• No se han encontrado resultados

Unidad didáctica: Perímetro, área y volumen en el 3. er ciclo 10-12

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Unidad didáctica: Perímetro, área y volumen en el 3. er ciclo 10-12"

Copied!
81
0
0

Texto completo

(1)

Unidad didáctica: Perímetro, área

y volumen en el 3.

er

ciclo 10-12

Las actividades que conforman esta unidad didáctica fueron elaboradas en

colaboración con Ángeles Camacho Machín, Antonio Ramón Martín Adrián,

Dulce María Chico García, María del Carmen González Martín, Teresa

Padi-lla Alonso y Matías Camacho Machín. A todos ellos queremos agradecer sus

aportaciones, de manera especial a Teresa Padilla cuya ausencia lamentamos

enormemente puesto que no ha podido ver en letra impresa el fruto de muchas

reuniones de trabajo durante los años ochenta.

La unidad parte de la introducción del concepto de perímetro de figuras planas, del que los

alum-nos tienen una idea previa. A continuación, haciendo uso de una serie de materiales didácticos

estructu-rados, se introduce el concepto de área de figuras planas como concepto general, primeramente

utili-zando unidades de superficie arbitrarias para después hacerlo con unidades convencionales. Es importante

destacar la conveniencia de introducir lo que se entiende por figuras equivalentes y figuras

isoperimétri-cas, dado que distintas investigaciones han mostrado la confusión de ambos conceptos por parte de los

estudiantes. Una posible alternativa que trata de evitar la confusión de tales conceptos consiste en

tra-tarlos conjuntamente y no por separado. A lo largo de la unidad, a medida que se estudie el área de una

figura geométrica, se analizará la variación del perímetro de figuras equivalentes y la variación de área

de figuras isoperimétricas.

Otra idea que preside el diseño de la unidad es considerar tanto el aspecto estático como dinámico

del concepto de área, esto es: Considerar las figuras geométricas como “rellenadas” por cuadrados

uni-dad (sentido estático) y las superficies como engendradas por el movimiento de líneas, en el sentido

pro-puesto por Isaac Newton en su libro

Introductio. Tractatus de quadratura curvarum:

“Voy a considerar en esta obra las magnitudes matemáticas no como

integra-das por partes constantes, incluso infinitamente pequeñas, sino como

engen-dradas por un movimiento continuo. Las líneas serán descritas y en

conse-cuencia engendradas, no por adición de partes, sino por un movimiento

continuo de puntos; las superficies, por movimientos de líneas; los sólidos por

movimiento de superficies... Estas generaciones se realizan verdaderamente en

la naturaleza y pueden observarse todos los días en el movimiento de los

cuer-pos. Así, nuestros antepasados indicaron la generación del rectángulo como

descrito por un segmento móvil perpendicular a uno fijo"

Algunas de las actividades que se plantean pueden ser consideradas actividades de extensión. Se han

incluido para conseguir un tratamiento más completo de la unidad didáctica que se presenta. El

maes-tro debe elegir las actividades que considere más oportunas de acuerdo con el nivel de sus alumnos.

CUADERNOS DE

AULA

(2)

Objetivos:

Comprender los conceptos de área y perímetro de figuras planas tanto desde una perspectiva

está-tica como dinámica.

Comprender el concepto de volumen de figuras espaciales tanto desde una perspectiva estática

como dinámica.

Saber deducir informalmente y a través de la manipulación las fórmulas básicas que permiten

cal-cular el área de los polígonos.

Observar, analizar relacionar y diferenciar las variaciones que experimenta el área de distintas

figuras cuando su perímetro permanece constante.

Saber deducir informalmente y a través de la manipulación las fórmulas básicas que permiten

cal-cular el volumen y el área lateral de prismas, pirámides, conos y cilindros.

Observar, analizar relacionar y diferenciar las variaciones que experimenta el perímetro de

dis-tintas figuras cuando su área permanece constante.

Observar, analizar relacionar y diferenciar las variaciones que experimenta el área de un sólido

cuando su volumen permanece constante.

Conocimientos previos:

Idea del cálculo del perímetro como procedimiento de medir longitudes.

Conocimientos del sistema métrico decimal.

Hábito de resolver problemas.

Conocimiento intuitivo de la proporcionalidad.

Contenidos conceptuales

Sentido dinámico del área y perímetro de figuras planas.

Área de una figura plana.

Figuras equivalentes.

Figuras isoperimétricas.

Fórmulas para la obtención del área de:

RECTÁNGULO

TRIÁNGULO

ROMBOIDE

TRAPECIO

ROMBO

POLÍGONO CUALQUIERA

Sentido dinámico del volumen de superficies.

Volumen de un sólido en el espacio.

Áreas lateral y total.

CUADERNOS DE

AULA

(3)

Fórmulas para la obtención del área y el volumen de:

PRISMA

PIRÁMIDE

CILINDRO

CONO

Contenidos de procedimiento

Justificación informal del cálculo de la fórmula del área de los cuadriláteros triángulos, así como

la de un polígono regular cualquiera.

Análisis de la variación experimentada por el área de estos polígonos si los perímetros

permane-cen constantes.

Obtención del polígono de mayor área entre un conjunto de figuras isoperimétricas.

Análisis de la variación experimentada por el perímetro de estos polígonos si sus áreas

permane-cen constantes.

Obtención del polígono de menor perímetro entre un conjunto de figuras equivalentes.

Obtención del polígono de mayor área entre un conjunto de figuras isoperimétricas.

Justificación informal del cálculo de la fórmula del volumen del prisma y la pirámide.

Análisis de la variación del volumen de un prisma cuya área lateral es constante.

Justificación informal del cálculo de la fórmula del volumen del cilindro y el cono.

Análisis de la variación del volumen de un cilindro cuya área lateral es constante.

Contenidos de actitud

Valoración de la importancia de la justificación (informal) de fórmulas y propiedades

geométri-cas.

Interés y gusto por la descripción de formas y características geométricas.

Reconocimiento de la importancia de la manipulación de materiales concretos para el

descubri-miento de regularidades y propiedades.

Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada de trabajos y actividades geométricas.

CUADERNOS DE

AULA

(4)

Secuenciación de las actividades

El concepto de Perímetro

Actividad 1:

Recuerda que se llama perímetro de una figura a la medida del contorno de la misma.

Colorea de rojo el contorno de estas figuras.

CUADERNOS DE

AULA

139

Lo que has pintado de rojo es el

. . . .

de las figuras. Has dejado rayas por

colorear, ¿por qué?

. . . . . . . . .

Actividad 2:

Colorea el contorno de las siguientes figuras. ¿Cuántas unidades tiene el perímetro de

las mismas?

. . . . . . . .

(5)

Actividad 3:

Recuerda que el perímetro es la medida del contorno de una figura. Por ejemplo:

CUADERNOS DE

AULA

140

El perímetro de esta casita es:

3 cm + 3 cm + 2 cm + 2 cm + 3 cm = 13 cm

Calcula el perímetro de las siguientes figuras:

El perímetro es

. . .

El perímetro es

...

(6)

Introducción al concepto de área, figuras equivalentes y figuras isoperimétricas:

unidades arbitrarias y unidades convencionales

Área de figuras con unidades arbitrarias

Actividades con el tangram

Actividad 1.

Separa las piezas que sean iguales y cuéntalas. Completa:

CUADERNOS DE

AULA

141

Número de piezas

Triángulos grandes (Tg)

Triángulos medianos (Tm)

Triángulos pequeños (Tp)

Cuadrados (C)

Romboides (R)

Vamos a comparar las piezas:

¿Cuántas veces podrías colocar el Tp dentro del Tm sin que sobre espacio?

. . . .

Compruébalo.

¿Cuántos Tp caben en el cuadrado (C)?

. . . .

¿Cuántos Tp caben en el R?

. . . .

¿Cuántos Tp caben en el Tg?

. . . .

(7)

Actividad 2.

¿Cuántos R caben en el tangram (T)?

. . . .

La medida del tangram es

. . . .

R.

Completa esta tabla:

CUADERNOS DE

AULA

142

Área del tangram

8

R

Área del tangram

Tg

Área del tangram

Tm

Área del tangram

Tp

Área del tangram

C

Con todas las piezas del tangram, construye un triángulo y haz un cuadrado igual que el anterior.

¿Qué observas?

. . . . . . . .

También se puede construir un rectángulo y un hexágono con todas las piezas. Hazlo.

Utiliza todas las piezas para hacer algunas figuras que se te ocurran.

Actividad 3.

Vamos a utilizar como unidad de medida el cuadrado.

¿Cuántos C caben en el Tg?

. . . .

¿Sobra espacio?

. . . .

Si tu respuesta es

afirmativa, utiliza los resultados de la ficha anterior para dar la respuesta exacta.

¿Cuántos C caben en el Tm?

. . . .

Imagínate que el C representa la superficie de un

parque y el Tm la superficie de una plaza. ¿Dónde crees que tendrías más espacio para jugar? ¿Por

qué?

. . . . . . . .

¿Cuántos C caben es R?

. . . .

¿Qué relación observas entre estas tres piezas?

(8)

Actividad 4.

En una ficha anterior has construido con todas las piezas del tangram cuatro figuras

de diferente forma (cuadrado, triángulo, rectángulo y hexágono). Todas tienen la misma área. Decimos

entonces que son

figuras equivalentes

.

Construye con tu tangram las siguientes figuras:

CUADERNOS DE

AULA

143

Utilizando el Tp como unidad de medida calcula el área de cada una de ellas.

Haz lo misma utilizando el C como unidad.

¿Podríamos decir que las figuras son equivalentes?

. . . .

¿Por qué?

. . . . . . . .

(9)

Actividades de plegado de papel

Actividad 1.

1. Construye un cuadrado de papel y dóblalo por la mitad haciendo coincidir un lado con otro (mira

la figura) y vuelve a doblarlo por la mitad, de la misma forma que antes.

CUADERNOS DE

AULA

144

Desdóblalo y córtalo por los dobleces; obtenemos cuatro tiritas iguales.

2. Si colocamos los rectángulos en dos filas, obtenemos un rectángulo. ¿Tiene el mismo perímetro

que el cuadrado inicial?

. . . .

¿Y la misma área?

. . . .

3. Si los ponemos en una sola fila, el nuevo rectángulo ¿tiene el mismo perímetro que el cuadrado?

. . . .

¿Y la misma área?

. . . .

(10)

Actividades con los pentaminos

Actividad 1.

Sobre la cuadrícula para pentaminos mide cuántos cuadrados tiene cada uno, es decir,

su área, y mide el perímetro. Rellena el siguiente cuadro:

CUADERNOS DE

AULA

145

Pentamino número

Área

Perímetro

1

unidades cuadradas

unidades

2

u

2

u

3

u

2

u

4

u

2

u

5

u

2

u

6

u

2

u

7

u

2

u

8

u

2

u

9

u

2

u

10

u

2

u

11

u

2

u

12

u

2

u

Se dice que DOS FIGURAS SON EQUIVALENTES SI TIENEN LA MISMA ÁREA.

DOS FIGURAS SON ISOPERIMÉTRICAS SI TIENEN EL MISMO PERÍMETRO.

¿Son todos los pentaminos figuras equivalentes?

. . . . . . . .

¿Son todos los pentaminos figuras isoperimétricas?

(11)

Actividad 2.

Utiliza solamente dos pentaminos para construir las siguientes figuras.

CUADERNOS DE

AULA

146

A

B

C

Rellena el siguiente cuadro:

Área

Perímetro

Figura A

u

2

u

Figura B

u

2

u

Figura C

u

2

u

Construye figuras equivalentes a estas. ¿Son isoperimétricas?

. . . . . . . .

Actividad 3.

Utiliza solamente cuatro pentaminos para construir todos los posibles rectángulos.

Represéntalos sobre la cuadrícula.

¿Cuántos hay?

. . .

¿Tendrían el mismo perímetro?

. . .

Calcúlalos

. . . .

¿Tendrían la misma área?

. . .

¿Por qué?

. . . .

. . . . . . . .

(12)

Actividades con el geoplano

Actividad 1.

Construye en tu geoplano las siguientes figuras y calcula su área y su perímetro.

CUADERNOS DE

AULA

147

Fig. 1

Fig. 4

Fig. 2

Fig. 3

Área

Perímetro

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Completa la siguiente tabla:

¿Cuáles son equivalentes?

. . .

¿Cuáles son isoperimétricas?

. . .

Actividad 2.

Observa que si quieres hallar áreas de triángulos en el geoplano, puedes hacerlo teniendo

en cuenta las figuras:

Área de A = — unidades cuadradas

1

2

Área de B = — = 2 unidades cuadradas

4

2

(13)

Actividad 3.

Calcula el área de las siguientes figuras. Indica cuáles tienen la misma área y cuáles el

mismo perímetro.

CUADERNOS DE

AULA

148

Fig. 1

Fig. 3

Fig. 2

Fig. 4

Actividad 4.

Construye en tu geoplano cinco figuras que tengan la misma área pero formas

distin-tas, y dibújalas en el papel punteado.

(14)

Área con unidades convencionales

Juegos de cuadrados

Construyen en un papel un decímetro cuadrado (dm

2

).

¿Cuántos dm

2

crees que medirá tu mesa?

. . . .

Con el dm

2

que has construido, calcula el área de la mesa.

Haz lo mismo con el cuaderno y con el libro. Primero estima la medida y después calcúlala.

CUADERNOS DE

AULA

149

1 dm

2

¿Obtienes un número exacto de dm

2

?

. . . .

¿Cómo crees que podemos medir lo que falta?

. . . . . . . .

Para poder cubrir toda la superficie de la mesa, el cuaderno, el libro…, necesitamos dividir el dm

2

.

Para ello, fracciona cada lado del dm

2

en diez partes iguales, cuadricula el dm

2

y recórtalo.

¿Cuántos cuadraditos has obtenido?

. . . .

Cada uno de estos cuadraditos se llama

. . . .

Con estos cuadraditos, termina de cubrir la superficie de los objetos que faltaba, y completa la

siguiente tabla:

Mesa

. . . .

dm

2

y

. . . .

cm

2

Cuaderno

. . . .

dm

2

y

. . . .

cm

2

(15)

Actividades con papel centrimetrado transparente

Calcula el área de las siguientes figuras utilizando el papel centrimetrado transparente.

CUADERNOS DE

AULA

150

Área =

. . .

cm

2

.

Área =

. . .

cm

2

.

(16)

Rectángulos

Área del rectángulo. Obtención de la fórmula

Actividad 1

CUADERNOS DE

AULA

151

Rellena el siguiente cuadro:

Área (u

2

)

Largo (u)

Ancho (u)

Figura A

Figura B

Figura C

Figura D

Figura F

¿Cómo podrías calcular el área de todos los rectángulos sin tener que contar los cuadrados que lo

componen?

. . . . . . . .

Fig. A

Fig. B

Fig. C

Fig. D

Fig. E

(17)

Actividad 2.

Calcula el área de las siguientes figuras.

CUADERNOS DE

AULA

152

A

2 cm

3 cm

5 cm

8 cm

8 cm

6 cm

3 cm

7 cm

B

D

F

E

C

2 cm

Área

A

=

. . . .

cm

2

Área

D

=

...

cm

2

Área

B

=

. . . .

cm

2

Área

E

=

...

cm

2

Área

C

=

. . . .

cm

2

Área

F

=

...

cm

2

Escribe una fórmula general que te permita calcular siempre el área de cualquier rectángulo:

(18)

Variación del área de rectángulos que tienen igual perímetro

Actividad 1.

Une con un nudo los extremos de una cuerda. Aguántala ahora entre el pulgar y el

índice de las dos manos, manteniéndola

bien tirante,

formando así un rectángulo (mira la figura).

CUADERNOS DE

AULA

153

Si separas o unes los dedos a la vez, se formarán diferentes rectángulos. ¿Tendrán todos el mismo

perímetro? ¿Por qué?

. . . . . . . .

¿Tendrán todos la misma área? ¿Por qué?

. . . .

Construye ahora en cartulina posibles rectángulos de perímetro 36 cm, y recórtalos

disponiéndo-los como las hojas de una libreta sobre un folio.

Une los vértices libres de los rectángulos. ¿Qué línea obtienes?

. . . . . . . .

Actividad 2.

Escribe en la tablas siguiente el largo y el ancho de cada uno de los rectángulos

recor-tados según las indicaciones de la actividad anterior.

¿Qué relación observas entre X, Y, S? Escríbela.

. . . . . . . .

. . . . . . . .

Supongamos ahora que el perímetro (largo de la soga) es de 32 cm. Haz una tabla como la anterior

y escribe la relación entre X, Y, S.

Representa ahora sobre unos ejes esta relación. ¿Qué observas?

. . . . . . . .

(19)

Variación del perímetro de rectángulos que tienen igual área

Actividad 1.

Construye con cartulina diferentes rectángulos que tengan de área 36 cm

2

(largo x

ancho = 36 cm

2

).

¿Son isoperimétricos? ¿Y equivalentes?

. . . . . . . .

¿Cuál es el que tiene menos perímetro? ¿Por qué? (Puedes ayudarte de los minos, aunque el área sea

de 36 minos).

. . . . . . . .

. . . . . . . .

Disponiendo los rectángulos sobre un folio, como las hojas de una libreta, y uniendo los vértices

libres con un lápiz, se obtiene una línea. Su nombre es

Hipérbola.

Actividad 2.

¿Son equivalentes el cuadrado y el rectángulo de la siguiente figura? ¿Por qué?

. . . . . . . .

¿Son isoperimétricos? ¿Por qué?

. . . . . . . .

CUADERNOS DE

AULA

154

Haz en tu geoplano varios rectángulos isoperimétricos y estudia sus áreas (utiliza elásticos de

dis-tintos colores).

Haz en tu geoplano varios rectángulos equivalentes y estudia su perímetro. Representa lo que hiciste

en las figuras siguientes.

(20)

Actividad 3.

Con doce cuadrados unidad (cm

2

), ¿cuántos rectángulos podemos construir colocando

los cuadrados de diferente manera?

¿Qué longitudes tienen el largo y el ancho de estos rectángulos?

. . . . . . . .

¿Tienen todos el mismo perímetro?

. . . .

¿Habrá alguno que tenga 5 cuadrados unidad (cm

2

) en la base? ¿Por qué?

. . . . . . . .

Para los siguientes problemas puedes valerte de los materiales que quieras:

1. Un rectángulo tiene 24 cm de perímetro y una de las dimensiones es 9 cm. Determina la longitud

de la otra dimensión.

2. Un rectángulo tiene un área de 18 cm

2

y una de las dimensiones es 3 cm. Determina el perímetro.

3. ¿Si elegimos dos rectángulos de 28 cm de perímetro, ¿resultan siempre iguales sus áreas?

CUADERNOS DE

AULA

(21)

Actividad 4.

Juego de áreas y perímetros

Este es un juego para dos personas. Uno de los jugadores, jugador A, dibuja sobre la cuadrícula una

figura de 12 cm

2

de área, pintándola de rojo y anotando en la tabla el perímetro obtenido.

El otro jugador, jugador B, dibuja otra figura de 12 cm2 de área con la condición de que toque a la

dibujada por el A, pintándola de azul y anotando en la tabla su perímetro.

Se continúa así hasta completar la cuadrícula.

Ganará el jugador que haya obtenido el perímetro total más pequeño.

CUADERNOS DE

AULA

156

Jugador A

Jugador B

CUADRÍCULA

(22)

El cuadrado como rectángulo particular

Actividad 1.

Calcular el área de las siguientes figuras:

CUADERNOS DE

AULA

157

4 cm

4 cm

6 cm

6 cm

4 cm

4 cm

3 cm

Actividad 2.

Uniendo los extremos de una cuerda y aguantándola entre los dedos pulgar e índice,

ya habías visto que se formaban diferentes rectángulos. ¿Podrías obtener un cuadrado? ¿En qué caso?

. . . . . . . .

. . . . . . . .

Sabiendo ya la fórmula para calcular el área del rectángulo, ¿sabrías hallar el área de cualquier

cua-drado?

. . . . . . . .

Escribe esa fórmula:

(23)

Actividad 3.

Con los cuadrados unidad (cm

2

) que ya tienes construidos en cartulina, si quiero

dupli-car el lado, ¿cuántos cuadrados unidad necesitaré? ¿Cuál es el área del nuevo cuadrado?

. . . . . . . .

¿Si triplicamos el lado?

. . . . . . . .

¿Si lo cuadriplicamos?

. . . . . . . .

¿Si lo quintuplicamos?

. . . . . . . .

¿Podrías relacionar esto con la fórmula del área del cuadrado?

. . . . . . . .

Haz lo mismo con el geoplano.

Problemas

1. Un cuadrado tiene de área 16 cm

2

. Determina el perímetro. Si el área fuera 25 cm

2

, ¿cuál sería su

perímetro? ¿Y si fuera 36 cm

2

?

2. Un señor tiene un terreno cuadrado de 600 m de perímetro, mientras que otro señor tiene uno

rectangular del mismo perímetro, siendo la base de éste el triple del ancho. El dueño del terreno

rectangular propone al otro cambiarlo, ¿le interesa el cambio? ¿Ocurre siempre lo mismo con

cualquier rectángulo y cualquier cuadrado con el mismo perímetro?

Haz un modelo de este problema con cartulina, de tal manera que cada cm de cartulina sea 10

metros de la realidad, comprobando las respuestas que has dado.

CUADERNOS DE

AULA

(24)

Actividad 4.

Dado un cuadrado cualquiera, obtén a partir de él otro que tenga de área la mitad.

Platón cuenta que este problema le fue planteado a un esclavo y que, con las indicaciones que le iba

dando, fue capaz de resolverlo. El esclavo, en esa época, no sabía de matemáticas.

Triángulos

Área del triángulo. Obtención de la fórmula a partir del rectángulo

Actividad 1.

Construye en tu geoplano el rectángulo A.

CUADERNOS DE

AULA

159

¿Cuál es su área?

. . . .

Construye ahora los triángulos que ves abajo, con elásticos de distintos colores.

¿Cuál es el área del triángulo B?

. . . .

¿Cuál es el área del triángulo C? . . . .

¿Cuál es el área del triángulo D?

. . . .

Observa que el área del triángulo B es:

¿Ocurre lo mismo para los demás triángulos?

. . . .

A

B

C

altura

Área

B

=

Área rectángulo

2

altura

D

(25)

Actividad 2.

En la actividad anterior has calculado el área de diferentes triángulos. En esos casos

podemos decir que:

CUADERNOS DE

AULA

160

Área del triángulo =

...

x

. . . .

2

Construye ahora en tu geoplano los siguientes triángulos:

Calcula el área de esos triángulos y comprueba que la expresión (fórmula) que permite calcular el

área del triángulo es válida.

Actividad 3.

Calcula el área de las siguientes figuras:

2.5 cm

5 cm

4 cm

9 cm

9 cm

1.5

cm

1.

4.

6.

5.

2.

3.

5 cm

3 cm

2.5 cm

3 cm

4 cm

2 cm

3 cm

2 cm

2 cm

3.2 cm

3.5 cm

(26)

Variación del perímetro de triángulos de igual área. El triángulo isósceles

Actividad 1.

Dibuja varios de los triángulos que va obteniendo el profesor al mover la anilla del

dis-positivo que te presenta.

CUADERNOS DE

AULA

161

¿Qué tienen en común todos los triángulos?

. . . . . . . .

¿Todos los triángulos que se forman son equivalentes? ¿Por qué?

. . . . . . . .

. . . . . . . .

¿Son todos isoperimétricos? ¿Por qué?

. . . . . . . .

. . . . . . . .

¿Cuál es el que tiene menor perímetro?

(27)

Actividad 2.

Construye el avión de la figura.

CUADERNOS DE

AULA

162

3 cm

2 cm

5 cm

3 cm

10 cm

Pieza 1

1

2

3

Timón

Alerones

Pieza 3

Pieza 2

2 cm

2 cm

4 cm

3 cm

(28)

Variación del área de triángulos de igual perímetro

Actividad.

Dibuja sobre una cartulina una recta justo por la mitad, pegándola a continuación sobre

un trozo de madera.

Clava sobre dicha línea dos clavos tal y como se ve en la figura:

CUADERNOS DE

AULA

163

Ata los dos extremos de un hilo mayor que la distancia entre las chinchetas y, manteniéndolo

siem-pre tenso, con un bolígrafo dibuja la figura ovalada que ves abajo.

La figura que obtienes se llama

elipse.

Si ralentizamos la construcción de la figura, van apareciendo muchos triángulos.

¿Qué le ocurre a sus áreas?

. . . . . . . .

¿Qué triángulo es el de área máxima?

. . . .

¿Cuál es el de área mínima?

. . . . . . . .

(29)

Romboides o paralelogramos

Área del romboide. Obtención de la fórmula a partir del rectángulo

Actividad 1.

Construye con las tiras del mecano un rectángulo que tenga de dimensiones 5 cm y 15 cm.

¿Cuál es su perímetro? ¿Cuál es su área?

. . . . . . . .

. . . . . . . .

Si ahora vas estirando una de las puntas, obtendrás diferentes romboides (observa la figura).

CUADERNOS DE

AULA

164

¿Cambiará el perímetro de cada una de los romboides? ¿Por qué?

. . . . . . . .

. . . . . . . .

¿Y el área? ¿Por qué?

. . . . . . . .

(30)

Actividad 2.

Dibuja sobre una cartulina los romboides siguientes y calcula su área contando

cua-drados.

CUADERNOS DE

AULA

165

A

B

C

D

E

Área de A =

. . . .

cm

2

Área de B =

. . . .

cm

2

Área de C =

. . . .

cm

2

Área de D =

. . . .

cm

2

Área de E =

. . . .

cm

2

(31)

Actividad 3.

Vamos a buscar otra forma para calcular el área de cualquier romboide.

Recorta el romboide A dibujado en la cartulina usada en la actividad anterior.

Traza la línea de puntos que ves en la figura de abajo, corta y coloca el triángulo obtenido al otro

lado:

CUADERNOS DE

AULA

166

Base

Altura

¿Qué figura tienes ahora?

. . . . . . . .

Calcula el área.

Haz lo mismo con todos los romboides dibujados en la cartulina.

Comprueba que el área del romboide se calcula multiplicando la base por la altura.

Área del romboide = Base x Altura

(32)

Actividad 4.

Calcula el área y el perímetro de los romboides siguientes.

Indicación:

Para calcular la altura puedes utilizar la escuadra o el cartabón:

CUADERNOS DE

AULA

167

¿Hay algunos isoperimétricos? ¿Y equivalentes?

. . . . . . . .

Área A =

. . .

Perímetro A =

. . .

Área B =

. . .

Perímetro B =

. . .

Área C =

. . .

Perímetro C =

. . .

(33)

Variación del perímetro de romboides que tienen igual el área. El rectángulo como romboide de

menor perímetro

Actividad.

Dibuja alguno de los romboides que va obteniendo el profesor al realizar los movimientos

que hace en el dispositivo móvil.

CUADERNOS DE

AULA

168

¿Qué tienen en común todos los romboides?

. . . . . . . .

¿Son todos los romboides que se forman equivalentes? ¿Por qué?

. . . . . . . .

. . . . . . . .

¿Son todos isoperimétricos? ¿Por qué?

. . . . . . . .

. . . . . . . .

¿Cuál es el que tiene menor perímetro?

(34)

Trapecios

El área del trapecio. Obtención de la fórmula a partir del rectángulo

Actividad 1.

Utilizando cuatro barras de mecano, construye diferentes tipos de trapecios y

dibúja-los (recuerda que todos dibúja-los trapecios deben tener un par de lados paraledibúja-los).

Observa la viñeta siguiente. ¿Qué conclusión puedes sacar?

CUADERNOS DE

AULA

169

. . . . . . . .

. . . . . . . .

Actividad 2.

Dibuja sobre la cartulina los siguientes trapecios y calcula su área contando los

cua-drados.

A

Área de A =

. . .

Área de C =

. . .

Área de D =

. . .

Área de B =

. . .

B

C

D

(35)

Actividad 3.

Vamos a buscar otra forma para calcular el área de cualquier trapecio.

Recorta el trapecio A dibujado en la cartulina para hacer la actividad anterior.

Traza una línea paralela a la base, exactamente a la mitad (puedes encontrarla doblando la

cartu-lina).

CUADERNOS DE

AULA

170

Base menor

Base menor

Base mayor

Base mayor

Altura

Cortar por la línea punteada y colocar los dos trapecios obtenidos, uno a continuación del otro.

Altura

2

¿Qué figura tienes ahora?

. . . . . . . .

Calcula el área.

Haz lo mismo ahora con todos los trapecios de la actividad anterior.

Comprueba que el área del trapecio se calcula multiplicando la semisuma de las bases por la altura.

Área del trapecio =

Base mayor + Base menor

Altura

2

(36)

Actividad 4.

Calcula el área de los siguientes trapecios.

CUADERNOS DE

AULA

171

5 cm

18 cm

9 cm

5 cm

7 cm

12 cm

14 cm

8 cm

6 cm

7 cm

8 cm

10 cm

A

C

D

B

Área de A =

. . .

Área de B =

. . .

Área de C =

. . .

Área de D =

. . .

(37)

Variación del perímetro de trapecios que tienen igual área

Actividad.

Dibuja alguno de los trapecios que va obteniendo el profesor al realizar los

movimien-tos que hace con el dispositivo móvil.

CUADERNOS DE

AULA

172

¿Qué tienen en común todos los trapecios?

. . . . . . . .

¿Son todos los trapecios que se forman equivalentes? ¿Por qué?

. . . . . . . .

. . . . . . . .

¿Son todos isoperimétricos? ¿Por qué?

. . . . . . . .

. . . . . . . .

¿Cuál es el que tiene el menor perímetro?

(38)

Rombos

Área del rombo. Obtención de la fórmula a partir del rectángulo

Actividad 1.

Construye con las barras de mecano un cuadrado que tenga de lado 7 cm.

¿Cuál es su perímetro?

. . . . . . . .

¿Cuál es su área?

. . . . . . . .

Si ahora estiras por una de las puntas, obtendrás diferentes rombos (observa la figura).

CUADERNOS DE

AULA

173

¿Cambiará el perímetro de cada uno de los rombos? ¿Por qué?

. . . . . . . .

¿Y el área? ¿Por qué?

. . . . . . . .

Actividad 2.

Dibuja sobre la cartulina los siguientes rombos y calcula su área contando cuadrados.

Área de A =

. . . .

Área de B =

. . . .

Área de C =

. . . .

Área de D =

. . . .

Área de E =

. . . .

Área de F =

. . . .

A

B

D

E

C

F

(39)

Actividad 3.

Vamos a buscar otra forma para calcular el área de cualquier rombo.

Recortar el rectángulo que contiene al rombo E dibujado en la cartulina para hacer la actividad

anterior.

Recorta ahora el rombo por la línea de puntos. Obtienes cuatro triángulos, que puedes reunir

for-mando un rombo igual al E. Hazlo.

CUADERNOS DE

AULA

174

¿Cuál es el área del rectángulo?

. . . . . . . .

¿Cuál es el área de los dos rombos?

. . . . . . . .

¿Y el de uno sólo?

. . . . . . . .

Haz lo mismo con todos los rombos dibujados en la cartulina.

Comprueba que el área del rombo se calcula multiplicando la diagonal mayor por la diagonal menor

y dividiendo por dos.

(40)

Actividad 4.

Calcula el área de las siguientes figuras:

CUADERNOS DE

AULA

175

Área de A =

. . . .

Área de B =

. . . .

Área de C =

. . . .

Área de D =

. . . .

Área de E =

. . . .

Actividad 5.

Construye el dispositivo que ves en la figura:

Moviendo las diagonales, van apareciendo diferentes romboides.

¿Tienen todos el mismo perímetro? ¿Y la misma área?

. . . . . . . .

¿Podrías formar un rombo? ¿Y un cuadrado?

. . . . . . . .

¿Qué le ocurre a las diagonales?

. . . . . . . .

4 cm

6 cm

15 cm

24 cm

A

B

D

E

C

2 cm

(41)

Polígonos

Actividad.

Calcula el área de los siguientes polígonos contando los cuadrados. Escribe el nombre

de cada una de las figuras.

CUADERNOS DE

AULA

176

Área de A =

. . . .

Área de B =

. . . .

Área de C =

. . . .

Área de D =

. . . .

Área de E =

. . . .

Área de F =

. . . .

¿Qué ocurre con la figura C?

. . . . . . . .

A

D

E

F

(42)

Área de un polígono regular

Actividad 1.

Vamos a buscar una forma para poder calcular el área de la figura C de la actividad

anterior y que nos sirva para cualquier polígono regular.

CUADERNOS DE

AULA

177

Para ello lo primero que vas a hacer es triangular el hexágono de la siguiente manera:

¿Cuántos triángulos se obtienen?

. . . .

Recórtalos y pégalos uno a continuación del otro.

C

Apotema

Altura del triángulo =

apotema del polígono

Base = lado del hexágono

Base

¿Podrás calcular el área del hexágono ahora? ¿Cómo?

. . . . . . . .

Área del hexágono = 6 veces el área del triángulo.

Área del hexágono = 6 x

base x altura

2

Área del hexágono =

perímetro x apotema

2

Como la base del triángulo es el lado del hexágono, 6 veces la base es el perímetro de la figura

(recuerda que la altura del triángulo corresponde a la apotema del polígono).

El área de un polígono regular se obtiene multiplicando el perímetro por la apotema y dividiendo

por dos.

(43)

Actividad 2.

Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras regulares utilizando esta

expre-sión:

CUADERNOS DE

AULA

178

7.6 cm

A =

. . . .

P =

. . . .

A =

. . . .

P =

. . . .

A =

. . . .

P =

. . . .

A =

. . . .

P =

. . . .

2 cm

r = 2.2 cm

a = 1.7 cm

a = 2.2 cm

r = 2 cm

r = 2.4 cm

Área =

p x a

2

¿Hay algunos que sean isoperimétricos?

. . . .

(44)

Área de un polígono cualquiera

Actividad 1.

No todos los polígonos son regulares. Observa la figura A:

CUADERNOS DE

AULA

179

4 cm

6 cm

A

4 cm

2 cm

¿Por qué no es un polígono regular?

. . . . . . . .

En la actividad anterior, para calcular el área de un polígono regular triangulábamos la figura desde

el centro. ¿Podrías hacerlo ahora?

. . . . . . . .

La forma más sencilla de calcular el área de un polígono es descomponerlo en el menor número de

polígonos de los que sepamos calcular su área, por ejemplo, como lo hacemos en la siguiente figura:

A

A

1

Área A = Área A

1

+ Área A

2

A

2

Haz ahora otra descomposición distinta y comprueba que coinciden los resultados si hallamos el

área de las dos formas.

(45)

Actividad 2.

Calcula el área de los siguientes polígonos irregulares de la forma que aprendiste en la

actividad anterior.

CUADERNOS DE

AULA

180

A

B

C

D

AA =

. . .

AB =

. . . .

AC =

. . .

AD =

. . . .

Actividad 3.

En la figura 1 se representan dos pentágonos que pueden ser obtenidos mediante un

dispositivo móvil parecido al de actividades anteriores. En la figura 2 son cuadriláteros. Dibuja otros.

E

Fig. 1

Fig. 2

F

D

A

B

C

¿Tendrían todos los pentágonos igual área? ¿Y los cuadriláteros?

. . . . . . . .

¿Tendrían igual perímetro?

. . . . . . . .

(46)

Actividad 4.

Observa los hexágonos de la figura siguiente. Si consideras que está construido con un

hilo, ¿podríamos decir que son equivalentes? ¿Y que son isoperimétricos?

. . . . . . . . . . . . . . . .

CUADERNOS DE

AULA

181

A

F

H

E

D

C

B

¿Qué podrías decir de la curva que une los puntos F y H?

. . . . . . . .

. . . . . . . .

¿Podrías decir cuál es el polígono de área máxima?

(47)

Medida de sólidos: área lateral, área total y volumen

Actividad 1.

Un prisma es un sólido en el espacio que al seccionarlo (o cortarlo en rodajas),

pre-senta iguales sus secciones (o rodajas). Los siguientes cuerpos son prismas:

CUADERNOS DE

AULA

182

Este cuerpo no es un prisma. Es una pirámide:

(48)

SÍ NO

Actividad 2.

Indica (sí o no) cuáles de los siguientes sólidos son prismas:

CUADERNOS DE

AULA

183

a

a

b

b

c

c

f

f

d

d

e

e

h

h

g

g

i

i

j

j

(49)

Actividad 3.

Los prismas que se pueden encontrar son, en general, distintos de los de la actividad

anterior. Por ejemplo, el sólido de la figura:

CUADERNOS DE

AULA

184

Fig. 1

Es un prisma triangular. ¿Por qué se llamará así?

. . . . . . . .

Si los triángulos de las bases son equiláteros, se dirá que es un prisma triangular regular.

Obsérvalo ahora en esta otra posición. Generalmente se llaman bases a las secciones que permiten

formarlo y altura al número de veces que se repite la sección.

Fig. 2

Indica cuáles son sus bases y sus alturas.

Podríamos decir también que la altura del prisma es el segmento trazado perpendicularmente desde

cualquier punto de la base superior hasta el plano de la base inferior.

Señala las bases y las alturas en los prismas de las figuras 1 y 2.

Actividad 4.

¿Qué tipos de prismas son los que aparecen en la figura siguiente?

(50)

Área lateral y área total

Actividad 1.

¿Qué cantidad de cartón necesitarás para construir una caja igual que esta?

CUADERNOS DE

AULA

185

2 cm

2 cm

4 cm

Ahora, si abres la caja, queda:

¿Cómo te resulta más sencillo averiguarlo?

. . . . . . . .

La cantidad necesaria de cartón para construir la caja recibe el nombre de área total del ortoedro.

Actividad 2.

También se podría calcular el área total del ortoedro sin tener que desarrollarlo. Observa

la figura y calcula el área total.

3.4 cm

8.2 cm

5.3 cm

Si en la caja de la actividad anterior quitamos la tapa y el fondo, se necesitará, evidentemente, menos

cartón. Calculando ahora la cantidad de cartón necesaria para construir la caja sin tapa y sin fondo, lo

que se obtiene es la superficie (o área) lateral del ortoedro.

(51)

Actividad 3.

Calcular el área lateral de la siguiente figura (puedes dividirla en dos partes).

CUADERNOS DE

AULA

186

1 cm

2 cm

3 cm

2.5 cm

4 cm

6 cm

Volumen. Introducción al concepto de volumen: concepto dinámico

Actividad 1.

El hombre de la figura 1 está amontonando cajas. Cada capa del montón lleva nueve

cajas.

Fig. 1

Con dos capas, ¿cuántas cajas tenemos?

. . . .

¿Y con tres? ¿Y con cuatro?

. . . . . . . . .

(52)

Actividad 2.

Estima cuántas cajas hay en el montón de la figura:

CUADERNOS DE

AULA

187

¿Cuántas cajas hay en cada capa?

. . . .

¿Cuántas cajas hay en el montón?

. . . .

(53)

Actividad 3.

Fíjate en las figuras siguientes:

CUADERNOS DE

AULA

188

a

b

c

f

d

e

a

b

c

f

d

e

Completa el siguiente cuadro:

Figura

Cajas por

capa

Número de

capas

Número total

de capas

(54)

Actividad 4.

En la siguiente caja de plástico caben tres capas de cubos. ¿Cuántos necesitarías para

llenarla?

CUADERNOS DE

AULA

189

¿Cuántos cubos necesitarás para llenar estas otras cajas?

3

5

(55)

Actividad 5.

Calcular el volumen de un ortoedro es obtener el número de cubos unidad (un

centí-metro de arista) que contiene. Calcula el volumen de los siguientes ortoedros:

CUADERNOS DE

AULA

190

Observa que lo puedes hacer de manera parecida que en las actividades anteriores. ¿Se te ocurre

alguna forma de calcular el volumen del siguiente ortoedro?

3 cm

4 cm

5 cm

Actividad 6.

Recuerda que: el área de un rectángulo se obtiene multiplicando la base por la altura.

Observa en la siguiente figura que, para obtener el área, “la medida de la base recorre la medida de la

altura”.

(56)

Variación del área de figuras equivalentes

Actividad 1.

Observa las siguientes figuras:

CUADERNOS DE

AULA

191

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Puesto que están formadas por el mismo número de cubos (unidades), tienen el mismo volumen. Se

dice que son cuerpos equivalentes.

Rellena el siguiente cuadro:

Estimación Área

Figura 1

u

2

u

2

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Primero hazlo valiéndote de los dibujos, y luego construye las figuras con tu juego de cubos.

Actividad 2.

Con cinco cubos construye cuatro sólidos de distinta área y que sean equivalentes.

Represéntalos:

(57)

Actividad 3.

Con cinco cubos, ¿puedes construir figuras con igual superficie y que no sean

equiva-lentes? Represéntalas.

CUADERNOS DE

AULA

192

Compara esta actividad y la anterior, y saca conclusiones.

Actividad 4.

Calcula el volumen y el área de todas las piezas del cubo SOMA. Recuerda que sus

pie-zas son:

1

5

6

7

2

3

4

Completa el siguiente cuadro:

Área (u

2

) Volumen

(u

3

)

1 u

2

u

3

2

3

4

5

6

7

(58)

Teniendo en cuenta el cuadro anterior, contesta las siguientes cuestiones:

¿Cuáles tienen igual área?

. . . . . . . .

¿Cuáles tienen el mismo volumen?

. . . . . . . .

¿Qué has observado?

. . . . . . . .

Actividad 5.

Utiliza tres piezas del SOMA (distintas de la pieza 1) y construye tres cuerpos

diferen-tes. Represéntalos en el papel punteado.

¿Qué podrías decir de los volúmenes de los tres cuerpos?

. . . . . . . .

. . . . . . . .

¿Qué podrías decir de sus áreas?

. . . . . . . .

. . . . . . . .

CUADERNOS DE

AULA

(59)

Variación del volumen de sólidos de igual área

Actividad 1.

Coge un folio y construye dos ortoedros, dividiéndolo en cuatro partes

horizontal-mente y verticalhorizontal-mente.

¿Tendrían la misma superficie lateral?

. . . .

¿Y el mismo volumen?

. . . . . . . .

CUADERNOS DE

AULA

194

Actividad 2.

Construye los dos ortoedros de la actividad anterior en cartulina. Ponles una base.

Comprueba si sus volúmenes son iguales o no. Para esto puedes utilizar tierra, arena...

Actividad 3.

Construye con tres folios (o trozos de cartulina) del mismo tamaño un prisma

trian-gular, un ortoedro y un prisma pentagonal, dividiéndolo en 3, 4 y 5 partes iguales.

¿Tendrían la misma superficie lateral?

. . . .

¿Y el mismo volumen?

. . . . . . . .

(60)

Actividad 4.

Constrúyelos ahora poniéndoles una base. Comprueba tu respuesta utilizando tierra,

arena...

¿Cuándo podrías obtener un volumen máximo? Razónalo.

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

Volumen y área del cubo. Variación del volumen a medida que varía el lado

Actividad 5.

Observa las siguientes figuras:

CUADERNOS DE

AULA

195

Figura 1

Figura 2

Figura 3

¿Cuál es la medida de la superficie total de cada uno de esto cubos?

Rellena el cuadro siguiente:

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Superficie total

(61)

Actividad 6.

Busquemos ahora una forma sencilla para calcular el área de la superficie de los cubos

anteriores. Para ello, rellena el siguiente cuadro:

CUADERNOS DE

AULA

196

Medida de

Área de

Área total

la arista

cada cara

del cubo

Figura 1

Figura 2

Figura 3

¿Puedes escribir alguna fórmula que te permita calcular siempre el área total de cualquier cubo?

AT

cubo

=

. . . .

Si consideramos ahora que al cubo le quitamos las tapas, ¿cuál sería el área lateral de los cubos de

la actividad anterior?

Busca una fórmula para cualquier cubo.

Actividad 7.

Calcula el área total y lateral de cada uno de los siguientes cubos:

2 cm

(62)

Actividad 8.

Se quiere construir en cartulina un cubo de 8 cm de arista. ¿Qué cantidad de cartulina

necesitas?

Ayúdate de un dibujo.

Actividad 9.

Observa los siguientes cubos:

CUADERNOS DE

AULA

197

1 cm

2 cm

3 cm

Copia y completa la siguiente tabla:

Arista del cubo

Número de cm

3

Si se duplica la arista de un cubo, ¿se duplica el volumen? Razónalo.

¿Y si se triplica la arista?

¿Podrías obtener una fórmula simple para calcular el volumen de cualquier cubo?

V

cubo

=

. . . .

Actividad 10.

¿Podrías encontrar alguna relación entre el volumen de un cubo y el de un ortoedro?

ortoedro

cubo

V

cubo

=

. . . .

V

ortoedro

= a x b x c

a

a

b

c

(63)

Actividad 11.

Calcula el volumen de los siguientes sólidos:

CUADERNOS DE

AULA

198

2 cm

4 cm

Actividad 12.

Rellena el cuadro siguiente observando la figura:

1 cm

2 cm

3 cm

Represéntalo en papel milimetrado con bolígrafo azul.

Lado

Área

1 cm

cm

2

2 cm

3 cm

4 cm

...

a cm

(64)

Actividad 13.

Rellena el cuadro siguiente observando la figura:

CUADERNOS DE

AULA

199

3 cm

2 cm

1 cm

Lado

Área

1 cm

cm

2

2 cm

3 cm

4 cm

...

a cm

Represéntalo en el mismo papel milimetrado que usaste en la actividad anterior, pero con bolígrafo

rojo.

¿Qué puedes observar?

. . . . . . . .

. . . . . . . .

(65)

Actividad 2.

Observa ahora cómo se puede calcular el volumen del prisma.

Cálculo de volúmenes y áreas: prismas y pirámides

Área y volumen del prisma

Actividad 1.

Para calcular el volumen de los siguientes prismas (comprueba que son prismas),

¿pode-mos hacer algo parecido?

CUADERNOS DE

AULA

200

a

b

c

a

b

c

Figura

Cajas por

capa

Número de

capas

Número total

de capas

Rellena el siguiente cuadro:

El área de la sección

es 7 cm

2

Cada banda vertical contiene

7 cm

3

(cubos de 1 cm)

4 cm

4 cm

(66)

CUADERNOS DE

AULA

201

El prisma tiene

4 cm de largo

4 cm

4 cm

7 cm

2

Por tanto, el volumen del prisma

será 7 x 4 = 28 cm

3

Actividad 3.

Calcula el volumen de los siguientes prismas:

a

b

c

f

d

e

(67)

Actividad 4.

Las siguientes figuras son también prismas (regulares). Calcula su volumen:

CUADERNOS DE

AULA

202

4 cm

2

15 cm

8 cm

9 cm

7 cm

2

6 cm

2

Prisma

Volumen

Hexagonal

Pentagonal

Triangular

Actividad 5.

Observa los siguientes prismas regulares desarrollados:

7 cm

Prisma pentagonal

Prisma hexagonal

Ortoedro

3 cm

4 cm

6 cm

7 cm

3.5 cm

4 cm

(68)

Completa la siguiente tabla:

CUADERNOS DE

AULA

203

Área lateral

Área total

Prisma hexagonal

Prisma pentagonal

Ortoedro

Actividad 6.

Vamos ahora a obtener una fórmula para calcular el área total y lateral de un prisma

regular recto. Para ello completa la siguiente tabla.

Lado de

la base

Prisma

hexagonal

Prisma

pentagonal

Ortoedro

Apotema

Área de

la base

Altura

Área

lateral

Área total

Intenta escribir una fórmula para el área lateral:

A

lateral

=

. . . .

x

. . . .

(69)

Área y volumen de la pirámide

Actividad 1.

Se trata de construir una pirámide con todas las aristas iguales. Sigue los pasos que

aparecen dibujados:

CUADERNOS DE

AULA

204

Pliégala y pégala por las solapas.

1

2

3

4

(70)

Actividad 2.

Un desarrollo distinto de la misma pirámide sería éste:

CUADERNOS DE

AULA

205

7 cm

7 cm

7 cm

Sigue los pasos 1, 2 y 3 para construirla:

1

2

3

Constrúyela.

Si unes las dos bases de las dos pirámides, ¿qué sólido obtienes?

. . . . . . . .

Escribe lo que sepas de él.

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

(71)

Actividad 3.

Indica cuáles de estas figuras corresponden a desarrollos de pirámides. ¿Qué

conclu-siones puedes sacar?

CUADERNOS DE

AULA

206

Compruébalo ahora recortando y pegando.

b

c

f

d

e

a

(72)

Actividad 4.

Dibuja en cartulina las siguientes figuras, recórtalas y constrúyelas:

CUADERNOS DE

AULA

207

Rellena con arroz la pirámide de base hexagonal, y vierte su contenido, tantas veces como sea

nece-sario, en el prisma de igual base.

Haz lo mismo con el prisma y la pirámide cuadrangular.

¿Qué observas?

. . . . . . . .

Escribe una fórmula que relacione el volumen de estos sólidos:

V

piramide

=

. . . .

x

. . . .

12 cm

10 cm

12 cm

12 cm

5 cm

5 cm

10 cm

12 cm

(73)

Actividad 5.

Con tres compañeros construye un juego de seis pirámides en cartulina, utilizando el

siguiente modelo:

CUADERNOS DE

AULA

208

Dibuja en un folio el desarrollo de un cubo de 6 cm de arista:

6 cm

6 cm

6 cm

6 cm

6 cm

6 cm

6 cm

6 cm

Sobre cada cuadrado pega las bases de las seis pirámides construidas en la actividad anterior, y

plié-galas formando un cubo (los vértices de las pirámides hacia el interior). ¿Qué relación hay entre el

volu-men de la pirámide y el voluvolu-men del cubo?

. . . . . . . .

. . . . . . . .

Si al lado del cubo lo llamas a

, ¿podrías obtener el volumen de la pirámide dependiendo de

a

? Escribe

tus observaciones.

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

(74)

Actividad 6.

Considera la pirámide desarrollada de la siguiente figura:

CUADERNOS DE

AULA

209

10 cm

12 cm

12 cm

Calcula el área lateral y el área total:

A

lateral

=

. . . .

A

total

=

. . . .

Actividad 7.

Observa la siguiente figura:

13 cm

5 cm

Calcula el área lateral y el área total:

A

lateral

=

. . . .

A

total

=

. . . .

Busca una fórmula general para calcular el área lateral y total de la pirámide.

A

lateral

=

. . . .

A

total

=

. . . .

(75)

Cálculo de volúmenes y áreas de cuerpos de revolución: cilindro y cono

Actividad 1.

Recorta un rectángulo de cartulina y pégalo al lápiz como en el dibujo:

CUADERNOS DE

AULA

210

Hazlo girar sosteniéndolo por la punta.

Imagina la figura que se forma. Dibújala.

Imagina que figura forma y dibújala.

Nombra objetos reales que se parezcan a la figura que dibujaste.

. . . . . . . .

Los objetos anteriores que tienen forma cilíndrica son CILINDROS.

¿Qué forma tiene las bases de los cilindros?

. . . .

¿Cuántas bases tiene un cilindro?

. . . .

Actividad 2.

Toma tu escuadra y sostenla de tal forma que sólo tenga un cateto en contacto con la

mesa. Hazla girar lentamente sosteniéndola por el vértice superior.

Nombra objetos reales que se parezcan a la figura que dibujaste.

. . . . . . . .

Los objetos que tienen forma cónica son CONOS.

Tomando como eje la hipotenusa, haz girar la escuadra, ¿qué observas?

. . . . . . . .

(76)

Actividad 3.

Pega el semicírculo a un lápiz como indica el dibujo:

CUADERNOS DE

AULA

211

Colócalo sobre una mesa y hazlo girar. ¿Qué figura se forma?

. . . .

El lápiz atraviesa a la esfera por su centro, y representa el eje de ésta.

Nombra objetos de forma esférica.

. . . . . . . .

Actividad 4.

Construye dos círculos iguales y recórtalos. Corta elásticos de la misma medida.

Per-fora los bordes de los círculos, y usando los elásticos construye este cuerpo:

¿Qué cuerpo se ha formado?

. . . . . . . .

Su altura es

. . . .

Su generatriz es

. . .

¿Qué relación existe entre la altura y la generatriz de un cilindro?

. . . . . . . .

¿Ocurre lo mismo con el cono? ¿Por qué?

Referencias

Documento similar

Cedulario se inicia a mediados del siglo XVIL, por sus propias cédulas puede advertirse que no estaba totalmente conquistada la Nueva Gali- cia, ya que a fines del siglo xvn y en

El nuevo Decreto reforzaba el poder militar al asumir el Comandante General del Reino Tserclaes de Tilly todos los poderes –militar, político, económico y gubernativo–; ampliaba

De acuerdo con Harold Bloom en The Anxiety of Influence (1973), el Libro de buen amor reescribe (y modifica) el Pamphihis, pero el Pamphilus era también una reescritura y

Habiendo organizado un movimiento revolucionario en Valencia a principios de 1929 y persistido en las reuniones conspirativo-constitucionalistas desde entonces —cierto que a aquellas

b) El Tribunal Constitucional se encuadra dentro de una organiza- ción jurídico constitucional que asume la supremacía de los dere- chos fundamentales y que reconoce la separación

Se hace presente el instrumento a ser aplicado en la empresa CONSUTIC dentro del área de Sistemas informáticos en los servicios de mesa de ayuda mediante un

De hecho, este sometimiento periódico al voto, esta decisión periódica de los electores sobre la gestión ha sido uno de los componentes teóricos más interesantes de la

Ciaurriz quien, durante su primer arlo de estancia en Loyola 40 , catalogó sus fondos siguiendo la división previa a la que nos hemos referido; y si esta labor fue de