4 MÉTODOS NUMÉRICOS UTILIZADOS

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ÉTODOS NUMÉRICOS UTILIZADOS

omo se verá más adelante, en algunos de los problemas planteados conllevan una serie de inestabilidades que hacen que la solución sea difícil de obtener. Las inestabilidades serán enunciadas conforme se presenten en los problemas planteados, capítulos 6,7 y 8.

Para justificar la solución obtenida según el método de resolución aplicada, se pasa a describir brevemente los tres métodos de solución utilizados para resolver los problemas no lineales planteados. Estos tres métodos son: Newton-Raphson, Newton-Raphson añadiendo un factor de amortiguamiento ficticio (este método es llamado “automatic-stabilization” en ABAQUS y el método de Arc-length de Riks modificado. Los cuales serán explicados con las particularidades de su implementación en ABAQUS

Para una información más detallada de estos métodos implementados en ABAQUS consultar [1].

4.1

Newton-Raphson

El método de Newton-Raphson es uno de los más utilizados en programas de FEM para resolver ecuaciones no lineales. Y está ampliamente explicado en la literatura [1,5]. Además existen variantes de este método como son los procedimientos cuasi-Newton.

El método de Newton es relativamente fácil de visualizar en el caso de una dimensión, es decir cuando el vector de movimientos nodales, a, tiene una sóla componente. Las ecuaciones planteadas por el teorema de los trabajos virtuales, particularizada para el caso de los elementos finitos, se puede escribir de forma simbólica como:

int

( )

ext

F a

F

(4.1)

Esta ecuación se puede visualizar como el movimiento que genera las fuerzas sobre el sistema deben de crear una fuerza interna igual a la fuerza externa aplicada.

La carga exterior se divide en incrementos, en ABAQUS el usuario puede fijar el valor de estos incrementos de carga o dejar que ABAQUS elija estos valores de forma optima utilizando un algoritmo [1]. En cualquier caso la fuerza exterior aplicada se descompone en una suma de incrementos:

ext

n n n

n n

F

F 1F

F (4.2)

A continuación se explicará este método utilizando de apoyo la Figura 4-1 que representa la gráfica de Fuerza desplazamiento de un problema de una dimensión. Imaginemos que partimos de un punto de equilibrio, es decir que forma parte de la solución, (an,Fn). A partir de ese punto se traza una línea tangente a la curva, cuya pendiente será la rigidez en ese punto Kn. La aproximación al siguiente punto de equilibrio será los desplazamientos obtenidos al aplicar una fuerza Fn+1a un sistema que pasa por el punto (an,F

n) y que tiene rigidez Kn, es decir: n n n n n

F

F

a

a

K

 1

1

1 (4.3)

El residuo se define como la diferencia entre el valor de la fuerza aplicada Fn+1y el de la fuerza del sistema real Fint(an+1).

(2)

Métodos numéricos utilizados 24 

 

int n n n

r

F

1

F a

1 1 1 (4.4)

Si el valor de este residuo es lo suficientemente bajo, se tomará el punto (an+1,Fn+1) como el siguiente punto de equilibrio. En caso contrario se refinaría la aproximación trazando una línea tangente por el punto (a1n+1, Fint(a1n+1)), cuya pendiente sería la rigidez del sistema para ese punto (K1n). La nueva aproximación a la solución sería los desplazamientos obtenidos para un sistema cuya rigidez es K1n y pasa por el punto (a1n+1, Fint(a1n+1)) y se le aplica una fuerza Fn+1, es decir:

n n n n

r

a

a

K

 1

1

1 1 2 1 1 (4.5)

Se vuelve a calcular el residuo para este caso y si cumple con las tolerancias impuestas, se toma este punto como solución. En caso contrario se procedería de forma análoga.

Figura 4-1 Esquema funcionamiento del algoritmo de Newton-Raphson

Este procedimiento describe el procedimiento clásico de Newton, cuya mayor desventaja es el cálculo de la rigidez, que en caso de un modelo multidimensional es una matriz Jacobiana, para cada iteración. Como se mencionó anteriormente existen modificaciones de este método, los métodos cuasi-Newton, los cuales para mejorar el tiempo en que se alcanza la solución, modifican el cálculo de la matriz Jacobiana. De los métodos cuasi-Newton existen las variantes que utilizan la rigidez (o matriz Jacobiana) de la primera iteración para todas las demás, o una intermedia entre la de la primera iteración y la que están utilizando. Si bien estos métodos dan muy buenos resultados para problemas con una no linealidad no muy fuerte, sus resultados no son tan buenos para no linealidades fuertes.

4.1.1

Adición de un factor de viscosidad ficticio al modelo

Para modelos con una inestabilidad muy fuerte, como son el caso de modelos donde se produce el pandeo o inestabilidades como “snap-back” o “snap-through” el algoritmo de Newton-Raphson no puede dar una solución correcta. Esto es debido a que con este algoritmo las cargas exteriores se dividen en diferentes incrementos, haciendo que la carga siempre vaya en aumento, pero en el caso de algunas no linealidades las cargas exteriores deben de disminuir para seguir en equilibrio con las fuerzas internas del sólido.

Una posible estrategia para resolver este tipo de problemas es la adición de un factor de viscosidad ficticio volumétrico al modelo. Este método es llamado por ABAQUS “Automatic stabilization”. Este factor de viscosidad haría que en el modelo se creara una fuerza de viscosidad,

(3)

25 ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., que se añadiría a la ecuación de equilibrio ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia..

* v

F

cM v

(4.6) ext int v

F

F

 

F

0

(4.7)

Donde c es el coeficiente de amortiguamiento, M* es una matriz de masas artificial calculada a partir de aplicar una densidad unidad al modelo, v=∆u/∆t es el vector de velocidades nodales. En la ecuación de equilibrio Fextrepresenta las cargas externas aplicadas al modelo, Fint a las fuerzas interna del modelo y F

va la fuerza debido a la viscosidad ficticia.

Respecto a las unidades del factor de amortiguamiento, si se realiza un análisis dimensional a la ecuación (4.6) y a través de la información aportada por ABAQUS [1], se llega a la conclusión de que la unidad de este coeficiente es de 1/(tiempo), es decir 1/s. Los modelos que se presentarán más adelante en este proyecto, son modelos estáticos, por lo que las unidades del resto del modelo no afectarán al valor de este coeficiente. Mientras el modelo es estable, las fuerzas de viscosidad son despreciables. Pero en el momento en el que se produzca un incremento de desplazamientos muy grande (un incremento en v) si aparece la fuerza de viscosidad son importantes, e intentan estabilizar el modelo.

La elección de este factor de viscosidad se puede realizar mediante prueba y error, o diciendo a ABAQUS que porcentaje total de la energía del modelo se permite disipar debido a la inclusión de la fuerza de amortiguamiento.

4.2

Arc-length

El método de “Arc-length” permite obtener la solución a problemas no lineales estáticos, incluso en los casos en los que el comportamiento exhiba inestabilidades como las del tipo snap-back, snap-through, pandeo o colapso de alguna parte del modelo. En estos casos la curva fuerza desplazamiento presenta zona de pendiente negativa, es decir de rigidez negativa, y el sólido debe de liberar energía para alcanzar el equilibrio. La filosofía de este método es hacer que tanto los grados de libertad del sólido como las cargas aplicadas sean variables. Esto se consigue haciendo todas las cargas exteriores proporcionales a un factor λ, por lo que el número de variables que definen la solución del problema en este método son los n grados de libertad más el factor proporcional es decir n+1 variables.

Existen varios procedimientos de Arc-length, como son el de Riks [33], Ramm [32] y Criesfiel. El primero de ellos cronológicamente hablando fue el Riks y una modificación de este método es el que está implementado en ABAQUS.

En esta sección describiremos brevemente el método modificado de Riks que utilizaremos en ABAQUS y al final de la misma se comentará las diferencias existentes entre este método y el de Ramm.

4.2.1

Método de Riks modificado

Cómo se comento en la introducción de esta sección, utilizando este método tantos los grados de libertad del problema en cada instante de tiempo como las cargas a las que es sometido el sólido son variables. Este método supone que la evolución de las variables es suficientemente suave, o dicho de otro modo, que en ningún momento se produce ninguna bifurcación ni pico en la evolución de las variables.

Antes de entrar un poco más en detalle se enunciará brevemente el significado geométrico del mismo. En la Figura 4-2, se muestra un esquema de un problema de una dimensión que se utilizará a modo de ejemplo. El método se puede dividir en dos fases, la fase predictiva y la fase correctora. Durante la primera fase, la fase predictiva, se determinará el tamaño de la longitud de arco en cada incremento, este se consigue trazando una tangente a la curva en el punto de equilibrio donde nos encontramos, dando un incremento al factor de carga llegando al punto A1. Una vez alcanza comienza la fase correctora, que en este método consiste en buscar la solución de equilibrio en una línea perpendicular a la trazada en la fase correctora.

(4)

Métodos numéricos utilizados

26 

Figura 4-2 Esquema del método de Riks modificado.

Para entrar un poco más en detalle de cómo está implementado este método en ABAQUS se explicará como actuaría el método en el caso de un problema como el mostrado en la Figura 4-2. En primer lugar definiremos las variables de un problema con n grados de libertad:

P

Ncon

1, 2,3...

N

n

cargas de referencia en cada grado de libertad del modelo  Desplazamiento nodal :

u

Ncon 1, 2,3...

N

n

 Factor proporcional de la carga λ. Es decir que la carga que actúa en el modelo en cualquier instante será

P

N

Las variables serán escaladas para que todas ellas sean de una magnitud comparable. ABAQUS realiza esto midiendo el desplazamiento máximo en la iteración inicial del incremento

u

, también se definirá

N N

P

P P

. Por lo que el escalado de las variables será:  En cargas:

P P

N

,

N

P P

N

 En desplazamientos:

u

N

 

u u

N

Por lo que una vez escalado el problema, la solución se puede obtener a partir de las variables λ y

u

N, siendo todas las variables del orden unidad. Para un mejor entendimiento a partir de este momento supondremos que tratamos un problema con un grado de libertad.

Una vez definidas las variables y escaladas, se pasa a realizar la fase predictiva. Partiendo de un punto de equilibrio 0

 

0 , 0

N

Au

, se calcula la recta tangente a la curva en ese punto, siendo su pendiente la rigidez del sólido en ese punto

K

0N M . Ahora pasamos a calcular los desplazamientos que tendría un sistema con la rigidez

K

0N M aplicando la carga de referencia:

0 0

N M M N

K

v

P

(4.8)

(5)

27

   

 

2 0 0 0 0 2 0 ,1 ,1 1 N N N l v v l v

           (4.9) Donde 0 0 N N

v

v

u

. En la primera iteración del primer incremento, l es impuesto por el usuario. En las demás iteraciones este incremento será elegido por el algoritmo de incremento de carga automático de ABAQUS/Standard. El signo de ∆λ0 es elegido tal que el producto ecuación (4.10) sea positivo:

 

0

 1

0 ,1 , 1 0 N N v u

     (4.10)

Una vez realizado esto pasamos a la fase correctora, en el cual se buscará la solución en dirección perpendicular a

 

0

,1

N

v

a partir del punto A1. Esto se consigue aplicando el algoritmo de Newton-Raphson y forzando que la solución se encuentre en la línea perpendicular antes mencionada.

Antes de describir como se implementa la fase correctora en ABAQUS, vamos a describir como se realiza la búsqueda de la solución en esta etapa ayudándonos de la Figura 4-2. En primer lugar partiendo del punto A1 se traza una línea vertical y a partir del punto intersección entre esta línea vertical y la curva solución. A partir de este punto se traza una línea tangente a la curva y se halla la intersección de esta línea a la línea perpendicular que parte de A1, siendo este punto de intersección el punto A2. Se verifica si A2 entra dentro de los márgenes para que sea solución (cumple con las tolerancias impuestas), si no entra se busca el siguiente punto A3, de forma análoga a la forma en la que se ha buscado A2.

A continuación se pasa a describir el algoritmo implementado en ABAQUS:

Inicialización

   

i

0

,

u

iN

 

0 0

v

N  

For i=1,2,3… 

a. Se calcula las fuerzas nodales IN, y la matriz de rigidez KNM en el punto 

N N

,

i

u

0



u

0



1  es 

decir en el punto Ai. 

b. Comprobación del equilibrio: 

 

R

iN

0

 

i

P

N

I

N   (4.11) 

Si el residuo 

R

iN es lo suficientemente pequeño se ha alcanzado el equilibrio, con lo que se habría 

llegado a la solución para este incremento. En caso contrario se procede con el paso c. 

c. Resolver: 

 

K

NM

v c

iM

;

iM

 

P R

N

;

iN

   (4.12) 

Es decir resolvemos simultáneamente dos desplazamientos v y c  y dos cargas P, R 

d. Escalamos los desplazamiento obtenidos en el paso c 

 

%

v

iN

v u c

iN

,

%

Ni

c u

iN    (4.13) 

De esta forma tenemos los  vectores 

 

%viN,1  y 

 

, N i i

c

(6)

Métodos numéricos utilizados

28 

  Proyección vertical del residuo en

°

N N N i i

R P

P

P

2

   (4.14) 

Por lo que si al vector 

 

%ciN,

i le sumamos el vector 

 

, N i

v 1

% , nos moveremos perpendicularmente 

a la recta 

 

0 ,1

N

v , desde Ai a Ai+1. Esto da la siguiente ecuación: 

 

,

   

, ,

 

, N N N N N i i i i i N N i c v c v v v v

        0 0 0 0 1 1 0 1 % % % % g% % %   (4.15) 

Por lo que el nuevo punto solución es ahora: 

 

A

i

u

N

u

iN

c

iN

 

v

cN

,

 

i

1

  

 

0 0    (4.16) 

e. Actualización para la siguiente iteración: 

  N N N N i i i i i i

u

u

c

v

i i

 

 

 

  

 

1 1

1

   (4.17)  End 

4.2.2

Comparación con el método de Ramm

El método de Ramm es otro método de Arc-length muy extendido. Este método también se desarrolla en dos fases, la fase predictora y la fase correctora. La fase predictora es igual a la utilizada por Riks, desplazándose por la línea tangente de la curva de equilibrio. La fase correctora es la que se distingue con el método anterior, en el caso de Ramm busca por un arco circular cuyo centro es el punto de equilibrio anterior y el punto obtenido durante la fase predictora. Por lo que este método es más idóneo para los casos de no-linealidad fuerte como son el caso de bifurcaciones o picos durante la curva de equilibrio.

Figure

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References