EL GIRÓSCOPO. Determinación experimental del momento de inercia del giróscopo y de la velocidad angular de precesión.

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EL GIRÓSCOPO 1. OBJETIVOS

Determinación experimental del momento de inercia del giróscopo y de la velocidad angular de precesión.

2. FUNDAMENTO TEÓRICO.

Un giróscopo es un disco en rotación construido de forma que su eje se puede orientar en cual-quier dirección del espacio. En ausencia de momentos externos, el eje de rotación mantiene constante su orientación, propiedad que permite que el giróscopo sea utilizado en sistemas de navegación automática y de orientación.

El momento angular de un cuerpo que gira en torno a un eje se define como: 

I

L (1)

donde I es el momento de inercia y  su velocidad angular, siendo L paralelo a .

La ecuación fundamental de la dinámica de rotación establece que el momento aplicado a un sólido rígido es igual a la variación de su momento angular:

dt L d

M (2)

Si el momento aplicado al giróscopo M es nulo, su momento angular L no varía y el eje de rota-ción se mantiene en una direcrota-ción fija. Cuando se aplica un momento M a un giróscopo en rotarota-ción el momento angular, L, varía en la misma dirección y sentido que el momento aplicado.

Supongamos que el giróscopo esta inicialmente equilibrado en su posición horizontal ( = 0º) y gi-ra con una velocidad angular, . Al colgar una masa, m, a una distancia, d, del eje vertical Z (ver figura 1), se producirá un momento de módulo:

M = m· g· d (3)

Este momento será perpendicular en todo instante al momento angular L y su efecto consistirá en desviar el vector momento angular en la misma dirección que el momento aplicado. En consecuencia, se producirá un movimiento de precesión alrededor del eje vertical Z con una velocidad angular , mucho más pequeña que la velocidad angular del disco .

Como los vectores L y M son perpendiculares en todo momento, el módulo de L no varía, pero sí varía continuamente su dirección y sentido en la dirección del vector M produciendo el giro en el plano horizontal con la citada velocidad angular, .

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Velocidad Angular de Precesión

Para pequeños cambios en el ángulo de giro (d), se puede considerar que:

dL=Ld (4)

Figura 1. Movimiento de Precesión

Sustituyendo las expresiones (3) y (4) en las expresiones (1) y (2), se obtiene que la velocidad angu-lar de precesión, , viene dada por:

           I d g m I L dt d L d g m (5)

Junto con el movimiento de precesión, el giróscopo realiza un movimiento de nutación que consis-te en una oscilación en el eje vertical. Esconsis-te movimiento se explica a partir de la necesidad de que el girósco-po descienda para llevar a cabo el movimiento de precesión. En el momento de soltar el giróscogirósco-po, el des-censo produce una disminución de energía potencial necesaria para que adquiera la velocidad de traslación propia del movimiento de precesión.

Momento de Inercia del Disco

Para determinar el momento de inercia del disco, aplicaremos al disco un momento conocido, M, que producirá una aceleración angular α.

M = I · α (6)

Si M corresponde al momento producido por una pesa, que cae unida a un hilo enrollado en una polea solidaria con el disco 

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Sabemos que: a F r I r a 2     (8)

Aplicando la segunda ley de Newton:

m g – F = m a  F = m (g − a) (9)

La aceleración de la masa se determina midiendo el tiempo que tarda ésta en caer una determinada distan-cia vertical z, partiendo del reposo:

2 t z 2 a (10) 3. MATERIAL

- Giróscopo: mdisco+polea=1,72 kg, Ddisco=0, 25 m, dpolea=0,058 m - Juego de pesas y portapesas.

- Polea. - Cronómetro - Soportes

- Nueces y varillas

4. EXPERIMENTACIÓN

4.1 Determinación del Momento de Inercia del Giróscopo

Fijen el eje del giróscopo (disco) en posición horizontal, ayudándose de la varilla vertical:

Figura 2. Dispositivo Experimental z

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Enrollen el hilo en la polea del disco, pasen el hilo a través de otra polea auxiliar, tal y como apare-ce en la figura 2, y cuelguen del extremo un portapesas con el número de pesas que deseen. Midan el tiem-po que tarda en desplazarse la masa una determinada distancia vertical

partiendo del reposo

.

Repitan la medida y apunten el tiempo medio, t .

Realicen dos veces la experiencia utilizando diferentes valores para las masas.

Calculen el valor del momento de inercia, a partir de la expresión (8), y comparen su valor con el momento de inercia teórico del disco. Indiquen el error relativo cometido.

masa (kg) t1 (s) t2 (s) t(s) a (m·s-2) F (N) Iexperimental Iteórico Er %

4.2 Velocidad Angular de Precesión.

Equilibren el eje del giróscopo (disco) de forma que quede horizontal, desplazando y fijando los contrapesos del eje. Ajusten primero el contrapeso mayor y utilicen el menor para un ajuste fino. Una for-ma de comprobar que está equilibrado es hacer girar el disco sobre su eje y observar que no realiza ningún movimiento de precesión alrededor del eje vertical Z.

Saquen el tornillo del extremo del eje horizontal que está más próximo al disco y añadan una masa. Sujeten con la mano el eje, manteniéndolo en posición horizontal, y comuniquen con suavidad un movi-miento de giro al disco, de forma que su velocidad angular sea medible. Al soltar el eje comenzará el mo-vimiento de precesión. Midan el tiempo que el sistema tarda en dar un determinado número de revolucio-nes alrededor del eje vertical Z (T1). Determinen el período y la velocidad angular de precesión, 1. Simultáneamente y con un segundo cronómetro midan el tiempo que tarda el disco en dar un determinado número de revoluciones. Determinen el período (T2) y la velocidad angular del disco, .

Conocidos los valores de , I y d (distancia del eje de giro a la masa añadida) se puede obtener también el valor la velocidad angular de precesión a partir de la expresión (5), 2.

Realicen el experimento para 2 masas diferentes, y determinen en cada caso el error cometido entre los dos valores de la velocidad angular de precesión calculados.

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Para la realización de los gráficos pueden utilizar “Excel” u otra hoja de cálculo.

En todos los ordenadores del laboratorio está instalada la hoja de cálculo “Excel” y el procesa-dor de datos “Word”. Todos los ordenaprocesa-dores se encuentran en red con una impresora, ubicada en el laboratorio, disponible para la impresión de los datos y gráficos que deseen.

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Referencias

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