≅ m = 0,148 kg

Volumen cilindro menor Vd

( )

r h V_d = π⋅ _d 2⋅ ⇒ V_d = 3,14⋅12 cm2⋅5cm 3 3 016 , 0 708 , 15 cm dm V_d = ≅

Luego el volumen del tubo queda determinado por la diferencia entre los volúmenes calculados, es decir: VD - Vd.

d D Total V V V = − 3 3 708 , 15 788 , 30 cm cm VTotal = −

Dividiendo por 1000 queda expresado en dm3, es decir:

Solución (b): Cálculo de densidad del tubo La densidad queda determinada por la ecuación:

V m = ρ

Como la masa m es igual a 0,128 kg, y el volumen en cm3 es igual a 15,08, se tiene: 3 cm 08 , 15 kg 128 , 0 = ρ 3 08 , 15 cm VTotal = 3 3 10 488 , 8 cm kg − × = ρ 3 3 10 08 , 15 dm V_Total = × −

Como m es igual a 0,128 kg y el volumen en dm3 es igual a 15,08 x 10-3 se tiene: 3 3 10 08 , 15 128 , 0 dm kg − × = ρ

5. Calcular el peso del cono de la figura, sabiendo que su densidad es de 7,25kg/dm3.

Solución:

El peso de un cuerpo corresponde al producto entre la masa y la aceleración de gravedad, es decir: g m w Peso = = ⋅ ; Pero m = V⋅ρ Entonces: g V w = ⋅ρ⋅

Como el Volumen del cono es igual a r h 3

1 _⋅π⋅ 2_⋅

Entonces el peso del cuerpo queda determinado por: 1 3 dm kg 488 , 8 = ρ 40 cm 60 cm

Información conocida: 2 3 3 / 8 , 9 / 7250 / 25 , 7 6 , 0 60 2 , 0 20 s m g m kg dm kg m cm h m cm r = = = = = = = ρ

Reemplazando los valores antes indicados:

2 3 2 seg m 8 , 9 m kg 7250 m 6 , 0 ) m 2 , 0 ( 14 , 3 3 1 w = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ w = 1784,776 [N]

6. La viga de doble T tiene una longitud de 3,5 m. ¿Con qué fuerza presiona en su apoyo? si su densidad es de 7,85 3 dm kg Solución: 10 mm = 0,01 m 2500 mm = 2,5 m 100 mm = 0,1 m 80 mm = 0,08 m 6 mm = 0,006 m VTotal = V1+ V2 + V3

VTotal = 2 · (0,01 m · 0,1 m · 2,5 m) + (0,08 m · 0,006 m · 2,5 m) VTotal = 0,0062 m3 Como: m = V · ρ m = 0,0062 m3 · 7850 kg/m3 m = 48,67 Kg Como: w = m · g w = 48,67 kg · 9,8 m/seg2 w = 476, 966 (N)

7. Calcule el peso de la perforación en N, si ρ = 7,8 gr/cm3, las medidas de las figura están en mm.

Solución:

Como w = m · g y m = V ·ρ, se tiene que:

W = V · ρ · g (1) Transformando las unidades de mm a m, se tiene que:

70 mm = 0,07 m 50 mm = 0,05 m 45 mm = 0,045 m 30 mm = 0,03 m 12 mm = 0,012 ρ = 7800 kg/m3

En primer lugar se calculará el volumen de la pieza,

(

)

(

)

3 05 , 0 006 , 0 m 045 , 0 m 006 , 0 ( m 07 , 0 ) m 015 , 0 ( V 3 2 2⋅ − π⋅ ⋅ + π⋅ ⋅ ⋅ π =

(

)

(

)

3 05 , 0 006 , 0 m 045 , 0 m 006 , 0 ( m 07 , 0 ) m 015 , 0 ( V 3 2 2⋅ − π⋅ ⋅ + π⋅ ⋅ ⋅ π = V = 0,0000424 m3

w = 0,0000424 m3 · 7800 kg/m3 · 9,8 m/seg2 w = 3,2474 [N]

8. Un camión ha cargado 10 chapas de 2000 mm de largo, por 1000 mm de ancho y 4 mm de espesor:

a) ¿Cuánta es la masa cargada en kg si la densidad de la chapa es de 7,8 kg/dm3?

b) ¿Con qué fuerza actúa esa cantidad de materia sobre el suelo? Solución (a): masa cargada en kg

Primero que nada se calculará el volumen de una chapa, aplicando la formula de volumen: espesor ancho largo⋅ ⋅ = V

Trabajando las medidas en metros, se tiene: 0,004m 1m 2m⋅ ⋅ = V 3 ,008m 0 = V

Conocido el volumen es posible calcular la masa de la chapa, es decir: m = V · ρ

Reemplazando valores correspondientes para el volumen y densidad, se tiene: m = 0,008 m3 · 7800 kg/m3

m = 62,4 kg

Es decir la masa de una chapa es de 62,4 kg, por lo tanto como son 10, el valor anterior se multiplica por 10 y se obtiene que la masa total es de:

Solución(b): fuerza con que actúa sobre el suelo m = 624 kg

La fuerza con que la carga actúa sobre el suelo, corresponde al peso de la carga, es decir:

w = m · g

w = 624 kg · 9,8 m/seg2

Ejercicios resueltos composición y descomposición de fuerzas.

1. Encontrar la magnitud de la fuerza resultante del esquema indicado. F1 = 2000 [N]

F2 = 1000 [N] F3 = 3000 [N] F = ?

Solución:

Las fuerzas que actúan sobre la misma línea de acción y en el mismo sentido se componen por la suma de:

FResultante = F1 + F2 + F3

FResultante = 2000 N + 1000 N + 3000 N

Es decir la fuerza resultante es de 600 Newton w = 6115,2 [N]

2. Las fuerzas que actúan sobre la misma línea de acción, pero en sentido contrario, se componen por la resta:

F1 = 100 [N] F2 = 80 [N] F3 = 300 [N] F4 = 400 [N] F = ? Solución:

Las fuerzas 1, 2, y 3 tienen la misma dirección y sentido, por lo tanto se deben sumar, mientras que la fuerza 4 tiene igual dirección pero de sentido contrario y por tanto debe restarse, es decir:

FResultante = F1 + F2 + F3 – F4

FResultante = 100 [N] + 80 [N] + 300 [N] - 400 [N]

FResultante = 80 [N]

3. Las fuerzas F1 = 20 N y F2 = 15 N, actúan en el punto A formando el

ángulo α = 65º. ¿Cuánto vale la resultante?

Solución gráfica:

En estos casos pueden componerse gráficamente mediante el método del

Solución gráfica y algebraica:

Eligiendo un sistema cartesiano adecuado, por ejemplo hacer coincidir la fuerza F1 con el eje x

. El modulo o magnitud del vector resultante está determinado por:

(

)

( )

2 y 2 x F F F = ∑ + ∑ (1)

Fuerza resultante sobre eje x:

1 2 F F Fx = _x +

∑

[ ]

N 20 º 65 cos 15 Fx = + ∑ N F₂ =15 N F₁ =20 R 65º x y

[ ]

N 339 , 26 F_x = ∑

Fuerza resultante sobre el eje y: y y F F = ₂

∑

º 65 sen 15 F_y = ∑ [N]

Ahora reemplazando los valores obtenidos en la ecuación (1), se tiene la magnitud de la fuerza resultante:

(

) (

2

)

2 595 , 13 339 , 26 N N F = +

Para determinar su dirección con respecto al eje positivo de las x, se trabaja con:

∑

∑

= x y F F α tan

[ ]

[ ]

      = − N N 339 , 26 595 , 13 tan 1 α

Es decir, la magnitud de la fuerza resultante es de 29,64 N y tiene una dirección de 27,301º respecto al eje positivo de las x.

F = 29,64 [N] 595 , 13 F_y = ∑ [N] º 301 , 27 = α

4. Dos tractores tratan de arrastrar un árbol mediante dos cables. Uno de los tractores tiene una fuerza de tracción F = 18000 N y el otro una fuerza de tracción = 24000 N ambos cables forman entre sí un ángulo de 30º. ¿Qué magnitud tiene la fuerza resultante?

Solución:

(

)

( )

2 y 2 x F F F = ∑ + ∑ (1) x x F F F = ₂ + ₁

∑

[ ]

N cos30º 18000 N 24000 F_x = + ∑ y y F F = 1

∑

º 30 sen 18000 F_y = ∑ [N] 9000 Fy = ∑ [N]

Ahora reemplazando Los valores en la ecuación (1), se tiene:

(

) (

2

)

2 N 9000 N 457 , 39588 F = +

[ ]

N 457 , 39588 F_x = ∑

[ ]

N 595 , 40598 F =

Para determinar su dirección con respecto al eje positivo de las x, se trabaja con:

∑

∑

= x y F F α tan

[ ]

[ ]

N N 457 , 39588 9000 tanα =

5. La fuerza F tiene que descomponerse a F1 y F2, Tal como indica la figura

¿Cuales son las magnitudes de F1 y F2 en Newton?

Solución:

La magnitud de la fuerza resultante corresponde a los 225N y por definición la magnitud de una fuerza en el plano queda determinada por:

(

) (

2

)

2

∑

∑

+

= Fx Fy

F  

Como la fuerza resultante no tiene componente en el eje y, significa que: 0 F_y = ∑ Por lo tanto: x y 40º 20º N F =225 2 F 1 F º 12808 = α

F1 sen 40º + F2 sen 340º = 0 Despejando F1: º 40 º 340 2 1 sen sen F F = −

Como la resultante tiene solo componente en el eje x, se puede anotar::

[ ]

N F F =

∑

x = 225  N F F1cos40º+ 2cos340=225

Reemplazando el despeje de F1 se tiene:

[ ]

N F sen sen F 225 º 340 cos º 40 º 40 cos · º 340 2 2 + = − Factorizando por F2:

[ ]

N sen sen F cos340 225 º 40 º 40 cos · º 340 2 =      + −

[ ]

      + − = º 340 cos º 40 º 40 cos · º 340 225 2 sen sen N F

Reemplazando el valor de F2 en despeje de F1 se tiene:

F1 =

[ ]

40 º 20 · 001 , 167 sen sen N − F1 = 88,9 [N] F2 = 167,001 [N]

Ejercicios resueltos estática y dinámica de la partícula

1. Un cuerpo de 100 [kgf], cuelga de una cuerda que en O esta unida a

otras dos cuerdas fijas en el techo. Calcular las tensiones de las tres cuerdas, en kgf. (Las cuerdas son inextensibles y de masa despreciable).

Solución:

Para el cuerpo de 100 [kgf], se tiene el siguiente diagrama de cuerpo libre:

Las ecuaciones de equilibrio son:

Eje y

T1 – 100 kgf = 0 ⇒

Si se considera el nudo O como una partícula sin masa, se tiene el siguiente diagrama de cuerpo libre:

Aplicando la condición de equilibrio, se tiene:

Eje x: T3 · cos 37º + T2 · cos 127º = 0 T3 = º 37 cos º 127 cos · 2 T − (1) Eje y: T2 · sen 127º + T3 · sen 37º - 100 kgf = 0 (2)

Reemplazando ecuación (1) en ecuación (2) se tiene: T2 · sen 127º - º 37 cos º 127 cos · 2 T · sen 37º = 100 kgf T2 T3 T1 = 100 kgf

Factorizando por T2, se obtiene:

T2 (sen 127º - cos 127º · tan 37º) = 100 kgf

T2 = ) 37º tan · 127º cos 53º sen ( kgf 100 −

Reemplazando el valor de T2 en la ecuación (1) se tiene el valor de la tensión 3,

es decir: T3 = º 37 cos º 127 cos · 864 , 79 kgf −

Por lo tanto los valores de tensiones en las cuerdas son de 100 kgf, 79,864 kgf y 60,182 kgf.

2. Para la figura indicada, el coeficiente de rozamiento estático µ entre el bloque de masa 50 kg y la superficie horizontal es de 0,4, determine: a. Si el sistema esta en equilibrio cuando el peso w es de 15 kgf, calcular la

fuerza de rozamiento ejercida sobre el bloque de 50 kg

b. ¿Cuál debe ser el valor máximo del peso w para que el sistema este en equilibrio?

T2 = 79,864 kgf

Solución (a) Fuerza de rozamiento entre cuerpo de 50 kg y superficie horizontal Los diagramas de cuerpo libre correspondientes son:

Diagrama 1 Diagrama 2

Para determinar la fuerza de roce es necesario conocer primero la tensión T1, esto se consigue trabajando primero en el diagrama 2.

Aplicando la condición de equilibrio de la partícula, se obtiene: Eje x:

T2 · cos 45º - T1 = 0 T1 = T2 · cos 45º (1)

Eje y: T2 · sen 45º - 15 kgf = 0 º 45 sen kgf 15 2 T = (2)

Reemplazando ecuación (2) en ecuación (1), se tiene:

T1 = · cos 45º º 45 sen kgf 15 T1 = 15 kgf

Ahora trabajando en diagrama 1 se obtiene:

Eje x:

T1 - f = 0

f = T1

Es decir, la fuerza de roce que se produce entre el cuerpo de 50 kg y la superficie horizontal es de 15 kgf.

Solución (b) Valor máximo del peso w para el equilibrio: En diagrama 1, se tiene: Eje x: T1 – f = 0 T1 - µ · N = 0 Despejando T1: T1 = µ · N (1) Eje y: N – mg = 0 Despejando fuerza normal:

N = mg (2)

Reemplazando ecuación (2) en (1) se tiene:

T1 = µ · m · g

Reemplazando valores numéricos y realizando la operatoria aritmética resulta el valor de T1:

T1 = 0,4 · 50 kg · 9,8 m/seg2 T1 = 196 N

En diagrama 2 se tiene: Eje x: T2 cos 45º - T1 = 0 Despejando T2 resulta: T2 = 45 cos 1 T

Como se conoce el valor de T1, se tiene: T2 =

45 cos

N 196

Dividiendo resulta el valor de la tensión T2:

T2 = 277,185 N

Eje y:

T2 sen 45º - w = 0 Despejando el peso W:

W = T2 sen 45º

Reemplazando el valor de T2 y multiplicando se obtiene el peso máximo que se puede sostener para que mantenga el equilibrio, es decir:

w = 277,185 N · sen 45º

Máximo peso que puede tener w es de 196N w = 196 N

3. Determinar la aceleración que resulta cuando una fuerza de 40 [N] actúa sobre un cuerpo de 8 [Kg] Solución: Datos: a =? F = 40 N m = 8 Kg

Por el 2° principio de Newton, se tiene que: F = m ⋅ a luego:

m F a =

Reemplazando los datos correspondientes para fuerza y masa, se obtiene:

kg 8

N 40

a =

Es decir, la magnitud de la aceleración es de 5 [m/s2] y actúa en la misma dirección de la fuerza F

4. Un bloque sin velocidad inicial se desliza sobre un plano inclinado de 37°. Determinar la distancia que recorre al 5° segundo.

(a). Si no hay roce

(b). Si hay rozamiento entre las dos superficies y el coeficiente de roce cinético es de 0,3 0 0 = v 37º m a = 5 m/s2

Solución (a) sin rozamiento:

En este caso y según lo indicado, el cuerpo de desliza debido a su propio peso. Haciendo un diagrama de cuerpo libre y considerando el sentido positivo hacia abajo del plano inclinado resulta:

2° Principio de Newton:

Σ F = m ⋅ a ⇒ Σ Fx = m ⋅ ax ⇒Σ Fy = m ⋅ ay

En este caso la aceleración se produce solo en eje x indicado en la figura, es decir, no hay movimiento sobre el eje y, por lo tanto:

Σ Fy = m ⋅ ax

mg sen 37° = m ⋅ a

Como en esta ecuación solo se desconoce la aceleración, simplificando por la masa m se tiene:

g sen 37° = a

Reemplazando el valor de la aceleración de gravedad resulta:

9,8 m/s2 ⋅ sen 37° = a Multiplicando: mg y 37º x N º 37 mgsen º 37 cos mg a = 5,9 m/s2

Valor que corresponde al modulo de la aceleración con la cual el cuerpo desciende del plano inclinado.

Como la aceleración es constante, es posible calcular la distancia que recorre al cabo de 5 segundos aplicando la ecuación de la cinemática, es decir:

2 0 0 2 1 t a t v x x= + ⋅ + ⋅

Como el cuerpo parte del reposo y no tiene posición de referencia, tanto la posición inicial como la velocidad inicial son iguales a cero, por lo tanto la ecuación anterior resulta:

2 2 1 t a x= ⋅

Reemplazando los valores para la aceleración y el tiempo resulta:

2 2 2 5 9 , 5 2 1 s s m x= ⋅ ⋅

Multiplicando y cancelando los segundos al cuadrado se tiene:

Es decir el cuerpo recorre 73,75 [m] al descender durante 5 segundos por el plano inclinado sin rozamiento

OBS:

En este caso no fue necesario trabajar en el eje y, debido a que la aceleración pudo ser determinada al trabajar solo en el eje x (la razón es porque no existe roce).

m x=73,75

Solución(b): superficie con coeficiente de roce cinético 0,3 2° principio de Newton: Σ F = m ⋅ a ⇒ Σ Fx = m ⋅ ax ⇒Σ Fy = m ⋅ ay Eje x: a m f sen mg⋅ 37º− = ⋅ Pero f =µ_k ⋅N luego a m N sen mg⋅ 37º−µ_k ⋅ = ⋅ (1)

Para obtener el valor de la fuerza normal N se hace necesario trabajar en el eje y: Eje y: 0 º 37 cos = ⋅ −mg

N Porque no existe movimiento en este eje. Despejando N resulta: º 37 cos ⋅ =mg N (2) Reemplazando (2) en (1) se tiene: a m mg sen mg⋅ 37º−µ_k ⋅ ⋅cos37º= ⋅ mg y 37º x N º 37 mgsen º 37 cos mg N f =µ_k ⋅

Dividiendo por m y factorizando por g de obtiene:

(

sen

)

a g⋅ 37º−µ_k ⋅cos37º =

Reemplazando el valor de la aceleración de gravedad y el coeficiente de rozamiento resulta:

(

sen

)

a s m _{⋅ − ⋅ =} º 37 cos 3 , 0 º 37 8 , 9 ₂

Realizando la operatoria aritmética resulta el valor para la aceleración:

Entonces, la distancia x recorrida por el cuerpo, sobre el plano inclinado, con rozamiento, al quinto segundo es:

2 2 1 t a x= ⋅ m s s m x 3,55 5 44,38 2 1 2 2 2 ⋅ = ⋅ = 2 55 , 3 s m a= m x=44,38

5. Un auto de 800 [Kg] gira en una curva de 1 [Km] de radio a 180 [km/h] ¿cual es el valor de la fuerza centrípeta?

Solución:

Los datos entregados son:

Masa del auto = 800 [Kg]

Radio pista = 1 [Km] = 1000 [m ] Velocidad lineal = 180 [Km/h] = 50 [m/s]

Aplicando la formula de fuerza centrípeta se tiene:

r v m F 2 ⋅ = Reemplazando los valores:

m s m kg F 1000 50 800 2 2 2 ⋅ =

Realizando la operatoria aritmética y cancelando unidad de metro resulta finalmente que la fuerza centrípeta vale:

N F =2000

6. Una masa de 3,0 kg se somete a una aceleración dada por a=20,iˆ+50,jˆ m/s2. Determine la fuerza resultante y su magnitud.

Solución

Este es un problema de aplicación directa del segundo principio de Newton, ya que se conoce la masa m y la aceleración a. Luego:

(N) (N) : será resultante la de lamagnitud (N), : resulta atermino termino ndo multiplica 225 36 0 , 15 0 , 6 ˆ 0 , 15 ˆ 0 , 6 ) / )( ˆ 0 , 5 ˆ 0 , 2 ( ) ( 3 2 2 2 + = ⇒ + = + = ⇒ + ⋅ = ⇒ = F F j i F s m j i kg F a m F      

7. Para el sistema de la figura calcule las tensiones en las cuerdas.

(N) 15 , 16 = ⇒ F 5kg 30º 60º

Soluciónproblema n°2

Este problema corresponde al equilibrio estático de la partícula en el plano, por lo tanto se cumple que:

0 F 0 F 0 y x = ⇒ = ⇒ =

∑

∑

∑

F

En este desarrollo es fundamental construir un diagrama de cuerpo libre tal como el que muestra la figura.

Considerando el esquema anterior se tiene: Eje X: ∗ ° = ⇒ = ° + ° ⇒ = ∑ ⇒ cos60 Acos150 -B 0 Acos150 Bcos60 0 x F Eje Y 150°

Reemplazando el valor de A = 24,5 (N) en la ecuación (*), se obtiene B, es decir:

8. Un hombre esta en una plataforma que se encuentra sostenida por una cuerda que pasa por una polea, tal como se muestra en la figura. El hombre tiene el otro extremo de la cuerda tomado de tal modo que puede levantarse así mismo, Si el hombre y la plataforma tienen una masa de 180 kg.(a) ¿Con qué fuerza ha de tirar para levantarse así mismo a la velocidad de 2 m/s?. (b) Con qué fuerza ha de tirar para levantarse a una aceleración de g/16? Desprecie el roce.

(

)

(

)

) ( 5 , 24 : resulta s operacione las nte correctame realizando 150 60 150 cos ) ( 49 : resulta mg de valor el o reemplaznd 150 60 150 cos 60 60 cos 60 porque 150 60 150 cos 150 60 cos sen60 cos150 -A : resulta A por do factorizan mg Asen150 sen60 cos60 Acos150 -: obtiene se Ec. en Ec. do Reemplazan 0 mg -Asen150 Bsen60 0 y F N A sen tg N A sen tg mg A tg sen mg sen tg A mg sen = ⇒ ° + ° ⋅ ° − = ° + ° ⋅ ° − = ⇒ ° = ° ° = ° + ° ⋅ ° − ⇒ =       _{+ °} ° ° ⋅ ° = ° + ° ⋅ ° ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = + ° ⇒ = ∑ ⇒ ) ( 435 , 42 60 cos ) ( 218 , 21 cos60 150 cos ) ( 5, 24 N B N B N B = ⇒ ° = ⇒ ° ° − = ⇒

Solución

En este problema hay un mecanismo de polea fija la cual sólo cambia la dirección de la fuerza y no provoca ganancia mecánica.

Fuerza necesaria para levantarse con la velocidad de 2 m/s:

Como el cuerpo se mueve a velocidad constante no produce aceleración, luego se tiene un equilibrio cinético, es decir,

∑

∑

∑

F =0⇒ FX =0 ∧ FY =0 

Pero en eje x no existen fuerzas, por lo tanto solo se considera el eje y Eje Y: mg F 2 x y

) ( 882 : tanto lo por ) ( 2 1764 : que tiene se mg de valor el do reemplazan 2 2 : resulta despejando 0 2 N F N F mg F mg F F mg F = = = ⇒ = = −

Fuerza necesaria para levantarse con la aceleración de g/16: Eje Y: ) ( 125 , 937 : que finalmente resulta 2 por dividiendo ) ( 5 , 1874 2 16 ) / ( 8 , 9 ) ( 180 17 2 : tiene se ientes correspond valores los do reemplazan 16 17 2 : queda fraccion y entero sumando 16 1 1 2 : resulta por do factorizan 16 2 : que setiene 16 do reemplazan 2 : resulta 2 despejando 16 g pero , 2 2 N F N F s m kg F mg F mg F mg mg mg F g a mg ma F F a ma mg F = ⇒ = ⇒ ⋅ ⋅ = =       + = + = = + = = = −

9. Un cuerpo de peso W está sobre una mesa giratoria a una distancia R del centro, tal como se muestra en la figura, si µ es el coeficiente de roce entre el cuerpo y la mesa. ¿Cuál es la máxima velocidad del cuerpo de tal modo que éste no resbale?

Solución

La única fuerza que se opone a que el cuerpo no resbale, corresponde a la fuerza centrípeta, que en este caso corresponde a la fuerza de roce. Luego se cumple que: c c ma F = Pero, Fc = µN y ac = v2/R Por lo tanto: v gR v gR v R v g R v m mg mg N R v m N = ⇒ = = = ⇒ = = µ µ µ µ µ : que tiene se cuadrada raiz aplicando : resulta despejando : tiene se m por ndo simplifica pero , 2 2 2 2 2

10. Para la figura adjunta, calcular el ángulo θ y la tensión de la cuerda AB si m1

= 300 lbf y m2 = 400 lbf.

Solución

El sistema de la figura corresponde a un equilibrio estático de la partícula( en dos dimensiones ) luego se cumple que:

0 0 0 ⇒ = ∧ = =

∑

∑

∑

F FX FY 

Como la polea es un dispositivo para cambiar la dirección de una fuerza, se tiene que la tensión de la cuerda T2 es igual al peso m2g.

Diagrama de cuerpo libre:

θ T=m2g TAB T1=m1g x y θ B A

m

1

m

2

Eje X:

( )

1 sen 0 sen 2 2g T T m g m − AB θ = ⇒ AB θ = Eje Y:

( )

2 cos 0 cos m1g T m1g TAB θ − = ⇒ AB θ = Dividiendo (1) en (2), se tiene ° = ⇒ = ⇒ = ⇒ = 13 , 53 3 4 tg ) ( 300 ) ( 400 tg tg 1 2 θ θ θ θ lbf lbf g m g m

Reemplazando el valor de θ =53,13° en Ec. (2) y despejando TAB, se tiene que:

TAB = 500 lbf.

11. Los cuerpos de la figura tienen masas de 10 kg, 15 kg y 20 kg

respectivamente. Se aplica una fuerza F de 50 N en C. Encontrar la aceleración del sistema y las tensiones en cada cable. Discutir el mismo problema cuando el sistema se mueve verticalmente en lugar de horizontalmente.

Solución ( movimiento horizontal ):

T1

y x ma ma a m F = ⇒ = ⇒ =

∑

∑

∑

y x F F  

Como el cuerpo C presenta mayor número de datos, es que comenzaremos por él.

El problema no hace referencia al roce, por lo tanto no será considerado. Cuerpo C: Eje X: (1) ) ( 20 ) ( 50 ) ( 20 ) ( 50 izquierda la hacia mueve se cuerpo el porque es negativo isgno el 2 2 1 2 a kg N T a kg N T a m F T ⋅ − = ⇒ ⋅ − = − ⇒ − = − ⇒ Cuerpo B: Eje X:

( )

2 ) ( 15 : tiene se de valor el do reemplazan 2 1 2 2 2 1 2 2 1 a kg T T m a m T T a m T T ⋅ − = − = ⇒ − = − ⇒ m1g N1 F T2 C 20 kg B T2 m2g N2 T1 15kg

Reemplazando ecuación (1) en (2) resulta

( )

3 ) ( 35 ) ( 50 ) ( 15 ) ( 20 ) ( 50 1 1 a kg N T a kg a kg N T ⋅ − = ⇒ ⋅ − ⋅ − = Cuerpo A: Eje X: (4) 3 1 3 1 a m T a m T = ⇒ − = − ⇒

Reemplazando ecuación (3) en (4), y al mismo tiempo el valor de m3 resulta:

( )

s m kg T T s m kg N a a kg N a kg a kg N 100 ) / ( 9 10 ) ( 10 : obtiene se Ec.(4), en valor este do reemplazan ) / ( 9 10 ) ( 45 ) ( 50 : reuslta n aceleració la despejando ) ( 45 ) ( 50 ) ( 10 ) ( 35 ) ( 50 2 1 1 2 = ⇒ ⋅ = = = ⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ − 10kg T1 m3g N3 A

Reemplazando a =10/9 (m/s2) en ecuación (1) se obtiene el valor de T2, es decir: ) ( 9 250 ) ( 9 200 ) ( 50 ) / ( 9 10 ) ( 20 ) ( 50 ) ( 20 ) ( 50 2 2 2 2 2 N T N N T s m kg N T a kg N T = ⇒ − = ⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ − = ⇒

Solución ( movimiento vertical ):

En este movimiento no existen fuerzas en el eje horizontal.

m1g T2 20 kg C F Cuerpo C: Eje Y: F g m a m T F g m a m T a m g m T F y ma y F + − − = ⇒ − + = − ⇒ = − − ⇒ ∑ = 1 1 2 1 1 2 1 1 2

Reemplazando los valores numéricos resulta

( )

1 ) ( 146 ) ( 20 ) ( 50 ) ( 196 ) ( 20 2 2 N a kg T N N a kg T − ⋅ − = ⇒ + − ⋅ − =

Cuerpo B:

Cuerpo A:

Igualando las ecuaciones (3) y (4) se tiene:

T2 15 kg B T1 m2g Eje Y: (2) 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 a m g m T T a m g m T T a m g m T T − − = ⇒ + + − = − ⇒ = − − ⇒

Reemplazando Ec.(1) y el valor de m2en Ec.(2) se tiene:

(3) ) ( 391 ) ( 35 ) ( 15 ) ( 245 ) ( 146 ) ( 20 1 1 N a kg T a kg N N a kg T − ⋅ − = ⇒ ⋅ − − − ⋅ − = T1 10 kg A m3g Eje Y: 3 3 1 3 3 1 a m g m T a m g m T + = ⇒ = − ⇒

Reemplazando valores numéricos resulta:

(4) ) ( 10 ) ( 98 1 N kg a T = + ⋅ ⇒

) / ( 867 , 10 ) ( 45 ) ( 498 ) ( 45 ) ( 489 ) ( 35 ) ( 10 ) ( 98 ) ( 391 : semejantes terminos los reuniendo ) ( 10 ) ( 98 ) ( 391 ) ( 35 2 m a a kg N a kg N a kg a kg N N a kg N N a kg − = ⇒ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ + ⋅ = − − ⇒ ⋅ + = − ⋅ −

El signo negativo de la aceleración significa que el sistema se mueve hacia abajo.

Reemplazando a = -10,867 (m/s2) en la ecuación (4) se obtiene el valor de T1, es decir: ) ( 67 , 10 ) ( 67 , 108 ) ( 98 ) / ( 867 . 10 ) ( 10 ) ( 98 1 1 2 1 N T N N T s m kg N T − = ⇒ − = ⇒ − ⋅ + =

Reemplazando a = -10,867 (m/s2) en la ecuación (1) se obtiene el valor de T2, es

decir: ) ( 34 , 71 ) ( 146 ) ( 34 , 217 ) ( 146 ) / ( 867 . 10 ) ( 20 2 2 2 2 N T N N T N s m kg T = ⇒ − = ⇒ − − ⋅ − =

12. Los cuerpos de la figura están conectados por una cuerda como se muestra. Suponiendo que no hay fricción en las poleas, calcular la aceleración de los cuerpos y la tensión en la cuerda. Considere m1 = 8 kg, m2 = 2 kg.

Solución

Se trata de un sistema dinámico donde presenta una polea fija y una móvil. En este caso, la masa m2 tiene una aceleración que es el doble de la aceleración de

m1.

Diagrama de cuerpo libre para cuerpo 2

Por segunda ley de Newton se tiene que Eje Y: (1) ) ( 4 ) ( 6 , 19 ) ( 2 2 ) / ( 8 , 9 ) ( 2 resulta numéricos valores do reemplazan 2 2 2 2 2 2 2 a kg N T a kg s m kg T a m g m T a m g m T a m F ⋅ + = ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒ = ∑   m2g T Y a 2a m1 m2

Diagrama de cuerpo libre para cuerpo 1

Igualando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene

) (m/s 2,45 8(kg) 19,6(N) 8(kg) 19,6(N) ) ( 4 ) ( 4 ) ( 2 , 39 ) ( 6 , 19 ) ( 4 ) ( 2 , 39 ) ( 4 ) ( 6 , 19 2 = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ − = − ⇒ ⋅ − ⋅ − = − ⇒ ⋅ − = ⋅ + a a a a kg a kg N N a kg N a kg N

Por lo tanto, el cuerpo 1 se mueve con aceleración de 2,45 m/s2 y el cuerpo 2 con aceleración de 4,9 m/s2.

La tensión en la cuerda se obtiene reemplazando en la ecuación (1) o ecuación (2) el valor de la aceleración, es decir:

Reemplazando en Ec. (2) ) ( 4 , 29 ) 2,45(m/s ) ( 4 ) ( 2 , 39 2 N T kg N T = ⇒ • − = ⇒ Eje Y: (2) a 8(kg) -78,4(N) T res numéricos valores do reemplazan a kg N T a m g m T a m g m T a m g m T a m F ⋅ − = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ − = − ⇒ = ∑ ) ( 4 ) ( 2 , 39 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1   2T m1g Y 2a a

13. Los tres bloques de la figura están conectados por medio de cuerdas sin masa que pasan por poleas sin fricción. La aceleración del sistema es de 2,35 m/s2 a la izquierda y las superficies son rugosas. Determine: (a) las tensiones en las cuerdas y (b) el coeficiente de fricción cinético entre los bloques y las

superficies (suponga el mismo µ para ambos bloques)

Solución

El sistema es dinámico luego se cumple que

∑

F =ma

Cuerpo (1): ∑ =m⋅a Y F a m g m T a m g m T 1 1 1 1 1 1 − = ⇒ − = −

Reemplazando los valores numéricos se obtiene inmediatamente el valor para T1, es decir:

) ( 5 , 74 ) / ( 35 , 2 ) ( 10 ) ( 98 1 2 1 N T s m kg N T = ⇒ ⋅ − = ⇒ 10 kg 5 kg 3,0 kg T2 T1 25° m1g a Y T1 g m1

Cuerpo 2: Eje Y g m N g m N 2 2 2 2 0 = ⇒ = − ⇒ Eje X a m T g m T g m a m T N T a m T f T a m T f T 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 N pero − + − = ⇒ = − + − = ⇒ − + − = ⇒ − = − + ⇒ µ µ

Reemplazando T1 , aceleración y los valores para m2g y m2,se obtiene:

(1) ) ( 75 , 62 ) ( 49 ) / ( 35 , 2 ) ( 5 ) ( 5 , 74 ) ( 49 2 2 2 N N T s m kg N N T + − = ⇒ ⋅ − + − = ⇒ µ µ Cuerpo 3: Eje Y: ° = ⇒ = ° − 25 cos 0 25 cos 3 3 3 3 g m N g m N Eje X: Y X f1 T2 N2 T1 m2g 25° Y X f2 N₃ T2 m3g

(2) ) ( 645 , 26 ) ( 475 , 19 12,425(N) ) ( 645 , 26 ) ( 5 , 7 12,425(N) 25 29,4(N)cos ) 2,35(m/s 3(kg) : obtiene se numéricos valores do reemplazan 25 25 cos 1 / 25 25 cos 25 25 cos 25 cos pero 25 25 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 2 3 2 N N T N N T T gsen m g m a m T gsen m g m a m T a m T gsen m g m g m N a m T gsen m N a m T gsen m f ⋅ + = ⇒ + ⋅ + = ⇒ + ° ⋅ + ⋅ = ⇒ ° + ° + = ⇒ ° − ° − − = − ⇒ − = − ° + ° ⇒ ° = − = − ° + ⇒ − = − ° + µ µ µ µ µ µ µ

Ahora igualando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene

572 , 0 ) ( 645 , 75 ) ( 275 , 43 ) ( 645 , 75 ) ( 275 , 43 ) ( 49 ) ( 645 , 26 ) ( 475 , 19 ) ( 75 , 62 ) ( 645 , 26 ) ( 475 , 19 ) ( 75 , 62 ) ( 49 = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒ + ⋅ = − ⇒ ⋅ + = + − µ µ µ µ µ µ µ N N N N N N N N N N N N

Reemplazando µ = 0,572 en ecuación (1) o (2) se obtiene el valor para T2, es

decir: ) ( 722 , 34 ) ( 49 571 , 0 ) ( 75 , 62 2 2 N T N N T = ⇒ ⋅ − =

14. Un cuerpo de 20Kg. descansa sobre una superficie horizontal. El coeficiente de fricción estática y cinética entre el cuerpo y la superficie es 0,4 y 0,3

respectivamente. Sobre el cuerpo actúa una fuerza F tal como indica la figura

Determinar la fuerza Fnecesaria para que el cuerpo: a) Esté a punto de iniciar el movimiento.

b) Se mueva a velocidad constante.

c) Se mueva con una aceleración de 2,4 m/s2.

d) Alcance la velocidad de 30 m/s en un tiempo de 8 segundos.

e) Alcance la velocidad de 24 m/s cuando ha recorrido una distancia de100 metros Solución:

En primer lugar se debe realizar un diagrama de cuerpo libre tal como indica la figura.

28º F N mg =196 N f =µ⋅ N y x F 3 , 0 4 , 0 = = K S µ µ 28º 20 kg

Solución (a) fuerza necesaria pera que el cuerpo esté a punto de iniciar el movimiento:

Como el cuerpo está a punto de iniciar el movimiento, significa que no tiene aceleración y en consecuencia, el segundo principio de Newton queda

∑

F =0 Eje x: 0 º 28 cos −f = F

Como el cuerpo aún no se mueve, significa que actúa el roce estático µ_s , por lo tanto:

0 º 28 cos − ⋅N = F µ_s (1) Eje y: 0 =

∑

Fy 0 º 28 − = +Fsen mg N

Despejando la fuerza normal se obtiene:

º 28

Fsen mg

N = − (2)

Reemplazando ecuación 2 en ecuación 1, se obtiene:

(

28º

)

0 º 28 cos − ⋅ mg−Fsen = F µ_s Resolviendo el paréntesis: 0 º 28 º 28 cos − ⋅mg+ ⋅Fsen = F µ_s µ_s

Factorizando por Fy despejando:

(

sen

)

mg F cos28º+µs ⋅ 28º =µs ⋅ Despejando Fresulta: mg F s ⋅ + ⋅ = µ µ

Reemplazando valores numéricos µs =0,4 y mg =196N se tiene: º 28 4 , 0 º 28 cos 196 4 , 0 sen N F ⋅ + ⋅ =

Realizando la operatoria matemática resulta el valor de la fuerza que se pide, es decir:

Solución (b) fuerza necesaria pera que el cuerpo se mueva a velocidad constante

En este caso el cuerpo se mueve a velocidad constante, significa que no tiene aceleración y en consecuencia, el segundo principio de Newton queda

∑

F =0 Eje x: 0 º 28 cos −f = F

Como el cuerpo se encuentra en movimiento, significa que ahora actúa el roce cinético

k µ , por lo tanto: 0 º 28 cos − ⋅N = F µk (1) Eje y:

Exactamente igual al caso (a), porque el cuerpo no se mueve en el eje y

0 =

∑

Fy N F =73,221 F N mg=196 N f =µ⋅ N y x . Cte v = 28º

0 º

28 − = +Fsen mg N

Despejando la fuerza normal se obtiene:

º 28

Fsen mg

N = − (2)

Reemplazando ecuación 2 en ecuación 1, se obtiene:

(

28º

)

0 º 28 cos − ⋅ mg−Fsen = F µ_k Resolviendo el paréntesis: 0 º 28 º 28 cos − ⋅mg+ ⋅Fsen = F µ_k µ_k

Factorizando por Fy despejando:

(

sen

)

mg F cos28º+µ_k ⋅ 28º =µ_k⋅ Despejando Fresulta: º 28 º 28 cos sen mg F k k ⋅ + ⋅ = µ µ

Reemplazando valores numéricos µ_k =0,3 y mg =196N se tiene:

º 28 3 , 0 º 28 cos 196 3 , 0 sen N F ⋅ + ⋅ =

Resolviendo la operatoria matemática resulta el valor de la fuerza que se anda buscando, es decir:

N F =57,434

Solución (c) fuerza necesaria pera que el cuerpo se mueva con una aceleración de 2,4 m/s2

En este caso el cuerpo se mueve con una aceleración de 2,4 m/s2, y en consecuencia, el segundo principio de Newton queda

∑

F =m⋅a

Entonces: Eje x: a m f Fcos28º− = ⋅

Como el cuerpo esta en movimiento, significa que actúa el roce cinético µk , por lo

tanto: a m N Fcos28º−µ_k⋅ = ⋅ (1) Eje y:

Exactamente igual al caso (a), porque el cuerpo no se mueve en el eje y

0 =

∑

Fy 0 º 28 − = +Fsen mg N

Despejando la fuerza normal se obtiene:

28º F N mg =196 N f =µ⋅ N y x s m a=2,4

º 28

Fsen mg

N = − (2)

Reemplazando ecuación 2 en ecuación 1, se obtiene:

(

mg Fsen

)

m a Fcos28º−µk ⋅ − 28º = ⋅ Resolviendo el paréntesis: a m Fsen mg Fcos28º−µk ⋅ +µk⋅ 28º= ⋅

Factorizando por Fy despejando:

(

sen

)

m a mg F cos28º+µ_k⋅ 28º = ⋅ +µ_k⋅ Despejando Fresulta: º 28 º 28 cos sen mg a m F k k ⋅ + ⋅ + ⋅ = µ µ

Reemplazando valores numéricos m=20kg , 2,4 ₂

s m a= ,µ_k =0,3 y mg =196N se tiene: º 28 3 , 0 º 28 cos 196 3 , 0 4 , 2 20 ₂ sen N s m kg F ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Resolviendo la operatoria matemática en el numerador resulta:

º 28 3 , 0 º 28 cos 8 , 106 sen N F ⋅ + =

Resolviendo la operatoria matemática resulta el valor de la fuerza necesaria para que el cuerpo se mueva con aceleración de 2,4 m/s2

N F =104,318

Solución (d) fuerza necesaria pera que el cuerpo alcance la velocidad de 30 m/s en un tiempo de 8 segundos.

En este caso el cuerpo, partiendo del reposo alcanza la velocidad de 30 m/s, esto significa que también existe aceleración y en consecuencia, el segundo principio de Newton queda

∑

F =m⋅a

Entonces:

Eje x: igual al caso anterior

a m f Fcos28º− = ⋅

Como el cuerpo esta en movimiento, significa que actúa el roce cinético µk , por lo

tanto: a m N Fcos28º−µ_k⋅ = ⋅ (1) Eje y:

Exactamente igual al caso (a), porque el cuerpo no se mueve en el eje y

0 =

∑

Fy 0 º 28 − = +Fsen mg N

Despejando la fuerza normal se obtiene:

28º F N mg =196 N f =µ⋅ N y x s m v=30 0 0 = v

º 28

Fsen mg

N = − (2)

Reemplazando ecuación 2 en ecuación 1, se obtiene:

(

mg Fsen

)

m a Fcos28º−µ_k ⋅ − 28º = ⋅ Resolviendo el paréntesis: a m Fsen mg Fcos28º−µ_k ⋅ +µ_k⋅ 28º= ⋅

Factorizando por Fy despejando:

(

sen

)

m a mg F cos28º+µ_k⋅ 28º = ⋅ +µ_k⋅ Despejando Fresulta: º 28 º 28 cos sen mg a m F k k ⋅ + ⋅ + ⋅ = µ µ (∗)

En este caso se debe calcular la aceleración y es posible hacerlo por separado. Como se conoce la velocidad inicial que es igual a cero, la velocidad final que es igual a 30 m/s y el tiempo en que se produce el cambio de velocidad, se debe utilizar la ecuación cinemática velocidad en función del tiempo, es decir:

t a v v= ₀ + ⋅

Como v₀ =0 y despejando aceleración se obtiene:

a t v ₌

Reemplazando el valor de la velocidad final y el tiempo correspondiente se tiene el valor de la aceleración: a s s m = 8 30 a s m ₌ 2 75 , 3

Como ahora se conoce el valor de la aceleración, es posible reemplazar en (∗) y obtener el valor de la fuerza que se anda buscando para este caso:

196 3 , 0 75 , 3 20kg⋅ m + ⋅ N

Resolviendo la operatoria matemática en el numerador resulta: º 28 3 , 0 º 28 cos 8 , 133 sen N F ⋅ + =

Resolviendo la operatoria matemática resulta el valor de la fuerza necesaria para que el cuerpo partiendo del reposo, alcance la velocidad de 30 m/s, es decir:

Solución (e) fuerza necesaria pera que el cuerpo alcance la velocidad de 24 m/s en un recorrido de100 metros.

En este caso el cuerpo, partiendo del reposo alcanza la velocidad de 24m/s, esto significa que existe aceleración y en consecuencia, el segundo principio de Newton queda

∑

F =m⋅a

Entonces:

Eje x: igual al caso anterior

a m f Fcos28º− = ⋅ N F =130,691 28º F N mg =196 N f =µ⋅ N y x 100m s m v₀ =24 0 0 = v

Como el cuerpo esta en movimiento, significa que actúa el roce cinético µk , por lo tanto: a m N Fcos28º−µk⋅ = ⋅ (1) Eje y:

Exactamente igual al caso (a), porque el cuerpo no se mueve en el eje y

0 =

∑

Fy 0 º 28 − = +Fsen mg N

Despejando la fuerza normal se obtiene:

º 28

Fsen mg

N = − (2)

Reemplazando ecuación 2 en ecuación 1, se obtiene:

(

mg Fsen

)

m a Fcos28º−µ_k ⋅ − 28º = ⋅ Resolviendo el paréntesis: a m Fsen mg Fcos28º−µ_k ⋅ +µ_k⋅ 28º= ⋅

Factorizando por Fy despejando:

(

sen

)

m a mg F cos28º+µk⋅ 28º = ⋅ +µk⋅ Despejando Fresulta: º 28 º 28 cos sen mg a m F k k ⋅ + ⋅ + ⋅ = µ µ (∗)

En este caso se debe calcular la aceleración y es posible hacerlo por separado. Como se conoce la velocidad inicial que es igual a cero, la velocidad final que es igual a 24 m/s y la distancia recorrida en dicha variación, se debe utilizar la ecuación cinemática de posición independiente del tiempo, es decir:

v v x x 0 2 2 0 − + =

a v d 2 2 = Despejando aceleración: d v a 2 2 =

Reemplazando el valor de la velocidad final y distancia correspondiente, se tiene el valor de la aceleración: a m s m = ⋅100 2 24 ₂ 2 2 a s m = 2 88 , 2

Como ahora se conoce el valor de la aceleración, es posible reemplazar en (∗) y obtener el valor de la fuerza que se anda buscando para este caso:

º 28 3 , 0 º 28 cos 196 3 , 0 88 , 2 20 ₂ sen N s m kg F ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Resolviendo la operatoria matemática en el numerador resulta:

º 28 3 , 0 º 28 cos 4 , 116 sen F ⋅ + =

Resolviendo la operatoria matemática resulta el valor de la fuerza necesaria para que el cuerpo partiendo del reposo, alcance la velocidad de 30 m/s, es decir:

N F =113,695

15. Para el esquema de la figura suponer poleas sin rozamiento y de masa despreciable, cuerda flexible e inextensible de masa despreciable, el coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo de 9 kg y la superficie es de 0,2,

determinar:

a) Aceleración de cuerpo de 5 kg. b) Aceleración de cuerpo de 9 kg. c) Tensión de la cuerda.

Solución:

El problema corresponde a un sistema con aceleración por lo tanto por el segundo principio de Newton se tiene que:

∑

F =m⋅a Diagrama de cuerpo libre: 3 kg

B A a a =2 T y x F = 95 N CABLE 3 kg 7 kg A B

En este caso, el cuerpo de 3 kg no presenta movimiento en el eje x, por lo tanto la aceleración se produce en el eje y y en consecuencia se realiza la sumatoria de fuerza solo en el eje y.

A

A m a

mg

T− = ⋅

En este caso la aceleración del cuerpo A tiene el doble de aceleración que el cuerpo B, debido a que el cuerpo B esta incorporado a una polea móvil lo que hace que se

necesite menor fuerza para moverlo pero al mismo tiempo se mueve con menor aceleración y en este caso de presentar una polea móvil reduce su aceleración a la mitad de la aceleración de B, por lo tanto la ecuación anterior queda:

B

A m a

mg

T − = ⋅2

Despejando la tensión Tse tiene:

A B mg a m

T = ⋅2 +

Remplazando valores numéricos resulta:

N a kg T =3 ⋅2 B +29,4 N a kg T =6 ⋅ _B +29,4 (1) Diagrama de cuerpo de 7 kg N F =95 B a N N mgB =68,6 y x N f =µk⋅ T 2

El cuerpo de 7 kg no se mueve en el eje y, por lo tanto la aceleración es solo del eje x, es decir:

∑

Fx =m⋅ax 

∑

Fy =0 

Como la fuerza de roce depende de la fuerza normal, se trabajará primero en el eje y:

0

= −mgB N

Despejando la fuerza normal:

B mg N = Eje x: B k N T m a F −µ ⋅ −2⋅ = ⋅

Reemplazando la normal N =mg_B , se tiene:

B B

k mg T m a

F −µ ⋅ −2⋅ = ⋅

Reemplazando valores numéricos para la fuerza, coeficiente de fricción, masa y peso de cuerpo B resulta: B a kg T N N−0,3⋅68,6 −2⋅ =7 ⋅ 95

Multiplicando y reuniendo términos semejantes:

B a kg T N−2⋅ =7 ⋅ 42 , 74 (2)

Reemplazando ecuación (1) T =6kg⋅aB +29,4N (1) en ecuación (2), resulta:

(

kg aB N

)

kg aB N−2⋅ 6 ⋅ +29,4 =7 ⋅ 42 , 74 Resolviendo el paréntesis: B B N kg a a kg N −12 ⋅ −58,8 =7 ⋅ 42 , 74

B a kg N =19 ⋅ 62 , 15 Despejando la aceleración de B: B a kg s m kg = ⋅ 19 62 , 15 ₂

Finalmente dividiendo se obtiene el valor de la aceleración de cuerpo de 7 kg, es decir:

Como la aceleración del cuerpo A es el doble de la aceleración del cuerpo B, se tiene que la aceleración del cuerpo de 3 kg es de:

Reemplazando el valor de la aceleración del cuerpo B,

2 822 , 0 s m a= en la ecuación (1),

se obtiene el valor de la tensión de la cuerda, es decir:

N s

m kg

T =6 ⋅0,822 ₂ +29,4

Por lo tanto la respuesta al problema es:

- Aceleración de cuerpo de 3kg = 1,644 m/s2 - Aceleración de cuerpo de 7kg = 0,822 m/s2 - Tensión en la cuerda = 34,332 N B a s m ₌ 2 822 , 0 2 644 , 1 s m a_A = N T =34,332

EJERCICIOS PROPUESTOS – DINÁMICA DE LA PARTÍCULA

1.- Un cuerpo de 20 kg es sostenido mediante una cuerda flexible e inextensible, tal como indica la figura 1. La tensión de la cuerda es

aproximadamente:

a) 43,697 N b) 52,944 N c) 166,470 N

d) 196,000 N

Preguntas 2 y 3 corresponden a figura 2.

2.- Un cuerpo de 20 kg es sostenido mediante dos cuerdas flexibles e inextensibles, tal como indica la figura 2. La tensión T1 es aproximadamente:

a) 143,697 N b) 173,533 N c) 186,470 N d) 196,000 N 20 kg T1 T2 20 kg 48º 30º Figura 2 Figura 1

3.- Un cuerpo de 20 kg es sostenido mediante dos cuerdas flexibles e inextensibles, tal como indica la figura 2. La tensión T2 es aproximadamente:

a) 134,079 N b) 142,944 N c) 166,250N d) 196,000 N

Preguntas 4, 5, 6 y 7 corresponden a figura 3.

Suponer cuerdas flexibles e inextensibles de masa despreciable.

4.- La tensión T1 vale aproximadamente: a) 43,697 N b) 52,944 N c) 66,470N d) 82,344 N 5.- La tensión T2 vale: a) 19,6 N b) 28,391 N c) 79,123 N d) 88,800 N

6.- La tensión T3 vale aproximadamente:

a) 58,800 N b) 77,600 N c) 86,000 N d) 91,344 N T3 6 kg 48° T4 T2 T1 Figura 3