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GENERALIZACIÓN: Observa la construcción de arriba y completa la tabla siguiente:
IDENTIDAD: Comprueba que la balanza de la izquierda contiene los mismos objetos en los dos platillos.
Comprueba también que la igualdad 2(x3) 2x6 se cumple para cualquier valor de x.
Por ejemplo, para x5:
2(x 3) 2(5 3) 28 16 2x 6 25 6 10 6 16
ECUACIÓN: ¿Cuántas canicas sustituyen al cubo de la balanza de la derecha? ¿Cuál ha de ser el valor de x para que se cumpla la igualdad x 3 8? x debe tomar el valor 5.
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TE CONVIENE RECORDAR
1
Calcula de dos formas diferentes:N.º DE PISOS 1 1 2 4 3 9 4 5 8 10 … … n N.º DE BLOQUES N.º DE PISOS 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 8 64 10 100 … … n n2 N.º DE BLOQUES a) 4 · (6 – 2) b) 5 · (8 – 6 + 4) c) 2 · 3 + 2 · 7 d) 3 · 6 – 3 · 8 + 3 · 4 a) 4 · (6 – 2) = 4 · 4 = 16 4 · (6 – 2) = 4 · 6 – 4 · 2 = 24 – 8 = 16 b) 5 · (8 – 6 + 4) = 5 · 6 = 30 5 · (8 – 6 + 4) = 5 · 8 – 5 · 6 + 5 · 4 = 40 – 30 + 20 = 30 c) 2 · 3 + 2 · 7 = 6 + 14 = 20 2 · 3 + 2 · 7 = 2 · (3 + 7) = 2 · 10 = 20 d) 3 · 6 – 3 · 8 + 3 · 4 = 18 – 24 + 12 = 6 3 · 6 – 3 · 8 + 3 · 4 = 3 · (6 – 8 + 4) = 3 · 2 = 6
2
Expresa como una suma: 3(ab)3(a b) 3a 3b
3
Expresa como un producto: 3a3b3a 3b3(a b)
4
Calcula:5
Calcula:6
Simplifica: a) b) c) d) a) b) c) d) 4554 45 : 954 : 9 56 3 7 12 : 4 28 : 4 12 28 1 4 6 : 6 24 : 6 6 24 2 3 10 : 5 15 : 5 10 15 45 54 12 28 6 24 10 5 a) 8 – (4 – 7) b) 15 – (13 – 4 + 2) c) 12 – (6 – 9) + (5 – 7) d) –1 + (–3 + 2) – (5 – 2) a) 8 – (4 – 7) = 8 + 3 = 11 b) 15 – (13 – 4 + 2) = 15 – 11 = 4 c) 12 – (6 – 9) + (5 – 7) = 12 + 3 – 2 = 13 d) –1 + (–3 + 2) – (5 – 2) = –1 – 1 – 3 = –5 a) 10 : 2 – 5 · (8 – 10) b) 6 · (3 – 4 – 1) – 18 : (2 + 8 – 4) a) 10 : 2 – 5 · (8 – 10) = 5 – 5 · (–2) = 5 + 10 = 15 b) 6 · (3 – 4 – 1) – 18 : (2 + 8 – 4) = 6 · (–2) – 18 : 6 = –12 – 3 = –15PÁGINA 119
1
Llamando n a un número natural cualquiera, escribe: a) Los dos números naturales que le siguen.b) La suma de los tres.
2
Completa:3
Escribe una fórmula que relacione la superficie de un triángulo, S, con la ba-se, b, y la altura, a, del mismo.4
Escribe una identidad que exprese la propiedad conmutativa de la suma:“El orden de los sumandos no altera el resultado.”
a b b a
5
Separa las identidades de las ecuaciones:6
Escribe una ecuación para cada uno de los enunciados siguientes:a) Si a un número se le restan 3 unidades y el resultado se divide entre 2, se obtiene 15. a) n+ 1, n+ 2 b) n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 1 2 3 4 5 10 15 … n 3 6 9 45 … 1 2 3 4 5 10 15 … n 3 6 9 12 15 30 45 … 3n S= a· b 2 a) a· (b· c) = (a· b) · c b) a+ 2 = 7 c) 2a+ b= 3b– 6 d) a(b+ c) = a· b+ a · c e) 5a– 3 = 2a f ) 2(a+ 1) = 2a+ 2 Identidades → a), d), f ) Ecuaciones → b), c), e)
2x; –5a3; x y3; 1 a2b2
5 2
3 b) La suma de un número y su siguiente es 41.
c) La edad de Montse es doble que la de su hermano Gorka y entre ambos igualan los 15 años de Federico, el mayor de los hermanos.
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1
Indica el grado de cada monomio:¿Hay algún par de monomios semejantes?
Los grados son 1, 3, 4 y 4, respectivamente. No hay ningún par de monomios semejantes.
2
Reduce las siguientes expresiones:PÁGINA 121
3
Reduce: a) = 15 b) x+ x+ 1 = 41 c) 2x+ x= 15 x– 3 2 a) 7a– 5a b) 3x+ 5x– 4x c) 5x– 2 + 3x+ 7 d) 6x2– 3x2+ 4x– 5x e) 3a– (1 + 2a) f ) (a+ 1) – (a– 1) a) 2a b) 4x c) 8x+ 5 d) 3x2– x e) a– 1 f ) 2 a) 3x· 2x b) 5x· x2 c) (–2x) · 4x2 d) 2ab· 3a e) 3ab· (–5ab) f ) a2b· b2a a) 6x2 b) 5x3 c) – 8x3 d) 6a2b e) –15a2b2 f ) a3b34
Reduce:5
Opera y reduce:PÁGINA 122
1
Indica el grado de cada polinomio:2
Calcula el valor numérico del polinomio x3–6x28 para: a) 8a: 4a b) 6x2: 3x c) 5x: 15x3 d) 8ab: 2ab e) 3a2b3 : 6ab f ) 4ab2: 4a2b a) 2 b) 2x c) d) 4 e) ab2 f ) b a 1 2 1 3x2 a) [(2x) · (–5x)] · (3x) b) (2x) · [(–5x) · (3x)] c) (x2: x) · x d) x2: (x· x) e) [(4x) · (3x)] : (6x2) f ) (5x) · [(6x2) : (3x)] a) [(2x) · (–5x)] · (3x) = (–10x2) · (3x) = –30x3 b) (2x) · [(–5x) · (3x)] = (2x) · [–15x2] = –30x3 c) (x2: x) · x = x· x= x2 d) x2: (x· x) = x2: x2= 1 e) [(4x) · (3x)] : (6x2) = 12x2: 6x2= 2 f ) (5x) · [(6x2) : (3x)] = 5x· 2x= 10x2 a) x4– 1 b) 3x+ 5 c) 1 + x+ x2 a) 4 b) 1 c) 2 a) x= 0 b) x= –1 c) x= 2 a) 0 – 0 + 8 = 8 b) (–1)3– 6 · (–1)2+ 8 = –1 – 6 + 8 = 1 c) 23– 6 · 22+ 8 = 8 – 24 + 8 = – 83
Calcula por tanteo los valores de x que anulan cada polinomio:PÁGINA 123
4
Dados los polinomios A 2x3– 3x24 y B x3– 4x23x 2, calcu-lar:5
Dados los polinomios M 3x3– 5x2– 6x 9 y N 4x2– 7x – 5, calcula:PÁGINA 124
6
Calcula: a) x– 2 b) 2x– 8 c) x2– 4 d) x2– 5x+ 6 a) x= 2 b) x= 4 c) x= ±2 d) x= 2, x= 3 a) A+B b) A– B a) A → 2x3– 3x2 + 4 b) A → 2x3– 3x2 + 4 B → x3– 4x2+ 3x+ 2 –B → –x3+ 4x2– 3x– 2 A + B = 3x3– 7x2+ 3x+ 6 A– B = x3+ x2– 3x+ 2 a) M+N b)M– N c) 2M– N a)M+ N= 3x3– x2– 13x+ 4 b)M– N= 3x3– 9x2+ x+ 14 c) 2M= 6x3– 10x2– 12x+ 18 2M– N= 6x3– 14x2– 5x+ 23 a) 3 · (x+ 4) b) 5x· (x– 1) c) 3x2· (x+ 2) d) 5 · (3x2– 5x– 7) e) 2x2· (x4– 2x3– 5x2+ 6x+ 1) a) 3x+ 12 b) 5x2– 5x c) 3x3+ 6x2 d) 15x2– 25x– 35 e) 2x6– 4x5– 10x4+ 12x3+ 2x27
Efectúa:PÁGINA 125
1
Extrae factor común en cada una de las siguientes expresiones: a) (x+ 1) · (2x– 3) b) (3x– 1) · (2x+ 2) c) 3 · (x+ 2) · (x– 1) d) (x+ 3) · (x2– x+ 1) e) (x2+ 5x+ 3) · ( x4– 2x2+ 6x– 1) a) (x+ 1) · (2x– 3) = x· 2x+ 2x– 3x– 3 = 2x2– x– 3 b) (3x– 1) · (2x+ 2) = 3x· 2x– 2x+ 6x– 2 = 6x2+ 4x– 2 c) 3 · (x+ 2) · (x– 1) = 3 · (x2+ 2x– x– 2) = 3x2+ 3x– 6 d) (x+ 3) · (x2– x+ 1) = x3– x2+ x+ 3x2– 3x+ 3 = x3+ 2x2– 2x+ 3 e) (x2+ 5x+ 3) · ( x4– 2x2+ 6x– 1) = = x6– 2x4+ 6x3– x2+ 5x5– 10x3+ 30x2– 5x+ 3x4– 6x2+ 18x– 3 = = x6+ 5x5+ x4– 4x3+ 23x2+ 13x– 3 a) 5a+ 5b b) 5a+ 10 c) 4a2+ 12a d) 2ab+ a2b e) 2x+ 4x2 f ) 4x2+ 2x3 g) 3xy+ 6xz+ 3x h) xy+ x2y+ xy2 a) 5a+ 5b= 5 (a+ b) b) 5a+ 10 = 5 (a+ 2) c) 4a2+ 12a= 4a(a+ 3) d) 2ab+ a2b= ab(2 + a) e) 2x+ 4x2= 2x(1 + 2x) f ) 4x2+ 2x3= 2x2(2 + x) g) 3xy+ 6xz+ 3x= 3x(y+ 2z+ 1) h) xy+ x2y+ xy2= xy(1 + x+ y)2
Simplifica, extrayendo factor común donde se pueda, las siguientes fraccio-nes:PÁGINA 126
1
Calcula:2
Expresa en forma de cuadrado de una suma o de una diferencia:a) b) c) d) a) = = b) = = c) = = d) = = x+ 2y 2x+ y 2x(x+ 2y) 2x(2x+ y) 2x2+ 4xy 4x2+ 2xy 1 x x(1 + x) x2(1 + x) x+ x2 x2+ x3 3x 2 + x 6x3 2x2(2 + x) 6x3 4x2+ 2x3 a+ b a+ 2 5 (a+ b) 5 (a+ 2) 5a+ 5b 5a+ 10 2x2 + 4xy 4x2+ 2xy x + x2 x2 + x3 6x3 4x2 + 2x3 5a + 5b 5a+ 10 a) (x+ 1)2 b) (x– 1)2 c) (x+ y)2 d) (x– 3)2 e) (2x+ 3)2 f) (3x– 5)2 g) (2a– 1)2 h) (a+ 2b)2 i ) (–b+ 2a)2 a) (x+ 1)2= x2+ 2x+ 1 b) (x– 1)2= x2– 2x+ 1 c) (x+ y)2= x2+ 2xy+ y2 d) (x– 3)2= x2– 6x+ 9 e) (2x+ 3)2= 4x2+ 12x+ 9 f ) (3x– 5)2= 9x2– 30x+ 25 g) (2a– 1)2= 4a2– 4a+ 1 h) (a+ 2b)2= a2+ 4ab+ 4b2 i) (–b+ 2a)2= b2– 4ab+ 4a2 a) x2– 4x+ 4 b) x2+ 8x+ 16 c) x2+ 12x+ 36 d) 9 – 12x+ 4x2 a) x2– 4x+ 4 = (x– 2)2 b) x2+ 8x+ 16 = (x+ 4)2 c) x2+ 12x+ 36 = (x+ 6)2 d) 9 – 12x+ 4x2= (2x– 3)2