Unidad didáctica: Perímetro, área
y volumen en el 3.
er
ciclo 10-12
Las actividades que conforman esta unidad didáctica fueron elaboradas en
colaboración con Ángeles Camacho Machín, Antonio Ramón Martín Adrián,
Dulce María Chico García, María del Carmen González Martín, Teresa
Padi-lla Alonso y Matías Camacho Machín. A todos ellos queremos agradecer sus
aportaciones, de manera especial a Teresa Padilla cuya ausencia lamentamos
enormemente puesto que no ha podido ver en letra impresa el fruto de muchas
reuniones de trabajo durante los años ochenta.
La unidad parte de la introducción del concepto de perímetro de figuras planas, del que los
alum-nos tienen una idea previa. A continuación, haciendo uso de una serie de materiales didácticos
estructu-rados, se introduce el concepto de área de figuras planas como concepto general, primeramente
utili-zando unidades de superficie arbitrarias para después hacerlo con unidades convencionales. Es importante
destacar la conveniencia de introducir lo que se entiende por figuras equivalentes y figuras
isoperimétri-cas, dado que distintas investigaciones han mostrado la confusión de ambos conceptos por parte de los
estudiantes. Una posible alternativa que trata de evitar la confusión de tales conceptos consiste en
tra-tarlos conjuntamente y no por separado. A lo largo de la unidad, a medida que se estudie el área de una
figura geométrica, se analizará la variación del perímetro de figuras equivalentes y la variación de área
de figuras isoperimétricas.
Otra idea que preside el diseño de la unidad es considerar tanto el aspecto estático como dinámico
del concepto de área, esto es: Considerar las figuras geométricas como “rellenadas” por cuadrados
uni-dad (sentido estático) y las superficies como engendradas por el movimiento de líneas, en el sentido
pro-puesto por Isaac Newton en su libro
Introductio. Tractatus de quadratura curvarum:
“Voy a considerar en esta obra las magnitudes matemáticas no como
integra-das por partes constantes, incluso infinitamente pequeñas, sino como
engen-dradas por un movimiento continuo. Las líneas serán descritas y en
conse-cuencia engendradas, no por adición de partes, sino por un movimiento
continuo de puntos; las superficies, por movimientos de líneas; los sólidos por
movimiento de superficies... Estas generaciones se realizan verdaderamente en
la naturaleza y pueden observarse todos los días en el movimiento de los
cuer-pos. Así, nuestros antepasados indicaron la generación del rectángulo como
descrito por un segmento móvil perpendicular a uno fijo"
Algunas de las actividades que se plantean pueden ser consideradas actividades de extensión. Se han
incluido para conseguir un tratamiento más completo de la unidad didáctica que se presenta. El
maes-tro debe elegir las actividades que considere más oportunas de acuerdo con el nivel de sus alumnos.
CUADERNOS DE
AULA
Objetivos:
Comprender los conceptos de área y perímetro de figuras planas tanto desde una perspectiva
está-tica como dinámica.
Comprender el concepto de volumen de figuras espaciales tanto desde una perspectiva estática
como dinámica.
Saber deducir informalmente y a través de la manipulación las fórmulas básicas que permiten
cal-cular el área de los polígonos.
Observar, analizar relacionar y diferenciar las variaciones que experimenta el área de distintas
figuras cuando su perímetro permanece constante.
Saber deducir informalmente y a través de la manipulación las fórmulas básicas que permiten
cal-cular el volumen y el área lateral de prismas, pirámides, conos y cilindros.
Observar, analizar relacionar y diferenciar las variaciones que experimenta el perímetro de
dis-tintas figuras cuando su área permanece constante.
Observar, analizar relacionar y diferenciar las variaciones que experimenta el área de un sólido
cuando su volumen permanece constante.
Conocimientos previos:
Idea del cálculo del perímetro como procedimiento de medir longitudes.
Conocimientos del sistema métrico decimal.
Hábito de resolver problemas.
Conocimiento intuitivo de la proporcionalidad.
Contenidos conceptuales
Sentido dinámico del área y perímetro de figuras planas.
Área de una figura plana.
Figuras equivalentes.
Figuras isoperimétricas.
Fórmulas para la obtención del área de:
•
RECTÁNGULO
•
TRIÁNGULO
•
ROMBOIDE
•
TRAPECIO
•
ROMBO
•
POLÍGONO CUALQUIERA
Sentido dinámico del volumen de superficies.
Volumen de un sólido en el espacio.
Áreas lateral y total.
CUADERNOS DE
AULA
Fórmulas para la obtención del área y el volumen de:
•
PRISMA
•
PIRÁMIDE
•
CILINDRO
•
CONO
Contenidos de procedimiento
Justificación informal del cálculo de la fórmula del área de los cuadriláteros triángulos, así como
la de un polígono regular cualquiera.
Análisis de la variación experimentada por el área de estos polígonos si los perímetros
permane-cen constantes.
Obtención del polígono de mayor área entre un conjunto de figuras isoperimétricas.
Análisis de la variación experimentada por el perímetro de estos polígonos si sus áreas
permane-cen constantes.
Obtención del polígono de menor perímetro entre un conjunto de figuras equivalentes.
Obtención del polígono de mayor área entre un conjunto de figuras isoperimétricas.
Justificación informal del cálculo de la fórmula del volumen del prisma y la pirámide.
Análisis de la variación del volumen de un prisma cuya área lateral es constante.
Justificación informal del cálculo de la fórmula del volumen del cilindro y el cono.
Análisis de la variación del volumen de un cilindro cuya área lateral es constante.
Contenidos de actitud
Valoración de la importancia de la justificación (informal) de fórmulas y propiedades
geométri-cas.
Interés y gusto por la descripción de formas y características geométricas.
Reconocimiento de la importancia de la manipulación de materiales concretos para el
descubri-miento de regularidades y propiedades.
Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada de trabajos y actividades geométricas.
CUADERNOS DE
AULA
Secuenciación de las actividades
■
El concepto de Perímetro
Actividad 1:
Recuerda que se llama perímetro de una figura a la medida del contorno de la misma.
Colorea de rojo el contorno de estas figuras.
CUADERNOS DE
AULA
139
Lo que has pintado de rojo es el
. . . .de las figuras. Has dejado rayas por
colorear, ¿por qué?
. . . . . . . . .Actividad 2:
Colorea el contorno de las siguientes figuras. ¿Cuántas unidades tiene el perímetro de
las mismas?
. . . . . . . .Actividad 3:
Recuerda que el perímetro es la medida del contorno de una figura. Por ejemplo:
CUADERNOS DE
AULA
140
El perímetro de esta casita es:
3 cm + 3 cm + 2 cm + 2 cm + 3 cm = 13 cm
Calcula el perímetro de las siguientes figuras:
El perímetro es
. . .El perímetro es
...■
Introducción al concepto de área, figuras equivalentes y figuras isoperimétricas:
unidades arbitrarias y unidades convencionales
Área de figuras con unidades arbitrarias
Actividades con el tangram
Actividad 1.
Separa las piezas que sean iguales y cuéntalas. Completa:
CUADERNOS DE
AULA
141
Número de piezas
Triángulos grandes (Tg)
Triángulos medianos (Tm)
Triángulos pequeños (Tp)
Cuadrados (C)
Romboides (R)
Vamos a comparar las piezas:
¿Cuántas veces podrías colocar el Tp dentro del Tm sin que sobre espacio?
. . . .
Compruébalo.
¿Cuántos Tp caben en el cuadrado (C)?
. . . .¿Cuántos Tp caben en el R?
. . . .¿Cuántos Tp caben en el Tg?
. . . .Actividad 2.
¿Cuántos R caben en el tangram (T)?
. . . .La medida del tangram es
. . . .R.
Completa esta tabla:
CUADERNOS DE
AULA
142
Área del tangram
8
R
Área del tangram
Tg
Área del tangram
Tm
Área del tangram
Tp
Área del tangram
C
Con todas las piezas del tangram, construye un triángulo y haz un cuadrado igual que el anterior.
¿Qué observas?
. . . . . . . .
También se puede construir un rectángulo y un hexágono con todas las piezas. Hazlo.
Utiliza todas las piezas para hacer algunas figuras que se te ocurran.
Actividad 3.
Vamos a utilizar como unidad de medida el cuadrado.
¿Cuántos C caben en el Tg?
. . . .¿Sobra espacio?
. . . .Si tu respuesta es
afirmativa, utiliza los resultados de la ficha anterior para dar la respuesta exacta.
¿Cuántos C caben en el Tm?
. . . .Imagínate que el C representa la superficie de un
parque y el Tm la superficie de una plaza. ¿Dónde crees que tendrías más espacio para jugar? ¿Por
qué?
. . . . . . . .
¿Cuántos C caben es R?
. . . .¿Qué relación observas entre estas tres piezas?
Actividad 4.
En una ficha anterior has construido con todas las piezas del tangram cuatro figuras
de diferente forma (cuadrado, triángulo, rectángulo y hexágono). Todas tienen la misma área. Decimos
entonces que son
figuras equivalentes
.
Construye con tu tangram las siguientes figuras:
CUADERNOS DE
AULA
143
Utilizando el Tp como unidad de medida calcula el área de cada una de ellas.
Haz lo misma utilizando el C como unidad.
¿Podríamos decir que las figuras son equivalentes?
. . . .¿Por qué?
. . . . . . . .Actividades de plegado de papel
Actividad 1.
1. Construye un cuadrado de papel y dóblalo por la mitad haciendo coincidir un lado con otro (mira
la figura) y vuelve a doblarlo por la mitad, de la misma forma que antes.
CUADERNOS DE
AULA
144
Desdóblalo y córtalo por los dobleces; obtenemos cuatro tiritas iguales.
2. Si colocamos los rectángulos en dos filas, obtenemos un rectángulo. ¿Tiene el mismo perímetro
que el cuadrado inicial?
. . . .¿Y la misma área?
. . . .3. Si los ponemos en una sola fila, el nuevo rectángulo ¿tiene el mismo perímetro que el cuadrado?
. . . .
¿Y la misma área?
. . . .Actividades con los pentaminos
Actividad 1.
Sobre la cuadrícula para pentaminos mide cuántos cuadrados tiene cada uno, es decir,
su área, y mide el perímetro. Rellena el siguiente cuadro:
CUADERNOS DE
AULA
145
Pentamino número
Área
Perímetro
1
unidades cuadradas
unidades
2
u
2
u
3
u
2
u
4
u
2
u
5
u
2
u
6
u
2
u
7
u
2
u
8
u
2
u
9
u
2
u
10
u
2
u
11
u
2
u
12
u
2
u
Se dice que DOS FIGURAS SON EQUIVALENTES SI TIENEN LA MISMA ÁREA.
DOS FIGURAS SON ISOPERIMÉTRICAS SI TIENEN EL MISMO PERÍMETRO.
¿Son todos los pentaminos figuras equivalentes?
. . . . . . . .
¿Son todos los pentaminos figuras isoperimétricas?
Actividad 2.
Utiliza solamente dos pentaminos para construir las siguientes figuras.
CUADERNOS DE
AULA
146
A
B
C
Rellena el siguiente cuadro:
Área
Perímetro
Figura A
u
2
u
Figura B
u
2
u
Figura C
u
2
u
Construye figuras equivalentes a estas. ¿Son isoperimétricas?
. . . . . . . .
Actividad 3.
Utiliza solamente cuatro pentaminos para construir todos los posibles rectángulos.
Represéntalos sobre la cuadrícula.
¿Cuántos hay?
. . .¿Tendrían el mismo perímetro?
. . .Calcúlalos
. . . .¿Tendrían la misma área?
. . .¿Por qué?
. . . .. . . . . . . .
Actividades con el geoplano
Actividad 1.
Construye en tu geoplano las siguientes figuras y calcula su área y su perímetro.
CUADERNOS DE
AULA
147
Fig. 1
Fig. 4
Fig. 2
Fig. 3
Área
Perímetro
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Completa la siguiente tabla:
¿Cuáles son equivalentes?
. . .¿Cuáles son isoperimétricas?
. . .Actividad 2.
Observa que si quieres hallar áreas de triángulos en el geoplano, puedes hacerlo teniendo
en cuenta las figuras:
Área de A = — unidades cuadradas
1
2
Área de B = — = 2 unidades cuadradas
4
2
Actividad 3.
Calcula el área de las siguientes figuras. Indica cuáles tienen la misma área y cuáles el
mismo perímetro.
CUADERNOS DE
AULA
148
Fig. 1
Fig. 3
Fig. 2
Fig. 4
Actividad 4.
Construye en tu geoplano cinco figuras que tengan la misma área pero formas
distin-tas, y dibújalas en el papel punteado.
Área con unidades convencionales
Juegos de cuadrados
Construyen en un papel un decímetro cuadrado (dm
2
).
¿Cuántos dm
2
crees que medirá tu mesa?
. . . .
Con el dm
2
que has construido, calcula el área de la mesa.
Haz lo mismo con el cuaderno y con el libro. Primero estima la medida y después calcúlala.
CUADERNOS DE
AULA
149
1 dm
2
¿Obtienes un número exacto de dm
2
?
. . . .
¿Cómo crees que podemos medir lo que falta?
. . . . . . . .
Para poder cubrir toda la superficie de la mesa, el cuaderno, el libro…, necesitamos dividir el dm
2
.
Para ello, fracciona cada lado del dm
2
en diez partes iguales, cuadricula el dm
2
y recórtalo.
¿Cuántos cuadraditos has obtenido?
. . . .Cada uno de estos cuadraditos se llama
. . . .Con estos cuadraditos, termina de cubrir la superficie de los objetos que faltaba, y completa la
siguiente tabla:
Mesa
. . . .dm
2
y
. . . .cm
2
Cuaderno
. . . .dm
2
y
. . . .cm
2
Actividades con papel centrimetrado transparente
Calcula el área de las siguientes figuras utilizando el papel centrimetrado transparente.
CUADERNOS DE
AULA
150
Área =
. . .cm
2
.
Área =
. . .cm
2
.
■
Rectángulos
Área del rectángulo. Obtención de la fórmula
Actividad 1
CUADERNOS DE
AULA
151
Rellena el siguiente cuadro:
Área (u
2
)
Largo (u)
Ancho (u)
Figura A
Figura B
Figura C
Figura D
Figura F
¿Cómo podrías calcular el área de todos los rectángulos sin tener que contar los cuadrados que lo
componen?
. . . . . . . .Fig. A
Fig. B
Fig. C
Fig. D
Fig. E
Actividad 2.
Calcula el área de las siguientes figuras.
CUADERNOS DE
AULA
152
A
2 cm
3 cm
5 cm
8 cm
8 cm
6 cm
3 cm
7 cm
B
D
F
E
C
2 cm
Área
A
=
. . . .cm
2
Área
D
=
...cm
2
Área
B
=
. . . .cm
2
Área
E
=
...cm
2
Área
C
=
. . . .cm
2
Área
F
=
...cm
2
Escribe una fórmula general que te permita calcular siempre el área de cualquier rectángulo:
Variación del área de rectángulos que tienen igual perímetro
Actividad 1.
Une con un nudo los extremos de una cuerda. Aguántala ahora entre el pulgar y el
índice de las dos manos, manteniéndola
bien tirante,
formando así un rectángulo (mira la figura).
CUADERNOS DE
AULA
153
Si separas o unes los dedos a la vez, se formarán diferentes rectángulos. ¿Tendrán todos el mismo
perímetro? ¿Por qué?
. . . . . . . .
¿Tendrán todos la misma área? ¿Por qué?
. . . .
Construye ahora en cartulina posibles rectángulos de perímetro 36 cm, y recórtalos
disponiéndo-los como las hojas de una libreta sobre un folio.
Une los vértices libres de los rectángulos. ¿Qué línea obtienes?
. . . . . . . .
Actividad 2.
Escribe en la tablas siguiente el largo y el ancho de cada uno de los rectángulos
recor-tados según las indicaciones de la actividad anterior.
¿Qué relación observas entre X, Y, S? Escríbela.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
Supongamos ahora que el perímetro (largo de la soga) es de 32 cm. Haz una tabla como la anterior
y escribe la relación entre X, Y, S.
Representa ahora sobre unos ejes esta relación. ¿Qué observas?
. . . . . . . .
Variación del perímetro de rectángulos que tienen igual área
Actividad 1.
Construye con cartulina diferentes rectángulos que tengan de área 36 cm
2
(largo x
ancho = 36 cm
2
).
¿Son isoperimétricos? ¿Y equivalentes?
. . . . . . . .
¿Cuál es el que tiene menos perímetro? ¿Por qué? (Puedes ayudarte de los minos, aunque el área sea
de 36 minos).
. . . . . . . .
. . . . . . . .
Disponiendo los rectángulos sobre un folio, como las hojas de una libreta, y uniendo los vértices
libres con un lápiz, se obtiene una línea. Su nombre es
Hipérbola.
Actividad 2.
¿Son equivalentes el cuadrado y el rectángulo de la siguiente figura? ¿Por qué?
. . . . . . . .
¿Son isoperimétricos? ¿Por qué?
. . . . . . . .
CUADERNOS DE
AULA
154
Haz en tu geoplano varios rectángulos isoperimétricos y estudia sus áreas (utiliza elásticos de
dis-tintos colores).
Haz en tu geoplano varios rectángulos equivalentes y estudia su perímetro. Representa lo que hiciste
en las figuras siguientes.
Actividad 3.
Con doce cuadrados unidad (cm
2
), ¿cuántos rectángulos podemos construir colocando
los cuadrados de diferente manera?
¿Qué longitudes tienen el largo y el ancho de estos rectángulos?
. . . . . . . .
¿Tienen todos el mismo perímetro?
. . . .¿Habrá alguno que tenga 5 cuadrados unidad (cm
2
) en la base? ¿Por qué?
. . . . . . . .
Para los siguientes problemas puedes valerte de los materiales que quieras:
1. Un rectángulo tiene 24 cm de perímetro y una de las dimensiones es 9 cm. Determina la longitud
de la otra dimensión.
2. Un rectángulo tiene un área de 18 cm
2
y una de las dimensiones es 3 cm. Determina el perímetro.
3. ¿Si elegimos dos rectángulos de 28 cm de perímetro, ¿resultan siempre iguales sus áreas?
CUADERNOS DE
AULA
Actividad 4.
Juego de áreas y perímetros
Este es un juego para dos personas. Uno de los jugadores, jugador A, dibuja sobre la cuadrícula una
figura de 12 cm
2
de área, pintándola de rojo y anotando en la tabla el perímetro obtenido.
El otro jugador, jugador B, dibuja otra figura de 12 cm2 de área con la condición de que toque a la
dibujada por el A, pintándola de azul y anotando en la tabla su perímetro.
Se continúa así hasta completar la cuadrícula.
Ganará el jugador que haya obtenido el perímetro total más pequeño.
CUADERNOS DE
AULA
156
Jugador A
Jugador B
CUADRÍCULA
■
El cuadrado como rectángulo particular
Actividad 1.
Calcular el área de las siguientes figuras:
CUADERNOS DE
AULA
157
4 cm
4 cm
6 cm
6 cm
4 cm
4 cm
3 cm
Actividad 2.
Uniendo los extremos de una cuerda y aguantándola entre los dedos pulgar e índice,
ya habías visto que se formaban diferentes rectángulos. ¿Podrías obtener un cuadrado? ¿En qué caso?
. . . . . . . .
. . . . . . . .
Sabiendo ya la fórmula para calcular el área del rectángulo, ¿sabrías hallar el área de cualquier
cua-drado?
. . . . . . . .
Escribe esa fórmula:
Actividad 3.
Con los cuadrados unidad (cm
2
) que ya tienes construidos en cartulina, si quiero
dupli-car el lado, ¿cuántos cuadrados unidad necesitaré? ¿Cuál es el área del nuevo cuadrado?
. . . . . . . .
¿Si triplicamos el lado?
. . . . . . . .
¿Si lo cuadriplicamos?
. . . . . . . .
¿Si lo quintuplicamos?
. . . . . . . .
¿Podrías relacionar esto con la fórmula del área del cuadrado?
. . . . . . . .
Haz lo mismo con el geoplano.
Problemas
1. Un cuadrado tiene de área 16 cm
2
. Determina el perímetro. Si el área fuera 25 cm
2
, ¿cuál sería su
perímetro? ¿Y si fuera 36 cm
2
?
2. Un señor tiene un terreno cuadrado de 600 m de perímetro, mientras que otro señor tiene uno
rectangular del mismo perímetro, siendo la base de éste el triple del ancho. El dueño del terreno
rectangular propone al otro cambiarlo, ¿le interesa el cambio? ¿Ocurre siempre lo mismo con
cualquier rectángulo y cualquier cuadrado con el mismo perímetro?
Haz un modelo de este problema con cartulina, de tal manera que cada cm de cartulina sea 10
metros de la realidad, comprobando las respuestas que has dado.
CUADERNOS DE
AULA
Actividad 4.
Dado un cuadrado cualquiera, obtén a partir de él otro que tenga de área la mitad.
Platón cuenta que este problema le fue planteado a un esclavo y que, con las indicaciones que le iba
dando, fue capaz de resolverlo. El esclavo, en esa época, no sabía de matemáticas.
■
Triángulos
Área del triángulo. Obtención de la fórmula a partir del rectángulo
Actividad 1.
Construye en tu geoplano el rectángulo A.
CUADERNOS DE
AULA
159
¿Cuál es su área?
. . . .
Construye ahora los triángulos que ves abajo, con elásticos de distintos colores.
¿Cuál es el área del triángulo B?
. . . .¿Cuál es el área del triángulo C? . . . .
¿Cuál es el área del triángulo D?
. . . .Observa que el área del triángulo B es:
¿Ocurre lo mismo para los demás triángulos?
. . . .A
B
C
altura
Área
B
=
Área rectángulo
2
altura
D
Actividad 2.
En la actividad anterior has calculado el área de diferentes triángulos. En esos casos
podemos decir que:
CUADERNOS DE
AULA
160
Área del triángulo =
...x
. . . .2
Construye ahora en tu geoplano los siguientes triángulos:
Calcula el área de esos triángulos y comprueba que la expresión (fórmula) que permite calcular el
área del triángulo es válida.
Actividad 3.
Calcula el área de las siguientes figuras:
2.5 cm
5 cm
4 cm
9 cm
9 cm
1.5
cm
1.
4.
6.
5.
2.
3.
5 cm
3 cm
2.5 cm
3 cm
4 cm
2 cm
3 cm
2 cm
2 cm
3.2 cm
3.5 cm
Variación del perímetro de triángulos de igual área. El triángulo isósceles
Actividad 1.
Dibuja varios de los triángulos que va obteniendo el profesor al mover la anilla del
dis-positivo que te presenta.
CUADERNOS DE
AULA
161
¿Qué tienen en común todos los triángulos?
. . . . . . . .
¿Todos los triángulos que se forman son equivalentes? ¿Por qué?
. . . . . . . .
. . . . . . . .
¿Son todos isoperimétricos? ¿Por qué?
. . . . . . . .
. . . . . . . .
¿Cuál es el que tiene menor perímetro?
Actividad 2.
Construye el avión de la figura.
CUADERNOS DE
AULA
162
3 cm
2 cm
5 cm
3 cm
10 cm
Pieza 1
1
2
3
Timón
Alerones
Pieza 3
Pieza 2
2 cm
2 cm
4 cm
3 cm
Variación del área de triángulos de igual perímetro
Actividad.
Dibuja sobre una cartulina una recta justo por la mitad, pegándola a continuación sobre
un trozo de madera.
Clava sobre dicha línea dos clavos tal y como se ve en la figura:
CUADERNOS DE
AULA
163
Ata los dos extremos de un hilo mayor que la distancia entre las chinchetas y, manteniéndolo
siem-pre tenso, con un bolígrafo dibuja la figura ovalada que ves abajo.
La figura que obtienes se llama
elipse.
Si ralentizamos la construcción de la figura, van apareciendo muchos triángulos.
¿Qué le ocurre a sus áreas?
. . . . . . . .¿Qué triángulo es el de área máxima?
. . . .¿Cuál es el de área mínima?
. . . . . . . .■
Romboides o paralelogramos
Área del romboide. Obtención de la fórmula a partir del rectángulo
Actividad 1.
Construye con las tiras del mecano un rectángulo que tenga de dimensiones 5 cm y 15 cm.
¿Cuál es su perímetro? ¿Cuál es su área?
. . . . . . . .
. . . . . . . .
Si ahora vas estirando una de las puntas, obtendrás diferentes romboides (observa la figura).
CUADERNOS DE
AULA
164
¿Cambiará el perímetro de cada una de los romboides? ¿Por qué?
. . . . . . . .
. . . . . . . .
¿Y el área? ¿Por qué?
. . . . . . . .
Actividad 2.
Dibuja sobre una cartulina los romboides siguientes y calcula su área contando
cua-drados.
CUADERNOS DE
AULA
165
A
B
C
D
E
Área de A =
. . . .cm
2
Área de B =
. . . .cm
2
Área de C =
. . . .cm
2
Área de D =
. . . .cm
2
Área de E =
. . . .cm
2
Actividad 3.
Vamos a buscar otra forma para calcular el área de cualquier romboide.
Recorta el romboide A dibujado en la cartulina usada en la actividad anterior.
Traza la línea de puntos que ves en la figura de abajo, corta y coloca el triángulo obtenido al otro
lado:
CUADERNOS DE
AULA
166
Base
Altura
¿Qué figura tienes ahora?
. . . . . . . .
Calcula el área.
Haz lo mismo con todos los romboides dibujados en la cartulina.
Comprueba que el área del romboide se calcula multiplicando la base por la altura.
Área del romboide = Base x Altura
Actividad 4.
Calcula el área y el perímetro de los romboides siguientes.
Indicación:
Para calcular la altura puedes utilizar la escuadra o el cartabón:
CUADERNOS DE
AULA
167
¿Hay algunos isoperimétricos? ¿Y equivalentes?
. . . . . . . .
Área A =
. . .Perímetro A =
. . .Área B =
. . .Perímetro B =
. . .Área C =
. . .Perímetro C =
. . .Variación del perímetro de romboides que tienen igual el área. El rectángulo como romboide de
menor perímetro
Actividad.
Dibuja alguno de los romboides que va obteniendo el profesor al realizar los movimientos
que hace en el dispositivo móvil.
CUADERNOS DE
AULA
168
¿Qué tienen en común todos los romboides?
. . . . . . . .
¿Son todos los romboides que se forman equivalentes? ¿Por qué?
. . . . . . . .
. . . . . . . .
¿Son todos isoperimétricos? ¿Por qué?
. . . . . . . .
. . . . . . . .
¿Cuál es el que tiene menor perímetro?
■
Trapecios
El área del trapecio. Obtención de la fórmula a partir del rectángulo
Actividad 1.
Utilizando cuatro barras de mecano, construye diferentes tipos de trapecios y
dibúja-los (recuerda que todos dibúja-los trapecios deben tener un par de lados paraledibúja-los).
Observa la viñeta siguiente. ¿Qué conclusión puedes sacar?
CUADERNOS DE
AULA
169
. . . . . . . .
. . . . . . . .
Actividad 2.
Dibuja sobre la cartulina los siguientes trapecios y calcula su área contando los
cua-drados.
A
Área de A =
. . .Área de C =
. . .Área de D =
. . .Área de B =
. . .B
C
D
Actividad 3.
Vamos a buscar otra forma para calcular el área de cualquier trapecio.
Recorta el trapecio A dibujado en la cartulina para hacer la actividad anterior.
Traza una línea paralela a la base, exactamente a la mitad (puedes encontrarla doblando la
cartu-lina).
CUADERNOS DE
AULA
170
Base menor
Base menor
Base mayor
Base mayor
Altura
Cortar por la línea punteada y colocar los dos trapecios obtenidos, uno a continuación del otro.
Altura
2
¿Qué figura tienes ahora?
. . . . . . . .Calcula el área.
Haz lo mismo ahora con todos los trapecios de la actividad anterior.
Comprueba que el área del trapecio se calcula multiplicando la semisuma de las bases por la altura.
Área del trapecio =
Base mayor + Base menor
Altura
2
Actividad 4.
Calcula el área de los siguientes trapecios.
CUADERNOS DE
AULA
171
5 cm
18 cm
9 cm
5 cm
7 cm
12 cm
14 cm
8 cm
6 cm
7 cm
8 cm
10 cm
A
C
D
B
Área de A =
. . .Área de B =
. . .Área de C =
. . .Área de D =
. . .Variación del perímetro de trapecios que tienen igual área
Actividad.
Dibuja alguno de los trapecios que va obteniendo el profesor al realizar los
movimien-tos que hace con el dispositivo móvil.
CUADERNOS DE
AULA
172
¿Qué tienen en común todos los trapecios?
. . . . . . . .
¿Son todos los trapecios que se forman equivalentes? ¿Por qué?
. . . . . . . .
. . . . . . . .
¿Son todos isoperimétricos? ¿Por qué?
. . . . . . . .
. . . . . . . .
¿Cuál es el que tiene el menor perímetro?
■
Rombos
Área del rombo. Obtención de la fórmula a partir del rectángulo
Actividad 1.
Construye con las barras de mecano un cuadrado que tenga de lado 7 cm.
¿Cuál es su perímetro?
. . . . . . . .¿Cuál es su área?
. . . . . . . .Si ahora estiras por una de las puntas, obtendrás diferentes rombos (observa la figura).
CUADERNOS DE
AULA
173
¿Cambiará el perímetro de cada uno de los rombos? ¿Por qué?
. . . . . . . .
¿Y el área? ¿Por qué?
. . . . . . . .
Actividad 2.
Dibuja sobre la cartulina los siguientes rombos y calcula su área contando cuadrados.
Área de A =
. . . .Área de B =
. . . .Área de C =
. . . .Área de D =
. . . .Área de E =
. . . .Área de F =
. . . .A
B
D
E
C
F
Actividad 3.
Vamos a buscar otra forma para calcular el área de cualquier rombo.
Recortar el rectángulo que contiene al rombo E dibujado en la cartulina para hacer la actividad
anterior.
Recorta ahora el rombo por la línea de puntos. Obtienes cuatro triángulos, que puedes reunir
for-mando un rombo igual al E. Hazlo.
CUADERNOS DE
AULA
174
¿Cuál es el área del rectángulo?
. . . . . . . .
¿Cuál es el área de los dos rombos?
. . . . . . . .
¿Y el de uno sólo?
. . . . . . . .
Haz lo mismo con todos los rombos dibujados en la cartulina.
Comprueba que el área del rombo se calcula multiplicando la diagonal mayor por la diagonal menor
y dividiendo por dos.
Actividad 4.
Calcula el área de las siguientes figuras:
CUADERNOS DE
AULA
175
Área de A =
. . . .Área de B =
. . . .Área de C =
. . . .Área de D =
. . . .Área de E =
. . . .Actividad 5.
Construye el dispositivo que ves en la figura:
Moviendo las diagonales, van apareciendo diferentes romboides.
¿Tienen todos el mismo perímetro? ¿Y la misma área?
. . . . . . . .
¿Podrías formar un rombo? ¿Y un cuadrado?
. . . . . . . .
¿Qué le ocurre a las diagonales?
. . . . . . . .
4 cm
6 cm
15 cm
24 cm
A
B
D
E
C
2 cm
■
Polígonos
Actividad.
Calcula el área de los siguientes polígonos contando los cuadrados. Escribe el nombre
de cada una de las figuras.
CUADERNOS DE
AULA
176
Área de A =
. . . .Área de B =
. . . .Área de C =
. . . .Área de D =
. . . .Área de E =
. . . .Área de F =
. . . .¿Qué ocurre con la figura C?
. . . . . . . .
A
D
E
F
Área de un polígono regular
Actividad 1.
Vamos a buscar una forma para poder calcular el área de la figura C de la actividad
anterior y que nos sirva para cualquier polígono regular.
CUADERNOS DE
AULA
177
Para ello lo primero que vas a hacer es triangular el hexágono de la siguiente manera:
¿Cuántos triángulos se obtienen?
. . . .Recórtalos y pégalos uno a continuación del otro.
C
Apotema
Altura del triángulo =
apotema del polígono
Base = lado del hexágono
Base
¿Podrás calcular el área del hexágono ahora? ¿Cómo?
. . . . . . . .
Área del hexágono = 6 veces el área del triángulo.
Área del hexágono = 6 x
base x altura
2
Área del hexágono =
perímetro x apotema
2
Como la base del triángulo es el lado del hexágono, 6 veces la base es el perímetro de la figura
(recuerda que la altura del triángulo corresponde a la apotema del polígono).
El área de un polígono regular se obtiene multiplicando el perímetro por la apotema y dividiendo
por dos.
Actividad 2.
Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras regulares utilizando esta
expre-sión:
CUADERNOS DE
AULA
178
7.6 cm
A =
. . . .P =
. . . .A =
. . . .P =
. . . .A =
. . . .P =
. . . .A =
. . . .P =
. . . .2 cm
r = 2.2 cm
a = 1.7 cm
a = 2.2 cm
r = 2 cm
r = 2.4 cm
Área =
p x a
2
¿Hay algunos que sean isoperimétricos?
. . . .Área de un polígono cualquiera
Actividad 1.
No todos los polígonos son regulares. Observa la figura A:
CUADERNOS DE
AULA
179
4 cm
6 cm
A
4 cm
2 cm
¿Por qué no es un polígono regular?
. . . . . . . .
En la actividad anterior, para calcular el área de un polígono regular triangulábamos la figura desde
el centro. ¿Podrías hacerlo ahora?
. . . . . . . .
La forma más sencilla de calcular el área de un polígono es descomponerlo en el menor número de
polígonos de los que sepamos calcular su área, por ejemplo, como lo hacemos en la siguiente figura:
A
A
1
Área A = Área A
1
+ Área A
2
A
2
Haz ahora otra descomposición distinta y comprueba que coinciden los resultados si hallamos el
área de las dos formas.
Actividad 2.
Calcula el área de los siguientes polígonos irregulares de la forma que aprendiste en la
actividad anterior.
CUADERNOS DE
AULA
180
A
B
C
D
AA =
. . .AB =
. . . .AC =
. . .AD =
. . . .Actividad 3.
En la figura 1 se representan dos pentágonos que pueden ser obtenidos mediante un
dispositivo móvil parecido al de actividades anteriores. En la figura 2 son cuadriláteros. Dibuja otros.
E
Fig. 1
Fig. 2
F
D
A
B
C
¿Tendrían todos los pentágonos igual área? ¿Y los cuadriláteros?
. . . . . . . .
¿Tendrían igual perímetro?
. . . . . . . .Actividad 4.
Observa los hexágonos de la figura siguiente. Si consideras que está construido con un
hilo, ¿podríamos decir que son equivalentes? ¿Y que son isoperimétricos?
. . . . . . . . . . . . . . . .
CUADERNOS DE
AULA
181
A
F
H
E
D
C
B
¿Qué podrías decir de la curva que une los puntos F y H?
. . . . . . . .
. . . . . . . .
¿Podrías decir cuál es el polígono de área máxima?
■
Medida de sólidos: área lateral, área total y volumen
Actividad 1.
Un prisma es un sólido en el espacio que al seccionarlo (o cortarlo en rodajas),
pre-senta iguales sus secciones (o rodajas). Los siguientes cuerpos son prismas:
CUADERNOS DE
AULA
182
Este cuerpo no es un prisma. Es una pirámide:
SÍ NO
❑
❑
❑
❑
❑
❑
❑
❑
❑
❑
❑
❑
❑
❑
❑
❑
❑
❑
❑
❑
Actividad 2.
Indica (sí o no) cuáles de los siguientes sólidos son prismas:
CUADERNOS DE
AULA
183
a
a
b
b
c
c
f
f
d
d
e
e
h
h
g
g
i
i
j
j
Actividad 3.
Los prismas que se pueden encontrar son, en general, distintos de los de la actividad
anterior. Por ejemplo, el sólido de la figura:
CUADERNOS DE
AULA
184
Fig. 1
Es un prisma triangular. ¿Por qué se llamará así?
. . . . . . . .
Si los triángulos de las bases son equiláteros, se dirá que es un prisma triangular regular.
Obsérvalo ahora en esta otra posición. Generalmente se llaman bases a las secciones que permiten
formarlo y altura al número de veces que se repite la sección.
Fig. 2
Indica cuáles son sus bases y sus alturas.
Podríamos decir también que la altura del prisma es el segmento trazado perpendicularmente desde
cualquier punto de la base superior hasta el plano de la base inferior.
Señala las bases y las alturas en los prismas de las figuras 1 y 2.
Actividad 4.
¿Qué tipos de prismas son los que aparecen en la figura siguiente?
Área lateral y área total
Actividad 1.
¿Qué cantidad de cartón necesitarás para construir una caja igual que esta?
CUADERNOS DE
AULA
185
2 cm
2 cm
4 cm
Ahora, si abres la caja, queda:
¿Cómo te resulta más sencillo averiguarlo?
. . . . . . . .
La cantidad necesaria de cartón para construir la caja recibe el nombre de área total del ortoedro.
Actividad 2.
También se podría calcular el área total del ortoedro sin tener que desarrollarlo. Observa
la figura y calcula el área total.
3.4 cm
8.2 cm
5.3 cm
Si en la caja de la actividad anterior quitamos la tapa y el fondo, se necesitará, evidentemente, menos
cartón. Calculando ahora la cantidad de cartón necesaria para construir la caja sin tapa y sin fondo, lo
que se obtiene es la superficie (o área) lateral del ortoedro.
Actividad 3.
Calcular el área lateral de la siguiente figura (puedes dividirla en dos partes).
CUADERNOS DE
AULA
186
1 cm
2 cm
3 cm
2.5 cm
4 cm
6 cm
Volumen. Introducción al concepto de volumen: concepto dinámico
Actividad 1.
El hombre de la figura 1 está amontonando cajas. Cada capa del montón lleva nueve
cajas.
Fig. 1
Con dos capas, ¿cuántas cajas tenemos?
. . . .¿Y con tres? ¿Y con cuatro?
. . . . . . . . .Actividad 2.
Estima cuántas cajas hay en el montón de la figura:
CUADERNOS DE
AULA
187
¿Cuántas cajas hay en cada capa?
. . . .¿Cuántas cajas hay en el montón?
. . . .Actividad 3.
Fíjate en las figuras siguientes:
CUADERNOS DE
AULA
188
a
b
c
f
d
e
a
b
c
f
d
e
Completa el siguiente cuadro:
Figura
Cajas por
capa
Número de
capas
Número total
de capas
Actividad 4.
En la siguiente caja de plástico caben tres capas de cubos. ¿Cuántos necesitarías para
llenarla?
CUADERNOS DE
AULA
189
¿Cuántos cubos necesitarás para llenar estas otras cajas?
3
5
Actividad 5.
Calcular el volumen de un ortoedro es obtener el número de cubos unidad (un
centí-metro de arista) que contiene. Calcula el volumen de los siguientes ortoedros:
CUADERNOS DE
AULA
190
Observa que lo puedes hacer de manera parecida que en las actividades anteriores. ¿Se te ocurre
alguna forma de calcular el volumen del siguiente ortoedro?
3 cm
4 cm
5 cm
Actividad 6.
Recuerda que: el área de un rectángulo se obtiene multiplicando la base por la altura.
Observa en la siguiente figura que, para obtener el área, “la medida de la base recorre la medida de la
altura”.
■
Variación del área de figuras equivalentes
Actividad 1.
Observa las siguientes figuras:
CUADERNOS DE
AULA
191
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Puesto que están formadas por el mismo número de cubos (unidades), tienen el mismo volumen. Se
dice que son cuerpos equivalentes.
Rellena el siguiente cuadro:
Estimación Área
Figura 1
u
2
u
2
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Primero hazlo valiéndote de los dibujos, y luego construye las figuras con tu juego de cubos.
Actividad 2.
Con cinco cubos construye cuatro sólidos de distinta área y que sean equivalentes.
Represéntalos:
Actividad 3.
Con cinco cubos, ¿puedes construir figuras con igual superficie y que no sean
equiva-lentes? Represéntalas.
CUADERNOS DE
AULA
192
Compara esta actividad y la anterior, y saca conclusiones.
Actividad 4.
Calcula el volumen y el área de todas las piezas del cubo SOMA. Recuerda que sus
pie-zas son:
1
5
6
7
2
3
4
Completa el siguiente cuadro:
Área (u
2
) Volumen
(u
3
)
1 u
2
u
3
2
3
4
5
6
7
Teniendo en cuenta el cuadro anterior, contesta las siguientes cuestiones:
¿Cuáles tienen igual área?
. . . . . . . .
¿Cuáles tienen el mismo volumen?
. . . . . . . .
¿Qué has observado?
. . . . . . . .
Actividad 5.
Utiliza tres piezas del SOMA (distintas de la pieza 1) y construye tres cuerpos
diferen-tes. Represéntalos en el papel punteado.
¿Qué podrías decir de los volúmenes de los tres cuerpos?
. . . . . . . .
. . . . . . . .
¿Qué podrías decir de sus áreas?
. . . . . . . .
. . . . . . . .
CUADERNOS DE
AULA
■
Variación del volumen de sólidos de igual área
Actividad 1.
Coge un folio y construye dos ortoedros, dividiéndolo en cuatro partes
horizontal-mente y verticalhorizontal-mente.
¿Tendrían la misma superficie lateral?
. . . .¿Y el mismo volumen?
. . . . . . . .CUADERNOS DE
AULA
194
Actividad 2.
Construye los dos ortoedros de la actividad anterior en cartulina. Ponles una base.
Comprueba si sus volúmenes son iguales o no. Para esto puedes utilizar tierra, arena...
Actividad 3.
Construye con tres folios (o trozos de cartulina) del mismo tamaño un prisma
trian-gular, un ortoedro y un prisma pentagonal, dividiéndolo en 3, 4 y 5 partes iguales.
¿Tendrían la misma superficie lateral?
. . . .¿Y el mismo volumen?
. . . . . . . .Actividad 4.
Constrúyelos ahora poniéndoles una base. Comprueba tu respuesta utilizando tierra,
arena...
¿Cuándo podrías obtener un volumen máximo? Razónalo.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
Volumen y área del cubo. Variación del volumen a medida que varía el lado
Actividad 5.
Observa las siguientes figuras:
CUADERNOS DE
AULA
195
Figura 1
Figura 2
Figura 3
¿Cuál es la medida de la superficie total de cada uno de esto cubos?
Rellena el cuadro siguiente:
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Superficie total
Actividad 6.
Busquemos ahora una forma sencilla para calcular el área de la superficie de los cubos
anteriores. Para ello, rellena el siguiente cuadro:
CUADERNOS DE
AULA
196
Medida de
Área de
Área total
la arista
cada cara
del cubo
Figura 1
Figura 2
Figura 3
¿Puedes escribir alguna fórmula que te permita calcular siempre el área total de cualquier cubo?
AT
cubo
=
. . . .Si consideramos ahora que al cubo le quitamos las tapas, ¿cuál sería el área lateral de los cubos de
la actividad anterior?
Busca una fórmula para cualquier cubo.
Actividad 7.
Calcula el área total y lateral de cada uno de los siguientes cubos:
2 cm
Actividad 8.
Se quiere construir en cartulina un cubo de 8 cm de arista. ¿Qué cantidad de cartulina
necesitas?
Ayúdate de un dibujo.
Actividad 9.
Observa los siguientes cubos:
CUADERNOS DE
AULA
197
1 cm
2 cm
3 cm
Copia y completa la siguiente tabla:
Arista del cubo
Número de cm
3
Si se duplica la arista de un cubo, ¿se duplica el volumen? Razónalo.
¿Y si se triplica la arista?
¿Podrías obtener una fórmula simple para calcular el volumen de cualquier cubo?
V
cubo
=
. . . .Actividad 10.
¿Podrías encontrar alguna relación entre el volumen de un cubo y el de un ortoedro?
ortoedro
cubo
V
cubo
=
. . . .V
ortoedro
= a x b x c
a
a
b
c
Actividad 11.
Calcula el volumen de los siguientes sólidos:
CUADERNOS DE
AULA
198
2 cm
4 cm
Actividad 12.
Rellena el cuadro siguiente observando la figura:
1 cm
2 cm
3 cm
Represéntalo en papel milimetrado con bolígrafo azul.
Lado
Área
1 cm
cm
2
2 cm
3 cm
4 cm
...a cm
Actividad 13.
Rellena el cuadro siguiente observando la figura:
CUADERNOS DE
AULA
199
3 cm
2 cm
1 cm
Lado
Área
1 cm
cm
2
2 cm
3 cm
4 cm
...a cm
Represéntalo en el mismo papel milimetrado que usaste en la actividad anterior, pero con bolígrafo
rojo.
¿Qué puedes observar?
. . . . . . . .
. . . . . . . .
Actividad 2.
Observa ahora cómo se puede calcular el volumen del prisma.
■
Cálculo de volúmenes y áreas: prismas y pirámides
Área y volumen del prisma
Actividad 1.
Para calcular el volumen de los siguientes prismas (comprueba que son prismas),
¿pode-mos hacer algo parecido?
CUADERNOS DE
AULA
200
a
b
c
a
b
c
Figura
Cajas por
capa
Número de
capas
Número total
de capas
Rellena el siguiente cuadro:
El área de la sección
es 7 cm
2
Cada banda vertical contiene
7 cm
3
(cubos de 1 cm)
4 cm
4 cm
CUADERNOS DE
AULA
201
El prisma tiene
4 cm de largo
4 cm
4 cm
7 cm
2
Por tanto, el volumen del prisma
será 7 x 4 = 28 cm
3
Actividad 3.
Calcula el volumen de los siguientes prismas:
a
b
c
f
d
e
Actividad 4.
Las siguientes figuras son también prismas (regulares). Calcula su volumen:
CUADERNOS DE
AULA
202
4 cm
2
15 cm
8 cm
9 cm
7 cm
2
6 cm
2
Prisma
Volumen
Hexagonal
Pentagonal
Triangular
Actividad 5.
Observa los siguientes prismas regulares desarrollados:
7 cm
Prisma pentagonal
Prisma hexagonal
Ortoedro
3 cm
4 cm
6 cm
7 cm
3.5 cm
4 cm
Completa la siguiente tabla:
CUADERNOS DE
AULA
203
Área lateral
Área total
Prisma hexagonal
Prisma pentagonal
Ortoedro
Actividad 6.
Vamos ahora a obtener una fórmula para calcular el área total y lateral de un prisma
regular recto. Para ello completa la siguiente tabla.
Lado de
la base
Prisma
hexagonal
Prisma
pentagonal
Ortoedro
Apotema
Área de
la base
Altura
Área
lateral
Área total
Intenta escribir una fórmula para el área lateral:
A
lateral
=
. . . .x
. . . .Área y volumen de la pirámide
Actividad 1.
Se trata de construir una pirámide con todas las aristas iguales. Sigue los pasos que
aparecen dibujados:
CUADERNOS DE
AULA
204
Pliégala y pégala por las solapas.
1
2
3
4
Actividad 2.
Un desarrollo distinto de la misma pirámide sería éste:
CUADERNOS DE
AULA
205
7 cm
7 cm
7 cm
Sigue los pasos 1, 2 y 3 para construirla:
1
2
3
Constrúyela.
Si unes las dos bases de las dos pirámides, ¿qué sólido obtienes?
. . . . . . . .
Escribe lo que sepas de él.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
Actividad 3.
Indica cuáles de estas figuras corresponden a desarrollos de pirámides. ¿Qué
conclu-siones puedes sacar?
CUADERNOS DE
AULA
206
Compruébalo ahora recortando y pegando.
b
c
f
d
e
a
Actividad 4.
Dibuja en cartulina las siguientes figuras, recórtalas y constrúyelas:
CUADERNOS DE
AULA
207
Rellena con arroz la pirámide de base hexagonal, y vierte su contenido, tantas veces como sea
nece-sario, en el prisma de igual base.
Haz lo mismo con el prisma y la pirámide cuadrangular.
¿Qué observas?
. . . . . . . .
Escribe una fórmula que relacione el volumen de estos sólidos:
V
piramide
=
. . . .x
. . . .12 cm
10 cm
12 cm
12 cm
5 cm
5 cm
10 cm
12 cm
Actividad 5.
Con tres compañeros construye un juego de seis pirámides en cartulina, utilizando el
siguiente modelo:
CUADERNOS DE
AULA
208
Dibuja en un folio el desarrollo de un cubo de 6 cm de arista:
6 cm
6 cm
6 cm
6 cm
6 cm
6 cm
6 cm
6 cm
Sobre cada cuadrado pega las bases de las seis pirámides construidas en la actividad anterior, y
plié-galas formando un cubo (los vértices de las pirámides hacia el interior). ¿Qué relación hay entre el
volu-men de la pirámide y el voluvolu-men del cubo?
. . . . . . . .
. . . . . . . .
Si al lado del cubo lo llamas a
, ¿podrías obtener el volumen de la pirámide dependiendo de
a
? Escribe
tus observaciones.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
Actividad 6.
Considera la pirámide desarrollada de la siguiente figura:
CUADERNOS DE
AULA
209
10 cm
12 cm
12 cm
Calcula el área lateral y el área total:
A
lateral
=
. . . .A
total
=
. . . .Actividad 7.
Observa la siguiente figura:
13 cm
5 cm
Calcula el área lateral y el área total:
A
lateral
=
. . . .A
total
=
. . . .Busca una fórmula general para calcular el área lateral y total de la pirámide.
A
lateral
=
. . . .A
total
=
. . . .■
Cálculo de volúmenes y áreas de cuerpos de revolución: cilindro y cono
Actividad 1.
Recorta un rectángulo de cartulina y pégalo al lápiz como en el dibujo:
CUADERNOS DE
AULA
210
Hazlo girar sosteniéndolo por la punta.
Imagina la figura que se forma. Dibújala.
Imagina que figura forma y dibújala.
Nombra objetos reales que se parezcan a la figura que dibujaste.
. . . . . . . .
Los objetos anteriores que tienen forma cilíndrica son CILINDROS.
¿Qué forma tiene las bases de los cilindros?
. . . .¿Cuántas bases tiene un cilindro?
. . . .Actividad 2.
Toma tu escuadra y sostenla de tal forma que sólo tenga un cateto en contacto con la
mesa. Hazla girar lentamente sosteniéndola por el vértice superior.
Nombra objetos reales que se parezcan a la figura que dibujaste.
. . . . . . . .
Los objetos que tienen forma cónica son CONOS.
Tomando como eje la hipotenusa, haz girar la escuadra, ¿qué observas?
. . . . . . . .
Actividad 3.
Pega el semicírculo a un lápiz como indica el dibujo:
CUADERNOS DE
AULA
211
Colócalo sobre una mesa y hazlo girar. ¿Qué figura se forma?
. . . .El lápiz atraviesa a la esfera por su centro, y representa el eje de ésta.
Nombra objetos de forma esférica.
. . . . . . . .
Actividad 4.
Construye dos círculos iguales y recórtalos. Corta elásticos de la misma medida.
Per-fora los bordes de los círculos, y usando los elásticos construye este cuerpo:
¿Qué cuerpo se ha formado?
. . . . . . . .Su altura es
. . . .Su generatriz es
. . .¿Qué relación existe entre la altura y la generatriz de un cilindro?
. . . . . . . .