Captulo 2. Probabilidad
Tipos de Experimentos
Podemos distinguir dos tipos de experimentos
1 deteministas: el resultado puede predecirse
2 aleatorios: no podemos predecir con certeza el resultado
El conjunto de los posibles resultados de un experimente aleatorio es el espacio muestral asociado a dicho experimento.
Ejemplo
Si consideramos el experimento de lanzar un dado, el espacio muestral sera = f1; 2; 3; 4; 5; 6g
Sucesos
Ante un experimento aleatorio, la mayora de las veces interesa conocer si el resultado nal esta en un determinado subconjunto de . Estos
subconjuntos son los sucesos. Los sucesos con solo un elemento se llaman sucesos elementales
Ejemplo
Al tirar un dado, sacar par es el suceso f2; 4; 6g, sacar menos que 3 es el suceso f1; 2g, sacar un 4 es el suceso f4g.
Operaciones con sucesos
Union: la union de los sucesos A y B se representa por A [ B y sus elementos son los elementos de que estan en A, en B o en ambos. Interseccion: la interseccion de los sucesos A y B se representa por A \ B y esta formada por aquellos elementos que estan en A y en B. Complementario: el complementario del suceso A (respecto de ) se representa por Ac, y sus elementos son todos los de menos los que
Ejemplos de operaciones con sucesos
1 A = fa; b; c; dg y B = fc; a; f ; tg
A \ B = fa; cg A [ B = fa; b; c; d; f ; tg
2 Consideramos como experimento medir la altura (cm) de una persona
elegida al azar. Supongamos que el resultado es cualquier valor en el intervalo = (0; 300).
Familia de sucesos. algebra
El conjunto (o familia) A de todos los sucesos asociados a un experimento aleatorio debe cumplir las propiedades de algebra.
Denicion
Una familia A de subconjuntos de es una algebra si
1 2 A
2 A 2 A ) Ac = A 2 A 3 A1; A2; A3; ::: 2 A [
n1
Algunas propiedades
El suceso vaco, ;, es el suceso que tiene cero elementos: ; = fg. La interseccion de dos sucesos es un suceso.
La interseccion de un suceso con su complementario es el suceso vaco.
Si la interseccion de dos sucesos es el conjunto vaco, diremos que esos dos sucesos son incompatibles: no pueden ocurrir a la misma vez.
Sucesos: interpretacion de interseccion y union
El suceso C = A [ B ocurre si ocurre A, B o ambos Tirar un dado: fparg = f2g [ f4g [ f6g
El suceso C = A \ B ocurre si ocurre A y B Tirar un dado: f6g = fparg \ f> 4g
Probabilidad
Denicion
Fijados un conjunto y una algebra A sobre , una funcion P : A ! R es una medida de probabilidad si
1 P() = 1
2 P(A) 0 para todo suceso A 2 A
3 Si A1; A2; ::: 2 A, y Ai\ Aj = ; para i 6= j, entonces P([ n1 An) = X n1 P(An)
Probabilidad
Todos diramos que la probabilidad de obtener un 5 al lanzar un dado normal es 1=6. Si el dado esta trucado, esa probabilidad sera otro numero.
Ante un fenomero aleatorio resulta relativamente sencillo formular el espacio muestral y la familia de sucesos (la algebra).
Asignar una probabilidad a cada suceso no es tan simple. Cuando lo hacemos estamos proponiendo un modelo.
Modelo o regla de Laplace
Si el espacio muestral tiene un numero nito n de elementos
(experimento con un numero nito de resultados), el modelo de Laplace establece que todos los n sucesos elementales tienen la misma probabilidad (1=n) y, por tanto, que la probabilidad de un suceso A es igual al numero de elementos que tiene el suceso A, dividido por n.
Casos favorables dividido por los casos posibles
Ejemplo
Lanzamineto de un dado normal. Hay 6 posibilidades = f1; 2; 3; 4; 5; 6g. Segun la regla de Laplace, la probabilidad de salir un numero par es
Interpretacion frecuentista de la probabilidad
Si repetimos innitas veces un experimento, la probabilidad de un suceso es el lmite de la frecuencia relativa de dicho suceso.
Propiedades de la probabilidad
1 P(;) = 0 2 P(A) 1
3 P(Ac) = 1 P(A)
4 P(A [ B) = P(A) + P(B) P(A \ B) 5 P(A [ B [ C) =?
6 Si A y B son incompatibles, entonces P(A [ B) = P(A) + P(B) 7 Si A B, entonces P(A) P(B)
P(A [ B [ C)
= P(A [ (B [ C)) = P(A) + P(B [ C) P(A \ (B [ C)) = P(A) + P(B) + P(C) P(B \ C) P((A \ B) [ (A \ C)) = P(A) + P(B) + P(C) P(B \ C) P(A \ B) P(A \ C) + P(A \ B \ C)
Probabilidad condicionada
Denicion
Sean A y B dos sucesos con P(B) > 0. Entonces la probabilidad del suceso A condicionada por B es
P(AjB) = P(A \ B)P(B)
Denicion
Diremos que dos sucesos A y B son independientes si P(A \ B) = P(A)P(B).
Propiedades de la probabilidad condicional
P(AjB) 2 [0; 1]
P(A \ B) = P(B)P(AjB)
Si A y B son independientes, entonces P(AjB) = P(A). la funcion A ! P(AjB) es una medida de probabilidad
Interpretacion de probabilidad condicionada
La probabilidad P(AjB) es la probabilidad de A, en el supuesto de que ocurra B.
>Donde esta el coche? Un concurso. Tres puertas. Un
coche y 2 cabras.
El concursante elige una de las puertas al azar, digamos la puerta 1. Tiene a priori una probabilidad de 1=3 de ganar el coche. El presentador, que sabe donde esta el coche, le ense~na una de las otras dos puertas, digamos Y = 2, mostrando, logicamente, una cabra. El presentador le ofrece entonces la posibilidad de cambiar de puerta >Que hacer?
Si X es la puerta que esconde el coche, P(X = 1) = 1=3.
P(X = 3jY = 2) = P(Y = 2 y X = 3)P(Y = 2) =
1 z }| { P(Y = 2jX = 3) 1=3 z }| { P(X = 3) 1=2 = 2=3
VIDEO Todas las probabilidades estan condicionadas a que el concursante ha elegido al principio la puerta 1
Leyes de Morgan
El complementario de la union es la interseccion de los complementarios (A [ B)c= Ac\ Bc
El complementario de la interseccion es la union de los complementarios (A \ B)c= Ac[ Bc
Ejercicio
Supongamos que la probabilidad de que una persona elegida al azar presente reaccion alergica a un farmaco es 0:14, mientras que la probabilidad de que al elegir dos personas al azar, ambas presenten reaccion alergica es 0:02. Se pide
1) Probabilidad de que al menos un paciente de dos elegidos al azar presente reaccion cuando se administra el farmaco
2) Probabilidad de que solo un paciente de dos elegidos al azar presente reaccion cuando se administra el farmaco
3) Probabilidad de que ningun paciente de dos elegidos al azar presente reaccion cuando se administra el farmaco
Ejercicio
Si sabemos que de 300 vacunados, 30 tuvieron reaccion hipertermica, 45 tuvieron vomitos y 10 ambas reacciones
1) Probabilidad de que un vacunado presente al menos una de las dos reacciones
2) Probabilidad de que un vacunado presente solo uno de los dos tipos de reacciones.
Teorema de la probabilidad compuesta
Teorema
Sean A1; A2; :::; An sucesos cualesquiera. Se verica que
P(A1\ A2\ ::: \ An) = P(A1)P(A2jA1)P(A3jA1\ A2) P(Anj n 1\
i=1
Ai)
si las probabilidades condionadas que aparecen tienen sentido. Para n = 3:
Teorema de la probabilidad total
Teorema
Si los sucesos H1; H2; :::; Hnson incompatibles (Hi \ Hj = ; si i 6= j) y
exhaustivos (Sni=1Hi = ), entonces para cualquier suceso A tenemos que
P(A) =Xn
i=1
P(AjHi)P(Hi);
Teorema de Bayes
Teorema
Si los sucesos H1; H2; :::; Hnson incompatibles (Hi \ Hj = ; si i 6= j) y
exhaustivos (Sni=1Hi = ), entonces para cualquier suceso A con
P(A) > 0 tenemos que
P(HrjA) = PnP(AjHr)P(Hr) i=1P(AjHi)P(Hi)
Ejercicio
Un farmaco tiene dos posibles efectos secundarios, E1 y E2. Sabemos que de cada 1000 pacientes tratados, 30 sufren el efecto E1, 40 el efecto E2 y 10 sufren ambos efectos. Calcular la probabilidad de que un paciente tratado con el farmaco sufra alguno de los efectos secundarios.
Solucion
A="tener el efecto E1"; B="tener el efecto E2"
P(A [ B) = P(A) + P(B) P(A \ B)
Continuacion del ejercicio
1 Calcular la probabilidad de que se de solo el efecto E1 usando que
A = (A y Bc) o (A y B).
Ejercicio
Una enfermedad aparece solo si ocurre alguno de dos sntomas: S1, S2.
Sabemos que el 35% de los pacientes con el sntoma S1 tambien tienen el
S2, y que el 52% con S2 tambien sufren S1.
Ejercicio
En una epidemia de gripe:
en el grupo de edad 0-19, el 2% esta afectado en el grupo de edad 20-39, el 10% esta afectado en el grupo de edad 40-59, el 16% esta afectado en el grupo de edad 60, el 20% esta afectado
La distribucion de la edad en la poblacion aparece en la siguiente tabla Edad 0-19 20-39 40-59 60
Se pide
1) Probabilidad de que al seleccionar una persona al azar este afectada 2) Probabilidad de que un efermo con gripe tenga 60 a~nos o mas de edad 3) >Que % de los que padecen gripe estan en el grupo de edad 0-19?
Ejercicio
Por cada mujer que padece una enfermedad, hay 4 hombres que la sufren. De cada 5 mujeres con la enfermedad, 2 presentan un determinado sntoma, mientras que el 50% de los hombres lo padecen. Se pide 1) % de pacientes con la enfermedad que presentan sntomas 2) % de hombres que hay entre los pacientes con sntomas
Test diagnostico de una enfermedad
Denicion
Un test diagnostico de una enfermedad es una prueba diagnostica basada en la alteracion de constantes clnicas, y se usa para detectar dicha enfermedad.
Si el test da un resultado +, indica que la enfermedad esta presente segun el test, pero existe el riesgo de un falso diagnostico.
T+: el test es positivo
Test diagnostico de una enfermedad
Caractersticas de un test diagnostico
Sensibilidad=P(T+jD): clasicar bien al enfermo
Especicidad=P(T jDc): clasicar bien al sano
Valores predictivos
Valor predictivo positivo=P(DjT+): predecir bien al enfermo
Ejemplo
2641 pacientes con sospecha de cancer de prostata que acudieron a una consulta de Urologa. Durante su exploracion, se recogio el resultado del tacto rectal (test diagnostico) realizado a cada uno de estos pacientes y se contrasto con el posterior diagnostico obtenido de la biopsia prostatica (diagnostico nal de la enfermedad).
T+ T
D 634 487 Dc 269 1251
Test diagnostico de una enfermedad
Estimacion de la Sensibilidad y la Especicidad
A una muestra de n1: pacientes sin la enfermedad y n2: pacientes
enfermos, se le apliaca el test
RESULTADOS T+ T total D n11 n12 n1: Dc n21 n22 n2: total n:1 n:2 n La sensibilidad=P(T+jD) estimada es n11 n1: La especicidad=P(T jDc) estimada es n22 n2:
Test diagnostico de una enfermedad
Estimacion del Valor predictivo positivo y del Valor predictivo negativo
A una muestra de n:1 pacientes con T+ y n:2 con T , se les determina si
tienen la enfermedad o estan libres de ella.
RESULTADOS T+ T total D n11 n12 n1: Dc n 21 n22 n2: total n:1 n:2 n El P(DjT+) estimado es n11 n:1 El P(DcjT ) estimado es n22
Test diagnostico de una enfermedad
Estimacion de la sensibilidad, la especicidad y los valores predictivos
A una muestra de n pacientes se observa si tienen o no la enfermedad y se les aplica el test diagnostico.
RESULTADOS T+ T total
D n11 n12 n1:
Dc n
21 n22 n2:
total n:1 n:2 n
La sensibilidad, especicidad y los valores predictivos pueden ser estimados con las formulas de las trasparencias anteriores.
Ejercicio
Utilizando los datos sobre cancer de prostata T+ T
D 634 487 Dc 269 1251
Estimar la sensibilidad, especicidad, as como los valores predictivo positivo y negativo.
Relacion entre sensibilidad, especicidad y valores
predictivos
Aplicando el teorema de Bayes
P(DjT+) = P(T+jD)P(D) + P(TP(T+jD)P(D)+jDc)P(Dc)
Ademas P(Dc) = 1 P(D). La probabilidad de estar enfermo P(D) se
Relacion entre sensibilidad, especicidad y valores
predictivos
Aplicando el teorema de Bayes
Ejercicio
1 >Que valen los valores predictivos si la prevalencia de la enfermedad
es 1?
2 >Que valen los valores predictivos si la prevalencia de la enfermedad
es 0?
3 Si la sensibilidad vale 1, >que valor tiene el valor predictivo negativo? 4 Si la especicidad vale 1, >que valor tiene el valor predictivo positivo?
Variable aleatoria
Denicion
Una variable aleatoria real asociada a un experimento con espacio muestral y -algebra A, es una aplicacion
X : ! R
vericando que para cualquier valor x 2 R, el conjunto (X x) es un suceso de A.
Variable aleatoria
Para cada resultado (! 2 ) del experimento, tenemos un resultado, observacion o realizacion (X (!)) de la variable X .
El suceso (X x) esta formado por los resulados del experimento para los que X resulta ser x.
Como (X x) es un suceso, podemos hablar de P(X x).
Si los conjuntos de la forma (X x) son sucesos, entonces tambien lo son los del tipo (a < X < b): X esta en el intervalo I = (a; b); y lo mismos si I es un intervalo cerrado o semiabierto.
Variable aleatoria
Ejemplo
Tiramos un dado: X es el resultado obtenido. P(X = 5) = 1=6 Tiramos dos dados: X1 y X2 son los resultados obtenidos.
P(X1+ X2 = 7) =?
Ejemplo
Lanzamos dos monedas independientes. El espacio muestral es = f(c; c); (c; x); (x; c); (x; x)g
Dos parametros importantes de las variables aleatorias
Media o esperanza de X . Se representa por = E(X ) y puede interpretarse como la media de las realizaciones de X al repetir el experimento muchas veces.
Varianza de X . Se representa por 2= Var(X ) y se interpreta como
la varianza de las realizaciones X al repetir el experimento muchas veces.
Tipos de variables aleatorias
Estudiaremos dos tipos de variables aleatorias en funcion de como es el conjunto de valores que puede tomar, es decir, fX (!) : ! 2 g.
Discretas
Binomial B(n; p) Poisson Pois()
Variable aleatoria discreta
Denicion
Una variable aleatoria X es discreta si toma una cantidad numerable de valores x1; x2; :::.
Para denir una variable de este tipo hay que tener especicada la probabilidad de que tome cada uno de los valores que toma: P(X = xi) = pi. x1 x2 ... xn ... p1 p2 ... pn ... = E(X ) =X i1 xipi y Var(X ) = X i1 (xi )2pi
Ejemplo de variable aleatoria discreta
Ejemplo. Tirar un dado trucado
1 2 3 4 5 6
0; 14 0; 23 0; 09 0; 32 0; 05 0; 17 >E(X ), Var(X )?
Variable aleatoria binomial B(n; p)
Consideremos un experimento y dos posibles resultados: fE; F g, y sea p = P(E).
Supongamos que el experimento se repite n veces en identicas condiciones y cada uno independiente del otro.
Consideramos la variable aleatoria X de nos da el numero de veces que ocurre el resultado E en esas n realizaciones del experimento. Los posibles valores de la variable son X 2 f0; 1; 2; :::; ng y los toma con probabilidad P(X = x) = n x px(1 p)n x; x = 0; 1; :::; n:
Es por tanto una variable de tipo discreto. Escribiremos X B(n; p) E(X ) = np, Var(X ) = np(1 p)
Ejemplo
Consideremos una enfermedad y supongamos que sabemos que el valor predictivo positivo P(DjT+) de un test diagnostico es 0:8
A 10 pacientes independientes se les realiza el test diagnostico y han dado positivo para la enfermedad. >Cual es la probabilidad de que haya
exactamente 6 de esos 10 con la enfermedad?
Dos posibles resultados: D y Dc. Suponemos que el estado de un paciente
no afecta al de otro. P(B(10; 0:8) = 6) = 10 6 (0:8)6(0:2)4= 210 (0:8)6(0:2)4 = 0:08808038
Simulacion
Se ha simulado la enfermedad de 10 pacientes 100000 veces, siendo la probabilidad de la efermedad 0.8
De los 10 pacientes, el porcentaje de veces que 6 estan enfermos ha sido 8.82%
Variable aleatoria de Poisson
Una variable de Poisson de media > 0, X Pois(), es una variable de tipo discreto con valores X 2 f0; 1; 2; :::g y tal que
P(X = x) = e x!x; x = 0; 1; 2; :::
La media y la varianza de X coinciden es este caso con el parametro = E(X ) = Var(X ) = 2
Se utiliza para contar el numero de veces que ocurre un determinado suceso en un periodo concreto de tiempo o en un determinado espacio.
Variable aleatoria continua
Denicion
Diremos que una variable aleatoria X es de tipo continuo con funcion de densidad f (x) cuando la probabilidad de (X x) se pueda calcular como
P(X x) = Z x
1f (x)dx:
La funcion de densidad debe vericar dos condiciones
1 f (x) 0 8x 2 R 2 R
Rf (x)dx = 1
Variable aleatoria de tipo continuo
Usaremos este tipo de variable aleatoria para modelar datos de variables que pueden tomar valores en un conjunto no numerable, por ejemplo, la variable peso que toma valores en un intervalo
Variable aleatoria de tipo continuo
Usaremos este tipo de variable aleatoria para modelar datos de variables que pueden tomar valores en un conjunto no numerable, por ejemplo, la variable peso que toma valores en un intervalo
Variable aleatoria de tipo continuo
>Probabilidad de que la altura (variable continua) de una persona elegida al azar sea 1.746 metros? CERO
>Probabilidad de que la altura (variable continua) de una persona elegida al azar sea 1 metros? CERO
>Probabilidad de que la altura (variable continua) de una persona elegida al azar este entre 1.503 y 1.746 metros? Ya no sera CERO
Variable aleatoria Normal N(;
2)
Denicion
La variable aleatoria X tiene una distribucion normal de parametros y > 0, X N(; 2), si su funcion de densidad es f (x) = p 1 22exp (x )2 22 E(X ) = ; Var(X ) = 2
Variable aleatoria normal
Para que un conjunto de datos observados puedan ser modelados como realizaciones de una variable aleatoria N(; 2), el histograma debe ser
unimodal y simetrico. Ademas debe resultar igualmente probable encontrar valores grandes que peque~nos y los datos se localizan en torno a un valor central, la media .
Variable aleatoria normal
Para que un conjunto de datos observados puedan ser modelados como realizaciones de una variable aleatoria N(; 2), el histograma debe ser
unimodal y simetrico. Ademas debe resultar igualmente probable encontrar valores grandes (> ) que peque~nos (< ) y los datos se localizan en torno a un valor central, la media .
La normal tipicada Z N(0; 1)
Si X N(; 2) entonces Z = X N(0; 1) La funcion de densidad de Z es f (z) =? y la media es ?Aproximaciones asintoticas a la distribucion normal
De la binomial a la normal B(n; p) N(np; np(1 p)) cuando np > 5 y n(1 p) > 5. De la poisson a la normal Pois() N(; ) cuando > 5.Izquierda: p = 0; 35 y n = 10 Derecha: p = 0; 35 y n = 30
Correccion por continuidad
Aproximar una variable discreta por una continua requiere una correccion. Si X es una binomial o una Poisson
P(X = x) = P(x 1=2 < X < x+1=2) P(x 1=2 < N(; 2) < x+1=2)
P(X < x) P(N(; 2) < x 1=2)
Correccion por continuidad
P(X x) =? P(X x) =? P(a < X < b) =?