MATE Dr. Pedro V squez UPRM. P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 26

Dr. Pedro V·squez UPRM

Modelos lineales: PVI

ObjetivoEn esta secciÛn se resolver·n sistemas din·micos lineales en el cual cada modelo matem·tico es una EDL de 2do orden con coeÖcientes constantes con condiciones iniciales establecidas en t=0: de la forma:

ad_dt2y2 +b

dy

dt +cy =g(t), y(0) =y0,y0(0) =y1

donde la funciÛn g es la entrada, o funciÛn de del sistema. Una soluciÛn

y(t)de la ED en el intervaloI que contiene a t=0 que satisface las CI es llamada la salida o respuesta del sistema.

Ley de Hooke Por la ley de Hooke el resorte el propio resorte ejerce una restauraciÛn fuerza opuesta a la direcciÛn de alargamiento y proporcional a la cantidad F de elongaciÛn s y se representa por: F =ks.

Segunda ley de NewtonDespuÈs que una masa mse ata a un resorte, y lo estira al resorte por una cantidad s y alcanza una posiciÛn de equilibrio en el que su peso W es equilibrado por la fuerza de restauraciÛnks. La condiciÛn de equilibrio es mg_"ks =0. Si la masa se desplaza por una cantidad x desde su posiciÛn de equilibrio, la fuerza de recuperaciÛn del resorte es entonces k(x+s). Por la segunda ley de Newton se obtiene la ED:

md_dt2x2 ="k(s+x) +mg ="ks"kx+mg

| {z }

0

=_"kx (1)

La ecuaciÛn del movimiento libre sin amortiguaciÛn es:

md_dt2x2 +kx =0 Û x00+_wkx =0 Ûx00+w2x=0 (2) La condiciones iniciales son: x(0) =x0 y xí(0) =x1 La soluciÛn general de (2) es:

x(t) =c1coswt+c2sinwt

Periodo: T =2π/w y representa el tiempo (en seg) que le toma a la masa ejecutar un ciclo del movimiento.

Frecuencia: F =1/T =w/2π representa el n˙mero de ciclos completados cada segundo.

Frecuencia circular: w =pk/m se mide en radianes por segundo.

Nota

x(t) =Asin(wt+φ) donde: A= q c2 1 +c22 es la amplitud φ: ·ngulo de fase

Ejemplos

2 6: p·g. 194

Movimiento libre amortiguadoEn el estudio de mec·nica, las fuerzas de amortiguamiento que act˙an sobre un cuerpo se consideran proporcionales a una potencia de la velocidad instant·nea. En este caso se considera proporcional a dx_dt =x0 y se obtiene la ED:

md_dt2x2 ="kx"βdx_dt (3) Û md_dt2x2 +βdx_dt +kx=0"Û d

2_x

dt2 +2λdx_dt +w2x =0 donde: 2λ= _mβ, w2 = _mk

La ecuaciÛn caracterÌstica es:

m2+2λ+w2 =0

cuya soluciÛn es: m= "λ$ p

4λ2"4w2

2 ="λ$

p

λ2"w2 cada soluciÛn tiene un factor de amortiguamiento: e"λ,λ>0.

Se tienen los siguientes casos:

1. λ2"w2 >0, en este caso se dice que el sistema est· sobre amortiguado y su soluciÛn es:

2. λ2"w2 =0, en este caso se dice que el sistema est· criticamente amortiguado y su soluciÛn es:

3. λ2"w2 <0, en este caso se dice que el sistema est· bajo amortiguamiento y su soluciÛn es:

Movimiento libre amortiguado y forzadoSuponga que se considera una fuerza externaf (t)que act˙a sobre sistema masa resorte que esta en movimiento y se obtiene la ED:

md_dt2x2 = "kx"βdx_dt +f (t) (4) Û md_dt2x2 +βdx_dt +kx=f (t)"Û d

2_x

dt2 +2λdx_dt +w2x =F(t) (5) donde: 2λ= _mβ, w2 = _mk, F(t) =f (t)/m. La funciÛnf (t)es usualmente una funciÛn seno o coseno.

Este sistema tiene una una soluciÛn transitoria (xc(t))y soluciÛn estable

(xp(t)).

Movimiento libre sin amortiguamiento y forzadoSuponga que se considera una fuerza externaf (t)que act˙a sobre sistema masa resorte que esta en movimiento y se obtiene la ED:

md_dt2x2 ="kx+f (t) (6) Û md_dt2x2 +kx =f (t)"Û d

2_x

dt2 +w2x =F(t) (7) donde: F(t) =F0sinγt,conx(0) =x0 y xí(0) =x1

Nota Siw =γ entonces se tiene resonancia pura.

Û md_dt2x2 +β

dx

dt +kx=f (t)"(8)

Si i(t) representa la corriente en el circuito elÈctirco LRL, entonces la caÌda de voltaje a travÈs del inductor, resistor y capacitor se muestran en la Ögura. Por la segunda ley de Kircho§ se tiene:

Û L_dtdi +Ri +_C1q =E(t)_"(9).

Como la carga q(t)se relacionacon la corrientei(t)por i = dq_dt,entonces (9) se transforma en: Û Ld_dt2q2 +R dq dt + 1 Cq =E(t)"(10)

7 46: p·g. 198